TEMA 4. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FORMAS

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1 TEMA 4. ANÁLISIS Y REPRESENTACIÓN DE FORMAS FORMAS ORGÁNICAS Llamamos formas orgánicas a aquellas en cuya configuración predomina la línea curva sobre la línea recta. En general, es la más abundante en el mundo que nos rodea, podemos observarlas, sobre todo, en los elementos de la naturaleza (árboles, nubes, piedras, etc.). En Dibujo, se pueden dar tres tratamientos a las formas orgánicas: tratamiento realista, tratamiento geométrico y tratamiento de contornos y siluetas. Tratamiento Realista: Las formas tratan de imitar la realidad que vemos en nuestro entorno. Tratamiento Geométrico: Consiste en suprimir en las formas los detalles que no son imprescindibles para comprenderlas. Puede ocurrir que de tanto simplificar las formas se hagan irreconocibles. Tratamiento de Contornos y Siluetas: Las formas quedan delimitadas por las líneas de contorno que pueden variar su grosor e intensidad. Cuando toda la superficie interior sea de un mismo color o de una misma textura estaremos hablando de siluetas. Realista Geométrico Contornos Siluetas FORMAS GEOMÉTRICAS Son aquellas ideadas casi siempre por el hombre, corresponden a figuras geométricas y para su dibujo nos es imprescindible el uso de regla, escuadra, cartabón, compás y lápiz. Construcción de polígonos regulares conociendo el lado. Dado el lado AB, haciendo centro en A y con una apertura del compás igual a AB se traza un arco. Se procede con la misma apertura de compás y haciendo centro en B se traza un arco que se cortará en el punto C con el arco anterior. El triángulo equilátero nos aparece sin más que unir A con C y B con C. Trazamos en primer lugar el lado dado AB; con la escuadra y el cartabón o con la ayuda del compás, levantamos las perpendiculares por los vértices A y B. Si trazamos 45º desde el vértice A, cortará en el punto C a la perpendicular levantada por B. Igualmente obtendremos D. Con compás, los puntos C y D los obtendremos con la apertura de compás del lado AB y haciendo centro en A y en B donde nos corten a las perpendiculares. Finalmente uniremos A, B, C y D. 19

2 Se dibuja el lado dado AB y hallamos el punto P donde se cortan el lado AB con su mediatriz. Levantamos una perpendicular por B y desde ese punto y apertura del compás AB trazamos un arco que nos corta a la perpendicular en el punto J. Con radio PJ y centro en P trazamos un arco que nos corta a la prolongación de AB en el punto M. Cogemos con el compás la apertura AM y con centro en A trazamos un arco que nos corta a la mediatriz en el punto D. Finalmente, dándole al compás la apertura del lado AB, vamos haciendo arcos con centro en los puntos A, B y D, obteniendo así los puntos C y E. Sólo quedaría unir A, B, C, D y E. Es posiblemente el polígono más fácil de construir. Basta con tomar el lado dado AB y hacer una circunferencia con esa apertura del compás. Tomamos un punto cualquiera de la circunferencia el A, por ejemplo y con esa misma apertura del compás hacemos un arco que nos cortará a la circunferencia en B y en F. Haciendo centro en estos dos puntos y con la misma apertura del compás hallamos los puntos C y D. Volvemos a repetir la operación con estos dos puntos para obtener el punto D. Si lo hemos hecho bien, estos dos arcos se juntan exactamente en D; si no es así podrás repartir el error fijando D entre medias de los dos arcos. Con el lado AB que nos dan como dato construimos un cuadrado. Hacemos las diagonales de ese cuadrado y obtenemos el punto P. Con centro en P y radio AP trazamos un arco que corta en O a la mediatriz del segmento AB. Este punto O es el centro de la circunferencia que circunscribe al octógono. Trazamos la circunferencia de radio OA y posteriormente vamos obteniendo los puntos H y C con apertura del compás AB y haciendo centro en A y en B. Los puntos G y D haciendo centro en H y C; finalmente, los puntos F y E después de hacer centro en G y en D. Sólo nos queda unir todos los puntos para obtener nuestro octógono. Dada la circunferencia donde queremos inscribir el polígono. Haciendo centro en los extremos de un diámetro (A y N) trazamos dos arcos de radio el diámetro que se cortan en el punto P. Dividimos el diámetro en tantas partes iguales como lados queremos que tenga nuestro polígono (en este caso 7). Se hace pasar una recta que una el punto P con la división 2 del diámetro. En la prolongación que corta a la circunferencia tenemos el lado del polígono. Se procede de la misma manera por las divisiones 4 y 6. Obtenidos los vértices A, B, C y D, por simetría se pueden obtener E, F y G. TANGENCIAS 20

3 Dos figuras son tangentes cuando tienen un solo punto en común, este punto se llama punto de tangencia (en la figura el punto de tangencia es el punto A). Particularmente, una recta será tangente a una circunferencia cuando tengan un solo punto en común, se da la circunstancia que en ese punto, la recta y el radio son perpendiculares. A continuación estudiaremos el trazado de tangencias más utilizadas en dibujo técnico. Recta tangente a una circunferencia por un punto P de la misma circunferencia Rectas tangentes a una circunferencia por un punto P exterior a ella Circunferencia de radio conocido tangente a dos rectas r y s convergentes Rectas tangentes exteriores a dos circunferencias dadas Rectas tangentes interiores a dos circunferencias dadas Circunferencia de radio r tangente exterior a otra dada por el punto P Circunferencia de radio r tangente interior a otra dada por el punto M Circunferencia tangente interior, por el punto M, a otra dada y que pasa también por un punto N interior recta y otra circunferencia dadas Circunferencia de radio r conocido tangente al mismo tiempo a una 21

4 ENLACES La unión armónica entre curvas y rectas o la unión de curvas entre sí se llama enlace y esta unión debe producirse por tangencia. Los enlaces más característicos son los que salen del trazado del óvalo, el ovoide y la espiral. ÓVALO: El óvalo es una curva plana, cerrada y simétrica respecto a dos ejes perpendiculares. El óvalo está formado por cuatro arcos de circunferencia. El trazado de un óvalo conocidos sus dos ejes puede verse en la figura. C A B D OVOIDE: El ovoide es una curva plana, cerrada y simétrica respecto a un eje mayor, aunque está formado por cuatro arcos de circunferencia uno de ellos se construye haciendo centro en el punto de corte de los ejes y construyendo una semicircunferencia. El trazado de un óvalo conocido su eje menor puede verse en la figura. A B ESPIRALES: Las espirales son curvas planas, abiertas y continuas que se configuran en expansión alrededor de un núcleo central, lineal o poligonal, mediante arcos de circunferencia. En una espiral, se define el paso como la distancia longitudinal que se desplaza un punto de ella en una vuelta completa. ESPIRAL DE DOS CENTROS: ESPIRAL DE TRES CENTROS ESTRUCTURAS 22

