Semana 5. Semana 5. Congruencia de triángulos Congruencia de triángulos

Transcripción

1 ongruencia de triángulos ongruencia de triángulos el tópico anterior sabemos que, cuando se aplica algún movimiento sobre una figura, obtenemos otra igual, en forma y tamaño, que la original. Veamos, por ejemplo, que cuando sacas una fotocopia a tu cédula (sin reducciones ni ampliaciones), esta es similar a la original. Puedes chequear que al superponerla con la copia coinciden, es decir, son congruentes. Posteriormente afinaremos esta idea con más ejemplos que evidencien que la congruencia está intrínsecamente relacionada con nuestro quehacer diario. La idea central de este tema es establecer unos criterios de congruencia que nos permitan determinar cuándo dos triángulos son congruentes; para ello usaremos un modelo que nos facilite la construcción de estos. Resuelve el crucigrama que, aparte de divertirte, te permitirá repasar algunos conceptos claves Verticales 1. Isometría que representa una imagen reflejada en un espejo. En plural. 2. Una traslación queda definida si conocemos su distancia y 4. Uno de los mosaicos que aparece en la alhambra de Granada. 5 Movimiento que realizas cuando abres o cierras una puerta. 190 Horizontales 3. Se conservan las distancias en las rotaciones, traslaciones y simetrías. 6. Una rotación queda determinada si se conoce su centro de giro y Triángulo que tiene dos lados iguales. 8. Triángulo que tiene sus ángulos menores de 60º

2 ongruencia de triángulos uando una pieza del auto se deteriora, por ejemplo un pistón, se debe buscar en el mercado otra pieza exactamente igual a la dañada, para que el reemplazo pueda hacerse de manera eficiente y rápida. mbas piezas, la sustituida y la nueva, deben ser congruentes, es decir, deben tener la misma forma y tamaño. Siguiendo con esta idea, en la industria se emplean tecnologías para la fabricación de envases plásticos que utilizan un molde de acero, una pieza hueca en la que se vierte el plástico fundido para que adquiera su forma. Para esto, los plásticos se introducen a presión en los moldes y así las maquinarias producen grandes series de piezas. ómo son las piezas entre ellas? Figuras congruentes En un plano, dos figuras P y P son congruentes si una es la imagen de la otra mediante una o varias isometrías, en cuyo caso escribimos: P = P. Para expresar la congruencia se usa el símbolo = y se lee es congruente con. Naturalmente, al coincidir las figuras, los lados y ángulos coinciden, entonces se dice que dos segmentos o lados, son congruentes si tienen igual longitud. os ángulos son congruentes si al superponerlos tienen la misma medida. Observemos las figuras 37 y 38. F E Figura 37 Figura 38 En la figura 37 denotamos el =. Para la congruencia de segmentos lo denotamos así: = Para comprobar que dos polígonos son congruentes, debemos mostrar que sus lados y ángulos correspondientes guardan congruencia. Los lados y ángulos que coinciden se llaman correspondientes u homólogos. Por ejemplo, los polígonos de la figura 39 son congruentes, lo cual expresamos así: E = LMNOP E LMNOP O E N P L M Figura

