Campo Magnético. Cátedra de Física Experimental II

Transcripción

1 Campo Magnético Cátedra de Física Experimental II Prof. Dr. Víctor H. Ríos 2010

2 Contenidos - Ejemplos de campos magnéticos - Campo magnético producido por una corriente indefinida. - La ley de Biot-Savart. - Aplicación al caso de una corriente rectilínea infinita. - La ley de Ampere y su generalización a varias corrientes. - Aplicación al caso del campo magnético producido por una corriente rectilínea. - Campo magnético producido por una corriente circular en un punto de su eje. - Campo producido por un solenoide en un punto de su eje. - Fuerza magnética sobre una particula moviéndose en un campo B. - Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo. APENDICE - Campo magnético producido por un cilindro hueco. - Campo magnético producido por un toroide. - Aplicaciones.

3 MAGNETISMO El magnetismo es uno de los aspectos del electromagnetismo, que es una de las interacciones fundamentales de la naturaleza (junto con la gravedad, la fuerza nuclear fuerte y la fuerza nuclear débil). Las fuerzas magnéticas son producidas por el movimiento de partículas cargadas, como por ejemplo e-lectrones, lo que indica la estrecha relación entre la electricidad y el magnetismo. La manifestación más conocida del magnetismo es la fuerza de atracción o repulsión que actúa entre los materiales ferromagnéticos como el hierro. Desde la antigüedad se ha cons-tatado la interacción entre el hierro o minerales como la magnetita con el campo magnético terrestre, de forma que el polo norte de un imán tiende a apuntar al polo sur de otro.

4 Causa del campo magnético En 1820 Hans Christian Oersted, descubre que una corriente eléctrica provoca la deflexión de la aguja de una brújula en sus inmediaciones. Fue André-Marie Ampère quien descu-brió la ley que describe la relación entre una corriente eléctrica estacionaria y el campo magnético. Adelantándose a su época, supuso que la causa del magnetismo de los mate-riales se debe a pequeñísimas partículas cargadas en rotación.

5 Campo magnético terrestre Una brújula apunta en la dirección Norte - Sur por tratarse de una aguja imantada inmersa en el campo magnético terrestre: desde este punto de vista, la Tierra se comporta como un imán gigantesco y tiene polos magnéticos, los cuales, en la actualidad, no coinciden con los polos geográficos. El Polo Sur Magnético se encuentra a 1800 kilómetros del Polo Norte Geo-gráfico. En consecuencia, una brújula no apunta exactamente hacia el Norte geográfico; la diferencia, medida en grados, se denomina declinación magnética. Origen del campo magnético terrestre Se originaría en las corrientes de la región ígnea de la Tierra, como consecuencia del movimiento de partículas cargadas eléctricamente.

6 Magnetosfera Terrestre La Magnetosfera es una región alrededor de la Tierra en la que el campo magnético terrestre desvía la mayor parte del viento solar formando un escudo protector contra las partículas cargadas de alta energía procedentes del Sol. Las partículas del viento solar que son detenidas forman los cinturones de Van Allen. En los polos magnéticos, las zonas en las que las líneas del campo magnético terrestre penetran en su interior, parte de las partículas cargadas son conducidas sobre la alta atmósfera produciendo las auroras boreales o australes.

7 Magnetismo y su Aplicación en el tren Magnético El campo magnético es producido por la corriente eléctrica que circula por un conductor. Para determinar la expresión del campo magnético producido por una corriente se emplean dos leyes: la ley de Biot-Savart y la ley de Ampére. Principio de levitación En la figura se muestra la forma en la que se colocan las bobinas en las paredes laterales. Cuando el superconductor pasa a centímetros de estas bobinas a muy altas velocidades, una corriente eléctrica es inducida en la bobina la cual actúa como campo electromagnético temporalmente. Como resultado de estos campos, existen fuerzas que empujan al superconductor ha-cia arriba, teniendo así la levitación del tren.