5 Tanto los objetos creados por el hombre como los que podemos encontrar en la naturaleza, si nos fijamos detenidamente, descubrimos que lo que tiene en común es la idea de estructura, es decir, las líneas interiores que distribuyen y ordenan las formas que componen la imagen. Estas estructuras pueden ser regulares o irregulares. ESTRUCTURAS REGULARES: En este tipo de estructuras los elementos que las componen son iguales y mantienen una distribución regular. Pueden ser: Estructuras regulares simétricas respecto a un eje: Los elementos de la estructura regular están repetidos, de manera invertida, a uno y otro lado de un eje de simetría. Estructuras regulares radiales: En este tipo de estructuras, los elementos parten de un centro y se distribuyen en el espacio, repitiéndose de forma regular. Estructuras regulares unidireccionales: Cuando existe un conjunto de líneas paralelas que organiza y ordena los elementos de la composición. Estructuras regulares básicas: También llamadas redes planas básicas. Se estructuran por medio de triángulos equiláteros y de cuadrados; la suma de redes básicas genera redes complejas. ESTRUCTURAS IRREGULARES: Los elementos que las componen son desiguales y no poseen un ordenamiento regular. Pueden ser: Radiales: Tienen una forma circular y los elementos que la forman tienen su origen en el centro. Unidireccionales: En este tipo de estructuras, todos los elementos se orientan hacia una misma dirección. Complejas: Los elementos lineales estructurales no tienen una ordenación regular. Radiales Unidireccionales Complejas MÓDULO: Es una forma que puede ser regular o irregular y que se repite formando una red, un número concreto de veces y en un determinado orden. Con él se pueden crear estructuras regulares o irregulares, tanto en el plano como en el espacio. Cuando se unen dos tres o más módulos se forman nuevos módulos llamados compuestos. Las redes básicas también suelen utilizarse como base para realizar composiciones más complejas, por ejemplo, en la red triangular pueden dibujarse hexágonos o en la red cuadrada, octógonos. También se pueden crear composiciones más complejas utilizando diagonales, semicirculares, circulares, etc. RELACIONES MÉTRICAS PROPORCIÓN: En Geometría y en Dibujo, se dice que proporción es la relación que existe entre dos figuras que tienen la misma forma, pero diferente tamaño. 23

6 SEMEJANZA: Decimos que dos figuras son semejantes cuando tienen todos sus ángulos iguales y los lados proporcionales y dispuestos en el mismo orden. A los lados y ángulos que se corresponden en una semejanza se les llama homólogos. SECCIÓN AUREA Aunque la sección áurea ya se conocía por los trabajos del arquitecto romano Vitruvio en el siglo I a dc., fue durante el Renacimiento (siglos XV y XVI) cuando se desarrollaron multitud de trabajos y estudios sobre la proporción áurea, también llamada la Divina Proporción. Personajes ilustres como Leonardo da Vinci, Fibonaci, Salvador Dalí o Le Corbusier han desarrollado muchos de sus trabajos en base a esta mágica proporción. Concretamente, obtendremos un segmento áureo cuando dividamos ese segmento en dos partes desiguales entre las que existe la misma relación entre la parte menor y la mayor que entre la mayor y el segmento entero; es decir, dado un segmento AB, se ha de cumplir que = A C B La forma de obtenerlo gráficamente viene determinada en la figura siguiente: Numéricamente, el número ɸ (phi) se puede obtener de varias maneras, una de ellas es gracias a la sucesión de Fibonaci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610,, en la que cada término se obtiene de la suma de los dos anteriores; al dividir un término cualquiera de la sucesión entre su antecedente nos iremos aproximando al número ɸ a medida que avanzamos a lo largo de la serie. Aunque tiene infinitos decimales, podemos aproximar bastante si decimos que ɸ = 1,618. Otra forma de obtener el número ɸconsiste en dar al segmento menor el valor de la unidad y al todo una distancia x, tendremos así la ecuación = que multiplicada en cruz nos queda: x2 - x - 1 = 0 Finalmente, resolviendo la ecuación de 2º grado obtenemos x = 1,618 ɸ. Evidentemente, ésta es la relación entre las longitudes de los segmentos y será la misma cualquiera que sea la longitud de la que partamos. ESCALAS Cuando se va a dibujar un objeto, a veces surgen dificultades derivadas de su tamaño, bien porque es muy grande y no nos cabe en el papel de dibujo o porque es muy pequeño y no se pueden precisar los detalles de su forma. Para resolver estos problemas, hemos de recurrir a las escalas. Existen tres tipos de escalas: la escala de ampliación, la escala natural y la escala de reducción. 24

