PRIMER PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III. EXAMEN ESCRITO

Transcripción

1 PRIMER PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III. EXAMEN ESCRITO APELLIDOS: D.N.I.: NOMBRE: GRUPO:. La producción de piezas de una factoría se realiza en dos máquinas. El 40% de las piezas las produce la máquina M y el 60% restante la máquina M. a) ( punto) Se decide tomar una muestra aleatoria estratificada de 00 piezas, con asignación proporcional, para hacer un control de calidad. Cuántas piezas producidas por cada máquina deben examinarse? Se toma la anterior muestra, obteniéndose los siguientes porcentajes de piezas defectuosas en cada máquina: máquina porcentajes de piezas defectuosas M 0 M 0 b) ( puntos) Estime la proporción de piezas defectuosas de la factoría y el límite del error de estimación. c) ( punto) Quiere repetirse el control de calidad sólo en la máquina M para estimar el porcentaje de piezas defectuosas con un error inferior al %. Cuántas piezas producidas por esta máquina habría que examinar?. Un fabricante de sierras quiere estimar el coste medio de reparación mensual para las sierras que ha vendido a numerosas industrias. El fabricante no puede obtener un coste de reparación para cada sierra, pero puede obtener la cantidad total gastada mensualmente en reparación y el número de sierras que tiene cada industria. Entonces decide usar muestreo por conglomerados, con cada industria como un conglomerado. El mes pasado el fabricante seleccionó una muestra aleatoria simple de 7 de las muchísimas industrias a las que da servicio. Los datos sobre coste total de reparaciones por industria y el número de sierras fueron: Industria Nº sierras Coste total de reparación para el mes pasado ( ) a) ( puntos) Estime el coste medio de reparación por sierra para el mes pasado y el límite para el error de estimación. Use las siguientes sumas para realizar los cálculos necesarios. Industrias Sierras Coste (Sierras) (Coste) Sierras Coste SUMA b) ( puntos) Se quiere repetir el estudio con un error de estimación inferior a. Cuántas industrias deberían observarse? 3. Se quiere conocer el número de enfermos que utilizan el Servicio de Urgencias de un hospital. Para ello, de un mes (30 días) se seleccionaron al azar 3 días, observándose que 430 personas usaron el servicio durante dicho tiempo. a) ( punto) Estime con un intervalo de confianza el nº de enfermos/hora que acudieron al servicio de urgencias. b) ( punto) Si se quisiera repetir en el próximo mes el mismo estudio, garantizando para la anterior estimación un error inferior a un enfermo/hora, cuantos días deberíamos observar?

2 SOLUCIONES PRIMER PARCIAL:.- N N a) = 0, 40 = 0,60 n = 00 n = 0, 40n = 80 n = 0,60n = 0 N N b) L L Ni p st = Np i i = pi = ( 0, 40 0,0) + ( 0,60 0, 0) = 0,6 N i= i= N L L pq i i Ni ni Ni pq i i V( pst ) = N i = = N i= ni Ni i= N ni V ( p st ) = 0,056 0,0 0,90 0, 0 0,80 = 0, ,60 = 0, B pq 0, 0 0,80 c) B= 0, 0 D= = 0, 000 n= = = D 0, a) 7 n n n n n i 43 i 35 i 755 i 0445 i i 5745 i= i= i= i= i= n n= m = m = y = y = my = y i i= y = µ = = 7,558 n m i i= n n n n c ( i i) i i i i n i n = i= i= i= S = y ym = y + y m y m y = = ( ( 7, ) ( 7, )) = 479, N nsc Sc M = m = = 6,49 V( y) = = =,845 V ( y) =,694 7 M N n M n σc 479, 77 BM 6,49 σ c D 9, Nσ n = = N = = = 50,8 5 D = = = 9, 4338 ND + c b) { } 3.- n m n = 3 a = dia = 4 horas m = mi = 430 m = = 440 i= n a) λ = m m enfermos / hora na = a = 4 = ( λ 60 V λ ) = = = 0,8333 V ( λ) =,857 an 4 3 ( 60,857) = ( 58,743, 6,857) b) λ V ( λ) = 4V ( λ) = 4 = 4 = n= = 0 an 4 n 4