8 Principio de guía lateral Principio de propulsión Las bobinas de levitación están conectadas de frente entre ellas en la parte baja del riel, generando un anillo magnético. Cuando el tren, el cual es un superconductor magnético, se desplaza lateralmente, una corriente es inducida en el anillo, resultando una fuerza repulsiva actuando en las bobinas de levitación de el lado más lejano del tren. Por lo tanto el tren siempre esta situado en el centro de los rieles. Una fuerza repulsiva y una de atracción son inducidas entre los imanes para propulsar al tren (superconductor mag-nético). Las bobinas de propulsión están localizadas el las paredes laterales en ambos lados del riel, las cuales están energizadas por una corriente alterna trifásica de una esta-ción, creando un campo magnético en el riel. Los superconductores magnéticos son atraídos y empujados por el campo magnético, elevando el tren.

9 Vehículos Experimentales ML 100 MLU 002 Interior MLX 01

10 Campo magnético producido por una corriente indefinida La ley de Biot - Savart El físico Jean Biot dedujo en 1820 una ecuación que permite calcular el campo magnético B creado por un circuito de forma cualesquiera recorrido por una corriente de intensidad i. d B = B µ 0 i µ t 4 π r µ 0 i 4π r t = 2 l µ 2 µ r µ r dl dl u t es un vector unitario cuya dirección es tangente al circuito y que nos indica el sentido de la corriente en la posición donde se encuentra el elemento dl. u r es un vector unitario que señala la posición del punto P respecto del elemento de corriente, μ 0 / 4π = 10-7 en el Sistema Internacional de Unidades. B es el vector campo magnético existente en un punto P del espacio, perpendicular al plano que forman los versores µ, t µ r y dl z µ r µ T r db i x

11 Unidades La unidad del campo magnético en el Sistema Internacional de Unidades es el Tesla, pese a que a menudo se emplea el Gauss. Las unidades del TESLA son: 1 Tesla equivale a 1 V s m -2, o lo que es lo mismo, 1 kg s -2 A -1 = Gauss Campo magnético producido por una corriente rectilínea Utilizamos la ley de Biot para calcular el campo magnético B producido por un conductor rectilíneo indefinido por el que circula una corriente de intensidad i. El campo magnético B producido por el hilo rectilíneo en el punto P tiene una dirección que es perpendicular al plano formado por la corriente rectilínea y el punto P, y sentido el que resulta de la aplicación de la regla del sacacorchos al producto vectorial u t x u r

12 Para calcular el módulo de dicho campo es necesario realizar una integración. B µ 0 i 4π t = 2 l µ µ r r dl Fisica III -10 µ µ = µ µ senθ senθ t r t r = B µ 0 i sen θ = B = 2 4π r dx Se integra sobre la variable θ, expresando las variables x y r en función del ángulo θ. R = r cos θ R = x tan θ B = π µ 0 i µ 0 i senθ dθ = 4 π R 2π R 0 Depende de directamente de i e inversamente de la distancia R

13 Sentido del Campo B y la corriente i En la figura, se muestra la dirección y sentido del campo magnético producido por una corriente rectilínea indefinida en el punto P. La dirección del campo magnético se dibuja perpendicular al plano determinado por la corriente rectilínea y el punto, y el sentido se determina por la regla del sacacorchos o la denominada de la mano derecha.

14 La ley de Ampère Fisica III -10 La ley de Ampère nos permitirá calcular el campo magnético producido por una distribución de corrientes cuando tienen cierta simetría. Circulación de B B Físico frances Andre Marie Ampere, 20/01/75-10/06/1836 B dl dl dl C dl B Circulación de B = c B. dl Ley de Ampere B z Circulación de B = µ 0 i C B. dl = µ 0 i y C dl B i x

15 Generalización ley de Ampere para varios conductores i 1 B dl i2 i 3 dl B C N B. dl = µ 0 i j = µ 0 ( i1 + i2 i3 j = 1 ) Los pasos que hay que seguir para aplicar la ley de Ampère son: 1. Dada la distribución de corrientes, deducir la dirección y sentido del campo magnético 2. Elegir un camino cerrado apropiado, atravesado por corrientes y calcular la circulación del campo magnético. 3. Determinar la intensidad de la corriente que atraviesa el camino cerrado 4. Aplicar la ley de Ampère y despejar el módulo del campo magnético.

