ESTADÍSTICA APLICADA A LAS CIENCIAS SOCIALES II MODULO LICENCIATURA DE SOCIOLOGÍA GRUPO F (TARDE) CUADERNILLO DE PROBLEMAS

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1 DEPARTAMENT D ECONOMIA APLICADA UNIVERSITAT DE VALENCIA ESTADÍSTICA APLICADA A LAS CIENCIAS SOCIALES II MODULO -4 LICENCIATURA DE SOCIOLOGÍA GRUPO F (TARDE) CUADERNILLO DE PROBLEMAS CURSO

2 LIBRO DE PROBLEMAS: MURGUI, J.S.; y otros: Ejercicios de Estadística: economía y ciencias sociales. Tirant lo Blanch, Valencia, 00. Página web asignatura Grupo F: Material también en Aula Virtual. REVISIÓN PROBABILIDAD 0.1 EJERCICIO libro p.158 Para seleccionar su personal una empresa realiza una prueba a los candidatos que se presentan. Sea la variable aleatoria que representa la puntuación (sobre 10) obtenida por cada candidato en la prueba. A partir de la experiencia acumulada en los últimos años, se ha modelizado el comportamiento de la puntuación de la prueba mediante una distribución Normal de media 6 y varianza 4. Se pide: a) Cuál es la probabilidad de que un candidato obtenga una puntuación mayor o igual a 5 en la prueba? b) Si finalmente se selecciona al,5% de los candidatos que se presentan, a partir de que puntuación se consigue ser seleccionado? 0. Sea X una variable aleatoria que expresa los ingresos mensuales, en euros, de los hogares valencianos. Se supone que el comportamiento de dicha variable se puede modelizar mediante una distribución Normal con media 1700 y su desviación típica 00. a) Calcular la probabilidad de que los ingresos de un hogar superen los b) Calcular la probabilidad de que los ingresos de un hogar no lleguen a los c) Calcular la probabilidad de que los ingresos de un hogar estén entre 1600 y d) El 5% de los hogares con mayores ingresos se consideran como de nivel socioeconómico alto. A partir de qué nivel de ingresos se considera a un hogar de nivel socieconómico alto? 1

3 TEMA 1: TEOREMA CENTRAL DEL LIMITE. 1.1 El peso de una persona que utiliza el ascensor del aulario es una variable aleatoria con media 75 kg y varianza 100 kg. Si suben 33 personas, seleccionadas al azar, en el ascensor, calcular la probabilidad de que no se supere el peso máximo de 500 kg. 1. A partir de un estudio realizado en base a datos de años anteriores se concluye que el número de personas que acuden a una determinada piscina municipal, durante un día de verano, se puede modelizar mediante una variable aleatoria cuya media es 00 y desviación típica 30. Calcular, razonadamente, la probabilidad de que durante los 6 días que comprenden los meses de julio y agosto acudan a la piscina más de personas. 1.3 Según el titular de un periódico, el 33% de los inmigrantes llegados en 003 a nuestro país consiguieron legalizar su situación. Calcular la probabilidad de que de 1000 inmigrantes recién llegados, al menos 300 consiguieran regularizar su situación. Indicar claramente qué supuestos se deben asumir para calcular dicha probabilidad. 1.4 Según los expertos, el 40% de las empresas tecnológicas o puntocom han quebrado antes de los años desde su creación. Calcular la probabilidad que de un total de 35 empresas tecnológicas más de 15 quebraran a los años de su creación. Indicar claramente qué supuestos se deben asumir para calcular dicha probabilidad. 1.5 Se considera que el número diario de ejemplares vendidos de una determinada publicación en un quiosco es una variable aleatoria que se distribuye según una Poisson de media 30. Obtener, razonadamente, la probabilidad de que en los próximos 10 días el número total de ejemplares vendidos en ese quiosco no supere los (Indicar claramente qué supuestos se deben asumir para calcular esa probabilidad) 1.6 EJERCICIO libro p.1 Un almacén desea proveerse de un determinado artículo para la campaña de verano, que comprende 90 días. Si el promedio de artículos diarios que vende en dicho periodo del año es de 15 y la desviación típica de 5, hallar el número de artículos a comprar si pretende una garantía del 95% de que transcurrida la campaña no le queden artículos en el almacén. 1.7 La demanda diaria de cierta marca de refresco en litros, se puede representar mediante una variable aleatoria X de media 3000 litros y de varianza 8100 litros. a) Obtén razonadamente, la probabilidad de que el total de litros demandados en 100 días sea superior a litros. Indique todos los supuestos que sea necesario asumir para obtener dicha probabilidad. b) Calcula la producción de litros de refresco en 100 días, para atender la demanda total con probabilidad 0,99.

4 TEMA : INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA.1 EJERCICIO libro p.4 Según un estudio efectuado el año anterior, el gasto de los estudiantes en la cafetería de la Facultad en un mes cualquiera sigue una distribución Normal, con una media de 48 euros y una desviación típica 1 euros. Con el objetivo de actualizar estos datos, un estudiante ha entrevistado a 5 alumnos preguntando cuál ha sido su gasto en la cafetería en el último mes. De los resultados obtenidos se deduce que la media para los 5 alumnos es superior a 54 euros. a) El estudiante que ha efectuado la encuesta afirma que la muestra utilizada es aleatoria simple. Es coherente la información recogida por el estudiante con los resultados del estudio citado? Justifica las conclusiones. b) Supóngase ahora que se desconociera la desviación típica poblacional, considerando los 1 euros como la desviación típica obtenida para los 5 alumnos que el estudiante ha entrevistado. Se modificarían las respuestas al apartado anterior? c) Volviendo a suponer que la desviación típica poblacional es conocida e igual a 1 euros, calcular la probabilidad de que la varianza del gasto mensual en la cafetería de los 5 estudiantes de la muestra sea mayor a la varianza obtenida en el estudio anterior.. EJERCICIO libro p.45 En la Agencia Valenciana de Turismo se ha efectuado un estudio sobre los turistas franceses e ingleses que vienen a España. Se ha obtenido que los franceses gastan en alimentación 1 euros de media por persona y día, con desviación típica de 6 euros. Para los ingleses se obtiene que el gasto es de 18 euros de media por persona y día, con desviación típica de 3 euros. Para confirmar esta información se pasa una encuesta en el retorno de las vacaciones a 300 turistas franceses y a 00 ingleses. Admitiendo que cada grupo de turistas encuestados constituye una muestra aleatoria simple, cómo es de probable que la diferencia entre los gastos medios diarios en alimentación de los turistas franceses y los ingleses de las muestras sea inferior a 1'8 euros?.3 EJERCICIO PROPUESTO 6.4 libro p.53 Para la campaña de Navidad una empresa presenta una oferta a sus clientes de un determinado producto. El Departamento Comercial de la empresa estima que por las condiciones de la oferta y las características de sus clientes, dicha oferta la aceptarán el 80%. En cualquier caso, para estudiar la posible acogida, se va a efectuar un primer lanzamiento ofreciendo la oferta a 00 clientes escogidos al azar. a) Cuál es la probabilidad de que el porcentaje de clientes de la muestra anterior que aceptará la oferta no sea superior a 83,65%? b) La empresa distingue a los clientes que efectúan el pago al contado o aplazado, y se plantea la posible acogida de la oferta en los dos grupos de clientes. El Departamento Comercial estima que el 65% de los clientes que pagan al contado acepta la oferta, y de los de pago aplazado la aceptará el 90%. Considerando que de los 00 clientes anteriores, 85 son del 3

