SISTEMA DIÉDRICO. EL PLANO

Transcripción

1 SISTEM DIÉDRICO. EL PLNO OBJETIOS Conocer las diversas formas en que puede venir definido un plano en el espacio y su representación en la proyección diédrica Conocer y operar con rectas horizontales, frontales, de perfil, rectas de máxima pendiente y rectas de máxima inclinación, así como con planos proyectantes. Entender que muchos problemas espaciales se resuelven utilizando verdaderas magnitudes, a través del uso de vis - tas auxiliares, mediante cambio de planos de proyección. 1 EL PLNO Geométricamente un plano puede venir deter - minado por: Fig. 1a: Dos rectas r y s que se cortan. Fig. 1b: Dos rectas m y n paralelas. Fig. 1c: Tres puntos, B y C no alineados. Fig. 1d: Una recta r y un punto B exterior. r m s n 1.a 1.b 1 Formas geométricas que determinan un plano. 1.c B C 1.d r B R Representación. Trazas del plano. Tradicionalmente, la representación de un plano se lleva a cabo mediante sus trazas, es decir, dibujando las rectas de intersección del plano con los de proyección. La traza horizontal del plano α, designada como α 1, es la intersección con el plano horizontal ; y la traza vertical, designada como α 2, es la intersección con el plano vertical. Las dos trazas de un plano se cortan en un punto de la LT, denominado vértice del plano. Nótese que tres planos se cortan en un punto. En la fig.1.1 el plano α puede considerarse que viene dado por tres puntos, B, C, por dos rectas que se cortan (r y h, s y h o bien por r y s) o por una recta (cualquiera de las anteriores) y un punto exterior a ella. En cualquiera de los casos, las rectas que lo constituyen tienen sus puntos traza en las trazas correspondientes del plano; así, el punto traza vertical 2 de la recta horizontal h, se encuentra en la traza vertical α 2 del plano que contiene a dicha recta. Lo mismo sucede con la recta s o la recta r. Por tanto, para dibujar cada traza de un plano se han de definir, previamente, al menos dos puntos traza de dos rectas contenidas en él. En definitiva, las trazas de un plano que, como hemos dicho, son las rectas de intersección de éste con los planos de proyección, son asimismo, el lugar geométrico de los puntos traza de las rectas contenidas en él. 1.2 Pertenencia de punto o recta a un plano. Para que una recta pertenezca a un plano los puntos traza de la recta deben estar sobre las trazas homónimas del plano que la contiene. sí, en la fig.1.1, la recta r, cuya traza horizontal es R 1, se encuentra en la traza horizontal α 1 del plano; al igual que la traza vertical R 2 se encuentra sobre la traza vertical α 2 del plano que contiene a dicha recta. Para verificar la pertenencia de un punto a un plano se hace pasar por él una recta cualquiera perteneciente al mismo (de las infinitas posibles); es decir, que cumpla las condiciones anteriores. Por su sencillez es aconsejable utilizar horizontales o frontales del plano. sí, el punto de la fig.1.2 pertenece al plano α por estar contenido en una recta, tal como la h o la recta r, perteneciente al mismo. 1.1 y 1.2 S 2 2 s B 2 RECTS NOTBLES DEL PLNO Entre las rectas contenidas en un plano destacan por sus características y situación respecto a los planos de referencia, o de perfil P, las que a continuación se relacionan. 2.1 Rectas horizontales de un plano ( h). Son todas las rectas contenidas en el plano y paralelas al plano horizontal de proyección. Generalmente se designa por h. La proyección horizontal de la recta es paralela a la traza horizontal α 1 del plano que la contiene, y su proyección vertical, paralela a la LT. 2.2 Rectas frontales de un plano ( f ). Son todas las rectas contenidas en el plano y paralelas al plano vertical de proyección. Generalmente se designa por f y, contrariamente a lo que sucede con la recta horizontal del plano, la proyección de la frontal es paralela a la LT y la proyección vertical lo es a la traza vertical α 2 del plano que la contiene, como se observa en la figura adjunta. s s r C R 1 S 1 r r R 2 h Perspectiva del plano y representación diédrica por sus trazas. 2.1 y F 1 f R 1 r S 2 2 s R 1 2 S 2 R 2 S 1 r s S 1 2 F 1 2 h F 1 141