16 Campo magnético producido por una corriente rectilínea 1. La dirección del campo en un punto P, es perpendicular al plano determinado por la corriente y el punto. 2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, centrada en la corriente rectilínea, y situada en una plano perpendicular a la misma. El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r, paralelo al vector dl. El módulo del campo magnético B tiene tiene el mismo valor en todos los puntos de dicha circunferencia. La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale B. dl = B dl cos0 = B dl = C C C B 2 π R 3. La corriente rectilínea i atraviesa la circunferencia de radio r.

17 4. Despejamos el módulo del campo magnético B, a partir de la ley de Ampere. C B. dl = µ 0 i B 2 π R = µ 0 i B = µ 2 π 0 i R Llegamos a la expresión obtenida aplicando la ley de Biot.

18 Campo magnético producido por una corriente circular en un punto de su eje En muchos dispositivos que utilizan una corriente para crear un campo magnético, tales como un electroimán o un transformador, el hilo que transporta la corriente está arrollado en forma de bobina formada por muchas espiras. Estudiaremos, en primer lugar, el cam-po creado por una espira. En la figura, se muestra una espira circular de radio a, recorrida por una corriente de intensidad i. El punto P está sobre el eje de la espira a una distancia x de su centro. Sea r la distancia entre el elemento de corriente y el punto P. La ley de Biot nos permite calcular el campo magnético creado por dicho elemento de corriente.

19 Los vectores unitarios u t y u r forman 90º en este caso El vector campo magnético db tiene dos componentes * a lo largo del eje de la espira : db cos ( 90 - θ ) * perpendicular al eje de la espira : db sen ( 90 - θ ) Por razón de simetría, las componentes perpendiculares al eje creadas por elementos diametralmente opuestos se anulan entre sí. Por tanto, el campo magnético resultante está dirigido a lo lar-go del eje y puede calcularse mediante una integración sencilla ya que r es constante y θ es constante

20 El campo paralelo al eje de la espira es: Fisica III -10 En el centro de la espira x = 0, tenemos El sentido del campo magnético viene determinado por la regla de la mano derecha. Para una espira no es aplicable la ley de Ampère. Sin embargo, como podemos ver si se disponen varias espiras iguales, igualmente espaciadas, se va creando un campo cuya dirección es cada vez más paralela al eje común de las espiras, a medida que se incrementa su número. En la situación ideal de un solenoide formado por un número grande de espiras apretadas, cuya longitud es grande comparada con su diámetro, el campo en el interior es casi uniforme y paralelo al eje y en el exterior es muy pequeño. En estas condiciones es aplicable la ley de Ampère, para determinar el campo magnético en el interior del sole-noide

21 Campo producido por un solenoide en un punto de su eje Vamos a calcular el campo producido por el solenoide en un punto P situado en el eje del solenoide sumando el campo producido por las N espiras. Solenoide

22 Esquemáticamente En la figura, tenemos un corte longitudinal de un solenoide de longitud L, formado por N espiras iguales de radio a. Anterior, obtuvimos la expresión del campo magnético de una espira de radio a en un punto P de su eje distante x. Todas las espiras del solenoide producen en P un campo que tiene la misma dirección y sentido, pero distinto módulo, dependiendo de su distancia x al punto P.

