Geodesia Física y Geofísica

Transcripción

1 Geodesia Física y Geofísica I semestre, 2016 Ing. José Francisco Valverde Calderón jose.valverde.calderon@una.ac Sitio web:

2 Introducción Nota: el gráfico muestra un esquema conceptual ideal, no quiere decir que siempre las superficies mostradas son paralelas o que ese es el comportamiento de las normales!! h H N H O N Terreno Geoide Cuasi-Geoide Elipsoide Para aprovechar las ventajas del posicionamiento GNSS en las aplicaciones prácticas, se requiere determinar el geoide (cuasigeoide), de forma que: H O = h-n H N = h -

3 Introducción Un modelo geoidal muestran la separación entre el elipsoide de referencia y el geoide, es decir la ondulación del geoide

4 Introducción Cuando se elabora un modelo geoidal, estos deben ser validados. Comúnmente esta validación se hace comparando con alturas conocidas Tomado de:

5 Introducción Métodos para el calculo de un modelo geoidal: 1.Métodos Astro-geodésicos: basado en datos de observaciones astronómicas, se obtiene la desviación de la vertical y luego N 2. Métodos gravimétricos: analizan la magnitud del vector de aceleración de la gravedad a través de la teoría del potencial; conduce a obtener de ondulaciones de geoide absolutas 3.Aplicando métodos geométricos: se basan en la determinación de alturas elipsoidales h (GNSS), alturas ortométricas H (nivelación geométrica), con lo que se calcula el valor de N. 4.Mediante métodos dinámicos u orbitales: los cuales analizan las desviaciones de las órbitas reales de los satélites artificiales (órbitas perturbadas) en relación con la orbita teórica o calculada 5.Mediante altimetría satelital 6.Mediante mediciones satélite satélite

6 Introducción Tarea fundamental: determinar la forma y el tamaño de la Tierra. Se analizan las observaciones efectuadas sobre esta Formulación de un problema de valor limite o de frontera (determinar una función armónica (T=0) en el exterior de una superficie de frontera S (en este caso, el geoide)) En esta superficie se conocen ciertos valores, como la deflexión de la vertical, números geopotenciales, anomalías de gravedad Estas cantidades son las observaciones de las cuales se dispone para el calculo del geoide (cuasi-geoide) Las mediciones satelitales proveen información de onda larga. Mediciones regionales dan información de onda media. Mediciones terrestres de alta densidad proveen longitudes de onda corta, entre 5-10 km, si se usa gravimetría aerotransportada

7 Potencial anómalo de la Tierra W es la suma de V y V es armónico fuera de las masas terrestres y dentro de estas satisface la ecuación de Poisson Se definió el concepto de elipsoide normal, de potencial de gravedad normal (U) y la aceleración de la gravedad normal () A las pequeñas diferencias entre el potencial de gravedad real (W) y el potencial de gravedad normal (U) se le conoce como POTENCIAL ANÓMALO o POTENCIAL DE PERTURBACIÓN (T), de manera que: T=W-U

8 Anomalías de gravedad Considerando el vector de gravedad g en el punto P sobre el geoide y el vector de gravedad normal en el punto Q sobre el elipsoide normal, el vector de anomalía de gravedad es: La diferencia de magnitud del vector de anomalía de gravedad se conoce como anomalía de gravedad A la diferencia de dirección se le conoce como desviación de la vertical g g P g g P Q Q

9 Vector de perturbación de gravedad Se puede comparar los valores de la gravedad real y la gravedad normal en el mismo punto P (sobre el terreno) A la diferencia de ambos se le denomina vector de perturbación de gravedad g g P P La diferencia de magnitud es la perturbación de gravedad La diferencia en dirección es la desviación de la vertical.

10 Reducciones de gravedad La gravedad medida en la superficie física de la Tierra, no puede compararse con la gravedad normal sobre el elipsoide Se reduce la gravedad para: 1. Que la gravedad g este referida al geoide (ver definición de g) 2. Que no hayan masas fuera del geoide (T armónico fuera del geoide) 3. Que el geoide encierre las masas terrestres Debido a las abruptas variaciones en los valores de densidad (muchas veces esta no se conoce) se asume un valor de = 2.67 gr/cm 3 Procedimiento: Eliminar las masas topográficas fuera del geoide o correrlas por debajo del nivel del mar Bajar la medición gravimétrica del terreno al geoide (de P a P) Restaurar el terreno