2 Las rectas horizontal h y frontal f que pasan por el punto (fig. 2.1 y 2.2) definen el plano α y son, asimismo, las rectas de intersección de dicho plano con los planos que pasan por el punto y son paralelos a los planos de proyección y respectivamente. Cuando de un punto, perteneciente a un plano π (fig. situada a la derecha), se conoce una de las dos proyecciones diédricas o, la otra proyección o respectivamente, se determina, de forma fácil y rápida, haciendo uso de la recta horizontal h o de la recta frontal f, del plano π, que pasan por dicho punto. 2.3 Recta de máxima pendiente y recta de máxima inclinación de un plano. Se entiende por «pendiente de una recta» a la razón o cociente entre la diferencia de cotas de dos puntos de la misma y la distancia entre sus proyecciones horizontales. simismo, se llama «inclinación de una recta» al cociente entre la diferencia de alejamientos de dos cualesquiera de sus puntos y la distancia entre sus proyecciones verticales. mbos conceptos son idénticos: el de pendiente referido al plano horizontal y el de inclinación referido al plano vertical. Las rectas contenidas en un plano con pendiente máxima se caracterizan por ser perpendiculares a la traza horizontal del plano que las contiene, lo que trae consigo que su correspondiente proyección horizontal sea perpendicular a la traza horizontal de dicho plano. sí, en la fig. 2.3, la recta m, de máxima pendiente del plano β tiene su proyección horizontal m perpendicular a la traza horizontal β 1. Dicho de otra forma: la recta m y su proyección m se encuentran y definen un plano que es perpendicular al plano β. nálogamente, las rectas de máxima inclinación de un plano tienen su proyección vertical perpendicular a la traza vertical de dicho plano (fig. 2.3). Es como girar la hoja de papel 180 e imaginar las trazas del plano cambiadas: la recta de máxima pendiente descrita anteriormente se convierte en recta de máxima inclinación. La singularidad de estas rectas nos muestra que no sólo es posible definir un plano de cualquiera de las cuatro maneras descritas al principio de esta UD, sino que también es posible su determinación teniendo como único dato una recta de máxima pendiente o una recta de máxima inclina ción de dicho plano. En efecto, dada la recta m por sus proyecciones diédricas m - m (fig. 2.3), para determinar las trazas β 1 - β 2 del plano definido por la recta, se procede como sigue: - Se hallan los puntos traza horizontal M 1 (M 1 - M 1) y vertical M 2 ( M 2 - M 2 ) de la recta, y por M 1 se dibuja la perpendicular a la proyección m, que resultará ser la traza horizontal β 1 del plano definido por la recta m. - Dicha traza corta a la LT en un punto que, unido con M 2, determina la traza verti cal β 2. nálogo proceso se llevaría a cabo en el caso de tener que determinar las trazas de un plano dado por una recta de máxima inclinación del mismo; es el caso de la recta i (fig. 2.3). Paso de la proyección horizontal, de una figura plana, a su correspondiente proyección vertical y viceversa, mediante rectas horizontales (o rectas frontales) pertenecientes al plano de la figura P 2 2 p i M 1 m Plano de perfil m m p p i i P 1 D D M 2 Recta m de máxima pendiente y recta i de máxima inclinación, contenidas en un plano y que pasan por un punto del mismo. Perspectiva y representación diédrica de una recta de perfil p, perteneciente a un plano y que pasa por un punto del mismo M 1 M 1 i i m m P 2 P 1 1 p p 1 P 2 P 1 M 2 M Recta de perfil de un plano. Es aquella recta contenida en el plano y, obviamente, perteneciente a un plano de perfil, siendo, por tanto, perpendicular a la línea de tierra (fig. 2.4). Dicho de otra forma: una recta de perfil p es la intersección del plano γ, a que pertenece, con el plano de perfil que la contiene. Sus proyecciones son perpendiculares a la LT y, como toda recta de perfil, se define conociendo dos de sus puntos. En la fig.2.4, la recta p pasa por el punto y sus puntos traza horizontal P 1 y vertical P 2 se encuentran en las trazas horizontal γ 1 y vertical γ 2, respectivamente, del plano que la contiene. 3 REPRESENTCIÓN DEL PLNO POR COORDENDS l igual que sucede en la ubicación de un punto del espacio, en la determinación de un plano ω ( fig. 3), intervienen las tres coordenadas cartesianas que posicionan todo plano con respecto a los planos principales de proyección. C Z O Y -x 0 Plano de perfil (YOZ) C O B 3 Representación diédrica de un plano dado por sus coordenadas cartesianas: (-x 0, y 0, z 0 ). sí, un plano viene expresado, analíticamente, de la forma ω (x,y,z), siendo: x: distancia del origen O al punto donde concurren las trazas del plano. y: alejamiento de la traza horizontal ω 1 respecto del origen. z: cota de la traza vertical ω 2 respecto del origen. Nótese que el sentido positivo de los ejes es el que se viene indicando, y muestra la fig. 3. B Z Y X X z 0 y 0 LT 142

