Hidrostática. Teniedo el cuenta el sistema de coordenadas indicado, la ecuación escalar se plantea. unicamente en dirección vertical:

Transcripción

1 Problemas propuestos y resueltos mecánica de fluidos Elaborado por: Profesora Pilar Cristina Barrera Silva Física, Mg. Educación Hidrostática Física, Tipler Mosca, quinta edición, editorial Reverté Una corteza esférica de cobre con un diámetro exterior de 1,0 cm flota sobre agua con la mitad de su volumen por encima de la superficie del agua. Determinar el diámetro interior de la corteza. Nota: Este ejercicio lo encontramos resuelto en youtube, en el canal: fisicartes-picriba con el nombre corteza esférica de cobre flotando en agua. En esta situación se tiene en cuenta la primera Ley de Newton ya que la corteza esférica se encuentra en equilibrio. Realizando el diagrama de cuerpo libre sobre la corteza: unicamente en dirección vertical: F : E mg = 0 reemplazando el empuje como: E = ρ "# V "#$%&'() g Observamos que las únicas fuerzas que actúan sobre la corteza son el empuje debido al fluido, en este caso agua y el peso: La ecuación vectorial de fuerzas es: E + W = 0 Teniedo el cuenta el sistema de coordenadas indicado, la ecuación escalar se plantea entonces la ecuación escalar quedaría: ρ "# V "#$%&'() g mg = 0 (1) Para la situación indicada en el ejercicio el volumen sumergido es: V "#$%&'() = V "#$% = ( )= " d () Fijemonos que en esta ecuación se ha expresado el volumen de la esfera en términos del diámetro, ya que d = R entonces: V = = Ahora expreso el valor de la masa de la corteza esférica: Ya que la masa es el producto de la densidad por el volumen se tiene: m = ρ "#$% V "#$%&$ V "#$%&% = ρ "#$% ( d d ) (3)

2 El cobre solo se encuentra distribuido entre los radios 𝑅 y 𝑅 como se ilustra en la figura con la sección coloreada en verde claro. Reemplazando estos valores de voumen sumergido () y masa (3) en la ecuación escalar de fuerzas la número (1) tenemos: 𝜌"# 𝑑 𝜌"#$% 𝑑 𝑑 = 0 " Nótese que la gravedad se ha eliminado ya que aparece en los dos términos Para resolver es posible eliminar 𝜋/6 ya que aparece en cada término y la ecuación se puede expresar entonces como: eliminando el paréntesis: 1 𝜌"# 𝑑 𝜌"#$% 𝑑 𝑑 = 0 1 𝜌"# 𝑑 𝜌"#$% 𝑑 + 𝜌"#$% 𝑑 = 0 despejando el diametro 𝑑 = 𝑑 ( "#$% "# "#$% ) Reemplazando en esta ecuación: 𝑑 = 1,0 𝑐𝑚, 𝜌"#$ = 8,93 " 𝑦 𝜌"# = 1,00𝑔/𝑐𝑚 Se obtiene 𝑑 = 11,8 𝑐𝑚 Nota: Este ejercicio lo encontramos resuelto en la pestaña de este sitio virtual llamada videos Un cubo de madera de 0 cm de lado y que tiene una densidad de 0,65 X103 kg/m3 flota en agua. (a) Cuál es la distancia de la cara superior del cubo al nivel del agua? (b) Qué peso de plomo tiene que ponerse sobre la parte superior del cubo para que éste esté justo al nivel del agua? (suponer que la cara superior del cubo permanece paralela a la superficie del agua) 15.9 Una esfera de plástico flota en agua con 50% de su volumen sumergido. Esa misma esfera flota en aceite con 40% de su volumen sumergido. Halle la densidad del aceite y la densidad de la esfera. El diagrama de cuerpo libre en las dos situaciones es similar: En agua: 𝜌"# 0,5𝑉𝑔 𝜌"#$% 𝑉𝑔 = 0 Entonces:𝜌"#$% = 0,5𝜌"# = 500 𝑘𝑔/𝑚

