CORTES AL CUADRADO. Guía para el profesor

Transcripción

1 CORTES AL CUADRADO Guía para el profesor RECURSOS NECESARIOS - Utensilios de dibujo (papel cuadriculado, regla) - Tijeras y compás (opcional) CURSOS Cursos: Tercer ciclo de Primaria y Primer y (Segundo Ciclo?) de ESO. CONTENIDOS CURRICULARES Contenidos: Geometría: Figuras planas. SOLUCIONES Y FORMAS DE RESOLVER LA ACTIVIDAD Descripción de las formas de resolver los apartados de la actividad. 1.-Dibuja un cuadrado y una recta que lo corte. Indica y describe qué polígonos has obtenido. Se persigue que identifiquen los polígonos obtenidos correctamente y que valoren diferentes soluciones. Además pueden considerar equivalentes las que se obtengan por algún movimiento (horizontal-vertical por ejemplo) o por desplazamientos de la sección (ejemplo en el g ir obteniendo triángulos cada vez mayores):

2 Casos especiales: a) y b) la sección es un cuadrado Desde un vértice: c) Dos triángulos rectángulos isósceles y e) Un triángulo rectángulo escaleno y un trapecio rectángulo Desde un punto de uno de los lados: d) Dos rectángulos; g) Un triángulo rectángulo (puede ser isósceles o escaleno y un pentágono no regular; f) Dos trapecios rectángulos 2.- Imagina que tu compañero está al otro lado del teléfono (no os podéis ver) y quieres comprobar si ha obtenido polígonos diferentes al tuyo. Escribe cómo le dirías lo que has obtenido. Escribe las preguntas que harías para saber qué ha obtenido tu compañero. Igual que en el ejercicio anterior, se pretende que describan verbalmente las secciones obtenidas y que elaboren las preguntas teniendo en cuenta los diferentes casos que creen que pueden darse y sus propiedades para describirlas. Por ejemplo, Pasa la recta por un vértice? Cuántos lados tiene iguales? Tiene algún ángulo recto? 3.- Al cortar un cuadrado con una recta puedes obtener dos polígonos. Explica qué relaciones encuentras entre estos dos polígonos. Las áreas suman el área del cuadrado Los perímetros suman el perímetro del cuadrado más el doble de la longitud del segmento que determina la sección. Puede que intenten buscar relaciones entre los Vértices (ó lados): a y b) Cuatro; c) 3+3, d y f) 4+4; e) 4+3; g) 5+3. Para este apartado han tenido que ser exhaustivos en el análisis de todas las posibilidades. 4.- Estudia si puedes obtener dos polígonos con la misma área, al cortar el cuadrado con una recta. Justifica qué tipo de polígonos son, en caso de poder hacerlo y analiza todos los casos posibles.

3 El caso c y d es esperable. En el caso f, debe darse cuenta de que la recta debe cortar al cuadrado a la misma distancia del vértice (x). Puede razonar que son iguales, superponiéndolos o aplicando la fórmula, pues la suma de la base mayor y la base menor es la misma. Debe ser exhaustivo para concluir que no hay más casos (razonando de apartados anteriores) 5.- Puedes obtener dos triángulos al cortar un cuadrado con una recta? Puede ser uno de ellos isósceles? Y equilátero? Sí se pueden obtener dos triángulos c). En este caso se ve que uno de ellos es isósceles. Puede razonar que no se pueden obtener equiláteros analizando todos los casos posibles o argumentando que siempre que se obtiene un triángulo, uno de sus ángulos debe ser un ángulo del cuadrado (porque de la sección únicamente se obtienen dos ángulos como máximo) y por tanto debe ser rectángulo. 6.- Cuál es el triángulo de mayor área que se puede obtener? Justifícalo Es el caso c) que tiene la mitad del cuadrado. Una posible explicación: al ser los triángulos rectángulos, su área es el semiproducto de los dos catetos que determinan un ángulo recto del cuadrado, por lo tanto, las máximas longitudes se alcanzarían si los catetos fuesen dos lados completos (caso del c). O razonando a partir del caso g, obteniendo triángulos cada vez mayores. 7.- Busca y justifica cuál es el polígono de mayor número de lados que puede obtenerse Puede obtener el pentágono (como un caso de los estudiados) y debe razonar que no se puede obtener un hexágono (ni un número superior) sino alude a la exhaustividad de todos los casos. No puede obtenerse un hexágono porque un lado cae sobre el segmento de la sección y los otros deben ser segmentos de los lados (que como mucho son cuatro). 8.- Busca todos los polígonos regulares que pueden obtenerse. Justifica la respuesta. El triángulo equilátero se ha visto en casos anteriores que no puede obtenerse. El cuadrado se obtiene en los casos especiales a) y b). El hexágono y superiores no pueden obtenerse. Queda argumentar que el pentágono no puede ser regular. Como uno de los lados debe ser el segmento

4 que determina la sección, los otros cuatro lados son segmentos del cuadrado y por lo tanto, hay tres ángulos rectos interiores en el pentágono (no pudiendo ser regular) 9.- Es posible que una recta y un cuadrado se corten en un único punto que no sea un vértice del cuadrado? Justifica la respuesta. En el plano, si la recta corta a uno de los lados en un punto que no sea un vértice, existe un segmento de la recta que está dentro del cuadrado y, como la recta es infinita, debe haber otro punto de corte con el cuadrado para continuar fuera del cuadrado. Si imaginamos el cuadrado en un plano y la recta en el espacio, podemos cortar en cualquier único punto interior. DIFICULTAD DE LA ACTIVIDAD Apartados Dificultad * ** ** *** *** ** **** **** ** Hay tres dificultades principales: El manejo de la terminología adecuada, conociendo la clasificación de los polígonos. El uso de las habilidades de la visualización (riqueza de ejemplos y situaciones) Que la argumentación sea válida para los casos generales a partir de los casos concretos que los alumnos dibujen. Si los alumnos son exhaustivos para distinguir todos los casos posibles, las argumentaciones pueden seguirse del análisis de estos casos. En caso de argumentar por separado cada uno de las actividades, es importante que sus razonamientos sean generales. Puede ocurrir que al resolver una actividad, se den cuenta de una situación que no habían considerado en casos anteriores y pueden volver a la misma.

5 REFERENCIA DE LA ACTIVIDAD Actividad adaptada al caso plano de una actividad de secciones planas de un cubo en Ramírez Uclés, R.(2012). Habilidades de visualización de los alumnos con talento matemático. Tesis doctoral. Universidad de Granada. Ampliación: Sección de un cuadrado con dos rectas Sección de un polígono cualquiera con una o dos rectas Actividades relacionadas: Dibuja un polígono de 4 lados de manera que con una línea recta se pueda dividir en 3 triángulos. Cómo transformaría un rectángulo en un cuadrado cortándolo en tres piezas únicamente? Obtenidas de: