Recorridos de Gráficas

Transcripción

1 Recorridos de Gráficas comp-40

2 Algoritmos de búsqueda en gráficas Una de las operaciones más frecuentes en una gráfica es la de visitar sus vértices uno por uno o en un orden deseado. Este procedimiento se llama búsqueda o recorrido de un grafo. Los algoritmos clásicos para búsqueda o recorridos en gráficas son: depth-first search breath-first search Por ahora solo vamos a visitar el nodo pero más tarde veremos acciones específicas a realizar en un nodo. Se puede elegir visitar el vértice la primera vez que se ve (preorden) o la última vez que se ve (postorden).

3 Explorando un laberinto Queremos encontrar la salida en un laberinto que consiste en pasajes conectados por intersecciones y también revisar todo el laberinto. Además del hilo podemos suponer luces, inicialmente apagadas y puertas, inicialmente cerradas en las intersecciones. Seguimos la exploración de Trémaux: Desenrollar un hilo detrás de nosotros. Marcar cada intersección visitada prendiendo una luz. Marcar cada pasaje visitado abriendo una puerta.

4 Explorando un laberinto (I) Si no hay puertas cerradas en la intersección actual, ir al paso (III). Si no, abrir cualquier puerta cerrada para salir a un pasaje y dejar la puerta abierta. (II) Si se puede ver una intersección al otro lado del pasaje que ya este encendido, probar otra puerta en la intersección actual (del paso 1). Si no (la intersección está apagada), seguir el pasaje hasta la intersección desenrollando el hilo, prender la luz y regresar al paso (I). (III) Si todas las puertas en la intersección actual están abiertas, verificar si se está en el punto inicial. Si es el caso, parar. Si no, usar el hilo hasta llegar a la intersección que nos llevó allí buscando otra puerta abierta.

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6 Explorando un laberinto Al usar el algoritmo de exploración de Trémaux, encendemos todas las luces, abrimos todas las puertas y regresamos al punto inicial. Hay 4 posibles situaciones: El pasaje está apagado, entonces lo seguimos. El pasaje es el que usamos para entrar (tiene nuestro hilo), lo usamos para salir. La puerta del otro lado esta cerrada (pero la intersección está prendida), no recorremos el pasaje. La puerta al otro lado del pasaje está abierta y la intersección prendida, nos saltamos el pasaje.

7 Depth-first search La técnica de exploración de Trémaux nos lleva a la función recursiva clásica para recorrer gráficas: para visitar un vértice, lo marcamos como visitado y (recursivamente) visitamos todos los vértices adyacentes a este que no han sido marcados. (DFS)

8 Depth-first search En depth-first (profundidad primero) search: exploramos en un solo camino en la gráfica hasta lo más lejos que podamos llegar (no se encuentren más vértices). regresamos hasta un punto donde haya vértices que explorar y continuamos (como explorar un laberinto). Ejemplo de depth-first search empezando en el centro de la gráfica: s graph:

9 Depth-first search Tiempo de ejecución: O(E) ya que cada arista es examinada a lo más dos veces

10 Depth-first search El algoritmo puede escribirse de manera recursiva o iterativa. Ambas versiones toman un vértice fuente (source) s. ITERATIVE_DFS(s): RECURSIVE_DFS(v): 1. if v is unmarked. mark v 3. for each edge (v,w) 4. RECURSIVE_DFS(w) 1. PUSH(s). while stack not empty. v POP 3. if v is unmarked 4. mark v 5. for each edge (v,w) 6. PUSH(w) Es exactamente el mismo algoritmo con la única diferencia que en la versión iterativa se puede ver la pila de la recursión. Algun error?

11 Llenado por inundación Dado un pixel de color verde limón en la imagen, cambia el color de todos sus vecinos del mismo color a azul. Vértice: pixel Arista: pixeles vecinos del mismo color. Blob: todos los pixeles alcanzables a partir del pixel inicial. recolor lime green blob to blue

12 Encontrar un camino Hay un camino de s a t? si lo hay, encuentralo.

13 Recorridos genéricos en gráficas DFS es una (tal vez la más común) instancia de la familia general de algoritmos de recorrido de gráficas. El algoritmo de recorrido genérico almacena un conjunto de aristas candidatas en alguna estructura de datos que llamaremos bolsa. Las únicas propiedades importantes de la bolsa es que se puedan poner cosas dentro (como un contenedor en C++) y que se puedan sacar cuando sea necesario. Traverse(s): put (, s) in bag while the bag is not empty take (p, v) from the bag ( ) if v is unmarked mark v parent(v) p for each edge (v, w) ( ) put (v, w) into the bag ( )

