Lectura 4. Ayudante: Guilmer González Dia 13 de septiembre, 2012

Transcripción

1 Geometría Analítica I Lectura 4 Ayudante: Guilmer González Dia 13 de septiembre, Teorema de Tales El teorema que nos interesa se enuncia de la siguiente forma: Consideremos tres rectas paralelas y dos trasnversales a éstas en los puntos A, B, C ya, B, C como se muestra en la figura de abajo entonces se cumple que BC = A B B C Su demostración la veremos de una manera analítica muy interesante, y claro sus implicaciones. Primero hagamos un caso: cuando lo segmentos de la transversal es partido por la paralela en partes iguales. Es un caso menos improbable, pero partamos del caso cuando las rectas paralelas están separadas a igual distancia. Resultado Veamos que: si se tienen tres o más rectas paralelas que determinan segmentos iguales por una transversal (observe la figura de abajo), entonces, cualquier otra transversal también determina segmentos iguales. 1

2 . Sean A, B, C y D las intersecciones de las paralelas con la transversal, de manera que = BC = CD. Sean A, B, C y D las intersecciones de la otra transversal con las paralelas. Debemos ver que A B = B C = C D. Tracemos segmentos paralelos a A D en los puntos A, B y C. Observe que se forman tres triángulos, P, BCQ y CDR. Observe que por construcción son congruentes (criterio ALA). Esto implica que AP = BQ = CR. Por otra parte, los cuadriláteros AA B P, BB C Q y CC D R son paralelogramos (así los constuimos) y recuerde que en un paralelogramo sus lados opuestos son iguales, por lo que se concluye que: A B = B C = C D. Ahora bien, consideremos tres paralelas cualesquiera y dos transversales siguiendo la figura anterior, debe cumplirse que BC = A B B C el teorema de Thales nos habla de una proporción entre segmentos. Caso 2: Vamos a hacer una prueba interesante, vamos a partir los segmentos y BC y respectivamente A B y B C por paralelas. Consideremos el segundo caso en que puede ser partido igualmente por m líneas y n líneas para el segundo. 2

3 . Al hacerlo, tenemos que /BC = m/n y si aplicamos el primer caso para las paralelas correspondientes, tenemos A B B C = m n Observación Un detalle de ésta prueba es que estamos pidiendo partir en m partes y BC en n, con la misma unidad de medida. Generalicemos la idea. Consideremos una unidad de medida u, y dividamos el segmentos en m partes, BC no tiene por qué ser dividida por un número entero de partes (de la misma unidad u elegida), pero sí podemos elegir un punto C 1 entre BC de manera que acepte un número entero de partes iguales y que C 1 C sea menor a la unidad u elegida. Ahora bien,por C 1 vamos a trazar una recta paralela a AA. La intersección con la segunda transversal es C 1. Al hacer esto, estamos en el primer caso en que lo segmentos se dividen por enteros y ocurre que = A B BC 1 B C 1 Ahora bien, tomemos un refinamiento de ésta unidad, digamos la mitad u 1 = u/2(o un cuarto, un octavo..., no perderemos generalidad) y dividamos 3

4 ahora por esa nueva unidad u 1, el número de partes es 2m y BC 1 quedará dividido por 2n partes. Sin perder generalidad, podemos suponer que con ésta nueva unidad de medida, es más pequeña que el segmento C 1 C, por que que tomemos un punto C 2 de manera que BC 2 tiene 2n+1 partes iguales (observe que vamos a tomar un cachito más). Por C 2 tracemos una recta paralela a AA, que cortará a la transversal A C en C 2. De nueva cuenta que el caso primero, tendremos que = A B BC 2 B C 2 Ahora repitamos éste procedimiento k veces, obtendremos una colección de puntos C 2, C 3,..., C k del segmentos BC y los correspondientes puntos C 2, C 3,..., C k para el segmento B C k, de manera que = A B BC k B C k Observe que la longitud de C k C tiende a ser cero, y de igual manera lo hace C k C, por lo que el la longitud del segmento BC k tiende a ser la longitud de BC; y de igual manera, la longitud del segmento B C k tiende a ser la longitud de B C. Con ello concluimos que BC = A B B C 4

5 En algunos libros se muestra una versión sencilla: En un triángulo C, sean D ye los puntos entre yac respectivamente, tals que DE es paralela a BC. Entonces AD = AC AE la prueba se sigue de lo inmediato anterior. 2 Sobre las medianas Partamos de conceptos e ideas. Llamaremos mediana al segmento que parte de un vértice de un triángulo hacia el punto medio del lado opuesto. Resultado Un resultado es el siguiente, si consideramos las medianas de un triángulo, estás son concurrentes; es decir, se intersectan en un sólo punto, que muchas veces se le conoce como baricentro, o centroide, o gravicentro. Demostración Consideremos el triángulo C, tracemos las medianas por A y por C. Al punto de intersección lo llamamos G (por qué se cortan?). Ahora bien, sea P la mitad del segmento AG, y Q la mitad del segmento CG, como se muestra en la figura de abajo 5