3 PRIMER PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III. EXAMEN ORDENADOR APELLIDOS: D.N.I.: NOMBRE: GRUPO: Para cada problema responda solamente los valores pedidos, dentro de los recuadros que aparecen a continuación con el número de cada problema. Dar todas las soluciones con cuatro decimales..a. ( puntos)i (7,, 73,5554).b. ( punto)i (7,80, 73,5865).a. ( puntos)i I (534,89, 949,93).b. ( punto)i I (965,0 8,4547) 3. ( punto)i τ = 756,358 B=090,33 3. ( punto)i τ t = 6500 B=53,589 4.a. ( punto)i (,7770,,9530) 4.b. ( punto)i (6877,9453, 7507,0547)

4 . Una verificación de control de calidad estándar para baterías de generadores de energía eólicos consiste simplemente en registrar su peso. Un embarque particular de una fábrica consistió en las baterías producidas en dos meses diferentes, con el mismo número de baterías producidas en cada mes. El investigador decide estratificar con base en meses para el muestreo de inspección a fin de observar la variación mensual. Las muestras aleatorias simples de los pesos de las baterías para los dos meses dieron las siguientes mediciones (en kilos): Mes A Mes B 7,5 74,5 7,5 73,8 73,5 73,5 74,0 70,5 73,8 70,5 74,5 7,0 Con un nivel de confianza del 90%, estime con un intervalo de confianza el peso medio de las baterías del embarque utilizando:.a. Muestreo aleatorio estratificado..b. Muestreo aleatorio simple.. Se desea estimar el consumo mensual de una ciudad formada por 7000 familias. Se sabe que los ingresos en dicha ciudad, vía declaración de la renta, ascienden a mensuales. Se realiza una encuesta entre 6 hogares elegidos al azar y los resultados de renta y consumo se recogen en esta tabla. Renta Consumo 70, , , , , ,9 500 Con un intervalo de confianza del 99%, estime el consumo mensual medio por hogar mediante:.a. Estimador de razón..b. Muestreo aleatorio simple. 3. El gerente de un periódico desea estimar el número de ejemplares comprados cada semana por las familias de una localidad. Los 5500 hogares están agrupados en 500 edificios. Se tiene una encuesta piloto en la cual se seleccionó una muestra de 4 edificios y se entrevistaron a todas las familias de estos edificios, obteniéndose los siguientes resultados: Edificio Periódicos comprados cada semana por familia Con un nivel de confianza del 90%, estime por los dos métodos el número de periódicos vendidos en dicha localidad y el límite para el error de estimación. 4. La policía de Madrid está interesada en conocer el número de manifestantes que se reunieron en la Puerta del Sol. Con este dato se puede conocer la cuantía de medios materiales y humanos (policía, protección civil, personal sanitario, etc.) necesaria para atender futuras concentraciones. Para estimar el número de manifestantes se toma una fotografía aérea de la zona ocupada por éstos, tras lo cual se traza sobre ella una cuadrícula que divide el área total en 50 cuadros de 0 metros de lado cada uno. Posteriormente se numeran y se extrae una muestra aleatoria de 0 de estos cuadros; por último se cuenta el número de manifestantes que hay en cada uno de los cuadros seleccionados, obteniéndose los resultados de la tabla: cuadro manifestantes a Estime la densidad de manifestantes por metro cuadrado con un intervalo de confianza del 90%. 4.b Estime el número total de manifestantes concentrados en la Puerta del Sol con un intervalo de confianza del 99%.

5 PRIMER PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III. EXAMEN ORDENADOR APELLIDOS: D.N.I.: NOMBRE: GRUPO: Para cada problema responda solamente los valores pedidos, dentro de los recuadros que aparecen a continuación con el número de cada problema. Dar todas las soluciones con cuatro decimales..a. ( puntos)i (83,469,84,8038).b. ( punto)i (83,4888, 84,7779).a. ( puntos)i I (594,346, 983,936).b. ( punto)i I (06,663, 786,670) 3. ( punto)i τ = 35,7895 B=89, ( punto)i τ t = 0800 B=447, a. ( punto)i (,9483, 3,97) 4.b. ( punto)i (0394,738, 335,6)

