Smart Antennas. Beamforming by Recursive Least Squares ALgorithm. Julio Santana

Transcripción

1 Departamento de Ingeniería Eléctrica Facultad de Ingeniría Universidad de Concepción Concepción, Chile. Smart Antennas Beamforming by Recursive Least Squares ALgorithm. Julio Santana 15 de diciembre de 2010

2 Resumen En el presente informe se muestra el desarrollo de las ecuaciones que permiten utilizar la técnica RLS(Recuersive Least Squares) para ajustar los coecientes de arreglos lineales con direcciones de arrivo que cambian en el tiempo. La ventaja de este método radica en que no es necesario calcular reiteradamente la matriz de correlación inversa, ahorrando en complejidad computacional. 1. Derivación del algoritmo Figura 1: a). Beamformer análogo. b) Fomardor de haz electrónico. Consideraremos que x(k) ˆ es un vector de señales que corresponden a una muestra de las N antenas en el instante de tiempo k, x(k) ˆ = {x 1, x 2,..., x N } la matriz de covarianza de la señal x(k) ˆ R xx = E (ˆxˆx H) (1) H denota un vector o matriz hermitiano. El vector de correlación de la señal de llegada con la señal deseada ˆr = E (dˆx) (2) Consideremos un bloque de muestras de señales del arreglo, señal pasada por una ventana de ancho K. La estimación de la esperanza de la matriz de covarianza la podemos aproximar a través de la suma de las muestras anteriores desde que el sistema parte hasta el instante presente k como y la estimación del vector de correlación como R xx (k) = ˆr(k) = k ˆx(i)ˆx(i) H (3) k d(i)ˆx(i) (4) Si ahora agregamos un factor que pondere con un mayor peso a la actualización y con un menor peso a los datos pasados entonces 1

3 R xx (k) = ˆr(k) = k α k iˆx(i)ˆx(i) H (5) k α k i d(i)ˆx(i) (6) donde α es el factor de ponderación de memoria, 0 α < 1. Si ahora separamos el termino de actualización de los pasados k 1 R xx (k) = α α k i 1ˆx(i)ˆx(i) H + ˆx(i)ˆx(i) H (7) = αr xx (k 1) + ˆx(k)ˆx(k) H ˆr (8) k 1 = α d(i)α k i 1ˆx(i) + d(k)ˆx(k) (9) = αˆr(k 1) + d(k)ˆx(k) (10) ahora los valores futuros pueden estimarse mediante los valores pasados. Si ahora utilizamos la formula de Sherman-Morrison-Woodbury (A + zz H ) = A 1 A 1 zz H A 1 (11) 1 + z H A 1 z y la aplicamos a la ecuación 8, con αr xx (k 1) = A si ahora denimos el vector de ganancia Rxx 1 (k) = α 1 Rxx 1 (k 1) + α 2 Rxx 1 (k 1)ˆx(k)ˆx H (k)rxx 1 (k 1) 1 + α 1ˆx H (k)rxx 1 (k 1)ˆx(k) ĝ(k) = ˆ g(k) α 1 R 1 xx (k 1)ˆx(k) 1 + α 1ˆx H (k)r 1 xx (k 1)ˆx(k) Así llegamos a la forma conocida como ecuación de Ricatti (12) (13) R 1 xx (k) = α 1 R 1 xx (k 1) α 1 ĝ(k)ˆx H (k)r 1 xx (k 1) (14) reordenamos la ecuacion 13 pasando el denominador a la izquierda y luego dejamos solo el un término con ĝ(k) a la derecha ĝ(k) = [ α 1 R 1 xx (k 1) α 1ˆx H (k)r 1 xx (k 1) ] ˆx(k) (15) Se puede notar que el término entre paréntesis en la ecuacion 15 es igual a la ecuación 14 por lo que podemos escribir ĝ(k) = R 1 xx ˆx (16) Ahora podemos derivar una relación de recursividad para actualizar el vector de ganancia, tal realción es directa al mirar las ecuaciones 15 y 16 Escribimos una ecuación de costos para hacer una relación que minimice el error medio cuadrático MSE entre la señal deseada y la recibida. Denimos el error como 2

4 y el error cuadrático lo podemos expresar como consideramos ahora la media del error Escribimos la ecuación de Wiener-Hopf ɛ(k) = d(k) w H (k)ˆx (17) ɛ(k) 2 = d(k) w H (k)ˆx 2 (18) = d(k) 2 2d(k)w H (k) + w H (k)ˆx(k)w (19) E ( ɛ 2) = E ( d 2) 2wˆr + w H R xx w (20) E ( ɛ 2) = 2R xx w 2r = 0 (21) que tiene como solución el vector de pesos que minimiza el error medio cuadrático, esta solución es conocida como solución óptima de Wiener Ahora que tenemos la solución óptima sustituimos la ecuación 10 en 22 w opt = R 1 xx ˆx (22) sustituimos 22 en la ecuación 24 w(k) = Rxx 1 (k 1)ˆr(k 1) ĝ(k)ˆx H (k)rxx 1 (k 1)ˆr(k 1) + Rxx 1 d(k)ˆx(k) (23) = w(k 1) ĝ(k)ˆx H w(k 1) + Rxx 1 (k)ˆx(k)d(k) (24) w(k) = w(k 1) ĝ(k)ˆx H w(k 1) + ĝ(k)d(k) (25) = w(k 1) + ĝ(k) [ d(k) ˆx H w(k 1) ] (26) 2. Implementación del algoritmo Para la implementación del algoritmo en un computador ocupamos las ecuaciones 8, 12 y 26 α R 1 xx (0) d(0) ˆx(k) := forgetting factor := Inverse covarianze matrix := Desired signal := Received signal for i:k { R xx (k) = αr xx (k 1) + ˆx(k)ˆx H (k) Rxx 1 (k) = α 1 Rxx 1 (k 1) + α 2 R 1 1+α 1 ˆx H (k)r 1 w(k) = w(k 1) + ĝ(k) [ d(k) ˆx H w(k 1) ] xx (k 1)ˆx(k)ˆxH (k)r 1 xx (k 1) xx (k 1)ˆx(k) } 3