11 Reducción de Bouguer El propósito de la reducción de la placa de Bouguer es la eliminación de las masas topográficas (masas sobre el geoide) PLACA DE BOUGUER Suponer que el área alrededor de la estación gravimétrica P es totalmente plana y horizontal. Suponer que las masas entre en geoide y la superficie terrestre tienen una densidad constante. Expresión de la atracción de la placa de Bouguer de radio infinito. Considerando la densidad como = 2.67 gr/cm 3, se tiene: A 0,1119 H mgal B AB 2 kh

12 Reducción de Bouguer La eliminación de la topografía equivale entonces a restar el efecto de la atracción de la placa de Bouguer a la gravedad observada. A esta se le llama Reducción incompleta de Bouguer. Para completar la reducción, se debe aplicar la reducción de aire libre, que lleva la estación del terreno al geoide. Reducción de aire libre Para una reducción teóricamente correcta de la gravedad al geoide, se necesita conocer el gradiente vertical de la gravedad (g/h). Si g es observado en la superficie de la Tierra, el valor g 0 referido al geoide es obtenido mediante una expansión en serie de Taylor: g g g H... 0 H

13 Reducción de aire libre Donde H es la altura entre P que es la estación gravimétrica en el terreno y P que es el punto en el geoide. Suponiendo que no hay masas sobre el geoide y despreciando términos de grado superior a uno, se tiene: g g F 0 F g H Al término F se le conoce como REDUCCION DE AIRE LIBRE al geoide Considerar que asumir la no existencia de masas sobre el geoide se interpreta como que tales masas han sido matemáticamente removidas, por lo que la reducción es en efecto realizada en aire libre H

14 Si se efectúa un proceso en el cual se eliminan las masas topográficas y se aplica la reducción de aire libre, esta se conoce como la Reducción Completa de Bouguer. El resultado es la gravedad de Bouguer sobre el geoide: g g A F B Donde g es la gravedad medida, F es la reducción de aire libre y A B es la reducción de la placa de Bouguer Gravedad medida en el terreno Menos la atracción de la placa de Bouguer Mas la reducción de aire libre B g -0,1119H +0,3086H Gravedad de Bouguer en el Geoide gb = g + 0,1967H

15 Reducciones de gravedad Como ya se tiene el valor de la gravedad en el geoide, se obtiene el valor de la anomalía de gravedad al restar el valor de g B y el valor de la gravedad normal: Anomalías de Bouguer g g B Sin embargo, el uso de la reducción de la placa de Bouguer trae un inconveniente: al considerar el terreno plano, habrán desviaciones entre la topografía real y la placa de Bouguer El considerar esto es lo que se conoce como CORRECCIÓN DE TERRENO

16 Reducciones de gravedad Si a la gravedad observada se le suma la reducción de aire libre, se tiene: Se tiene la siguiente anomalía de gravedad g g AL AL A esta se le conoce como ANOMALIA DE AIRE LIBRE. La anomalía de aire libre refiere el valor de gravedad al nivel del mar.

17 Corrección de Terreno Para mejorar la reducción de Bouguer, debido a la no eliminación de masa existente o a la eliminación de masa inexistente, se aplica la CORRECCIÓN DE TERRENO :

18 En A se elimina la masa excedente m que atrae hacia arriba, haciendo que el valor de la gravedad aumente en P (este excedente de masa provoca el aumento en la gravedad). En el punto B se compensa el déficit de masa -m, haciendo que la gravedad aumente nuevamente en P. Para aplicar la corrección de terreno se tiene: h hp 2 1 At k dxdy 3 2 l Area Corrección de Terreno h hp 2 1 At k xy 3 2 l Se define la anomalía de gravedad de Bouguer refinada como: g g 2 kh A F B t

19 Resumen de anomalías de gravedad Definición de anomalía de gravedad g g g 0 F Observada F g g reducida 0 g g g g a 0 B Observad B F g g g g g a 0 BC Observad B t F

20 Determinación del Geoide U U U N P Q n Q Se tiene que: Con base a las anteriores relaciones Dado que: U U N P Q W U T P P P W U N T P Q P W U W P Q O Se tiene la siguiente relación: N T

21 Despejando el valor de N Ecuación de Bruns N T Siendo equivalente para la altura anómala: T La anterior fórmula se conoce como ECUACIÓN DE BRUNS o FORMULA DE BRUNS Su importancia radica en que relaciona la ondulación del geoide con el potencial anómalo.

