a) Para calcular los órdenes sólo es necesario contar el número de veces que se pasa por el bucle más interno. El coste sería n

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1 EXAMEN DE ALGORÍTMICA. Segundo Ingeniería Técnica en Informática de Gestión y de Sistemas. Diciembre ) (3 puntos) El siguiente programa obtiene la subcadena más larga de números iguales dentro de una cadena dada a:array[1,...,n]: longmax = 0 pos = 0 para i = 1, 2,..., n longact =iguales(a,i,n) si longact > longmax longmax = longact pos = i donde: iguales(a:array de enteros,entero i,entero n):entero j = i + 1 mientras j n Y a[i] = a[j] j = j + 1 finmientras devolver j i a) (0.4 puntos) Identificar el caso más favorable. b) (0.4 puntos) Obtener el θ del caso más favorable. c) (0.4 puntos) Identificar el caso más desfavorable. d) (0.4 puntos) Obtener el θ del caso más desfavorable. Para el caso promedio obtener: e) (0.3 puntos) Ω, f) (0.3 puntos) O, g) (0.4 puntos) indicar cómo se calcularía θ del tiempo promedio suponiendo que los elementos del array son enteros entre 0 y 9 (no hace falta obtener la fórmula final), h) (0.4 puntos) indicar también cómo se calcularía o (o-pequeña) del número promedio de instrucciones que se ejecutan (sin obtener la fórmula final). Solución: a) Para calcular los órdenes sólo es necesario contar el número de veces que se pasa por el bucle más interno. El coste sería n i=1 t iguales (i). El menor valor se obtiene cuando a la primera comparación no se entra en el bucle mientras, lo que pasa cuando a[i] a[i + 1], i = 1, 2,..., n 1. Por tanto, el caso más favorable se da cuando elementos en posiciones consecutivas del array son distintos. b) En ese caso más favorable el tiempo t iguales es constante, con lo que t m = n i=1 k = nk, y t m θ(n). c) El caso más desfavorable se da cuando para cada valor de i, se sale del bucle mientras por llegar al final del array, lo que pasa cuando a[i] = a[j], i = 1, 2,..., n 1, j = i + 1, i + 2,..., n. Por tanto, el caso más desfavorable se da cuando todos los elementos del array son iguales. d) En el caso más desfavorable t iguales (i) es lineal, y t M (n) = n i=1 (n i) = n 1 2 n θ ( n 2). Ya que tenemos el orden exacto de los casos más favorable y más desfavorable, estos nos sirven como cota inferior y superior del tiempo promedio, con lo que: e) t p (n) Ω(n), f) t p (n) O ( n 2). Para obtener el orden del tiempo promedio hay que obtener el número de veces promedio que se pasa por el bucle mientras. Como tenemos sólo 10 posibles valores (entre 0 y 9), la probabilidad de que a[i] = a[i + 1] es Se hace una comparación en el bucle mientras si a[i] a[i + 1], con probabilidad 9. Se hacen dos comparaciones si a[i] = a[i + 1] a[i + 2], con probabilidad si a[i] = a[i + 1] =... = a[i + k] a[i + k + 1], lo que pasa con probabilidad. En general, se hacen k comparaciones ( ) k Y cuando 10

2 ( ) a[i] = a[i + 1] =... = a[n] se hacen n i comparaciones y la probabilidad es 1 n i. 10 g) Por tanto tenemos: t p (n) = n i=1 ( n i 1 k=0 ( ) ) 1 k (k + 1) + (110)n i (n i) Y realizando estas sumas se obtiene el orden exacto del tiempo promedio. Al obtener el orden exacto del tiempo promedio nos serviría como Ω y O, siendo estos valores mejores que los obtenidos en los apartados anteriores. h) Para obtener o se trata de incluir en la fórmula anterior el número de operaciones que se realiza en cada paso, con lo que queda: ( n t p (n) = j + 2 i=1 ( n i 1 k=0 ( ) )) 1 k (k + 1) + (110)n i (n i) con j un valor entre 0 y 2, pero que no influirá en la o pues el término de mayor orden es el del bucle más interno. 