5 primer grupo y 115 del segundo, calcular la probabilidad de que la diferencia entre las proporciones de clientes con pago aplazado y al contado que aceptan la oferta sea superior en un 0%..4 Un fabricante A produce lámparas con duración media de 00 horas y desviación típica de 00 horas. Otro fabricante B utiliza un método diferente que reduce la duración media a 000 horas manteniendo la misma desviación típica. Se supone que la duración de las lámparas de ambos fabricantes sigue un modelo Normal. Si se selecciona aleatoriamente 1 lámparas del fabricante A y 16 lámparas del fabricante B, calcular: a) La probabilidad de que la diferencia en la duración media de las lámparas seleccionadas del fabricante A y del fabricante B no supere las 00 horas. b) Qué pasaría con la probabilidad del apartado anterior si se desconociera el valor de las desviaciones típicas poblacionales, aunque se sigue suponiendo que éstas son iguales? Qué información adicional necesitamos utilizar ahora? 4

6 TEMA 3: ESTIMACIÓN 3.1 EJERCICIO libro p.67 El director de un museo, preocupado por la escasa afluencia de público, decide analizar el número de personas que lo han visitado durante los últimos 30 días laborables. La cifra global obtenida fue de 70 personas. Admitiendo que las observaciones constituyen una muestra aleatoria simple y que la variable aleatoria que expresa el número de visitantes en un día laborable sigue un modelo de distribución de Poisson. a) Cuál es la estimación máximo verosímil del número medio diario de personas que visitan el museo en días laborables. b) Utilizando la estimación anterior, calcular la proporción de días en los que el museo es visitado por más de una persona. 3. EJERCICIO libro p.65 La Agencia Valenciana de Turismo va a realizar un estudio sobre las preferencias de los habitantes de la ciudad de Valencia respecto al lugar de vacaciones elegido. El encargado del estudio únicamente quiere distinguir entre playa y montaña. Realizada una encuesta a 100 personas elegidas al azar se ha obtenido que 30 de ellas prefieren la montaña y las 70 restantes han mostrado preferencia por la playa. a) Antes de realizar la encuesta, un técnico pensaba que la proporción de ciudadanos que prefieren la montaña era el 35%, mientras que otro técnico daba como posible valor de esta proporción el 5%. Con la información de la encuesta, cuál de las dos opiniones merece mayor credibilidad? b) Independientemente de las opiniones de los dos técnicos anteriores, obtener razonadamente una estimación de la proporción de ciudadanos que prefieren la montaña. c) Qué valores, mínimo y máximo, se pueden proponer como aproximación a la proporción anterior con unas garantías del 95%? d) A cuántas personas se debería haber encuestado para conseguir un error del 4% en la estimación de dicha proporción con una confianza del 95%? 3.3 EJERCICIO 7..1 libro p.79 Un sociólogo desea obtener una aproximación de la renta media anual de las familias residentes en un barrio. El sociólogo dispone de información referente a 50 familias seleccionadas aleatoriamente, de forma que los ingresos totales de las mismas ascienden a 1 millón de euros y presentan una desviación típica de euros. a) Podría dar una estimación de la renta familiar media con unas garantías del 95%? b) Habría alguna forma de conseguir, para una confianza del 90%, una estimación de 300 euros para el error asociado a la renta media anual estimada? 5

7 3.4 EJERCICIO 7.. libro p.80 Un estudiante de segundo curso pretende analizar el tiempo que los alumnos matriculados en primero durante el curso pasado dedicaron al estudio de Estadística I. Para ello, selecciona aleatoriamente una muestra de 15 estudiantes matriculados durante el curso pasado en dicha asignatura, de forma que el tiempo medio empleado por los 15 estudiantes ha sido de 70 horas, con una desviación típica de 10 horas. A partir de la información anterior y suponiendo que el tiempo dedicado al estudio de esta asignatura sigue una distribución Normal, dar respuesta a las siguientes cuestiones: a) Qué cantidades, mínima y máxima, se pueden proponer como estimación del número medio de horas empleado en el estudio de Estadística I por los alumnos matriculados durante el curso pasado, con unas garantías del 95%? b) Qué cantidades, mínima y máxima, se pueden proponer como estimación de la desviación típica del número de horas empleado en el estudio de Estadística I por los alumnos matriculados durante el curso pasado, con unas garantías del 90%? 3.5 EJERCICIO PROPUESTO 7.5 libro p.303 El número de urgencias atendidas en un único centro hospitalario de cierta localidad es aleatorio y se admite que sigue una distribución de Poisson. En los últimos 40 días se han atendido a un total de 50 pacientes en servicio de urgencias. a) Obtener la estimación máximo-verosímil del número medio diario de urgencias atendidas. b) Entre que cantidad mínima y máxima se encuentra el valor medio de urgencias atendidas diariamente con una confianza del 95%? 3.6 EJERCICIO PROPUESTO 7.7 libro p.304 Las próximas elecciones generales en España se presentan muy igualadas entre las dos fuerzas políticas mayoritarias. El actual partido en el poder quiere diseñar su campaña electoral en función de sus posibilidades de alcanzar la mayoría absoluta y, por ello, encarga a su Gabinete Estadístico que lleve a cabo el correspondiente estudio muestral. En la investigación realizada se ha entrevistado a 500 individuos con derecho a voto, de los cuales se ha obtenido que 60 estarían dispuestos a votar al partido gobernante. a) Entre qué valores mínimo y máximo se puede aproximar la proporción de votantes al partido gobernante con una confianza del 99%? b) Cómo se puede reducir el error cometido en la estimación de la proporción anterior a 0, manteniendo el mismo nivel de confianza del 99%? 3.7 EJERCICIO 7..7 libro p.88 El consumo medio en gasolina de las familias de Barcelona en la última semana se ha estimado a través de una muestra aleatoria simple de 300 familias, obteniéndose para las mismas una media de 0 litros y una desviación típica de 5 litros. Análogamente, en Valencia se preguntó a 50 familias obteniéndose una media de 15 litros y una desviación típica de 8 litros. 6