14 Recorridos genéricos en gráficas Traverse(s): put (, s) in bag while the bag is not empty take (p, v) from the bag ( ) if v is unmarked mark v parent(v) p for each edge (v, w) ( ) put (v, w) into the bag ( ) Notese que estamos guardando las aristas en la bolsa en lugar de los vértices. Esto es porque queremos recordar, cuando visitemos un vértice v por primera vez, cuál vértice previamente visitado p puso a v en la bolsa. Llamamos al vértice p padre de v.

15 Recorridos genéricos en gráficas Traverse(s): put (, s) in bag while the bag is not empty take (p, v) from the bag ( ) if v is unmarked mark v parent(v) p for each edge (v, w) ( ) put (v, w) into the bag ( ) TRAVERSE(s) marca cada vértice en una gráfica conectada, exactamente una vez, y el conjunto de aristas (v,parent(v)) con parent(v) forma un árbol generador (spanning tree) del grafo. Cada vértice no se marca más de una vez. El conjunto de aristas forman un árbol generador.

16 Traverse(s): put (, s) in bag while the bag is not empty take (p, v) from the bag ( ) if v is unmarked mark v parent(v) p for each edge (v, w) ( ) put (v, w) into the bag ( ) El tiempo exacto de ejecución de un algoritmo de recorrido de gráficas depende de la representación de la gráfica y de la estructura usada como bolsa. Sin embargo se pueden hacer observaciones generales: Ya que cada vértice se visita a lo más una vez, entonces el cíclo ( ) ejecuta a lo más... e bag V veces. se Cada arista se pone en la bolsa exactamente dos veces, una como (v,u) y otra como (u,v), entonces la línea se ejecuta a lo más... ( ) E veces. Finalmente, como no podemos sacar más cosas de la bolsa de las que metimos, la línea se ejecuta a lo más... ( ) E + 1 veces.

17 Ejemplos de recorridos en gráficas Suponiendo una representación con listas de adyacencia, si implementamos la bolsa con una pila (stack), qué algoritmo tenemos? depth-first search. Cada ejecución de ( ) o ( ) toma tiempo constante. El tiempo de ejecución total es O(V+E). Ya que la gráfica está conectada, V E+1, por lo que podemos simplificar el tiempo de ejecución a O(E). El árbol generador producido se llama depth-first spanning tree. La forma de este árbol depende del orden en que se recorren los nodos adyacentes pero en general serán alargados. 17

18 Ejemplos de recorridos en gráficas Suponiendo una representación con listas de adyacencia, si implementamos la bolsa con una cola (queue), qué algoritmo tenemos? breath-first search. Cada ejecución de ( ) o ( ) toma tiempo constante. El tiempo de ejecución total es O(V+E). Ya que la gráfica está conectada, V E+1, por lo que podemos simplificar el tiempo de ejecución a O(E). El árbol generador producido contiene los caminos más cortos desde el inicio hasta el vértice actual. La forma de este árbol depende del orden en que se recorren los nodos adyacentes pero en general serán anchos y cortos.

19 Recorridos en gráficas desconectadas Si la gráfica está desconectado, entonces TRAVERSE(s) solo visita los nodos en el componente conectado del vértice inicial s. Si queremos visitar todos los nodos podemos utilizar el siguiente algoritmo, que calcula el bósque generador de la gráfica. TraverseAll(s): for all vertices v if v is unmarked Traverse(v)

20 DFS comp-40

21 Depth-First Search Buscar lo más profundo de una gráfica mientras sea posible. Las aristas son exploradas a partir del vértice más recientemente descubierto que tenga aristas inexploradas. Cuando todas las aristas de v han sido exploradas, la búsqueda regresa (backtrack) hasta llegar a un vértice con aristas sin explorar. Este proceso se repite hasta que todos los vértices han sido descubiertos.