6 . Observe que MN y QR son paralelos e iguales entre sí por ser paralelos a AC e iguales a su mitad. Puede aplicar Thales a alguna versión sencilla (revise el libro de Geometría de la biliografía, o algun otro). Con esto, el cuadrilátero MNQR es un paralelogramo, de donde G es el punto medio de las diagonales. Observe que AR = RG = GN, y que CG = QG = GM; es decir, tenemos una proporción 2:1 con AG/GN, y CG/GM. Procedemos de manera análoga. Tracemos las medianas AN y BP, las cuales se cortan en G, es un punto. Sea R el punto medio entre AG y S el punto medio entre B y G. Nuevamente observamos que NP y R S son paralelos a y miden la midad de el. Nuevamente, NPR S es un paralelogramo con G punto medio de las diagonales. Con ésto, se cumple que AR = R G = G N y que BS = SG = G P. 6

7 Lo interesante de esta prueba es observar la relación en que G parte a la mediana. Preguntas: 1. Puede coincidir una de las medianas del triángulo con un lado? 2. Se puede afirmar que el baricentro de un triángulo es un punto interior de dicho triángulo? 3. Puede coincidir el baricentro de un triángulo con alguno de sus vértices? 3 Sobre las bisectrices La bisectriz entre dos rectas, está caracterizado por los puntos que se encuentran a la misma distancia de esas rectas. Hemos de notar que cuando trazamos el segmento de menor distancia entre un punto y una recta, éste es perpendicular a la recta. Un resultado inmediato está al considerar las bisectrices de un triángulo, es que éstas son concurrentes, el punto de concurrencia es el incentro del triángulo, esto es, se forma dentro del triángulo un círculo cuyo centro es ése punto y tangente a los lados. Preguntas: 1. Puede el incentro encontrarse en el exterior del triángulo? 7

8 Ahora bien, un detalle interesante, es que podemos considerar las bisectrices exteriores de las rectas que se forman al prolongar los segmentos de los triángulos. Si a un triángulo C, trazamos la bisectriz interior y exterior a C, la primera corta al segmento en P y la segunda en Q (observe la figura de abajo) Se cumple que AP/PB = CA/CB y que AQ/QB = CA/CB. De ambas relaciones tenemos que AP PB = AQ BQ Veamos la primera parte. Observe que área(ap C)/área(P BC) = AP/P B, pues la altura de ambos triángulos coinciden. Ahora bien, basta observar que él área de esos triángulos se pueden escribir sobre el segmento CA y CB respectivamente. Ahora bien, cuál es la altura? La altura está sobre la bisectriz CP, en P claro. Con esto, tenemos que área(apc)/área(pbc) = CA/CB. Así, hemos probado que AP PB = CA CB Un razonamiento análogo para los triángulos CAQ y CBQ nos conduce a que y con ello, mostramos que AQ QB = CA CB AP PB = AQ BQ 8

9 Lo interesante de ésto, es la proporción en que las bisectrices parten a. En general, si dos puntos P, Q, parten a un segmento en la razón AP PB = AQ BQ se dicen que son armónicos conjugados. 4 Sobre la mediatriz La mediatriz de un segmento, es el conjunto de puntos que se encuentran a la misma distancia de los extremos del segmento. Observe que la mediatriz es una recta perpendicular al segmento y que pasa por el punto medio de éste. Al considerar las mediatrices de un triángulo, observamos que son concurrentes, el punto de concurrencia se conoce como circuncentro del triángulo, el centro de la circunferencia que pasa por los vértices del triángulo. Esbozar la prueba, hacer comentarios claves. Preguntas: 1. Puede el circuncentro encontrarse en el exterior del triángulo? 2. En qué tipo de triángulos se encuentra dentro y en cuáles fuera? 5 Sobre las alturas La altura de un triángulo es básico para encontrar el área. Al menos eso siempre lo hemos considerado al transformar nuestro problema a uno conocido, un triángulo rectángulo. Consideremos un triángulos y las álturas de éste. Observamos un resultado interesante: las alturas son concurrentes, ese punto se le conoce como el ortocentro. Esbozar la prueba, hacer comentarios claves. Preguntas: 9

10 1. Puede el ortocentro encontrarse en el exterior del triángulo? 2. En qué tipo de triángulos se encuentra dentro y en cuáles fuera? 3. Qué ocurre en un triángulo rectángulo? 10