8 Calcular una estimación para la diferencia entre los consumos medios con una confianza del 90%. Cuál es el error cometido con esta estimación? 3.8 EJERCICIO 7..1 libro p.95 Cierto municipio está constituido por dos secciones electorales que en las pasadas elecciones mostraron comportamientos claramente diferenciados. Ante la proximidad de nuevas elecciones municipales, el partido gobernante desea realizar un sondeo acerca de la proporción de votos que puede obtener en cada una de estas secciones y analizar la diferencia entre ambas. Para ello se seleccionan dos muestras aleatorias de personas con derecho a voto, una de cada sección. En la primera sección se ha preguntado a 45 personas y 7 de ellas han declarado su intención de votar al partido del gobierno, mientras que en la segunda sección han mostrado esta intención 5 de las 50 personas a las que se ha preguntado. A partir de esta información, obtener un intervalo de estimación para la diferencia entre las proporciones de votos al partido del gobierno con una confianza del 90%. 7

9 TEMAS 4 Y 5: CONTRASTES DE HIPÓTESIS PARAMÉTRICAS Un estudio minucioso realizado en Alemania concluye que la edad de los trabajadores colaboradores de una determinada empresa multinacional sigue una distribución Normal, con media 38 años. Esta empresa se ha instalado recientemente en España. De una muestra aleatoria de 150 trabajadores españoles se ha obtenido que la edad media y la varianza son, respectivamente, de 38'3 y 61'074, contestar a las siguientes preguntas: a) Asumiendo la distribución de las edades de los trabadores españoles también sigue una distribución Normal, es razonable admitir que la edad media de los trabajadores es la misma en ambos países para un nivel de significación del 5%? b) Determinar a partir de qué nivel de significación debe rechazarse la hipótesis de que la edad media de los trabajadores españoles y alemanes de la empresa es la misma EJERCICIO 8.. libro p.316 Con objeto de analizar la renta declarada por los contribuyentes domiciliados fiscalmente en una Administración de Hacienda, se ha tomado una muestra aleatoria de 400 declaraciones, obteniéndose una renta media de euros y una desviación típica de.711 euros. La renta media declarada para todos los ciudadanos del país, se estima en euros. a) Puede aceptarse, para un nivel de significación del 5%, que la renta media de las declaraciones presentadas en la Administración, es la misma que la global para todo el país? b) Determinar, a partir de los datos suministrados, hasta qué nivel de significación debe aceptarse la hipótesis anterior EJERCICIO 8..4 libro p.319 El Ayuntamiento de una ciudad desea averiguar si el inicio de las obras del Metro ha repercutido de alguna forma en la fluidez del tráfico. Para ello, decide centrar el análisis en el servicio que realiza una línea de autobús urbano. Antes de iniciarse las obras, a las horas centrales del día, un autobús tardaba un tiempo medio de 60 minutos en completar su recorrido, con una desviación típica de 5 minutos. En la actualidad, después de medir el tiempo en 0 servicios, se calcula para los mismos una media de 65 minutos y una desviación típica de 8 minutos. a) Puede asegurarse, para un nivel de significación del 10%, que las obras del metro han modificado la fluidez del tráfico en la ciudad? b) Se ha alterado la regularidad (dispersión = varianza) en las llegadas de los autobuses de la línea citada a las paradas, para un nivel de significación del 5%? EJERCICIO 8..5 libro p.31 Se desea investigar la proporción de electores que prefiere celebrar las elecciones en día festivo, preguntando a una muestra aleatoria de ciudadanos con más de 18 años. 8

10 a) El Centro de Investigaciones Sociológicas afirma que el 65% de los electores prefiere que las elecciones se celebren en día festivo. Suponiendo que la encuesta únicamente la han contestado 500 ciudadanos y que de ellos, 300 han contestado afirmativamente, puede aceptarse la compatibilidad de la afirmación del C.I.S con los resultados de la encuesta, para un nivel de significación del 5%? b) Determinar, a partir de los resultados de la encuesta, hasta qué nivel de significación debe aceptarse la afirmación del C.I.S EJERCICIO 8..8 libro p.38 El equipo asesor de la alcaldía de una ciudad está diseñando una muestra representativa de mesas electorales. Con ello pretende disponer de una estimación de los resultados de las próximas elecciones municipales, antes de que termine el escrutinio de los votos. Se presentan dudas con respecto a la catalogación de dos mesas distintas. Unos afirman que en ambas se obtendrá la misma proporción de votos a favor del partido que gobierna, mientras que otros afirman lo contrario. Con el fin de tomar una decisión, se consulta la última encuesta sobre intención de voto realizada. De los resultados obtenidos se deduce que en la mesa A optaron por el partido en el gobierno 150 de entre los 450 que aceptaron pronunciarse. Análogamente, de los 380 electores de la mesa B a los que se preguntó y manifestaron su intención de votar, 130 se mostraron favorables al partido en el gobierno. Es indiferente que se tome una u otra mesa para elaborar la muestra representativa, para un nivel de significación del 5%? EJERCICIO 8.3. libro p.333 Una empresa comercializa un producto envasado asegurando en la campaña publicitaria que el contenido medio de los envases es al menos de 40 gramos. Otra empresa de la competencia pretende denunciarla por engaño publicitario. Para ello, se apoya en la información que obtiene al pesar el contenido de 0 envases seleccionados al azar, obteniendo para los mismos un peso medio de 30,8 gramos y una desviación típica de 14,63 gramos. Existen razones estadísticas para considerar que la empresa está cometiendo un engaño publicitario? EJERCICIO libro p.375 En la comarca de la Ribera, se pretende instalar un ecoparque. La ubicación del mismo en esta comarca y no en una vecina dependerá, entre otros factores, de la capacidad de reciclado mensual por familia. Los alcaldes de la citada comarca aseguran que la capacidad de reciclado de las familias es elevada y para demostrarlo a la Administración han encargado un estudio a un grupo de expertos estadísticos. Según la Administración sólo será rentable la instalación del ecoparque si la cantidad media de reciclado mensual por familia es al menos de 1 kg. Para una muestra aleatoria simple de 50 familias de la Ribera, se obtuvo que la media de reciclado mensual es de 11'8 kg. con una desviación típica de 0'7 kg. Con un nivel de significación del 1%, puede aceptarse la rentabilidad del ecoparque? 9

