DIAGRAMAS DE ESTADO. Fernando di Sciascio (2016)

Transcripción

1 DIAGRAMAS DE ESTADO Fernando di Sciascio (2016)

2 Diagramas de Estado Los Diagramas de Estado son una extensión de los diagramas de flujo señal y permiten describir gráficamente ecuaciones diferenciales y de estado. El diagrama de estado tiene una relación muy cercana con las ecuaciones de estado, las funciones de transferencia y las simulaciones mediante computadora. Se construyen siguiendo todas las reglas de los gráficas de flujo señal, utilizando la transformada de Laplace de las ecuaciones de estado o en el dominio del tiempo mediante operadores integrales.

3 Diagramas de Estado Vamos a construir el Diagrama de Estado de un ejemplo a partir de las Ecuaciones de Estado. Esta herramienta nos ayuda a visualizar las Variables de Estado. Posteriormente el Diagrama de Estado nos permitirá obtener representaciones alternativas de los sistemas en espacio de estado, por ejemplo, las distintas formas canónicas. Consideremos las siguientes ecuaciones de estado y de salida.

4 Diagramas de Estado a partir de las Ecuaciones de Estado 1) Se identifican los nodos de las variables de estado x 1, x 2, x 3, ; también se identifican los nodos a la izquierda de las variables de estado que serán las derivadas de las variables de estado (Figura a). También se identifican los nodos de entrada r y de salida y. (a) Dibujar los nodos de derecha a izquierda

5 Diagramas de Estado a partir de las Ecuaciones de Estado 2) Se conectan las variables de estado con sus derivadas mediante 1/s (o el operador integral 1/p) como se muestra en la Figura (b). (b) Interconectar las variables de estado y las derivadas

6 3) Utilizando las ecuaciones de estado, se introducen en cada nodo las señales indicadas. Por ejemplo, al nodo de sx 1 =>dx 1 /dt debe llegar 2x 1-5x 2 + 3x 3 + 2r, Figura (c). (c) Formar dx1/dt

7 Diagramas de Estado a partir de las Ecuaciones de Estado 4) De manera similar el nodo sx 2 =>dx 2 /dt debe recibir - 6x 1-2x 2 + 2x 3 + 5r ver Figura (d). (d) Formar dx2/dt

8 5) De manera similar al nodo sx 3 =>dx 3 /dt debe llegar x 1-3x 2-4x 3 + 7r ver Figura (e). (e) Formar dx3/dt

9 6) Finalmente, utilizando la ecuación de salida, al nodo de la salida y debe llegar - 4x 1 + 6x 2 + 9x 3, ver la Figura (f) (f) Formar la señal de salida Y(s) Se ha llegado a la representación final en variables de fase donde las variables de estado son las salidas de los integradores.

10 Diagramas de Estado Ahora utilizaremos los Diagramas de Estado para desarrollar formas alternativas de los modelos de Variables de Estado a partir de la función de transferencia. Esto se conoce como DESCOMPOSICIÓN DE LAS FUNCIONES DE TRANSFERENCIA. Como ejemplo veremos dos descomposiciones: Descomposición en serie o cascada. Descomposición en paralelo.

11 Descomposición de una Función de Transferencia en Serie Consideremos la siguiente función de transferencia para ejemplificar el método. Se descompone la función de transferencia en bloques en serie de funciones de transferencia simples como se muestra en la figura (de primer orden para polos reales distintos, de orden r para polos reales repetidos r veces y de segundo orden para polos complejos conjugados).

12 Descomposición de una Función de Transferencia en Serie En este ejemplo, cada bloque simple de primer orden tiene la siguiente función de transferencia.

13 Descomposición de una Función de Transferencia en Serie Ahora construimos el Diagrama de Estado de cada ecuación diferencial representativa de los bloque de funciones de transferencia de primer orden.

14 Descomposición de una Función de Transferencia en Serie Ahora construimos el Diagrama de Estado total con los tres bloques de las funciones de transferencia de primer orden.

15 Descomposición de una Función de Transferencia en Serie Ahora a partir del Diagrama de Estado escribimos las ecuaciones de estado y de salida.

16 Descomposición de una Función de Transferencia en Serie Finalmente, rescribimos las ecuaciones escalares en forma matricial. La descomposición de la función de transferencia en serie nos ha llevado a la forma canónica triangular de Jordan.

17 Descomposición de una Función de Transferencia en Paralelo Consideremos la misma función de transferencia que en la descomposición serie para ejemplificar el método. Al desarrollar la función de transferencia en fracciones parciales y calcular los residuos se obtiene la última igualdad. El desarrollo en fracciones parciales es equivalente a descomponer la función de transferencia original en bloques de funciones de transferencia simples en paralelo (de primer orden para polos reales distintos, de orden r, r-1, para polos reales repetidos r veces y de segundo orden para polos complejos conjugados).