22 Depth-First Search w x v s t u x w t u v x s u s t s t u v w x t w x s v s t v En qué orden visitamos los nodos? 5 / 6 w 7 / 8 x v 4 / 9 0 / 11 s t u 1 / 10 / 3

23 Depth-First Tree 5 / 6 w 7 / 8 x v 4 / 9 s t tree edges back edges 0 / 11 s t u u v 1 / 10 / 3 w x

24 Depth-First Search Supone una representación utilizando listas de adyacencia. El color de cada vértice u V se almacena en la variable color[u]. El predecesor de u se almacena en la variable π[u]. La subgráfica de predecesores puede formar más de un árbol porque la búsqueda se puede repetir a partir de múltiples fuentes. La subgráfica de predecesores se define como: G =(V,E ) E = {( [v],v):v V y [v] = NIL }. La subgráfica de predecesores en DFS forma un bosque compuesto de depth-first trees. Las aristas en Eπ se llaman tree edges.

25 Depth-First Search DFS también mantiene un sello de tiempo (timestamp) en cada vértice. Cada vértice v tiene dos timestamps: d[v] que almacena el momento en que v es descubierto (coloreado de gris), y f[v] cuando se termina de examinar su lista de adyacencia (colorea de negro). d[v] y f[v] son números enteros entre 1 y V, porque... hay un solo evento de descubrimiento y un evento de terminación para cada uno de los V vértices. Para cada vértice u, d[u] < f[u].

26 DFS( G ) 1 for each vertex u V [G] do color[u] WHITE 3 [u] NIL 4 time 0 5 for each vertex u V [G] 6 do if color[u] =WHITE 7 then DFS-VISIT(u)

27 DFS-VISIT( u ) 1 color[u] GRAY // White vertex u has just been discovered. time time +1 3 d[u] time 4 for each v Adj[u] // Explore edge (u, v). 5 do if color[v] =WHITE 6 then [v] u 7 DFS-VISIT(v) 8 color[u] BLACK // Blacken u; it is finished. 9 f[u] time time +1

28 u v x 1/ /7 u v w v y u v w w x z v y x y z y z x z x 4/5 y 3/6 z 1/ 1/ / 1/ 8 /7 u v w u v w u v w x y z x y z x y z 4/ 3/ 4/5 3/6 1/ / 1/ / 1/ 8 /7 9/ u v w u v w u v w x y z x y z x y z 4/5 3/ 4/5 3/6 1/ / 1/ / 1/ 8 /7 9/1 u v w u v w u v w x y z x y z x y z 3/ 4/5 3/6 4/5 3/6 10/11

29 DFS: Tiempo de Cálculo Cuál es el tiempo de cálculo de los cíclos de las líneas 1 a 3? y de las líneas 5 a 7? (sin contar el tiempo que toma la llamada a DFS-VISIT(v)) (V) El procedimiento DFS-VISIT(v) es llamado exactamente una vez para cada vértice v V porque se llama sólo en los vértices blancos y la primera acción es pintarlos de gris. Durante la ejecución de DFS-VISIT(v), el cíclo de las líneas 4 a 7 se ejecuta... Adj[v] veces.

30 DFS: Tiempo de Cálculo Ya que, el costo total de ejecutar las las líneas 4 a 7 de v V Adj[v] = DFS-VISIT(v) es (E). (E) El costo total de DFS es por lo tanto: (V+E).

31 Propiedades de DFS La subgráfica de predecesores, Gπ forma un bosque de árboles ya que la estructura de los árboles produce exáctamente la estructura de llamadas recursivas de DFS-VISIT(v). u = π[v] si y solo si DFS-VISIT(v) fue llamada durante una búsqueda en la lista de adyacencia de u. el vértice v es un descendiente de u en el bosque si y solo si v es descubierto durante el tiempo en que u es gris. Los tiempos de descubrimiento y terminación de un vértice tienen estructura de paréntesis: si representamos el descubrimiento por (u y la terminación por u), el historial del algoritmo estará propiamente anidado.

32 3/6 /9 1/10 11/16 y z s t x w v u 4/5 7/8 1/13 14/15 s t z v u y w x

33 Teorema del Paréntesis En una búsqueda en profundidad (en una gráfica dirigida o no dirigida) G=(V,E), para cualquier par de vértices u y v, exactamente una de las siguientes condiciones se cumple: Los intervalos [ d[u],f[u] ] y [ d[v],f[v] ] están completamente disjuntos y ningún vértice u o v son descendientes entre sí en el bosque depth-first. El intervalo [ d[u], f[u] ] está enteramente contenido en el intervalo [ d[v], f[v] ], y u es descendiente de v en un árbol depth-first. El intervalo [ d[v], f[v] ] está enteramente contenido en el intervalo [ d[u], f[u] ], y v es descendiente de u en un árbol depth-first.