11 4.5.8 EJERCICIO PROPUESTO 8.3 libro p.357 Una de las acciones que realiza la Inspección Fiscal de una Delegación de Hacienda en la lucha contra el fraude, consiste en la investigación de una muestra aleatoria de declaraciones del I.R.P.F. En el último ejercicio fiscal se seleccionaron declaraciones y se detectó que se había efectuado fraude en 100 de ellas. c) Si el Ministerio afirmara que la proporción de declaraciones con fraude, a escala nacional, no supera el 15%, sería válida esta afirmación para la Delegación? Pregunta 3. Examen Junio 004 Se sospecha que una empresa multinacional practica una política de discriminación salarial respecto a sus empleadas. Un sindicato ha seleccionado dos muestras aleatorias del salario mensual de 300 trabajadores y de 50 trabajadoras de la empresa. Para los primeros se ha obtenido un salario mensual medio de 1050 y una desviación típica de 450, mientras que para las segundas estos valores han sido de 91 y 350, respectivamente. A partir de esta información, se pide: a) Contrastar la hipótesis de que en esa empresa no hay discriminación salarial por género, es decir, que no hay diferencias en los salarios mensuales medios de los trabajadores y las trabajadoras, para un nivel de significación del 1%. b) Qué ocurriría si la hipótesis alternativa del contraste fuera que "el salario medio de los empleados es superior al de las empleadas", para un nivel de significación del 1%? Con el objetivo de analizar la incidencia del fracaso escolar en dos barrios de una misma ciudad, uno (barrio A), situado en el centro de la ciudad y en situación de deterioro y abandono por parte de los antiguos residentes y otro (barrio B), situado en la periferia y en expansión residencial, se ha procedido a seleccionar aleatoriamente una muestra de 500 estudiantes de centros escolares del barrio A, de los cuales 15 han sufrido fracaso escolar. Análogamente, se ha seleccionado una muestra aleatoria de 400 alumnos de centros escolares del barrio B, de forma que 8 de ellos tienen serios problemas para continuar sus estudios. Puede admitirse, para un nivel de significación del 5%, que la proporción de fracaso escolar en el barrio A no supera a la del barrio B? 10

12 TEMA 6: CONTRASTES DE HIPÓTESIS NO PARAMÉTRICAS 6.1 EJERCICIO 9.1. libro p.36 En un estudio de ámbito nacional se concluye que las preferencias que tienen los alumnos de secundaria respecto a sus estudios universitarios son: el 15% prefiere carreras de Ciencias Experimentales, el 10% Humanidades, el 45% Sociales, el 10% Ciencias de la Salud y el 0% restante se decantaría por estudios técnicos. En una Universidad española después de observar las preinscripciones realizadas por alumnos se han obtenido los siguientes resultados: Experimentales Humanidades Sociales Salud Técnicas Con la información anterior, podría decirse que las preferencias sobre el tipo de estudios de los alumnos de esta universidad coinciden con las del conjunto nacional? 6. EJERCICIO libro p.366 En un municipio se ha seleccionado de forma aleatoria una muestra de 150 familias en las que se ha investigado la renta declarada en el último periodo impositivo. Los datos se presentan en la siguiente tabla: Renta (en euros) Familias Probabilidades Esperadas Menos de , , , ,3561 Más de ,0336 Estudios realizados a nivel provincial muestran que la renta familiar declarada está bien representada por una distribución Normal, con media euros y desviación típica de euros. Con la información proporcionada por la muestra anterior, se puede aceptar el modelo propuesto para la distribución de la renta declarada por las familias en el municipio objeto de estudio? 11

13 6.3 EJERCICIO 9.. libro p.376 En un campamento de verano para niños en edad escolar se ha realizado una clasificación de los 10 niños asistentes según el sexo y la actividad que mejor desarrollan, obteniéndose la siguiente tabla: Montañismo Actividades Manualidades acuáticas Chicos Chicas a) Con los datos anteriores, podría concluirse que la aptitud para cada una de las actividades está relacionada con el sexo? b) Considerando sólo a los chicos, hay razones estadísticas para afirmar que se reparten por igual en las tres actividades? 6.4 El gobierno autonómico de una determinada localidad va a realizar una campaña publicitaria en televisión con el fin de fomentar entre los jóvenes actividades culturales y deportivas para el tiempo libre. Dicha campaña consta de dos anuncios diferentes y, antes de su lanzamiento, se exhiben por separado a grupos de jóvenes para valorar su impacto. Cada persona sólo ve uno de los dos anuncios y después emite su opinión en el sentido de si está a favor de su emisión, si es indiferente o si está en contra. Los resultados son: A favor Indiferente En contra Anuncio A Anuncio B a) Existe alguna evidencia de que las distribuciones de opinión son diferentes para cada anuncio? b) Un sociólogo ha publicado en prensa que ante campañas de este tipo, el porcentaje de jóvenes que se muestran a favor de la emisión es el mismo porcentaje que el de los que se muestran en contra, resultándole indiferente al restante 10%. Considerando los resultados anteriores, es posible aceptar para algún nivel de significación esta distribución de porcentajes para la opinión de los jóvenes en el conjunto de los dos anuncios que conforman la campaña publicitaria? 6.5 Para ciertos trabajadores de la Comunidad Valenciana, elegidos al azar, se dispone de información sobre el nivel de estudios alcanzado y el sector de actividad de la empresa para la que trabajan. Dicha información se presenta en la siguiente tabla: Sin estudios Primarios secundarios Universitarios construcción Servicios a) Contrastar la hipótesis de que no existe relación alguna entre el nivel de estudios alcanzado por los trabajadores y su sector de actividad. Indicar qué supuestos respecto a la obtención de esos datos muestrales hay que considerar y qué hipótesis hay que plantear. 1