3 ongruencia de triángulos riterios de congruencia de triángulos ómo determinamos si dos triángulos son congruentes? iertamente si conoces los tres ángulos y los tres lados de cada triángulo y compruebas que las medidas de estos son iguales, garantizas la congruencia entre ellos. Pero, será necesario comparar todos esos elementos para demostrar la congruencia?, se podrá demostrar la congruencia considerando menos elementos? continuación, te ofreceremos los criterios de congruencia; sin embargo, te proponemos que, para profundizar más al respecto, consultes la sección Saber más. riterio de los tres lados o criterio LLL (Lado-Lado-Lado) os triángulos son congruentes si sus tres lados son respectivamente congruentes. Observa los triángulos UVW y XYZ (figura 40). W Y X U V Z Figura 40 omo UW = XZ, UV = XY, VW = YZ, entonces UVW = XYZ. Se deduce que U = X, V = Y y W = Z riterio de dos lados y un ángulo o criterio LL (Lado-Ángulo-Lado) os triángulos son congruentes si son respectivamente congruentes (o iguales) dos de sus lados y el ángulo comprendido entre ellos. onsideremos los triángulos y EF Figura 41 E F e la figura 41 tenemos que = E, = F y el =, dado que se ha establecido una correspondencia, decimos que los triángulos son congruentes = EF; de esta manera, tenemos que, los tres pares de lados y los tres ángulos son congruentes. Escribimos el resto de las congruencias: = EF, = E, = F riterio de dos ángulos y un lado o criterio L (Ángulo-Lado-Ángulo) os triángulos son congruentes si tienen un lado congruente y los ángulos con vértice en los extremos de dicho lado también son congruentes. estos ángulos se les llama adyacentes al lado. Observa los triángulos OPQ y RST (figura 42). Q T 192 O P R S Figura 42

4 ongruencia de triángulos En los triángulos se tiene que O = R, P = S y OP = RS. Se concluye que OPQ = RST. Podemos deducir que Q = T, OQ = RT y QP = TS hora, apliquemos estos conceptos. La figura 43 representa un triángulo isósceles. emostrar que = E, sabiendo que = E E base Figura 43 Por definición, el triángulo isósceles tiene dos lados iguales; por tanto, tenemos que =. También, por definición, el triángulo isósceles tiene los ángulos de la base iguales, por tanto, =. Si organizamos toda esta información, tenemos dos pares de lados y un ángulo comprendido entre ellos respectivamente congruentes. sí que, por el criterio LL, concluimos que los dos triángulos son congruentes: = E. Intenta completar y denotar el resto de los elementos que faltan. Saber más Para profundizar los criterios de congruencias, te recomendamos consultar la siguiente dirección web: Verontenido.aspx?GUI= &I= Indica cuáles de las siguientes afirmaciones son verdaderas y cuáles son falsas. Justifica en cada caso. a) Todos los triángulos equiláteros son congruentes.( ) b) Un triángulo isósceles puede ser congruente con uno escaleno.. ( ) c) Los triángulos que se forman al unir el centro con cada uno de los vértices en un hexágono regular son congruentes ( ) d) os triángulos rectángulos cuyos catetos son iguales son congruentes.( ) 2. En cada caso, los triángulos son congruentes. Por qué? Establece el criterio utilizado y denota la congruencia entre los triángulos dados. signa letras a los vértices de los triángulos. a b c d 193

5 ongruencia de triángulos 3. En el cuadrilátero se tiene que = y =, entonces = Por qué? Figura Para demostrar que los triángulos O y O de la figura 45 son congruentes, es necesario saber que: a) = b) <O = <O c) // d) O = O y = e) O = O y O = O Selecciona la opción correcta. O Figura 45 Mosaicos de Escher Maurits ornelis Escher ( ), un holandés nacido en Leewarden, conocido por sus famosas figuras imposibles, cuando se planteó el problema de recubrir el plano con un mismo motivo, partiendo de una figura geométrica muy sencilla, a la que va aplicando sucesivas transformaciones, llega a la construcción de un motivo que rellena el plano. El mosaico se genera después, mediante giros, simetrías y traslaciones. Figura Figura 47

6 ongruencia de triángulos asándose en la propiedad recubridora de los triángulos equiláteros, Escher diseñó un mosaico (figura 47), donde cada pez está creado a partir de un triángulo equilátero; por lo tanto, es necesario que seis peces se unan por la cola para formar 360º. Se alternan tres colores: rojo, azul y amarillo. ontinúa esta lectura en el multimedia del IRF de este semestre y en la siguiente dirección web: ompleta el dibujo de la alfombra (figura 48), sabiendo que las líneas oscuras son ejes de simetría. olorea la alfombra de manera que se respete también la simetría del color. Figura 48 Los hombres construimos demasiados muros y no suficientes puentes. Isaac Newton 195