6 . Una verificación de control de calidad estándar para baterías de generadores de energía eólicos consiste simplemente en registrar su peso. Un embarque particular de una fábrica consistió en las baterías producidas en dos meses diferentes, con el mismo número de baterías producidas en cada mes. El investigador decide estratificar con base en meses para el muestreo de inspección a fin de observar la variación mensual. Las muestras aleatorias simples de los pesos de las baterías para los dos meses dieron las siguientes mediciones (en kilos): Mes A Mes B 8,5 86,5 83,5 8,8 85,5 83,5 86,0 83,5 83,8 8,5 84,5 85,0 Con un nivel de confianza del 90%, estime con un intervalo de confianza el peso medio de las baterías del embarque utilizando:.a. Muestreo aleatorio estratificado..b. Muestreo aleatorio simple.. Se desea estimar el consumo mensual de una ciudad formada por 8000 familias. Se sabe que los ingresos en dicha ciudad, vía declaración de la renta, ascienden a mensuales. Se realiza una encuesta entre 6 hogares elegidos al azar y los resultados de renta y consumo se recogen en esta tabla. Renta Consumo 370, , , , , ,9 500 Con un intervalo de confianza del 99%, estime el consumo mensual medio por hogar mediante:.a. Estimador de razón..b. Muestreo aleatorio simple. 3. El gerente de un periódico desea estimar el número de ejemplares comprados cada semana por las familias de una localidad. Los 6500 hogares están agrupados en 600 edificios. Se tiene una encuesta piloto en la cual se seleccionó una muestra de 4 edificios y se entrevistaron a todas las familias de estos edificios, obteniéndose los siguientes resultados: Edificio Periódicos comprados cada semana por familia Con un nivel de confianza del 90%, estime por los dos métodos el número de periódicos vendidos en dicha localidad y el límite para el error de estimación. 4. La policía de Madrid está interesada en conocer el número de manifestantes que se reunieron en la Puerta del Sol. Con este dato se puede conocer la cuantía de medios materiales y humanos (policía, protección civil, personal sanitario, etc.) necesaria para atender futuras concentraciones. Para estimar el número de manifestantes se toma una fotografía aérea de la zona ocupada por éstos, tras lo cual se traza sobre ella una cuadrícula que divide el área total en 350 cuadros de 0 metros de lado cada uno. Posteriormente se numeran y se extrae una muestra aleatoria de 0 de estos cuadros; por último se cuenta el número de manifestantes que hay en cada uno de los cuadros seleccionados, obteniéndose los resultados de la tabla: cuadro manifestantes a Estime la densidad de manifestantes por metro cuadrado con un intervalo de confianza del 90%. 4.b Estime el número total de manifestantes concentrados en la Puerta del Sol con un intervalo de confianza del 99%.

7 SEGUNDO PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III. EXAMEN ESCRITO APELLIDOS: D.N.I.: NOMBRE: GRUPO:. Una sociedad financiera quiere realizar una inversión de euros adquiriendo valores en bolsa para el próximo ejercicio económico. Puede adquirir tres tipos diferentes de valores: X, Y y Z. El precio para todos en el momento de realizar la inversión es de 00 por título. La sociedad financiera estima que al finalizar el ejercicio, los precios de cotización de dichos títulos pueden haber alcanzado diferentes valores según haya sido el comportamiento de la bolsa: Precio de moderada selectiva Recesión Fuerte subida cotización en Valores X Valores Y Valores Z Nota: Beneficio es igual al precio de cotización al finalizar el ejercicio menos el precio inicial de compra. a. ( puntos) Obtenga un índice de optimismo para el que la estrategia óptima de acuerdo al criterio de Hurwicz sea adquirir valores X y el beneficio ponderado para dicha estrategia. b. ( puntos) Utilizando el criterio de Savage, indique cuál sería la mejor estrategia. En qué pérdida de oportunidad se incurriría, como máximo, con la anterior elección?. En los últimos 0 años el comportamiento de la bolsa ha sido: moderada selectiva Recesión Fuerte subida a. (,5 puntos) Teniendo en cuenta dicha información, qué estrategia debería seguir la sociedad financiera y cuál sería la perdida de oportunidad esperada? b. (,5 puntos) Cuál es el precio máximo que la sociedad financiera estaría dispuesta a pagar por conocer de antemano cuál va a ser el comportamiento de la bolsa? 3. Un grupo de expertos ofrece a la sociedad financiera hacer un estudio e informarle sobre el comportamiento que va a tener la bolsa. Este grupo de expertos han trabajado anteriormente con ésta y otras sociedades financieras y sabemos que cuando se ha dado una subida moderada, la probabilidad de que la información aportada por los expertos sea acertada es del 80%, mientras que la probabilidad de que afirmen que habrá una subida selectiva es del 0% y la probabilidad de que afirmen que habrá una fuerte subida es también del 0%. Cuando se da una subida selectiva la probabilidad de que la información aportada por los expertos sea acertada es del 70%, mientras que la probabilidad de que afirmen que habrá una subida moderada es del 0% y la probabilidad de que afirmen que habrá una fuerte subida es del 0%. Cuando se da una recesión la información aportada por los expertos es acertada siempre. Cuando se da una fuerte subida la probabilidad de que la información aportada por los expertos sea acertada es del 60%, mientras que la probabilidad de que afirmen que habrá una subida selectiva es del 40%. a. ( punto) Obtenga la probabilidad de que los expertos prevean una subida selectiva. b. ( punto) La mejor inversión según dicha información. c. ( punto) El beneficio esperado de la misma.