14 b) Volver a plantear el apartado anterior si ahora lo que se pretende es contrastar la hipótesis de que no existen diferencias significativas entre los trabajadores del sector de la construcción y los trabajadores del sector servicios respecto al nivel de estudios alcanzado. 13

15 ENUNCIADOS DE EXAMENES ANTERIORES LICENCIATURA EN SOCIOLOGÍA EXAMEN DE ESTADÍSTICA II. 1 de julio de 00. APELLIDOS NOMBRE 1.- Disponemos de una muestra de 00 observaciones de una variable para la que deseamos calcular un intervalo de confianza. Ordenar por tamaño los intervalos realizados con un error tipo I de 1%, 5% y 10%, respectivamente. Razonar la respuesta..- Finalizada la campaña de presentación del IRPF, la Agencia Tributaria desea presentar un avance de los resultados. Para ello toma como variable representativa el tipo impositivo de los declarantes. Sabiendo que la población es normal, y que se han seleccionado al azar 100 declaraciones de renta, de las cuales se ha obtenido un tipo impositivo medio muestral del 31,5 y una varianza muestral de 144. a) Contrastar la hipótesis nula de que el tipo impositivo medio poblacional es 34 frente a la hipótesis alternativa que dice que es superior. b) Contrastar la hipótesis nula de que el tipo impositivo medio poblacional es 34 frente a la hipótesis alternativa que dice que es inferior. 3.- La estadística es una asignatura instrumental que se cursa en multitud de especialidades (economía, biología, medicina, sociología, etc.). Un grupo de expertos en educación quiere estudiar si existe relación entre la especialidad en que se cursa la estadística y la dificultad que encuentran los estudiantes en la misma. Para ello seleccionan una muestra aleatoria de 400 estudiantes de la Universitat de Valencia y los clasifican en función de la dificultad que encuentran los estudiantes (mucha/normal/poca) y del tipo de estudios cursados (ciencias sociales / de la salud / básicas). Los resultados vienen recogidos en la tabla adjunta: CC. Sociales CC. de la Salud CC. Básicas Mucha Normal Poca a) Que tipo de contraste de hipótesis utilizarías para analizar los datos anteriores (Formula la hipótesis nula de acuerdo con una de las hipótesis estudiadas) b) Con un nivel de significación del 1%, puede decirse que los estudios que se cursen influyen en la percepción de la dificultad de la asignatura de estadística? Razona la respuesta. 14

16 LICENCIATURA EN SOCIOLOGÍA EXAMEN DE ESTADÍSTICA II. Septiembre de 00. APELLIDOS NOMBRE 1.- En un barrio de familias se quiere estimar la proporción de familias que poseen más de un automóvil. En una muestra de tamaño n = 100, se han encontrado 30 familias con más de un coche. a) Seleccionar el estimador adecuado y calcular su valor muestral. b) A partir de los datos de la muestra, estimar el valor de la varianza del estimador. c) Dar un intervalo de confianza del 95% para la proporción poblacional de familias con más de un automóvil..- El gobierno va a proponer una serie de medidas para intentar frenar la inmigración ilegal; sin embargo, antes de llevarlas al Parlamento desea saber si la población española esta a favor de las mismas, para ello realiza una encuesta a 00 personas, de las cuales 110 están a favor de las nuevas medidas. a) Enunciar la hipótesis nula y la hipótesis alternativa para contrastar la hipótesis que como mucho la mitad de la población está a favor de las medidas del gobierno. b) Existe evidencia de que como mucho la mitad de la población está a favor de las medidas del gobierno con un nivel de significación del 10%? c) Contrastar la hipótesis nula de que la proporción poblacional es igual a 0,5, frente a la hipótesis alternativa bilateral, con un nivel de significación del 10%. Enunciar la hipótesis nula y la alternativa. 3.- Un grupo de sociólogos piensa que la percepción de los ciudadanos del fenómeno de la inmigración no es homogénea en todo el territorio. Para analizar este hecho tomaron cuatro muestras aleatorias de 300 ciudadanos en municipios con distintos tamaños y les pidieron que clasificaran la legislación española en la materia. Los datos obtenidos vienen recogidos en la siguiente tabla: Tamaño del municipio (en miles de habitantes) Menos 0 0 a a 500 más 500 Suave Normal Dura a) Que tipo de contraste de hipótesis utilizarías para analizar los datos anteriores (Formula la hipótesis nula de acuerdo con una de las hipótesis estudiadas) b) Con un nivel de significación del 5%, puede decirse que el fenómeno de la inmigración no es percibido del mismo modo en todo el territorio? Razona la respuesta. 15

17 LICENCIATURA EN SOCIOLOGÍA EXAMEN DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS CIENCIAS SOCIALES II. 1ª CONVOCATORIA. 30 de Junio de 003 APELLIDOS NOMBRE GRUPO 1.- El número diario de solicitudes denegadas de permiso de residencia presentadas por inmigrantes se distribuye según un modelo Poisson de media 3,6. Calcular la probabilidad de que en 360 días (un año) las solicitudes no concedidas no superen la cifra de 136. Indicar los supuestos necesarios para calcular dicha probabilidad..- Una empresa de estudios de mercado ha seleccionado una muestra aleatoria de 1780 viviendas de la ciudad de Valencia obteniendo un valor medio muestral para la superficie útil de 84,3 m con una desviación típica muestral de 3,3 m. Esta misma empresa ha seleccionado otra muestra aleatoria de 400 viviendas en la ciudad de Castellón, obteniendo para los estadísticos muestrales anteriores unos valores de 97,3 y 8 m, respectivamente. a) Para un nivel de confianza del 95%, en qué ciudad el error cometido en la estimación de la superficie media de las viviendas es menor? Por qué? b) Manteniendo el mismo nivel de confianza del 95%, qué tamaño muestral sería necesario en la ciudad donde se ha obtenido en el apartado a) el error de estimación de la superficie media más elevado para que este error fuera el mismo que el de la otra ciudad? Indicar los supuestos que es necesario asumir. 3.- Un periódico titula un artículo como: "El 0% de mujeres de la Comunidad Valenciana han sufrido agresiones en su trabajo durante el último año". Un grupo de sociólogos encuesta a 4000 trabajadoras seleccionadas aleatoriamente, obteniendo como resultado que 755 de ellas las han sufrido. a) Contrastar la veracidad de la hipótesis anterior con un nivel de significación del 5%. b) Qué ocurriría si la hipótesis nula fuera "el 0% de mujeres de la Comunidad Valenciana han sufrido agresiones en su trabajo durante el último año" frente a la alternativa "menos del 0% de mujeres de la Comunidad Valenciana han sufrido agresiones en su trabajo durante el último año", suponiendo el mismo nivel de significación del 5%? 4.- Se quiere establecer si la estructura de la población asalariada en las provincias de la Comunidad Valenciana es homogénea respecto al sector de actividad en el que trabajan. Para un nivel de significación del 5 %, podría decirse, a partir de los siguientes datos, si la estructura del sector de actividad es homogénea, o bien cabe hablar de diferencias significativas? Especificar las hipótesis a contrastar. primario secundario Terciario Alicante Castellón Valencia