34 Teorema del Paréntesis Para probar este teorema pensar en el caso en que d[u] < d[v] y en sus subcasos: d[v] < f[u] : v ha sido descubierto mientras u era todavía gris. Esto implica que v es descendiente de u. Además como v fue descubierto más recientemente que u, sus nodos adyacentes serán explorados antes que el algoritmo regrese y termine de explorar u. En este caso el intervalo [ d[v],f[v] ] estará contenido en [ [d[u],f[u] ]. d[v] > f[u] : los intervalos están disjuntos, ninguno era gris, ninguno es descendiente de otro. el caso en que d[v] < d[u] es simétrico. Corolario: un vértice v es un descendiente propio de otro vértice u en el bosque de profundidad para una gráfica (dirigida o no) si y solo si: d[u] < d[v] < f[v] < f[u]

35 Mas información de estructura

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37 BFS comp-40

38 Breadth-First Search Uno de los algoritmos más simples para recorrer gráficas. Se usa como arquetipo para muchos algoritmos importantes con gráficas. Dada una gráfica G=(V,E) y un vértice fuente s, BFS explora las aristas de G sistemáticamente para descubrir cada vértice alcazable desde s. El algoritmo calcula la distancia (mínimo número de aristas) desde s hasta cualquier vértice alcanzable en G. Genera un árbol de anchura (BF tree) con raíz s y que contiene todos los vértices alcanzables en G. Para cualquier vértice v alcanzable desde s, el camino en el árbol desde s hasta v corresponde al camino más corto de s a v en G.

39 Breadth-First Search Supongamos una representación utilizando listas de adyacencia. El color de cada vértice u se almacena en la variable color[u]. El predecesor de u se almacena en la variable π[u]. La distancia de la fuente s al vértice u calculada por el algoritmo se almacena en d[u]. Se mantiene también una cola Q (first-in, first-out) que maneja el conjunto de vértices grises.

40 BFS(G,s) 1 for each vertex u V [G] {s} do color[u] WHITE 3 d[u] 4 π[u] NIL 5 color[s] GRAY 6 d[s] 0 7 π[s] NIL 8 Q 9 ENQUEUE(Q, s) 10 while Q 11 do u DEQUEUE(Q) 1 for each v Adj[u] 13 do if color[v] =WHITE 14 then color[v] GRAY 15 d[v] d[u]+1 16 π[v] u 17 ENQUEUE(Q, v) 18 color[u] BLACK

41 Breadth-first search 0 r s t u v w x y Q s 0 Líneas r s t u v w x y Q w 1 r 1 Ciclo r s t u v w x y Q r 1 t x r s t u v w x y Q t x v r s t u v w x y Q x v u r s t u v w x y Q v u 3 y r s t u v w x y Q y r s t u v w x y Q r s t u v w x y Q u 3 y 3

42 Breadth-First Search En el test de la línea 10, la cola Q consta de qué vertices? el conjunto de vértices grises. El resultado de BFS depende solamente del orden en que los vecinos de un nodo dado son visitados en la línea 1 : El BF-tree puede variar pero las distancias d calculadas no. Pueden ver una buena implementación de gráficas y BFS en C++ en la librería Boost Graph Library.

43 BFS: tiempo de cálculo Depués de la inicialización ningún nodo será dibujado de blanco, por lo que la prueba de la línea 13 asegura que cada vértice es metido y por lo tanto sacado a/de la cola a lo más una vez. Las operaciones ENQUEUE y DEQUEUE toman O(1). El tiempo total tomado por las operaciones de la cola es: O(V). La lista de adyacencia para cada vértice se recorre a lo más una vez. cuándo? cuando sale el vértice de Q. Ya que la suma de las longitudes de todas las listas de adyacencia es O(E), el tiempo total requerido para recorrer las listas es O(E).

44 BFS: tiempo de cálculo Cuántas veces se pone un nodo en la cola? (operación ENQUEUE). Cuánto tiempo se necesita para inicializar el problema? O(V). Cuál es el timpo total de ejecución de BFS? O(V+E)

45 BFS: caminos más cortos BFS encuentra la distancia más corta a cada vértice alcanzable en una gráfica G=(V,E) a partir de una fuente s. Definimos la distancia más corta (s,v) de s a v como el mínimo número de aristas en cualquier camino del vértice s al vértice v. Si no existe un camino de s hasta v entonces (s,v) =. Un camino de largo (s,v) desde s hasta v se conoce como el camino más corto en esa gráfica.