18 Ahora construimos el Diagrama de Estado total con los tres bloques en paralelo de funciones de transferencia de primer orden.

19 Descomposición de una Función de Transferencia en Paralelo Ahora a partir del Diagrama de Estado escribimos las ecuaciones de estado y de salida y rescribimos las ecuaciones escalares en forma matricial. La descomposición de la función de transferencia en paralelo nuevamente nos ha llevado a la forma canónica triangular de Jordan.

20 MODELOS DE ESTADO PARA SISTEMAS INTERCONECTADOS CONEXIÓN EN SERIE O CASCADA CONEXIÓN EN PARALELO CONEXIÓN EN REALIMENTACIÓN Fernando di Sciascio (2016)

21 Interconexión de Modelos en Espacio de Estado Para construir modelos en espacio de estados de sistemas complejos, es necesario saber interconectar sistemas simples. Esta interconexión es usualmente la combinación de tres tipos básicos de estructuras: Conexión en serie o cascada. Conexión en paralelo. Conexión en realimentación. En cada uno de estos casos nos interesa obtener un modelo en variables de estado del sistema completo resultante.

22 Interconexión de Modelos en Espacio de Estado Para el análisis que sigue consideramos dos sistemas, definidos mediante su modelo en variables de estado: Sistema 1 x ( t) A x ( t) B u ( t) y ( t) C x ( t) D u ( t) Sistema 2 x ( t) A x ( t) B u ( t) y ( t) C x ( t) D u ( t)

23 Interconexión en Serie o Cascada Para obtener el modelo de estado deseado, observamos que: u1( t) y2( t), u2( t) u( t), y1( t) y( t)

24 Interconexión en Serie o Cascada u1( t) y2( t), u2( t) u( t), y1( t) y( t) Escribimos la ecuación de estado para cada subsistema y reemplazamos las igualdades de arriba. x ( t) A x ( t) B u ( t) y ( t) C x ( t) D u( t) A x ( t) B C x ( t) D u( t) A x ( t) B C x ( t) B D u( t) x ( t) A x ( t) B u ( t) A x ( t) B u( t) ut ()

25 Interconexión en Serie o Cascada x ( t) A x ( t) B C x ( t) B D u( t) x ( t) A x ( t) B u( t) Ahora escribimos la ecuación de salida para S 1 y reemplazamos variables. y( t) y ( t) C x ( t) D u ( t) y ( t) C x ( t) D u( t) C x ( t) D C x ( t) D u( t) C x ( t) D C x ( t) D D u( t)

26 Interconexión en Serie o Cascada Reescribiendo en forma matricial: x1( t) A1 B1C 2 x1( t) B1D2 ut x ( t) 0 A x ( t) B x () t y( t) C D C D D u( t) x2() t () A s A B C B D , Bs A2 B2 C C D C, D D D s s 1 2

27 Ejemplo de interconexión serie: Se compara la interconexión serie que genera el comando de Matlab serie2=series(s1,s2) con el modelo teórico serie=ss(as,bs,cs,ds). clear, clc, close all S1=ss([0 1;-4-3],[0; 1],[1.5 1],[0]) S2=ss([-2],[1],[3],[1]) [A1,B1,C1,D1]=ssdata(S1); [A2,B2,C2,D2]=ssdata(S2); As=[A1 B1*C2;0 0 A2]; Bs=[B1*D2;B2]; Cs=[C1 D1*C2]; Ds=D1*D2; serie=ss(as,bs,cs,ds); serie2=series(s1,s2); [y,t]=step(serie,4); [y2,t2]=step(serie2,4); plot(t,y,'b','linewidth',2) hold on plot(t2,y2,'or','linewidth',2,'markersize',4) hold off

28 Ejemplo de interconexión serie:

29 Interconexión en Paralelo Para obtener el modelo equivalente de la interconexión paralelo observamos que: u( t) u1( t) u2( t), y( t) y1( t) y2( t)

30 Interconexión en Paralelo u( t) u ( t) u ( t), y( t) y ( t) y ( t) Escribimos las ecuaciones de estado para cada subsistema y la ecuación de salida utilizando las igualdades de arriba. x ( t) A x ( t) B u( t) x ( t) A x ( t) B u( t) y( t) y ( t) y ( t) 1 2 C x ( t) C x ( t) D D u( t)