2) (2 puntos) Resolver el problema anterior con un esquema divide y vencerás recursivo dividiendo el problema en dos subproblemas del mismo tamaño: a) (1.5 puntos) Programar la solución. b) (0.5 puntos) Analizar el tiempo de ejecución del programa realizado (no hace falta obtener la fórmula final). Solución: a) Utilizaremos una función que devuelve dos valores: la longitud de la subcadena de valores consecutivos más larga y su inicio. El método directo del problema anterior supondremos que devuelve lo mismo. DV(array de enteros a,entero izq,entero der):(entero,entero) si der izq base devolver directo(a,izq,der) en otro caso m = (der + izq)/2 (l1, p1)=dv(a,izq,m) (l2, p2)=dv(a,m + 1,der) devolver combinar(a,izq,m,der,l1,p1,l2,p2) Y en combinar se comparan las dos subsoluciones y se comprueba si en la intersección hay una cadena de valores iguales cortada: combinar(array de enteros a,entero izq,entero m,entero der,entero l1,entero p1,entero l2, entero p2):(entero,entero) si l1 > l2 l = l1 p = p1 en otro caso l = l2 p = p2 si a[m] = a[m + 1] l1 = 2 p1 = m 1 mientras p1 izq Y a[p1] = a[m] l1 + + p1

3 finmientras p1 + + i = m + 2 mientras i der Y a[i] = a[m] l1 + + i + + finmientras si l1 > l l = l1 p = p1 b) Para estudiar el tiempo de ejecución tenemos la siguiente recurrencia: { tdirecto (n) si n base t(n) = 2t ( ) n 2 + tcombinar (n) + a si n > base Sabemos que t combinar (n) Ω(1) y t combinar (n) O(n). En el primer caso la recurrencia es t(n) = 2t ( ) n 2 +a. Haciendo el cambio n = 2 k queda t k 2t k 1 = a y la ecuación característica es (x 2)(x 1) = 0, de donde se obtiene t(n) = t k = c 1 2 k + c 2 = c 1 n + c 2 θ(n), independientemente de cual sea el caso base, ya que c 1 no puede ser cero, pues el tiempo sería constante. En el segundo caso la ecuación característica es (x 2)(x 1) 2 = 0, y t(n) = c 1 2 k + c 2 + c 3 k = c 1 n + c 2 + c 3 log n θ(n). Como las cotas inferior y superior coinciden tenemos t(n) θ(n). 3) (5 puntos) Con la llegada del euro y la aparición de monedas de céntimo, en muchos casos se quiere devolver una cantidad de dinero dando la mayor cantidad posible de monedas de céntimos. Se trata de resolver el problema de devolución de una cantidad máxima de monedas: tenemos una cantidad a devolver C y monedas de varios tipos con valores v:array[1,...,n], y una cierta cantidad de monedas de cada tipo, c:array[1,...,n]. Indicar cómo se resuelve este problema por Programación Dinámica: a) (0.4 puntos) Dar la fórmula de recurrencia. b) (0.2 puntos) Decir cuales son los casos base y su valor. c) (0.4 puntos) Indicar qué tablas se usan en la resolución del problema, cómo se rellenan y cómo se recompone la solución. Explicarlo en el caso C = 10, v = (5, 2, 1), c = (6, 4, 7). Para resolverlo por Avance Rápido: d) (0.4 puntos) Explicar cómo se resolvería (no programarlo). e) (0.3 puntos) Cómo hay que ordenar las monedas para acercarnos a la solución óptima? f) (0.3 puntos) Se obtiene siempre la solución óptima? En la resolución por la técnica de Backtracking se utiliza un esquema no recursivo de optimización. Indicar: g) (0.3 puntos) Cómo será el árbol de soluciones y cómo se representan estas. h) (0.5 puntos) Explicar las variables auxiliares a utilizar y cuál es su función. i) (0.2 puntos) Cuál es la condición de fin. Programar las funciones: j) (0.2 puntos) generar, k) (0.2 puntos) mashermanos, l) (0.2 puntos) retroceder, m) (0.2 puntos) solucion, n) (0.2 puntos) criterio. Para resolverlo por Branch and Bound indicar cómo se calcula en cada nodo, y cómo se trabaja con ellas: ñ) (0.2 puntos) la cota inferior, o) (0.2 puntos) la cota superior, p) (0.2 puntos) la estimación del beneficio, q) (0.4 puntos) Cómo se puede utilizar el método de avance rápido en combinación con el Branch and Bound?

4 Solución: a) Con la moneda i, habiéndose tomado ya las decisiones con las i 1 primeras monedas, y con una cantidad a devolver X, el máximo número de monedas de tipo i es min{c i, X v i }. La fórmula será: max k=0,1,...,min{ci, x v i }{M(i 1, X kv i ) + k} b) Los casos base son: que no tengamos que devolver nada: M(i, 0) = 0, si i 0, que tengamos que devolver una cierta cantidad y no dispongamos de monedas: M(0, X) =, si X 0, que la cantidad a devolver sea negativa: M(i, X) = si X < 0. En los dos casos el valor es para representar problemas sin solución, con lo que cualquier problema con una solución válida los mejoraría. c) Se utiliza una tabla de soluciones óptimas, con n filas y C columnas, y otra tabla con las mismas dimensiones y donde se almacenan las decisiones con las que se obtienen las soluciones óptimas. Las tablas se rellenan por filas, con dos bucles: para i = 1, 2,..., n para j = 1, 2,..., C aplicar fórmula De la última fila sólo es necesario calcular la última columna. La solución óptima consta del número de monedas que aparece en la tabla de soluciones óptimas en la posición (n, C). Para obtener el número de monedas de cada tipo en la solución óptima se utiliza la tabla de decisiones. Se accede a la posición (n, C) para saber el número de monedas de tipo n. Se actualiza C restándole el número de monedas de tipo n que se dan multiplicado por el valor de esa moneda. Y con el nuevo valor de C se va haciendo lo mismo en la fila anterior de la tabla. El esquema será: para i = n, n 1,..., 1 m[i] = t[i, C] C = C m[i] v[i] En el ejemplo la tabla de soluciones óptimas queda: y la de decisiones: El número de monedas a dar es 8, de las que 6 son de 1 céntimo, y dos de 2 céntimos. d) Una posibilidad sería ordenar las monedas de menor a mayor valor, pues queremos maximizar el número de monedas a dar. De esta manera, en el ejemplo quedaría v = (1, 2, 5), c = (7, 4, 6). Esa sería la parte de preprocesamiento. Después se recorren todas las monedas dando la mayor cantidad que podamos sin pasarnos de la cantidad que queda por dar. En el ejemplo se dan 7 monedas de céntimo, una de dos céntimos, y el problema no se resuelve. Para evitar esto podemos intentar hacer lo mismo pero dejando las monedas de un céntimo para el final. La ordenación queda v = (2, 5, 1), c = (4, 6, 7). Se dan 4 monedas de 2 céntimos, ninguna de 5 y 2

5 de un céntimo. El número de monedas dado es 6, que no es el óptimo. También en este caso puede no encontrarse solución, si el número de monedas de un céntimo no es suficiente, lo que ocurre en el ejemplo si tenemos sólo una. e) La ordenación, por tanto, sería de menor a mayor valor de la moneda (en el primer caso), o lo mismo pero dejando las de un céntimo para el final (en el segundo caso). f) En ninguno de los dos casos considerados podemos asegurar que se llegue a la solución óptima, ni siquiera que se llegue a solución. g) El árbol de soluciones tendrá n niveles (más el raíz), representándose en el nivel i el número de monedas de valor v i que se dan. Por tanto, en el nivel i hay c i + 1 hijos para cada nodo del nivel anterior, pues tenemos c i monedas y hay que considerar también la posibilidad de que no se dé la moneda. La solución se representa en un array: s:array[1,...,n] de enteros, con 0 s[i] c i. Dependiendo de cómo implementemos la función generar puede que s[i] = 1 cuando todavía no se ha tomado ninguna decisión sobre esa moneda. h) En los problemas de optimización usamos V OA para indicar el valor (el número de monedas que la componen) de la solución óptima actual, y SOA que es un array del mismo tipo que s y que contiene la solución óptima actual. Se inicializa V OA a, para que cualquier solución la mejore, y SOA con todos los valores a -1. Al final contendrán la solución óptima. Se puede utilizar una variable valor que indica el número de monedas que llevamos dadas, y suma para lo que suman los valores de las monedas dadas. Y se puede tener un array quedan:arrary[0,...,n] de enteros para indicar los que quedan