18 LICENCIATURA EN SOCIOLOGÍA EXAMEN DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS CIENCIAS SOCIALES II. ª CONVOCATORIA. Septiembre de 003 APELLIDOS NOMBRE GRUPO 1.- El número de taras en un metro de tela sigue una distribución de Poisson de media igual a 3. Cuál es la probabilidad de que en 300 metros aparezcan más de 850 taras? Indicar los supuestos necesarios para calcular dicha probabilidad..- Se ha obtenido una muestra aleatoria de 300 familias propietarias de una vivienda para uso no residencial (inversión) resultando que 105 de ellas mantienen la vivienda desocupada. a) Proporcionar un intervalo con un nivel de confianza del 90% para la estimación de la proporción de familias propietarias de una vivienda desocupada. Cuál es el error cometido en la estimación de dicha proporción? b) Para un nivel de confianza del 95% y si se pretende un valor máximo del 3% para el error cometido en la estimación de la proporción de familias propietarias de una vivienda desocupada, cuál tiene que ser el tamaño de la muestra de familias? Indicar los supuestos que es necesario asumir. 3.- Un grupo de estudiosos afirma que el numero medio de solicitudes que se registran en la COPUT sobre petición de vivienda financiada es de por día. Se supone que el comportamiento de la población estudiada sigue una distribución Normal. Para comprobar la veracidad de la hipótesis anterior, un grupo de expertos de la Universidad de Valencia selecciona aleatoriamente a 8 personas que entran en el registro con solicitudes obteniéndose una media de,5 y una desviación típica de 0,8. a) Es cierta la afirmación planteada con un nivel de significación del 5%? b) Qué ocurriría si la hipótesis nula fuera "media de solicitudes igual a " frente a la alternativa "mayor que solicitudes", suponiendo el mismo nivel de significación del 5%? 4.- Se quiere comprobar si la estructura por edades de las consumidores de servicios sanitarios está relacionada con la provincia de la Comunidad Valenciana en la que residen. Para ello se ha obtenido una muestra aleatoria de 1000 personas que ha arrojado los siguientes resultados: <16 años más de 65 Alicante Castellón Valencia Puede establecerse que la estructura de edades es independiente de la provincia de residencia, trabajando a un nivel de significación del 5 %? Especificar las hipótesis a contrastar. 17

19 LICENCIATURA EN SOCIOLOGÍA EXAMEN DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS CIENCIAS SOCIALES II. CONVOCATORIA DE JULIO DE 004. GRUPO F (TARDE) APELLIDOS NOMBRE 1.- Según el titular de un periódico, el 33% de los inmigrantes llegados en 003 a nuestro país consiguieron legalizar su situación. Calcular la probabilidad de que de 1000 inmigrantes recién llegados, al menos 300 consiguieran regularizar su situación. Indicar claramente qué supuestos se deben asumir para calcular dicha probabilidad. ( puntos).- Se desea estimar la proporción de familias valencianas que no han conseguido plaza para sus hijos en el centro educativo solicitado en primera opción. a) Determinar el tamaño de la muestra aleatoria de familias a seleccionar, si se pretende un nivel de confianza del 90% y un error máximo de estimación de dicha proporción del,6%. b) Finalmente se han seleccionado al azar 1000 familias con hijos en edad de escolarización, resultando que 300 de ellas no han obtenido plaza en el colegio que habían solicitado en primera opción. Obtener un intervalo para la estimación de dicha proporción con un nivel de confianza del 95%. (,5 puntos) 3.- Se sospecha que una empresa multinacional practica una política de discriminación salarial respecto a sus empleadas. Un sindicato ha seleccionado dos muestras aleatorias del salario mensual de 300 trabajadores y de 50 trabajadoras de la empresa. Para los primeros se ha obtenido un salario mensual medio de 1050 y una desviación típica de 450, mientras que para las segundas estos valores han sido de 91 y 350, respectivamente. A partir de esta información, se pide: a) Contrastar la hipótesis de que en esa empresa no hay discriminación salarial por género, es decir, que no hay diferencias en los salarios mensuales medios de los trabajadores y las trabajadoras, para un nivel de significación del 1%. b) Qué ocurriría si la hipótesis alternativa del contraste fuera que "el salario medio de los empleados es superior al de las empleadas", para un nivel de significación del 1%? (,5 puntos) 4.- La Comisión Europea está interesada en conocer el grado de apoyo de los ciudadanos a la Constitución Europea. Para ello, ha realizado encuestas en cada uno de los países miembros. En la siguiente tabla se muestran los resultados de las encuestas de España y de Reino Unido: Opinión Constitución Europea A favor En contra No contesta Total encuestados España Reino Unido

20 a) A partir de la tabla anterior, puede decirse que la opinión de los ciudadanos respecto a la Constitución Europea es homogénea en los dos países o bien cabe hablar de diferencias significativas? b) Información publicada en los últimos días en la prensa británica, afirma que tan sólo un 3% de ciudadanos del Reino Unido apoyan la Constitución Europea, un 41% está en contra y el resto no contesta. En base a los datos de la Encuesta del Reino Unido, contrastar la validez de la afirmación de la prensa británica. En ambos apartados, especificar las hipótesis a contrastar. (3 puntos) 19