5 Figura 2: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 40 o, I== 35 o. Análisis de precisión una señal de interferencia Figura 3: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 40 o, I== 50 o. Figura 4: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 40 o, I== 45 o dos interferencias 4

6 Figura 5: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 20 o, I1= 70 o, I2== 75 o. Figura 6: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 20 o, I1= 75 o, I2== 40 o - Figura 7: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 0 o, I1= 50 o, I2== 25 o, I3== 25 o, I4== 50 o. Figura 8: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 10 o, I1= 80 o, I2== 60 o, I3== 50 o, I4== 50 o. 5

7 Figura 9: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 10 o, I1= 85 o, I2== 60 o, I3== 40 o. Figura 10: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 10 o, I1= 85 o, I2== 60 o, I3== 40 o, I4== 85 o. Figura 11: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 10 o, I1= 85 o, I2== 40 o, I3== 40 o, I4== 85 o. Figura 12: Array factor para K=50, σ 2 n = 0,01, S.I= 60 o, I1= 50 o, I2== 60 o, I3== 80 o, I4== 10 o. 3. Conclusión EL algoritmo RLS presenta ventajas en comparación con el simple LS que calcula la solución óptima de Wiener para cada instante de tiempo, esto implica que el algoritmo debe calcular reiteradamente la matriz de correlación inversa. Este algoritmo usa información de cálculos anteriores para aproximar la solución óptima del vector de pesos w, así ponderamos la información actual con un factor de ganancia que está dado por la aproximación de la matriz de correlación inversa y los nuevos valores de señal que son usados de forma recursiva para realizar las sucesivas aproximaciones. Este algoritmo es por lo menos un orden de magnitud más rápido que el clásico LMS sin embargo puede tener problemas de estabilidad cuando este se implementa en hardware de aritmética de punto jo Según el análisis realizado se puede observar que el algoritmo cumple su objetivo y demuestra robustez cuando este tiene un número interferencias menor que la mitad de los elementos del arreglo. 6

8 El esquema de este algoritmo lo hace ideal para aplicaciones con señales de arribo e interferencia cambiantes espacialmente, ya que con pocos cálculos podemos utilizar información pasada para actualizar el nuevo vector de pesos. 4. Código matlab clc clear all close all K = 50; %numero de samples del arreglo alpha_1 = 0.9; sigma_1 = 0.2; d = 0.5; % separacion del arreglo N = 8; % cantidad de elementos del arreglo theta_signal = 12*pi/180; % angulo de la senal deseada theta_interf_1 = -40*pi/180; % angulo senal interferencia time = 1e-3; % tiempo de análisis t = (0:(K-1))*time/(K-1); % vector temporal signal_des = cos(2*pi*t/time);% sampleo sobre eun periodo interf = sin(pi*t/time); noise_matrix = randn(n,k)*sqrt(sigma_1); Rnn = noise_matrix*noise_matrix'/k; % vectores de direcciones dir_signal = []; dir_interf_1= []; :N; dir_signal = exp(1j*(i-1)*2*pi*d*sin(theta_signal)); dir_interf_1 = exp(1j*(i-1)*2*pi*d*sin(theta_interf_1)); % Algoritmo RLS x = dir_signal.'*signal_des + dir_interf_1.'*interf; % entrada de señales w = zeros(n,k); % pesos del arreglo Rxx = x(:,1)*x(:,1)'+ Rnn; % matriz de correlacion inicial Rinv = inv(rxx); % matriz de correlacion inversa beta = 1/alpha_1; for j=2:k Rxx = alpha_1*rxx+x(:,j)*x(:,j)'; Rinv= beta*rinv-beta^2*rinv*x(:,j)*x(:,j)'*rinv./(1+beta*x(:,j)'*rinv*x(:,j)); g = Rinv*x(:,j); w(:,j)=w(:,j-1)+g*[signal_des(j)-x(:,j)'*w(:,j-1)]; end for j=1:n figure(1) 7

9 plot(1:k,abs(w(j,:)),'k') hold on figure(2) plot(1:k,unwrap(angle(w(j,:))),'k') hold on end hold off ww=w(:,k); ww=ww/abs(ww(1)); theta = -pi/2:.01:pi/2; AF = zeros(1,length(theta)); % Calculo del factor del arreglo for i = 1:N AF = AF + conj(ww(i))*exp(j*(i-1)*2*pi*d*sin(theta)); end figure; plot(theta*180/pi,abs(af)/max(abs(af)),'k') xlabel('aoa (deg)') ylabel(' AF_n ') axis([ ]) set(gca,'xtick',[ ]) grid on Referencias [1] Frank B. Gross,Smart Antennas for Wireless Communications. 8