todavía sin decidir a partir de cada nivel; en el ejemplo quedan = (17, 11, 7, 0). Cuando en un nivel i, valor + quedan[i] V OA no será necesario seguir por ese nodo y la función criterio lo eliminará. Las variables valor y suma hay que modificarlas al movernos por el árbol, por lo tanto en las funciones generar y retroceder. Y el array quedan sólo es necesario inicializarlo al principio. i) En un problema de optimización la condición de fin es que volvamos al nodo raíz, o lo que es lo mismo, que la variable nivel que nos indica por qué nivel vamos en el árbol vuelva a valer cero. j) Ya que consideramos s inicializado a -1, sólo hace falta sumarle uno para empezar por no devolver esa moneda. Si consideramos que es mejor empezar dando la mayor cantidad posible de monedas habría que inicializar s[i] = c i + 1 y restar uno en generar. Esta segunda posibilidad puede ser mejor pues nos puede llevar a soluciones con mayor número de monedas y por lo tanto a eliminar más nodos con la función criterio. Consideramos la primera posibilidad: generar: s[nivel] + + valor + + suma = suma + v nivel En el otro caso simplemente se cambian las sumas por restas. k) En el primer caso hay más hermanos si quedan monedas de ese tipo por dar, y si la suma no pasa de la cantidad a devolver: mashermanos: devolver s[nivel] c nivel Y suma C En el segundo caso: mashermanos: devolver s[nivel] 0 Y sería la función criterio la que se encargaría de eliminar los nodos por los que suma sobrepase C. l) Al retroceder hay que actualizar los valores de valor y suma antes de volver atrás. En el primer caso: retroceder: valor = valor s[nivel] suma = suma v nivel s[nivel] s[nivel] = 1 nivel

6 En el segundo no hay que actualizar valor y suma. m) Un nodo es solución si es terminal y cumple la restricción: solucion: devolver nivel = n Y suma = C n) Se puede seguir explorando a partir de un nodo si el número de monedas que llevamos no excede el de V OA, si ese valor más las que quedan sí lo exceden, si la suma no excede el total a devolver, y si no es un nodo terminal: criterio: devolver valor < V OA Y valor + quedan[nivel] > V OA Y suma C Y nivel n ñ) Para resolver el problema por Branch and Bound podemos considerar el mismo árbol que con Backtracking, aunque el orden de recorrido de los nodos varía. Consideramos las mismas variables que en el caso anterior. Con estas variables la cota inferior de cada nodo puede ser el número de monedas que se lleva dado (la variable valor), pero es posible que a partir de un nodo no tengamos solución, por lo que no se pueden utilizar para podar las cotas inferiores, sino las soluciones de nodos terminales. El método de avance rápido se puede usar para obtener la cota inferior. En caso de encontrarse una solución esta se toma como cota inferior, ya que la solución óptima a partir de ese nodo debe ser mayor o igual que cualquier solución, en particular la que nos da el avance rápido. Como es posible que con avance rápido no se encuentre solución, en los nodos en que ocurra esto se puede tomar como cota inferior un 0 o valor. Si tomamos como cota inferior el valor 0 se puede podar desde el principio cuando CS(nodo)<max CI(nodos generados); si se usa como cota inferior la varaible valor se puede podar desde el principio pero cuando CS(nodo)<max CI(nodos generados con CI calculada por avance rápido). o) La cota superior en un nodo del nivel i puede ser valor + quedan[i]. p) La estimación del beneficio puede ser, como siempre, la media de la cota inferior y la superior, o cualquiera de las cotas. El avance rápido a partir de ese nodo y teniendo en cuenta las condiciones del problema en ese nodo (si en el ejemplo hemos dado una moneda de 5 céntimos y vamos por el nivel de las monedas de dos céntimos, el avance rápido se hace con C = 5, c = (4, 7), v = (2, 1), y al resultado se le suma 1 pues hemos dado una moneda ya) también se puede utilizar como estimación. q) Se puede usar para obtener la cota inferior (apartado ñ) y para estimar el beneficio (apartado p).