21 LICENCIATURA EN SOCIOLOGÍA EXAMEN DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS CIENCIAS SOCIALES II. CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE DE 004. GRUPO F (TARDE) APELLIDOS NOMBRE 1.- Ante la celebración de la próxima Copa de América, una empresa constructora decide construir un complejo hotelero en una localidad próxima al mar. Para ello realiza un estudio del precio de las parcelas de m de esa localidad y llega a la conclusión de que dichos precios (en euros) siguen una distribución con media µ=1.800 y desviación típica σ =900. Si decide adquirir 100 parcelas de esa dimensión para la realización de su proyecto, cuál es la probabilidad de que tenga que pagar más de euros por la compra realizada?. Indicar claramente qué supuestos se deben asumir para calcular dicha probabilidad. ( puntos).- Se desea estimar cual es el precio medio de un viaje a Santo Domingo, durante el mes de Agosto y con una duración de 15 días, por persona. Para ello se realiza una encuesta a 100 agencias de viaje seleccionadas al azar y se obtienen los siguientes resultados: x = 70 ( euros); S = X 150 ( euros) a) Suponiendo una población con distribución Normal, obtener un intervalo para el precio medio (µ ) con un nivel de confianza del 90%. b) Si se desea estimar la proporción de personas que van a realizar dicho viaje (en ese periodo de tiempo y con dicha duración) con una confianza del 95% y un error de estimación del %, cuál debería ser el tamaño muestral considerado?. (,5 puntos) 3.- Se sabe que las notas obtenidas por los alumnos de primer curso de Sociología en Estadística II en dos ciudades X e Y siguen una distribución Normal. Obtenidas dos muestras independientes de las notas de dicha asignatura y titulación en X e Y, de tamaños n 1 =101 y n =10, respectivamente, se han obtenido los siguientes resultados: X = 7 ; SX = 9; Y = 6'5; SY = 4 a) Contrastar la hipótesis de que σ X 10 frente a la alternativa de que σ < X 10, con un nivel de significación del 5%. b) Contrastar la hipótesis de que las notas medias son iguales en ambas ciudades con un nivel de significación del 1%. (,5 puntos) 4.- Define el concepto de nivel de significación crítico o valor-p en un contraste de hipótesis. Para aclarar tu explicación, hállalo para el apartado b) de la pregunta 3. (1 punto) 5.- Cierto partido político X establece la hipótesis de que, en las próximas elecciones al Parlamento Europeo, el porcentaje de votantes se distribuirá como sigue: el 0% votará al partido A, el 30% a B, el 15% a C, el 5% a D y el 10% a E. Se ha encuestado a 00 votantes seleccionados al azar y su inclinación de voto ha sido: 45 indican que votarán a A, 50 a B, 40 a C, 45 a D y 0 a E. A partir de la información anterior, contrastar la hipótesis formulada por el partido X con un nivel de significación del 5%. ( puntos) 0

22 LICENCIATURA EN SOCIOLOGÍA EXAMEN DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS CIENCIAS SOCIALES II. CONVOCATORIA DE JUNIO DE 006. APELLIDOS Nombre Grupo F INSTRUCCIONES PARA LA CUMPLIMENTACIÓN DE LAS CUESTIONES TIPO TEST: PONER UNA CRUZ X EN LA RESPUESTA CORRECTA (TAN SÓLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA EN CADA CASO). EN CASO DE ERROR PONER UN CÍRCULO ALREDEDOR DE LA RESPUESTA EQUIVOCADA Y MARCAR CON UNA CRUZ LA CORRECTA. LA PUNTUACIÓN DE CADA UNA DE LAS CUESTIONES ES 0'5 PUNTOS SI SE ACIERTA, SI NO SE CONTESTA NO PUNTÚA Y SI SE CONTESTA MAL 0,15. CUESTIONES TIPO TEST (responder en esta hoja) 1.- Si θ ) es un estimador insesgado del parámetro poblacional θ, se verifica que: a) E ( θ ) ) = 0,donde E() se refiere a la media o valor esperado b) E ( θ ) ) = θ c) var ( θ ) ) = 0.- El estimador x (media muestral) es un estimador insesgado para: a) La media poblacional ( µ ) b) La varianza poblacional ( σ ) c) La cuasivarianza poblacional ( σ ' ) 3.- Sean θ 1 y θ dos estimadores de θ (cierto parámetro poblacional), de los que se conoce su sesgo y su varianza, siendo: θ θ sesgo ( θ 1) = ; var( θ1) = n n 3 θ sesgo ( θ ) = 0; var( θ ) = n Si se toma como criterio de selección el de menor error cuadrático medio (ECM), entonces: a) El estimador θ1 es preferible al estimador θ b) El estimador θ es preferible al estimador θ 1 c) Los dos estimadores son igualmente preferibles 4.- El estimador máximo-verosímil de la varianza a) La varianza muestral. b) La cuasivarianza muestral. c) La media muestral. σ de una población con distribución Poisson es: PROBLEMAS 1.- Se sabe que el número de turistas que visitan en un día laborable La Ciudad de las Artes y de las Ciencias de Valencia sigue una distribución con media µ =75 y desviación típica σ =35. Si se consideran al azar 5 días laborables, cuál es la probabilidad de que el número de turistas que hayan visitado dicho lugar en ese periodo de tiempo haya sido superior a 1795? (Indicar claramente qué supuestos se deben asumir para calcular esa probabilidad) (1,5 ptos.) 1

23 .- La asociación de vecinos de Patraix ha encargado un estudio a una empresa especializada para investigar la proporción de vecinos del barrio que rechaza la ubicación de la subestación eléctrica. Para ello, la empresa va a entrevistar a una muestra aleatoria de vecinos. a) Determinar el tamaño de la muestra a seleccionar si se pretende, para un nivel de confianza del 95%, que el error máximo en la estimación de dicha proporción sea del 4,9%. (1,5 ptos.) b) Finalmente, se realizan encuestas a 400 vecinos seleccionados al azar, obteniendo que 30 de los entrevistados rechazan la ubicación de la subestación eléctrica. Obtener un intervalo para la estimación de dicha proporción con un nivel de confianza del 99%. (1,5 ptos.) 3.- Se realiza un estudio sobre las variables: X= duración en minutos de los anuncios televisivos emitidos en cierta cadena en la franja horaria de 19h a 1h (Franja horaria 1) Y= duración en minutos de los anuncios televisivos emitidos en la misma cadena en la franja horaria de h a 4h (Franja horaria ) Suponiendo normalidad en ambas poblaciones se pide: a) Contrastar, con un nivel de significación del 4%, la hipótesis nula de que la duración media en la Franja horaria 1 es inferior o igual a la de la Franja horaria (es decir: H o : µ X µ Y ). Para realizar el contraste se obtienen dos muestras independientes una muestra en X de tamaño n 1 =80 y otra en Y de tamaño n =101, obteniéndose los siguientes resultados: X 1,5m S = 14 Y = 1m S = 17. = X Y (1,5 ptos.) b) Puede aceptarse la hipótesis nula de que la varianza de la duración en minutos de los anuncios en la segunda Franja horaria (de h a 4h, variable Y) es igual a 13 minutos (es decir: H o : σ Y = 13 ) con un nivel de significación del 5%? (1,5 ptos.) 4.- El Centro de Investigaciones Sociológicas está interesado en estudiar cómo han acogido los ciudadanos la noticia del anuncio de alto el fuego permanente por parte de ETA. Para ello, ha realizado encuestas aleatorias, una en municipios grandes y otra en municipios de tamaño mediano o pequeño, obteniendo los siguientes resultados: Acogida noticia Con esperanza Con No Sabe/ No escepticismo contesta i Tamaño municipio Municipios grandes Municipios medianos o pequeños n n=000 j En base a la información anterior, puede aceptarse que la noticia del alto el fuego permanente ha tenido la misma acogida para los ciudadanos de municipios grandes que para los ciudadanos de municipios medianos/pequeños, para un nivel de significación del 1%? Indicar el tipo de contraste, así como las hipótesis a contrastar. ( ptos.) n