23 El número de espiras que hay en el intervalo comprendido entre x y x+dx es dn = N dx / L Estas espiras producen en P un campo que es el producto del campo producido por una espira por el número dn de espiras Para integrar, tenemos que hacer el cambio de variable a = x tanθ, y teniendo en cuenta que 1 + tan 2θ = 1 / cos 2θ, simplificamos mucho la integral

24 Si el solenoide es muy largo comparado con su radio a y si el punto P está situado en el centro, tendremos que θ 1 π, y θ 2 0. El campo B vale entonces El solenoide Cálculo de B usando la Ley de Ampère Suposición Si suponemos que el solenoide es muy largo comparado con el radio de sus espiras, el campo es aproximadamente uniforme y paralelo al eje en el interior del solenoide y es nulo fuera del solenoide. En esta aproximación es aplicable la ley de Ampère. El primer miembro, es la circulación del campo magnético a lo largo de un camino cerrado y en el segundo miembro, el término i se refiere a la intensidad que atraviesa dicho camino cerrado.

25 Para determinar el campo magnético, aplicando la ley de Ampère, tomamos un camino cerrado ABCD que sea atravesado por corrientes. La circulación es la suma de cuatro contribuciones, una por cada lado. Examinaremos, ahora cada una de las contribuciones a la circulación: 1. La contribución a la circulación del lado AB es cero ya que bien B y dl son perpendiculares o bien, B es nulo en el exterior del solenoide. 2. Lo mismo ocurre en el lado CD. 3. En el lado DA la contribución es cero, ya que el campo en el exterior al solenoide es cero. 4. El campo es constante y paralelo al lado BC, la contribución a la circulación es B x, siendo x la longitud de dicho lado.

26 La corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD se puede calcular fácilmente: Si hay N espiras en la longitud L del solenoide en la longitud x habrá N x / L espiras. Como cada espira trasporta una corriente de intensidad i, la corriente que atraviesa el camino cerrado ABCD es N x i / L. La ley de Ampère se escribe para el solenoide. Para visualizar las líneas líneas del campo del campo magnético, se emplean limaduras de hierro. Este procedimiento es muy limitado y requiere bastante cuidado por parte del experimentador.

27 Fisica III - 10 Fuerza magnética sobre conductor rectilíneo Intensidad de la corriente La intensidad de la corriente eléctrica es la carga que atraviesa la sección normal S del conductor en la unidad de tiempo. El significado de flujo másico y flujo de carga o inten-sidad es: Sea n el número de partículas por unidad de volumen, v la velocidad media de dichas partículas, S la sección del haz y q la carga de cada partícula. Movimiento de cargas dentro de un conductor La carga Q que atraviesa la sección normal S en el tiempo t, es la contenida en un cilindro de sección S y longitud v t. Carga Q = ( número de partículas por unidad de volumen n ).( carga de cada partícula q ). ( volumen del cilindro S v t ) Q = n q S v t

28 Fisica III - 10 Dividiendo Q entre el tiempo t obtenemos la intensidad de la corriente eléctrica: i = n q v S La intensidad es el flujo de carga o la carga que atraviesa la sección normal S en la unidad de tiempo, que es el producto de los siguientes términos: Número de partículas por unidad de volumen, n. La carga de cada partícula, q. El área de la sección normal, S. La velocidad media de las partículas, v.

29 Fisica III - 10 Fuerza magnética Una partícula que se mueve en un campo magnético experimenta una fuerza F m = q v x B El resultado de un producto vectorial es un vector de * módulo igual al producto de los módulos por el seno del ángulo comprendido q v B senθ * dirección perpendicular al plano formado por los vectores velocidad v y campo B. * y el sentido se obtiene por la denominada regla del sacacorchos. Si la carga es positiva el sentido es el del producto vectorial v x B, la fuerza magnetica es la esquematizada en la figura. Fm = q v x B Fuerza magnética sobre la carga positiva debida a B

30 Fisica III - 10 Fuerza sobre una porción de conductor rectilíneo Hemos estudiado la fuerza que ejerce un campo magnético sobre un portador de carga y el movimiento que produce En la fig.8, se muestra la dirección y sentido de la fuerza que ejerce el campo magnético B sobre un portador de carga positivo q, que se mueve hacia la izquierda con velocidad v. Calculemos la fuerza sobre todos los portadores ( n S L ) de carga contenidos en la longitud L del conductor. El vector unitario u t = v / v tiene la misma dirección y sentido que el vector velocidad, o el sentido en el que se mueven los portadores de carga positiva.