22 Ecuación fundamental de la G.F T h 1 T g h 0 A la anterior fórmula se le conoce como ECUACIÓN FUNDAMENTAL DE LA GEODESIA FÍSICA porque relaciona la cantidad medida g con el potencial anómalo desconocido T.

23 Determinación del Geoide Solo se conoce g a lo largo de una superficie, la cual es el geoide (luego de reducir las observaciones gravimétricas al mismo) La E.F.G.F solo puede usarse como una condición de frontera, pero no es suficiente para calcular el valor del potencial anómalo T. Otro elemento a considerar es que se asume que no existen masas sobre el geoide y que el valor de la gravedad se mide sobre este. Esto no es cierto; las observaciones de gravedad se hacen sobre la superficie terrestre, por lo que existen masas que influyen sobre las observaciones de gravedad. Se recurre entonces a técnicas de cálculo para eliminar el efecto de las masas. Esto permite suponer que las masas están encerradas en el geoide. Al considerar que la densidad es cero en todas las partes fuera del geoide, el potencial anómalo es armónico y satisface la ecuación de Laplace.

24 Determinación del Geoide Expresando la condición limite de la siguiente forma: T 1 T g n n Y como se supone que se conoce g para todos los puntos del geoide, se observa que la combinación lineal de T y T/n esta representada sobre esta superficie (el geoide).

25

26 H H O N C g C Determinación del Geoide Teluroide: superficie cuyos puntos en los que el potencial normal (U) es igual al potencial de gravedad real (W) en la superficie. Por tanto: W(P) = U(Q) y W(P 0 ) = U(Q 0 ) Interpretación geométrica: Altura ortométrica: Distancia vertical desde el Geoide al punto P Altura normal: Distancia vertical desde el elipsoide de referencia al punto Q. La gravedad normal se puede calcular con base a fórmulas, sin la necesidad de tener que formular hipótesis. La altura anómala es la altura sobre el teluriode. Representa la medida geométrica de las diferencias entre las superficies del potencial real en la superficie y el mismo potencial de la Tierra normal

27

28 Determinación del Geoide Lo mas conveniente es que las alturas se midan al punto P (en la superficie), tal y como ocurre con H y no a un punto teórico (en este caso Q) en el interior de la corteza. Las alturas normales se trasladan hacia arriba hasta la superficie topográfica. Se define una nueva superficie, que es el cuasi-geoide, la cual se eleva en el valor de la altura anómala sobre el elipsoide. Nótese que la ondulación del geoide es la distancia entre dos superficies de idéntico potencial U 0 = W 0. La altura anómala es la distancia entre dos superficies de igual potencial U Q = W P. La relación entre estas cantidades también la da la ecuación de Bruns: N T P 0 0 T P Q

29 Determinación del Geoide En el calculo de N, el potencial T corresponde a la diferencia de potencial entre el geoide y la gravedad normal al punto Q 0 sobre el elipsoide. En el caso de, el potencial T es elevado al nivel de la superficie y la gravedad normal sobre el punto Q del Teluroide.

30 Resumen El Teluroide es una superficie conformada por aquellos puntos Q, cuyo valor de potencial normal U Q es idéntico al potencial de gravedad real W P de los puntos P correspondientes, ubicados sobre la superficie terrestre. La conexión entre P y Q se por medio de la altura anómala. La altura normal corresponde con la separación entre el Teluroide y el elipsoide. Si desde la superficie terrestre se descuenta la altura normal a lo largo de la normal al elipsoide, se obtiene el cuasigeoide. Dado que el potencial W P varia de un punto a otro sobre la superficie terrestre, el Teluroide y en consecuencia, el cuasi-geoide, no son superficies equipotenciales y por tanto, no tienen significado físico directo. El geoide equivale la superficie equipotencial del campo de gravedad terrestre con potencial real W = W 0.

