Programación Lineal Modelo de transporte Asignación

Transcripción

1 Programación Lineal Modelo de transporte Asignación Curso: Investigación de Operaciones Ing. Javier Villatoro

2 MODELO DE ASIGNACIÓN

3 Modelo de Asignación Consiste en asignar al mínimo costo los requerimientos necesarios para cumplir con una necesidad, encontrando la solución óptima por medio de una matriz de n columnas por m filas, donde n debe ser igual a m. La formulación de este problema puede considerarse como un caso especial del modelo de transporte. Aquí los trabajos representan Orígenes y las máquinas Destinos. La oferta disponible en cada fuente es igual a 1. De igual manera, la demanda requerida en cada destino es igual al 1. Antes de que el modelo pueda resolverse es necesario balancear primero el problema, añadiendo trabajos ficticios o maquinas ficticias. Por consiguiente, deberá ajustar el modelo de tal forma que m = n sin pérdida de generalidad. El principal objetivo consiste en asignar los trabajos a las maquinas (un trabajo por máquina) con el costo mínimo total.

4 Modelo de Asignación

5 Modelo de Asignación: Método húngaro Pasos para el método húngaro Paso 1. Antes que nada cabe recordar que el método húngaro trabaja en una matriz de costos n*m (en este caso conocida como matriz m*m, dado que el número de filas es igual al número de columnas n = m), una vez construida esta se debe encontrar el elemento más pequeño en cada fila de la matriz. Paso 2. Una vez se cumple el procedimiento anterior se debe construir una nueva matriz n*m, en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la fila a la cual cada costo corresponde (valor mínimo hallado en el primer paso). Paso 3. Este paso consiste en realizar el mismo procedimiento de los dos pasos anteriores referidos ahora a las columnas, es decir, se halla el valor mínimo de cada columna, con la diferencia que este se halla de la matriz resultante en el segundo paso, luego se construirá una nueva matriz en la cual se consignarán los valores resultantes de la diferencia entre cada costo y el valor mínimo de la columna a la cual cada costo corresponde, matriz llamada "Matriz de Costos Reducidos".

6 Modelo de Asignación: Método húngaro Paso 4. A continuación se deben de trazar líneas horizontales o verticales o ambas (únicamente de esos tipos) con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos con el menor número de líneas posibles, si el número de líneas es igual al número de filas o columnas se ha logrado obtener la solución óptima (la mejor asignación según el contexto de optimización), si el número de líneas es inferior al número de filas o columnas se debe de proceder con el paso 5. Paso 5. Este paso consiste en encontrar el menor elemento de aquellos valores que no se encuentran cubiertos por las líneas del paso 4, ahora se restará del restante de elementos que no se encuentran cubiertos por las líneas; a continuación este mismo valor se sumará a los valores que se encuentren en las intersecciones de las líneas horizontales y verticales, una vez finalizado este paso se debe volver al paso 4.

7 Modelo de Asignación: Método húngaro Ejemplo Los tres hijos de Joe Klyne, John, Karen y Terri, desean ganar algún dinero para sus gastos personales. El señor Klyne eligió tres tareas para sus hijos: podar el césped, pintar la puerta de la cochera y lavar los automóviles de la familia. Para evitar la competencia anticipada entre los hermanos, les pide que presenten licitaciones individuales (secretas) por lo que consideren un pago justo por cada una de las tres tareas. La tabla resume las licitaciones recibidas. Los niños respetarán la decisión de su padre con respecto a la asignación de las tareas. Podar Pintar Lavar John Karen Terri El problema de asignación se resolverá por el método húngaro.

8 Modelo de Asignación: Resolución de ejemplo Paso 1: encontrando el menor elemento de cada fila. Podar Pintar Lavar Mínimo John Karen Terri Paso 2: Construimos una nueva matriz con las diferencias entre los valores de la matriz original y el elemento menor de la fina a la cual corresponde. Podar Pintar Lavar John Karen Terri 2 4 0

9 Modelo de Asignación: Resolución de ejemplo Paso 3: Encontrando el menor valor de las columnas y se construye la nueva matriz con la diferencia entre los valores de la matriz 2 y el elemento menor de la columna a la cual corresponde cada valor. Podar Pintar Lavar John Karen Terri Minimo Matriz de costos Reducidos Podar Pintar Lavar John Karen Terri 2 3 0

10 Modelo de Asignación: Resolución de ejemplo Paso 4: trazando líneas horizontales o verticales con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos con el menor número de líneas posibles. Podar Pintar Lavar John Karen Terri Como se puede observar, el número de líneas es igual al número de filas o columnas, por lo que se ha logrado obtener la solución Óptima. Las celdas subrayadas del paso 3 dan la solución óptima (Factible): John obtiene el trabajo de pintar, Karen el de podar el césped y Terri obtiene el de lavar los automóviles de la familia. El costo total para el señor Klyne es de = 27.

11 Modelo de Asignación: Ejemplo 2 Suponga que la situación analizada en el ejemplo anterior se amplía a cuatro niños y cuatro tareas: Niño Tarea Realizando los pasos del 1 al 3 se llega a la siguiente matriz de costos reducidos: Niñ o Tarea

12 Modelo de Asignación: Ejemplo 2 Paso 4: trazando líneas horizontales o verticales con el objetivo de cubrir todos los ceros de la matriz de costos reducidos con el menor número de líneas posibles Niñ o Tarea Como el número de filas es inferior al número de filas o columnas se debe proceder con el paso 5.

13 Modelo de Asignación: Ejemplo 2 Paso 5: encontrar el menor elemento de aquellos valores que no se encuentran cubiertos por las líneas del paso 4, ahora se restará del restante de elementos que no se encuentran cubiertos por las líneas; a continuación este mismo valor se sumará a los valores que se encuentren en las intersecciones de las líneas horizontales y verticales, una vez finalizado este paso se debe volver al paso 4. Niño Tarea Menor elemento que no se encuentra cubierto por alguna línea: X 32 = 1

14 Modelo de Asignación: Ejemplo 2 Se resta 1 a los elementos no cubiertos por las líneas, y se suma a los elementos de las intersecciones Niño Tarea Paso 4, de nuevo trazando las líneas Niño Como se puede observar, el número de líneas es igual al número de filas o columnas, por lo que se ha logrado obtener la solución Óptima.

15 Modelo de Asignación: Ejemplo 2 Niño El costo total es de = 21.

16 FIN DE PRESENTACIÓN