46 Caminos más cortos: propiedades Lema 1: Sea G=(V,E) un grafo dirigido o no dirigido, y sea s V un vértice arbitrario. Entonces para cualquier arista (u,v) E: (s,v) <= (s,u)+1 Prueba: si u es alcanzable desde s, entonces también v. en este caso, el camino más corto desde s hasta v no puede ser más largo que el camino más corto a partir de s hasta u, seguido por la arista (u,v) y la desigualdad se mantiene. En caso que no exista camino entre s y u, entonces (s,u) = y la desigualdad se mantiene.

47 Caminos más cortos: propiedades Lema : Sea G=(V,E) un grafo dirigido o no dirigido, y supongamos que BFS se ejecuta en G desde un vértice fuente s V. Al término de la ejecución, para cada vértice v V, el valor d[v] calculado satisface: d[v] (s,v) Prueba: Usando inducción en el número de operaciones ENQUEUE: La base de la inducción es la situación que ocurre inmediatamente después que s es puesta en Q en la línea 9 de BFS. La hipótesis inductiva se mantiene ya que d[s]=0= (s,s) y d[v]= (s,v) para todo v V - {s}.

48 Caminos más cortos: propiedades para el paso inductivo, consideramos un vértice blanco v que es descubierto durante la búsqueda a partir de un vértice u. la hipótesis inductiva supone que d[u] (s,u). De la asignación realizada en la línea 15 y por el Lema 1, obtenemos: d[v] = d[u]+1 δ(s, u)+1 δ(s, v). el vértice v es puesto en la cola y nunca se vuelve a poner en Q porque ahora es gris y la cláusula then de las líneas 14 a 17 se ejecuta solo para vértices blancos. El valor de d[v] nunca vuelve a cambiar, manteniendo la hipótesis

49 Caminos más cortos: propiedades Lema 3: Supongamos la ejecución de BFS en la gráfica G=(V,E). La cola Q contiene los vértices <v 1,v,...,v r > donde v 1 es el primer elemento y v r el último elemento de Q. Entonces: Prueba: d[v r ] d[v 1 ] + 1 y d[v i ] d[v i+1 ] para i= 1,,..., r-1. Usando inducción en el número de operaciones en la cola. Inicialmente, cuando Q solo tiene a s, el lema se mantiene. Para el paso inductivo, debemos probar que el lema se mantiene después de las operaciones ENQUEUE y DEQUEUE en un vértice.

50 Caminos más cortos: propiedades Si el primer elemento v 1 en Q sale, v se convierte en la nueva cabeza. Por la hipótesis inductiva d[v 1 ] d[v ], y tenemos que d[v r ] d[v 1 ]+1 d[v ]+1 Las demás desigualdades se mantienen y el lema se mantiene también con v a la cabeza. Al poner un vértice v en Q, se convierte en v r+1. En este momento hemos quitado al vértice u de Q y la nueva cabeza v 1 mantiene d[v 1 ] d[u]. Entonces d[v r+1 ] = d[v] = d[u]+1 d[v 1 ]+1. Por la hipótesis inductiva también tenemos d[v r ] d[u]+1 y por eso d[v r ] d[u] +1 = d[v] = d[v r+1 ], y las demás desigualdades se mantienen.

51 Caminos más cortos: propiedades Corolario 1: Supongamos que los vértices v i y v j son puestos en Q durante la ejecución de BFS y que v i fue puesto en la cola antes que v j. Entonces: al momento de poner a v j en la cola. Prueba: d[v i ] d[v j ] Por el Lema 3 y la propiedad de que cada vértice recibe un valor finito de d durante BFS.

52 Caminos más cortos Todo esto para probar que BFS encuentra correctamente caminos con las distancias más cortas. Teorema I (exactitud de BFS) Sea una gráfica G=(V,E) un grafo dirigido o no dirigido, supongamos que BFS se ejecuta en G para un vértice s V. Durante la ejecución BFS descubre cada vértice v V alcanzable desde la fuente s y a su terminación d[v]= (s,v) para todo v V. Además, para cualquier vértice v s alcanzable desde s, uno de los caminos más cortos hasta v es el camino más corto desde s hasta π[v] siguiendo la arista (π[v],v).