7 Podemos construir un triángulo universal de escalas siempre que la escala no sea mucho mayor o menor de la escala natural. Construyendo un triángulo rectángulo y dividiendo los catetos en 10 partes iguales (por ejemplo en 10 cm). Como puede verse en la figura, el cateto de la base representará la escala 1:1, por la parte superior obtendríamos las distintas escalas de reducción y, si quisiéramos utilizar escalas de ampliación bastaría prolongar los lados del triángulo y seguir dividiendo uno de ellos en unidades de 1 cm. cada uno. Finalmente, trazando paralelas a la base desde estos puntos conseguimos las nuevas escalas 11/10, 12/10, etc. EL TEOREMA DE TALES Y LA PROPORCIÓN Tales de Mileto demostró que si dos rectas concurrentes se cortan con una serie de rectas paralelas, los segmentos que obtenemos son proporcionales. Basándonos en este teorema, podemos construir una figura semejante a otra dada con la proporción que deseemos. Podemos recordar lo estudiado en temas anteriores sobre el método del encaje donde lo que hacíamos era meter en una cuadrícula el objeto que queremos representar y trasladar esa cuadrícula al papel donde queremos plasmar el objeto. EJERCICIOS 1. Observa detenidamente esta imagen y analiza su red modular. Qué tipo de red modular se ha utilizado en su construcción? Cuál es su módulo? Reproduce el modelo. 2. Señala por escrito los pasos que hay que dar para construir los siguientes polígonos regulares mediante la aplicación de sus métodos particulares: a) Triángulo equilátero y b) Hexágono. 3. Explica cómo dibujarías dos circunferencias tangentes en el punto T, cuando una de ellas tiene 5 cm. de radio y centro en A y la otra 10 cm. de diámetro y centro en B. 25

8 4. Sobre el plano de un edificio, se midió la parte más alta de éste y tenía 7 cm. Si la escala del plano es de 1:100, qué altura expresada en metros tiene ese edificio? 5. En qué se fundamentan las escalas? 6. Enumera, explica y pon algún ejemplo de cada uno de los tipos de escala. 7. Define qué es la sección áurea. 8. Halla la sección áurea de un segmento de 8 cm. 9. Documéntate sobre la sección áurea y escribe al menos 10 ejemplos (en la Naturaleza o creados por el hombre) en los que aparezca la divina proporción. LÁMINAS 1. Esta lámina es para realizarla en casa. Escoge una manzana, una pera y un plátano, colócalos en un plato componiéndolos a tu gusto. A continuación, dibújalos a lápiz en una lámina de tu cuaderno de dibujo. 2. Divide la lámina de dibujo en cuatro partes iguales y construye utilizando el método particular: un triángulo equilátero de 5 cm. de lado, un cuadrado de 4 cm. de lado y un pentágono de 3 cm de lado. En el hueco que queda construye una estrella poligonal de 5 puntas. 3. Divide la lámina de dibujo en tres partes iguales y construye utilizando el método particular un hexágono y un octógono. En el hueco que queda libre dibuja un dodecágono por el método general. 4. Dada una circunferencia de 30 mm de radio y otra de 40 mm de radio, cuyos centros están separados a una distancia de 90 mm. Dibuja las rectas tangentes interiores y las tangentes exteriores a estas circunferencias. 5. Divide la lámina en dos partes iguales y dibuja a la izquierda un óvalo cuyo eje mayor tiene 90 mm y el eje menor tiene 50 mm. En la parte derecha, dibuja un ovoide sabiendo que el valor de su eje menor es de 40 mm. 6. Divide una lámina en dos partes iguales y dibuja a la izquierda una espiral de dos centros separados 10 mm. En la parte derecha dibuja otra espiral de tres centros formando un triángulo equilátero de 10 mm de lado. 7. Construye un triángulo de escalas basándote en un triángulo equilátero. Este triángulo de escalas ha de contemplar desde la escala de reducción 1/10 hasta la de ampliación 2/1. 8. Observa cómo está realizada la siguiente roseta; su diseño se basa en el trazado de circunferencias tangentes entre sí. Con un compás y un lápiz, dibújala en tu cuaderno de dibujo de modo que te ocupe toda la hoja. 26