Anexo A: Cálculo de potenciales en terrenos biestratificados

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1 Anexo A: Cálculo de potenciales en terrenos biestratificados A. Potencial producido por una inyección puntual de corriente en el estrato superior En la figura A. se ilustra el modelo de un terreno biestratificado. El subsuelo en este caso se representa mediante un sustrato superior de profundidad h y conductividad. El sustrato inferior posee una conductividad y se expande hasta el infinito en el sentido negativo de la coordenada z. El aire posee una conductividad nula y se expande desde el valor cero de la coordenada z hasta el infinito. aire o = s{ z > r > z > -h h z < -h Fig. A. Terreno biestratificado con inyección de corriente puntual en la primera capa En el modelo biestratificado del subsuelo con inyección de corriente en la primera capa se establecen los siguientes potenciales en cada uno de los tres medios considerados en la Fig. A.: (r,z) = 4π o (r,z) = 4π A o (m) e - mz J o (mr) dm z A. [ e - m z s A (m) e - mz B (m) e mz ] J o (mr) dm -h Šz Š (r,z) = 4π B (m) e mz J o (mr) dm z Š -h A. A.3 - -

2 Las condiciones de contorno para este problema son: o (r,) = (r,) (r,-h) = (r,-h) o (r,) (r,) o = = z z o (r,-h) (r,-h) = z z A.7 Aplicando las condiciones de contorno A.4 a A.7 a las ecuaciones A. a A.3 que representan las soluciones del potencial en los diversos medios se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones, cuyas incognitas son las funciones indeterminadas A o (m), A (m), B (m) y B (m): - - A o - (m) e e mh - - ms A (m) B (m) e mh - B (m) = - e - ms - e ms e ms A.8 El sistema A.8 se puede resolver por triangularización de la matriz y se obtiene el siguiente resultado: - ms e - e - ms - - A o (m) - A (m) - e mh B (m) B (m) = e m(h-s) - e ms e mh (k)(e -ms e ms ) - (ke -mh - ) A.9 donde: - k = A. Para integrar analíticamente las ecuaciones A., A. y A.3 es conveniente expandir los denominadores de las ecuaciones en series utilizando la siguiente identidad: - [ a a a 3 a n ] ; a < a - A. A.4 A.5 A.6 - -

3 Los denominadores de las funciones indeterminadas se pueden expresar en serie, de la siguiente forma: k e -mh = - - k n e -mnh A. De A.9 se obtiene directamente B (m) como: B (m) = k n (k) [ e - m(hns) e - m(hn-s) ] y por sustitución inversa se obtienen las funciones B (m), A (m) y A o (m): B (m) = e - ms k n [ e - m(hns) e - m(hn-s) ] n= A.3 A.4 A (m) = k n [ e - m(hns) e - m(hn-s) ] n= A.5 A o (m) = e - ms k n [ e - m(hns) e - m(hn-s) ] n= A.6 Sustituyendo las funciones A.3 a A.6 en las ecuaciones A. a A.3 y aplicando la integral de Lipschitz - ecuación 3.8 -, se obtienen los siguientes resultados como soluciones de los potenciales en las tres zonas : o (r,z) = π { r (sz) (r,z) = 4π { (r,z) = 4π { n= k n [ r (z s) k n [ n= k n (k) [ r (hnsz) r (z-s) r (hnsz) r (hns-z) r (hn s-z) r (hn-sz) r (hn-sz) r (hn -s-z) r (hn-s-z) ] } ] } ] } A.7 A.8 A.9-3 -