31 Fisica III - 10 En el caso de que el conductor no sea rectilíneo, o el campo magnético no es constante, se ha de calcular la fuerza sobre un elemento de corriente dl * Las componentes de dicha fuerza df x y df y * Se ha de comprobar si hay simetría de modo que alguna de las componentes sea nula * Finalmente, se calculará por integración las componentes de la fuerza total F

32 Apéndice

33 Campo magnético producido por una corriente que circula a lo largo de un cilindro hueco. Apliquemos la ley de Ampère a una corriente rectilínea indefinida uniformemente distribuida en su sec-ción y que circula a lo largo de un cilindro hueco de radio interior a y exterior b. 1. El campo magnético en el punto P es perpendicular al plano determinado por el eje de la corrien-te cilíndrica y el punto P, es decir, tangente a la circunferencia de radio r con centro en el eje y que pasa por el punto P. 2. La simetría de la distribución de corrientes nos indica que el camino cerrado que tenemos que elegir es una circunferencia de radio r, centrada en el eje del cilindro y situada en una plano perpendicular al mismo. La circulación del campo magnético B a lo largo de dicha circunferencia tiene la misma expresión que para la corriente rectilínea. B 2π r

34 3. Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) en los tres casos siguientes. r < a Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r < a es cero. Aplicando la ley de Ampère B 2π r = μ 0. 0 B = 0 a < r < b Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio a < r < b es una parte de la intensidad total i. Si la corriente i está uniformemente distribuida en la sección π b 2 - π a 2. La corriente que atraviesa la circunferencia de radio r es la que pasa por la sección pintada de color rojo, cuya área es π r 2 - π a 2. Aplicando la ley de Ampère

35 r > b Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r > b es la intensidad i. El módulo del campo magnético B en un punto P situado a una distancia r del eje de la corriente cilíndrica es

36 Campo magnético producido por un toroide Aplicamos la ley de Ampère para determinar el campo producido por un toroide de radio medio R. Si tomamos un solenoide, lo curvamos y pegamos sus extremos obtenemos un anillo o toroide. Toroide La circulación (el primer miembro de la ley de Ampère) vale 1. Las líneas de campo magnético que en el solenoide son segmentos rectos se transforman en circunferencias concéntricas en el solenoide. El campo magnético es tangente en cada punto a dichas circunferencias. El sentido de dicho campo viene determinado por la regla de la mano derecha. 2. Elegimos como camino cerrado una circunferencia de radio r, cuyo centro está en el eje del toroide, y situada en su plano meridiano. * El campo magnético B es tangente a la circunferencia de radio r. * El campo magnético B tiene el mismo módulo en todos los puntos de dicha circunferencia.

37 Vamos a calcular ahora la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) en los tres casos siguientes. Fuera del toroide (r < R) Como vemos en la figura, la intensidad que atraviesa la circunferencia de radio r (en color azul) es cero. Aplicando la ley de Ampère B 2π r = μ 0 0 B = 0 Dentro del toroide Cada espira del toroide atraviesa una vez el camino ce-rrado ( la circunferencia de color azul de la figura) la in-tensidad será Ni, siendo N el número de espiras e i la intensidad que circula por cada espira. B 2π r = μ 0 Ni

38 Fuera del toroide ( r > R ) Cada espira del toroide atraviesa dos veces el camino cerrado (circunferencia de color azul de la figura) transportando intensidades de sentidos opuestos. La intensidad neta es Ni Ni = 0, y B = 0 en todos los puntos del camino cerrado. El campo magnético está completamente confinado en el interior del toroide!!!!!!

39 FIN Fisica III -10