31 Interconexión en Paralelo Reescribimos en forma matricial. x1( t) A1 0 x1( t) B1 ut x ( t) 0 A x ( t) B x2() t () x () t y( t) C C D D u( t) A p A 0 0 B 1 1, Bp A2 B2 C C C, D D D p 1 2 p 1 2

32 Ejemplo de interconexión paralelo: Se compara la interconexión paralelo que genera el comando de Matlab paralelo2=parallel(s1,s2) con el modelo teórico paralelo=ss(ap,bp,cp,dp). clear, clc, close all S1=ss([0 1;-4-3],[0; 1],[1.5 1],[0]) S2=ss([-2],[1],[3],[1]) [A1,B1,C1,D1]=ssdata(S1); [A2,B2,C2,D2]=ssdata(S2); Ap=[A1 zeros(2,1);zeros(1,2) A2];Bp=[B1;B2]; Cp=[C1 C2]; Dp=D1+D2; paralelo=ss(ap,bp,cp,dp); paralelo2=parallel(s1,s2); [y,t]=step(paralelo,2); [y2,t2]=step(paralelo2,2); plot(t,y,'b','linewidth',2);hold on plot(t2,y2,'or','linewidth',2,'markersize',4) hold off

33 Ejemplo de interconexión paralelo:

34 Interconexión en Realimentación o Feedback La interconexión de sistemas en realimentación o feedback (con realimentación negativa unitaria) aparece normalmente asociada a la estructura básica del lazo de control realimentado, donde S1 es el sistema a controlar y S2 es el controlador. Se observan las siguientes relaciones: u( t) u2( t) y1( t), y( t) y1( t) y se asume que D 1 =0

35 Interconexión en Realimentación o Feedback Se llega a : x1( t) A1 B1D2C 1 B1C 2 x1( t) B1D2 ut x ( t) B C A x ( t) B () y( t) C 0 1 x () t x 1 2 () t A f A B D C B C B D , Bf B2C 1 A2 B2 C C 0, D 0 f 1 f

36 Ejemplo de interconexión feedback: Se compara la interconexión feedback que genera el comando de Matlab feedback1=feedback(s1,s2) con el modelo teórico feedback2=ss(af,bf,cf,df). clear, clc, close all S1=ss([0 1;-4-3],[0; 1],[1.5 1],[0]) S2=ss([-2],[1],[3],[0]) [A1,B1,C1,D1]=ssdata(S1); [A2,B2,C2,D2]=ssdata(S2); Af=[A1-B1*D2*C1 B1*C2;-B2*C1 A2];Bf=[B1*D2;B2];Cf=[C1 0];Df=0; feedback_conection=ss(af,bf,cf,df); feedback_conection2=feedback(s1*s2,1); [y,t]=step(feedback_conection,2); [y2,t2]=step(feedback_conection2,2); plot(t,y,'b','linewidth',2);hold on plot(t2,y2,'or','linewidth',2,'markersize',4) hold off

37 Ejemplo de interconexión feedback:

38 MODELOS DUALES Fernando di Sciascio (2016)

39 MODELOS DUALES Todo modelo tiene su dual. Si se describe un modelo en el espacio de estado por las matrices A, B, C y D, su modelo dual se describe por las matrices A D =A T ; B D =C T ; C D =B T y D D =D. A B C D D D D D A C B D T T T x( t) Ax( t) Bu( t) y( t) Cx( t) Du( t) T x ( t) A x ( t) C u( t) d T d y( t) B x ( t) Du( t) d T

40 Modelos Duales Si se tiene un Diagrama de Estado del modelo original como el de la figura siguiente: Entonces el modelo dual se obtiene de la forma siguiente:

41 Modelos Duales 1. Se cambia el sentido de las fechas en todas las ramas.

42 Modelos Duales 2. Se intercambian las posiciones de Y(s) y U(s).

43 Modelos Duales 3. Se cambian las variables de estado por sus derivadas y viceversa.

44 Modelos Duales Las formas canónicas controlables y observables, son formas duales (FCC1 dual de FCO1y FCC2 dual de FCO2), pues la matriz A de una forma es la transpuesta de la otra, la B, la transpuesta de la C, la C la transpuesta de la B, y como el sistema es monovariable las matrices D son iguales. Ejemplos

45 Modelos Duales Ejemplo FCC1 : G( s) 3 2 s 10s 42s s 8s 17s A 0 0 1, B 0, C , D 1 cc cc cc cc FCO A , B 25, C 0 0 1, co co co D co 1

46 Modelos Duales Ejemplo FCC 2 : G( s) 3 2 s 10s 42s s 8s 17s A 1 0 0, B 0, C , D 1 cc cc cc cc FCO A , B 25, C 1 0 0, co co co D co 1