4 En la literatura especializada [3,35,38,49,,4,6] se obtienen los mismos resultados representados en las ecuaciones A.7, A.8 y A.9 utilizando el método de las imágenes desarrollado por Maxwell [7]. Para el caso concreto de la medición de resistividades en terrenos biestratificados es necesario calcular el potencial en la superficie del terreno. En esta condición la coordenada z es cero. Como la inyección puntual de corriente se realiza en la superficie del terreno, la profundidad s también es cero. Por lo tanto, el potencial en la superficie del terreno en estas condiciones se calcula mediante la siguiente expresión: ρ (, r) = π { r n= k n } r (nh) A. La sumatoria de la ecuación A. corrige el cálculo del potencial cuando el terreno es biestratificado. A partir de esta ecuación es posible aplicar el método de Wenner para obtener las resistividades aparentes en función de la distancia de separación de los electrodos de medida de potencial e inyección de corriente. Realizando el mismo proceso utilizado para calcular la resistividad en un terreno uniforme, se obtiene: ρ V = 3 πa { 4 k n - nh nh n= ( a ) 4 ( a ) } A. Al comparar la ecuación 3. con la ecuación A., se puede definir la resistividad aparente para un terreno biestratificado en capas horizontales mediante la expresión: ρ a (ρ,ρ, h, a) = ρ { 4 n= k n ( nh a ) - 4 ( nh a ) } A. La dependencia de la resistividad aparente con la resistividad de la segunda capa está reflejada en el coeficiente k definido anteriormente en la ecuación A., y que es función de las conductividades y de la primera y segunda capa respectivamente. Como se puede observar, la resistividad aparente depende de los parámetros del subsuelo y de la separación de los electrodos

5 A. Potencial producido por una inyección puntual de corriente en el estrato inferior. En la figura A. se muestra el modelo del subsuelo biestratificado con inyección puntual de la corriente en el estrato inferior. Las ecuaciones que definen la solución del potencial en cada una de las tres zonas son: (r,z) = 4π (r,z) = 4π o (r,z) = 4π A o (m) e - mz J o (mr) dm z [ A (m) e - mz B (m) e mz ] J o (mr) dm Š z Š -h [ e - m zs B (m) e mz ] J o (mr) dm z Š -h A.3 A.4 A.5 aire o = z > r s > z > -h h z < -h Fig. A. Terreno biestratificado con inyección de corriente puntual en la segunda capa Las condiciones de contorno son idénticas a las que se utilizaron en el caso de la sección A., definidas mediante las ecuaciones A.4 a A.7. Si se incorporan estas condiciones en las soluciones generales del potencial en las tres zonas representadas por las ecuaciones A.3, A.4 y A.5 se obtiene el siguiente sistema de ecuaciones: - 5 -

6 - - - e -mh - e -mh - e -mh e -mh A o (m) La solución del sistema de ecuaciones A.6 es: A (m) B (m) B (m) = e - ms e - ms A.6 (k-) e - ms A (m) = k e - mh = (-k) - k n e -m (hn-s) A.7 A (m) = B (m) = A (m) = (-k) k n e - m(hn-s) B (m) = (-k) ( e mh ) ( k n e - m(hn-s) ) - e - m(s-h) A.8 A.9 En las funciones A.7, A.8 y A.9 se ha definido el valor del coeficiente de reflexión k mediante la ecuación A.. Una vez determinadas las funciones se introducen en las ecuaciones A.3, A.4 y A.5 para obtener mediante la integración analítica los siguientes resultados de los potenciales en cada una de las tres zonas: (r,z) = 4π o (r,z) = π (- k) k n ( (r,z) = 4π (-k) { (- k ) k n r (hn - s z ) r (nhsz) - r (z-s) r (nhs-z) k r (s-h-z) ) A.3 A.3 (-k ) k n } r (shn-z) A.3 Las ecuaciones A.3, A.3 y A.3 coinciden completamente con las relaciones obtenidas por diversos autores [3,35,38,49,,4,6] mediante el método de las imágenes de Maxwell [7]