31 La integral de Stokes Si se conoce el valor de la anomalías de gravedad, se puede determinar el potencial anómalo T de la siguiente forma: R T ( r,, ) S( r, ) gd 4 2 2R R Rl R r R cos Sr (, ) 3 cos 5 3ln l r r r 2r En el geoide, r = R, por lo que se tiene: R T S( ) gd 4

32 La integral de Stokes 1 2 S( ) 6sin 1 5cos 3cos ln sin sin sin( / 2) Considerando la ecuación de Bruns: N T R N g S( ) d 4

33 La integral de Stokes La anterior fórmula se conoce como INTEGRAL DE STOKES o FÓRMULA DE STOKES. Fue publicada por Gabriel Stokes en Se le considera una de las fórmulas mas importante de la geodesia física ya que permite determinar el geoide a partir de datos gravimétricos. La integral de Stokes asume además que los datos de anomalías de gravedad están distribuidos sobre todo la superficie de frontera: asume distribución global de los datos. Sin embargo, las mediciones son realizadas a nivel local y con alta resolución, o sea que solamente se tiene información de alta frecuencia del potencial anómalo. Para incluir información de baja frecuencia (o de longitud de onda larga) se debe hacer uso de la técnica de remover y restaurar.

34 La integral de Stokes Para evaluar la integral de Stokes, considerando que no se dispone de datos de anomalías para cada punto del geoide se puede proceder de la siguiente forma: n1 m1 R N g, cos S,,, g r n m n P P n m 4 n0 m0 Donde g r es la anomalía de gravedad y S es la función de Stokes, definida como: 1 S s s s s s s,,, ln 2 P P n m s P sin sin cosp sin P 2

35 Teoría de Molodensky Hay dos grandes obstáculos en el concepto geodésico clásico : La definición del geoide no es completamente rigurosa; el valor el potencial en el geoide no se conoce** El proceso de remover el efecto de las masas fuera del geoide esta basado en hipótesis concernientes a la distribución de densidades dentro de la Tierra. La idea básica de Molodensky es que no usa (y por no tanto busca) el geoide. En su lugar, usa la superficie topográfica de la Tierra como superficie de referencia. Por tanto no se debe asumir nada acerca de la estructura interna de la Tierra. Para referir las alturas, definió una superficie que no tiene significado físico, la cual no se separa demasiado del geoide y a la que llamó CUASI-GEOIDE

36 Teoría de Molodensky Esto le trajo a Molodensky varios adversarios por su teoría. Esto debido a que el geoide es la mas real y concreta superficie que se puede usar. El Teluroide: Teluriode significa terrenal, terrestre. Es definido como un lugar de las alturas normales H* medida a lo largo de la normal al elipsoide de referencia, La diferencia entre la altura elipsoidal y la altura normal es llamada Altura anómala. Es importante no olvidar que al formular el Teluroide o el cuasigeoide no se postula ninguna hipótesis. Ambas superficies son puramente convencionales (matemáticas)

37 La integral de Molodensky El calculo del teluriode viene dado por la ecuación: Donde: G G 0 g R R T G G S d 2 h l0 h P gd Con: l0 2Rsin 2

38 Teoría de Molodensky 1 h h G G R P d l 0 Que representa la corrección de terreno T R R gs d G 1S d 4 4 La teoría de Molodensky conduce a una solución directa del problema de valores de frontera sobre la superficie terrestre, sin la necesidad de formular hipótesis.

39 Método Remove-Restore La integral de Stokes presupone que el potencial anómalo T es una función armónica fuera del geoide Este supuesto es necesario para resolver problemas de geodésica física, como los problemas de valores de frontera en la teoría del potencial Esto porque los problemas de valores de frontera siempre involucran funciones armónicas que satisfacen la ecuación de Laplace. Como en la realidad hay masas sobre el geoide, antes de aplicar la integral de Stokes, hay que remover o mover (compensar) dentro del geoide El resultado es un co-geiode y para convertirlo al geoide, hay que corregir por el llamado efecto indirecto. Para la reducción de las observaciones de gravedad hay varios enfoques: Bouguer + Aire libre El segundo método de condensación de Helmert El método RTM (Residual Terrain Model)

40 Método Remove-Restore El cálculo de modelos de geoide locales o regionales se basa en la combinación de varios elementos: Modelos de geopotencial (globales) Anomalías gravimétricas locales (de alta resolución) Modelo digitales del terreno Para combinar estos elementos, se aplica la técnica remove-restore o remover-restaurar Al determinar modelos locales o regionales, se cuenta con información que representan las longitudes de alta frecuencia del geoide. La técnica se describe de la siguiente forma: N = N Δg + N MG + N I