3 J B C h D h J f B p F E G J PLNO OBLICUO 2 PLNO PROYECTNTE ORIZONTL B PLNO DE PERFIL PLNO PROYECTNTE ERTICL O DE CNTO D PLNO ORIZONTL PLNO FRONTL E PLNO PRLELO L LÍNE DE TIERR F PLNO QUE CONTIENE L LÍNE DE TIERR J p (p) (G) G 2 p G E 4 4 Posiciones más significativas de planos en el espacio (figura superior) y su representación diédrica mediante sus trazas (figura inferior). POSICIONES SINGULRES DEL PLNO Existen una serie de planos que reciben nombres singulares por su posición respecto de a los planos principales de proyección y. La fig. 4 muestra ocho posiciones distintas: en la parte superior una perspectiva de su situación en el espacio, debajo su correspondiente representación diédrica mediante sus trazas. Plano oblicuo. Nombre que toma un plano cuando sus trazas se cortan en un punto de la línea de tierra formando ángulos distintos de 90 respecto a los planos de proyección principales y. Plano proyectante horizontal. Nombre que toma todo plano, tal como el β, que se posiciona perpendicular al ; en este caso, su traza vertical β2 es perpendicular a la LT. El ángulo que el plano forma con el vertical es el que forma su traza horizontal β1 con la LT. Cualquier elemento ( puntos, rectas o figuras) situado en él se proyecta sobre el plano, íntegramente, sobre su traza β1. Plano de perfil. Plano, tal como el γ, que resulta perpendicular a los dos planos de proyección y ; ambas trazas son perpendiculares a la LT. Plano proyectante vertical o de canto. Se trata de un plano, tal como el δ, que es perpendicular al ; resultando la traza horizontal δ1 perpendicular a la LT. Cualquier elemento J F D 5 PLNOS NOTBLES QUE PSN O CONTIENEN UN RECT (puntos, rectas o figuras) situado en él se proyecta sobre el plano, íntegramente, sobre su traza vertical δ2. Plano horizontal. Es aquel, tal como el ε, que se sitúa paralelo al plano horizontal de referencia; la traza vertical ε2 del plano es paralela a la LT y la traza horizontal se encuentra en el infinito. Cualquier elemento situado en él se proyecta sobre el plano vertical en la traza ε2. Plano frontal. Entre los planos más significativos por su gran utilidad y facilidad de trazado, se encuentran los llamados planos proyectantes, tanto los proyectantes horizontales como los planos de canto o proyectantes verticales. sí, un plano proyectante horizontal α que contiene a una recta r (fig. 5) tendrá la proyección horizontal r sobre la traza horizontal α 1 ; R2 Como su nombre indica, se sitúa frente al observador y, por tanto, es paralelo al coordenado vertical. En la figura, el plano ζ ; su única traza, ζ1, es paralela a la LT. Proy horiz ont a l s s r Es aquel plano, tal como el η de la figura, que es paralelo a la LT: las dos trazas, la horizontal η1 y la vertical η2 son paralelas a ella. Es aquel plano, tal como el θ, que contiene a la LT; sus trazas coinciden con ella. Es el único caso en que un plano no queda definido por sus trazas. Para su determinación se considera un punto situado en él, de modo que el plano quede dado por un punto del mismo y la LT. Para representarle se dibujan dos trazos cortos a cada lado de la línea de referencia del punto y por debajo de la LT, como se indica en la representación diédrica de la fig. 4. S2 nt e r Plano paralelo a la LT. Plano que contiene a la LT. ec t a la proyección vertical vendrá determinada por la unión de las proyecciones homónimas de las trazas de la recta: en la figura, R 1 con R 2. nálogo análisis puede hacerse de las rectas contenidas en un plano proyectante vertical (fig. 5). sí, la recta s ( s - s ) tiene su proyección vertical s coincidente con la traza β 2 del plano que la contiene. s r R1 S1 Pr e oy ct an te ve rti ca l S 2 R 2 5 r Rectas r y s pertenecientes a los planos proyectantes horizontal a y vertical b, respectivamente. R 1 s S 1 R 2 s r R 1 S 2 S 1 143