7 A.3 Potencial producido por un segmento en un terreno biestratificado En las secciones A. y A. se desarrollaron las expresiones que permiten calcular el potencial en un punto cualquiera del espacio a partir de una inyección puntual de corriente en el estrato superior o inferior del subsuelo. Para determinar el potencial que produce un segmento finito y rectilíneo en un punto cualquiera es necesario integrar las ecuaciones A.7, A.8, A.9, A.3, A.3 y A.3 con respecto a la dirección del electrodo entre sus coordenadas iniciales y finales, tal como se realizó en la sección 4.. para terreno uniforme. La integración de estas ecuaciones se obtiene haciendo uso de la identidad 4.3. A diferencia de los potenciales en terrenos uniformes en los cuales la contribución de un electrodo se determina mediante la superposición del efecto del propio electrodo y de su imagen, en el caso biestratificado existe un número infinito de imágenes que deben ser evaluadas. Estas imágenes están representadas por cada uno de los infinitos términos de las sumatorias de las ecuaciones A.7, A.8, A.9, A.3, A.3 y A.3. Los operadores sumatoria e integral son lineales y por tal razón pueden ser intercambiados. De esta forma la integral entre las coordenadas iniciales y finales del electrodo, o de sus imágenes puede ser calculada dentro de la sumatoria infinita de términos. Por ejemplo, la ecuación A.8 calcula el potencial que un diferencial de electrodo dx s situado en el primer estrato produce en un punto cualquiera (r, z) perteneciente al primer estrato ( z -h). Si se calcula el potencial que produce un electrodo colocado en la dirección x del primer estrato sobre un punto del primer estrato se obtiene: (x,y,z) = 4π L x sf { x so ) (y-y s ) (zs) ) (y-y s ) (z-s) k n [ n= ) (y-y s ) (hnsz) ) (y-y s ) (hn-sz) ) (y-y s ) (hns-z) ] } dx s = ) (y-y s ) (hn-s-z) - 7 -

8 = { ln [(x-x 4π L s ) ) (y-y s ) (zs) ] ln [ ) ) (y-y s ) (z-s) ] k n [ ln [ ) ) (y-y s ) (hnsz) n= ln [ ) ) (y-y s ) (hn-sz) ln [ ) ) (y-y s ) (hns-z) ] ln [ ) x s =x sf ) (y-y s ) (hn-s-z) ] ] } xs = x so A.33 En el resto de los casos, se pueden integrar las soluciones de forma semejante a la empleada en la ecuación A.33 y obtener las ecuaciones necesarias para calcular los potenciales en cada una de las tres zonas definidas por el modelo, para conductores rectilíneos, orientados según cualquiera de los ejes coordenados y localizados en el estrato superior o inferior respectivamente. A.4 Potencial producido por un conductor en un terreno biestratificado sobre un electrodo En la sección A.3 se analizó el método para calcular el potencial en un punto cualquiera del espacio producido por un electrodo rectilíneo finito en un medio biestratificado. El método puede ser extendido de igual forma para calcular el potencial que un electrodo produce sobre otro. Para este fin es necesario calcular el potencial medio que produce el primer electrodo en los puntos donde se encuentra el segundo electrodo, tal como se analizó en las secciones 4..3, 4..4 y 4..5 para el subsuelo uniforme. En este caso, en lugar de evaluar la contribución del conductor y de su imagen al potencial del segundo electrodo mediante el cálculo de una ecuación similar a la 4.9, es necesario considerar adicionalmente las infinitas imágenes, o términos de la sumatoria que se originan en el modelo biestratificado del terreno. Como la sumatoria es una operación lineal, se puede integrar independientemente cada uno de los términos que la componen. En la práctica es necesario establecer un criterio de convergencia para detener la evaluación de la sumatoria infinita

9 Las identidades 4.8 y 4.6 permiten integrar ecuaciones semejantes a la A.33 desarrollada en la sección A.3. De esta forma es posible determinar los potenciales propios y mutuos para electrodos que se encuentran localizados, cada uno de ellos, en cualquiera de las capas del terreno biestratificado y orientados arbitrariamente. En la Fig. A.3 se muestran los casos que pueden aparecer en el análisis de sistemas de puesta a tierra en terrenos biestratificados con electrodos rectilíneos y orientados ortogonalmente unos con respecto a otros. Cualquier otro caso, puede ser resuelto mediante un cambio de coordenadas a uno de los trece casos ilustrados en la Fig. A.3. XX XX XX () () (3) XY XY XY (4) (5) (6) XZ XZ XZ (7) (8) (9) XZ ZZ ZZ () () () ZZ (3) Fig. A.3 Posiciones relativas de los electrodos en un terreno biestratificado - 9 -