41 Método Remove-Restore Porque remove-restore? Remove, porque en el método se eliminan las longitudes de onda larga del potencial gravitatorio, usando un modelo geopotencial global sobre las anomalías de gravedad observadas; Luego se resuelve las ondulación del geoide local a partir de las anomalías locales reducidas (residuales) Restore, porque una vez calculado el efecto local, se restaura la de onda larga Hay dos formas de aplicar la técnica remove-restore: 1. Resolviendo la ondulación del geoide con base a la integral de Stokes, con base a las anomalías de gravedad residuales y luego el calculo del efecto indirecto 2. Usando la colocación por mínimos cuadrados, en el escenario propuesto por Molodensky, aplicando la colocación por mínimos cuadrados. La colocación se aplica sobre las anomalías residuales usando el modelo global y el modelo digital del terreno y la posterior transformación de anomalías de gravedad en ondulaciones geoidales. En general, ambos enfoques proveen los mismos resultados

42 Método Remove-Restore Porque se debe aplicar este método? Los modelos geopotenciales globales se pueden usar para calcular ondulaciones geoidales El inconveniente es que estas ondulaciones no son lo suficientemente exactas para los fines de la geodesia Por otro lado, las anomalías de gravedad observadas cubren un área limitada, por lo que no pueden usarse para resolver las longitudes de onda larga del campo de gravedad Por tanto, hay que corregir las ondulaciones del campo geopotencial global usando las anomalías de gravedad y es necesario usar el modelo geopotencial global para tomar en cuenta las longitudes de onda larga de este campo Pero como interesa calcular el geoide para un área pequeña, comparada con el área de la Tierra, hay que remover las longitudes de onda larga del campo de gravedad, calcular el geoide para el área de interés y luego restaurar las longitudes removidas.

43 1. Descomponer el potencial anómalo en componente global, componente local y componente topográfico 2. La componente global N MG es calculada a partir de un modelo geopotencial global; representa la influencia gravitacional de toda la Tierra en el área de estudio (remove) 3. La componente topográfica N I es calculada a partir de un modelo digital del terreno (remove) 5. Una vez calculada la componente local, la nueva suma de las tres componentes da el geoide (cuasigeoide) resultante (restore): N = N Δg + N MG + N I 4. La componente local N Δg es evaluada a partir de las anomalías de gravedad locales, no contenidas en el modelo global y depuradas por el efecto topográfico. Representa los rasgos característicos del área de estudio que no se tomaron en cuenta en el modelo global

44 Método Remove-Restore Tomado de: School on Reference Systems, Crustal Deformations and Ionosphere Monitoring. Brunini, Drewes and Sanchez, 2013

45 g g g 2 kh C g red AL MG P Anomalía de aire libre Anomalía del modelo global Corrección de Bouguer Corrección de Terreno Efecto indirecto

46 R N ( g g ) S d N 4 Separando las integrales mod elo global global R R N g S d g modelo S d N 4 4 global Método Remove-Restore Gravedad reducida global Gravedad reducida (1) (2)

47 Método Remove-Restore Teóricamente 1 y 2 son iguales, sin embargo si hay diferencia y a esta diferencia se llama Efecto indirecto Entonces, con el termino 1 se remueve y con el termino 2 se restaura Resumen 1.Obtener un modelo de Geopotencial Global 2.Eliminar los efecto de este modelo en los datos gravimétricos 3.Eliminar los efectos de la Topografía local 4.Calcular el modelo con las anomalías residuales por el método que se haya definidp (Colocación por mínimos cuadrados, FFT, FHT, evaluación numérica de la integral de Stokes,...) 5.Restituir todo lo que se ha eliminado.

48 Efecto indirecto La eliminación de las masas en que se basan las reducciones de la gravedad cambia el potencial de la gravedad y por consiguiente el potencial del geoide. Con cada reducción se tiene una nueva distribución de masas, haciendo que el geoide cambie, implicando este elemento que las masas tienen que ser colocadas de nuevo. Un geoide determinado a partir de anomalías de gravedad reducidas utilizando la integral de Stokes se le conoce como COGEOIDE, el cual tiene que se corregido para llegar al geoide. Esto implica que con cada reducción tenemos un Cogeoide, dado que con cada reducción se modifica el potencial de la gravedad. A la diferencia entre el geoide y el cogeoide se le llama EFECTO INDIRECTO.

49 R N ( g g ) S d N N global 4 Efecto indirecto De manera que el cálculo del geoide se usando la integral de Stokes viene dada por: modelo global La evaluación de la anterior fórmula se puede hacer de forma análoga a como se evalúa la integral de Stokes