4 6 ERDDER MGNITUD DE UN PLNO: ISTS UXILIRES Un plano se observa en verdadera magnitud cuando se posiciona frontal al observador; es decir, cuando la dirección de proyección es perpendicular al mismo, apareciendo como un segmento en todas las vistas o proyecciones adyacentes. En el ejemplo que se acompaña a la derecha (fig. 6) se parte de las vistas alzado y planta de un plano BC oblicuo a los planos de proyección y. Para determinar su verdadera magnitud será necesario obtener dos vistas auxiliares mediante dos cambios de plano de proyección: uno horizontal y otro vertical; o viceversa, tal y como se indica en la última ilustración de la página, donde se muestra el proceso alternativo. La vista auxiliar que posiciona al plano BC como proyectante horizontal y se visualiza como un segmento (paso 1), se consigue situando la virtual linea de tierra ( - 1 ) perpendicular a la proyección de una frontal cualquiera del plano BC. Con el cambio de plano horizontal (de a 1 ) se mantienen, lógicamente, los alejamientos de los puntos, B y C. La segunda vista auxiliar (paso 2) posiciona al plano BC frontal al nuevo plano vertical 1 y visualiza el mismo en verdadera magnitud; es decir, que el triángulo BC se observa en verdadero tamaño, (tanto la magnitud de sus lados como la superficie del mismo). Para ello, se convierte el plano proyectante horizontal an terior en frontal a un nuevo plano de proyección vertical 1, donde la nueva línea de tierra ( 1-1 ) será paralela al segmento pro ye c ción Como sucede siempre que se cambia el plano vertical de proyección, las cotas de los puntos se mantienen constantes en la nueva proyección auxiliar. DTOS Plano BC oblicuo respecto al sistema de planos coordenados y. 1 Y F Y C F Y B Y C 1 Y 1 1 Y B PSO 1 1 Conversión del plano BC (oblicuo respecto a los planos de proyección y iniciales) en plano proyectante horizontal, respecto a un nuevo horizontal de referencia. Para ello, se ha cambiado el plano por otro 1 perpendicular a la recta frontal f, transformando al plano BC en proyectante horizontal (perpendicular al plano horizontal) con respecto a 1. Z * C 1 Y C Z * C erdadero tamaño Z * 1 Z * B 1 Y Z * F F Z * B Y B Y Y B PSO 2 La segunda vista auxiliar convierte el plano BC en un plano paralelo o frontal a un nuevo plano de referencia 1. La proyección sobre dicho plano 1 determina la verdadera magnitud de la porción de plano BC. 1 1 Z Y * C Z B Z C 1 Y C PROCESO DE OBTENCIÓN LTERNTIO Como su nombre indica, consiste en conseguir situar el plano BC, oblicuo a los coordenados y, en paralelo a un nuevo plano horizontal, mediante dos cambios de plano: primero cambiando el vertical por otro 1 (convirtiendo BC en proyectante vertical) y, seguidamente, cambiando el horizontal primitivo por el nuevo 1 (pasando BC de proyectante vertical a plano horizontal), para conseguir la verdadera magnitud del plano dado. Y * Y * B Z B 1 1 Y * B Z 1 Z C 1 Y * erdadero tamaño 6 Pasos en la determinación de la verdadera magnitud de una forma plana BC mediante el cambio de los dos planos de proyección iniciales; esto es, aplicando el llamado método de la vista auxiliar Y * C 1 144

5

6 146

7

8 148

9 ERDDER MGNITUD DE UN FORM PLN: IST UXILIR En el epígrafe 6 (pág.144) de esta Unidad Didáctica se decía: respecto a otro nuevo plano vertical 1 ; lo que origina dos cambios «cuando un plano es paralelo a uno de los planos coordenados, su de plano de proyección: primero el plano horizontal y luego el vertical. proyección sobre él lo representa en verdadera magnitud». 2. Determina las ISTS UXILIRES del polígono BCD anterior, pero, l análisis de lo expuesto, te proponemos obtener la ERDDER MG- ahora, cambiando primero el plano vertical por un nuevo plano 1 NITUD del cuadrilátero BCD y su SUPERFICIE correspondiente, median- que le sitúe de canto (esto es, perpendicular al nuevo plano vertical) te los procesos alternativos que se indican a continuación. y luego, cambiando por un nuevo plano horizontal 1 que posi- 1. Determina las ISTS UXILIRES del cuadrilátero situándole, primecione al cuadrilátero paralelo a éste y, en consecuencia, su proyección ro, perpendicular a un nuevo plano horizontal 1 y, luego, paralelo se visualice en ERDDER MGNITUD. SISTEMS DE REPRESENTCIÓN SISTEM DIÉDRICO. EL PLNO ISTS UXILIRES DE UN CUDRILÁTERO OBLICUO: DETERMINCIÓN DE SU ERDDER MGNITUD 2 PROCESO LTERNTIO L NTERIOR D 1 Z* ERDDERO TMÑO 1 D 1 D 1 1 Cuadrado de lado 30 mm Z D 1 Z* D F Y 1 1 Z Y* B D Y* B 1 Y D F 1 ERDDERO TMÑO Cuadrado de lado 30 mm. D 1 1 Se trata SUPERFICIE de un CUDRDO DEL CUDRILÁTERO: de superficie: lado cm 2 = 3 2 = 9 cm 2

10 POSICIONESRELTIS. DISTNCIS. 13INTERSECCIONES.