24 LICENCIATURA EN SOCIOLOGÍA EXAMEN DE ESTADÍSTICA APLICADA A LAS CIENCIAS SOCIALES II. CONVOCATORIA DE SEPTIEMBRE DE 006. APELLIDOS NOMBRE Grupo F INSTRUCCIONES PARA LA CUMPLIMENTACIÓN DE LAS CUESTIONES TIPO TEST: PONER UNA CRUZ X EN LA RESPUESTA CORRECTA (TAN SÓLO HAY UNA RESPUESTA CORRECTA EN CADA CASO). EN CASO DE ERROR PONER UN CÍRCULO ALREDEDOR DE LA RESPUESTA EQUIVOCADA Y MARCAR CON UNA CRUZ LA CORRECTA. LA PUNTUACIÓN DE CADA UNA DE LAS CUESTIONES ES 0'5 PUNTOS SI SE ACIERTA, SI NO SE CONTESTA NO PUNTÚA Y SI SE CONTESTA MAL 0,15. CUESTIONES TIPO TEST (responder en esta hoja) 1.- Se sabe que estimador θ ), del parámetro θ, es insesgado y que además tiene como varianza ) 4 θ var ( θ ) =. Entonces, su Error Cuadrático medio (ECM) es: n ) a) 4 θ ECM ( θ ) = n b) ) 4 θ ECM ( θ ) = n c) Falta información para poder calcular el ECM.- Se considera a S como estimador para la varianza poblacional σ. Este estimador es: a) Insesgado b) Sesgado, con media igual a c) Sesgado, con media igual a σ. n 1 σ n 3.- Se considera a S (varianza muestral) y a S (cuasivarianza muestral) como posibles estimadores de la varianza σ de una población con distribución Normal. El estimador más preferible de los dos es: a). S ya que es un estimador insesgado de. S b) S ya que tiene menor ECM que c) Los dos estimadores son igualmente preferibles σ, mientras que S es sesgado 4.- Para analizar la opinión (a favor o en contra) de los lectores de un determinado periódico sobre un tema de actualidad, éste pone una encuesta en internet, obteniendo así la respuesta de 300 internautas que han querido contestar. Puede considerarse que las 300 observaciones recogidas mediante este procedimiento constituyen una muestra aleatoria simple de la opinión de los lectores de ese periódico? a) Sí, ya que se ha obtenido una muestra grande b) No, ya que no se cumple la condición de independencia entre las unidades seleccionadas c) No, ya que no todas las unidades tienen la misma probabilidad de ser seleccionadas 3

25 PROBLEMAS 1.- Se considera que el número diario de ejemplares vendidos de una determinada publicación en un quiosco es una variable aleatoria que se distribuye según una Poisson de media 30. Obtener, razonadamente, la probabilidad de que en los próximos 10 días el número total de ejemplares vendidos en ese quiosco no supere los (Indicar claramente qué supuestos se deben asumir para calcular esa probabilidad) (1,5 ptos.).- a) Se desea estimar el importe medio de las hipotecas concedidas a las familias para la adquisición de su vivienda. Para ello, se pregunta a una muestra aleatoria de 6 familias cuál es el importe de la hipoteca sobre su vivienda, obteniéndose para las mismas un valor medio de euros y una desviación típica de euros. Se supone que la distribución del importe de una hipoteca para vivienda sigue una distribución Normal. Obtener un intervalo para estimar el importe medio de una hipoteca para la compra de vivienda con un nivel de confianza del 95%. (1,5 ptos.) b) Qué tamaño (suponemos que va a ser muy grande y superior a 10) tendría que tener la muestra a seleccionar para que el error de estimación en el importe medio de una hipoteca fuera de 3000 euros, manteniendo el mismo nivel de confianza del apartado anterior. Indicar si es necesario asumir algún supuesto adicional. (1,5 ptos.) 3.- Una cadena de producción de motores Diesel debe revisarse cuando el porcentaje de motores que presentan problemas antes de los 6 meses supera el 5%. Según el mecanismo seguido por el departamento de control de calidad se hace un seguimiento a 300 motores, elegidos aleatoriamente, de los que se detectan 18 con problemas, se pide: a) Averiguar si debe revisarse el sistema de producción a un nivel de significación del 4% (es decir H 0 : p 0,05). (1,5 ptos.) b) Se puede aceptar la hipótesis nula de que la varianza de la duración de los motores diesel es igual 5, con un nivel de significación α = 5%, si, analizada una muestra aleatoria simple de la duración de 31 motores, se ha obtenido que la desviación típica es igual a 1 meses ( S =1 )? (Suponer que la distribución de la duración de los motores es Normal). (1,5 ptos.) 4.- Transcurridos unos meses desde la puesta en marcha de 5 nuevos canales digitales de televisión C 1, C, C 3, C 4, y C 5, se desea contrastar la hipótesis de que el porcentaje de preferencias de los espectadores es: el % prefiere C 1, el 15% C, el 35% C 3, el 10% C 4 y el 18% C 5. Si realizada una encuesta a 00 espectadores de dichos canales seleccionados al azar, 35 afirmaron preferir el C 1, 40 el C, 67 el C 3, 1 el C 4 y 37 el C 5, contrastar la hipótesis formulada con un nivel de significación α = 5%. Indicar el tipo de contraste, así como las hipótesis a contrastar. ( ptos.) 4