3 En aceite: Entonces: ρ "#$%# = "#$%, = "", ρ "#$%# 0,4Vg ρ "#$% Vg = 0 = 150 kg/m Nota: se esperaría un dato diferente para el porcentaje sumergido en aceite, ya que la densidad determinada para este fluido resulta mayor a la del agua Una tabla de estireno tiene un espesor de 10 cm y una densidad de 300 kg/m 3. Cuál es el área de la tabla si flota en agua dulce cuando un nadador de 75 kg está sobre ella? Un vaso de precipitado de masa 1 kg contiene kg de agua y descansa sobre una balanza. Un bloque de kg de aluminio (densidad,70x10 3 kg/m 3 ) suspendido de un dinamómetro se sumerge en el agua, halle las lecturas de ambas balanzas Un cubo hueco de arista a está medio lleno de agua de densidad ρ. Halle la fuerza ejercida por el agua sobre una cara del cubo (los bordes del cubo son tanto horizontales como verticales) Un bloque de madera de masa 1,5 kg flota sobre el agua con el 68% de su volumen sumergido. Un bloque de plomo se sitúa sobre la madera y ésta se sumerge completamente. Halle la masa del bloque de plomo Una corteza esférica de cobre con un diámetro exterior de 1 cm flota sobre agua con la mitad de su volumen por encima de la superficie del agua. Halle el diámetro interior de la corteza Un bloque de metal de 10 kg que mide 1cmX 10cmX10cm se suspende de un dinamómetro y se sumerge en agua, como se en la figura, el lado de 1 cm está vertical, y la parte superior del bloque se encuentra a 5,0 cm de la superficie del agua. (a) Cuáles son las fuerzas sobre la parte superior e inferior del bloque? (considere la presión atmosférica

4 P = 1,013X10 Pa) (b) halle la lectura del dinamómetro (c) Muestre que la fuerza de flotación es igual a la diferencia entre las fuerzas en la parte superior y en la parte inferior del bloque. Problema 14.18, Sears Zemansky, volumen 1, once edición. Imagine que le encargan diseñar un tanque de agua cilíndrica presurizado para una futura colonia en Marte, donde la aceleración debida a la gravedad es de 3,71 m/s. La presión en la superficie del agua será de 130 kpa, y la profundidad del agua será de 14, m. La presión del aire en la construcción afuera del tanque será de 93 kpa. Halle la fuerza neta hacia abajo que el agua y el aire interior y el aire exterior ejercen sobre la base plana del tanque (área=,00m ). Sobre la base del tanque actúan 3 fuerzas: F1 de arriba hacia abajo debida a la presión por unidad de área del agua dentro del tanque, el peso de la base (esta no se tiene en cuenta ya que el enunciado indica que fuerzas se tienen en cuenta de manera explícita) y la tercera fuerza de abajo hacia arriba debida a la presión por unidad de área que ejerce el aire por fuera del tanque sobre la base del mismo. En consecuencia la fuerza neta en dirección vertical negativa sobre la base del tanque sin tener en cuenta el peso de ésta es: F neta vetical en la base =-F1 + F= -(P at +ρgh)a+p exterior A= - (130 * * 10 3 * 3,71 * 14,), * 10 3 *,00=-1,8 * 10 5 N Hidrodinámica Sears Zemansky, volumen 1, once edición Sustentación en un avión. El aire fluye horizontalmente por las alas de una avioneta de modo que su rapidez es 70,0 m/s arriba del ala y 60,0 m/s debajo. Si la avioneta tiene una masa de 1340 kg y un área de alas de 16, m. Qué fuerza vertical neta (incluida la gravedad) actúa sobre la nave? La densidad del aire es de 1, kg/m La figura muestra un tanque de agua con una válvula en el fondo. Si esta válvula se abre, cuál es la máxima altura que alcanza la corriente de agua al salir de lado derecho del tanque? Suponer que h=10 m, L=,0 m y θ = 30 y que el área de la sección transversal en el punto A es muy grande comparada con la del punto B.

5 Hallo la velocidad de salida del agua en el punto B, aplicando Bernoulli entre A y B y ubicando el cero de referencia en la parte superior del tubo horizontal: P " + ρgh = P " + ρglsenθ + ρv Eliminado la presión atmosférica y la densidad, al despejar: v = 13,3 m/s, ahora la altura máxima alcanzada por el agua es: y á"#$ = " Reemplazando los valores numéricos: y á. =, 5 m