8 SOLUCIONES SEGUNDO PARCIAL: Con la sociedad financiera puede comprar 000 acciones a un precio de 00 cada una. Para trabajar con cantidades más pequeñas y fáciles de manipular lo haremos con los beneficios/acción, que habrá que multiplicar por 000 acciones para obtener los beneficios totales. Análogamente con la pérdida de oportunidad y precio a pagar por la información de los expertos..-a) Si 0,57<α<0,667 la estrategia óptima es invertir en X. Beneficios: moderada selectiva Recesión Fuerte subida Media ponderada (α=0,6) Valores X Valores Y Valores Z Por ejemplo para α=0,6 la estrategia óptima es invertir en X con un beneficio ponderado de 6 por acción..-b) Pérdida de oportunidad: moderada selectiva Recesión Fuerte subida Valores X Valores Y Valores Z Hay empate de las estrategias invertir en valores X e invertir en valores Y con una pérdida de oportunidad máxima de 40..-a) p(e i ) 0,50 0,5 0,0 0,5 Pérdida de oportunidad: moderada selectiva Recesión min{ x ij} max{ xij} Fuerte subida POE( a i ) Valores X Valores Y ,5 Valores Z ,5 Invertir en valores X con una pérdida de oportunidad esperada de 0..-b) VIP=POE(mínima) = 0 e j e j { ij} max p e j 3.-a) Informe de los expertos: selectiva ( c ) ( ) Pe i P( c e i ) ( i) ( i) P c e P e P( e c ) i e moderada e 0,50 0, 0,050 0,754 selectiva 0,5 0,7 0,75 0,640 e 3 Recesión 0, e 4 Fuerte subida 0,5 0,4 0,060 0,05 SUMA Pc ( ) = 0,85 Pc ( ) = 0,85 probabilidad de que los expertos prevean una subida selectiva.

9 3.-b) c) ( ) i Informe de los expertos: selectiva ( c ) P e c 0,754 0, ,05 Beneficios: moderada selectiva Recesión Fuerte VME( ai c ) subida Valores X ,4 Valores Y ,49 Valores Z Invertir en valores X con un beneficio esperado de 38,4.

10 Una sociedad financiera quiere realizar una inversión de euros adquiriendo valores en bolsa para el próximo ejercicio económico. Puede adquirir tres tipos diferentes de valores: X, Y y Z. El precio para todos en el momento de realizar la inversión es de 00 por título. La sociedad financiera estima que al finalizar el ejercicio, los precios de cotización de dichos títulos pueden haber alcanzado diferentes valores según haya sido el comportamiento de la bolsa: Precio de moderada selectiva Recesión Fuerte subida cotización en Valores X Valores Y Valores Z Nota: Beneficio es igual al precio de cotización al finalizar el ejercicio menos el precio inicial de compra.. Si la sociedad financiera estuviera dirigida por un individuo optimista, qué inversión haría y cuál sería el mayor beneficio posible?. De acuerdo al criterio de Hurwicz y con un índice de optimismo igual a α=0,65. Qué inversión haría la sociedad financiera? Beneficio ponderado para dicha estrategia. 3. Utilizando el criterio de Savage, indique cuál sería la mejor estrategia. En qué pérdida de oportunidad se incurriría, como máximo, con la anterior elección? En los últimos 0 años el comportamiento de la bolsa ha sido: moderada selectiva Recesión Fuerte subida Teniendo en cuenta dicha información, qué estrategia debería seguir la sociedad financiera y cuál sería el beneficio esperado para tal decisión? 5. Cuál sería el resultado esperado si se conoce de antemano el comportamiento de la bolsa? 6. Cuál es el precio máximo que la sociedad financiera estaría dispuesta a pagar por conocer de antemano cuál va a ser el comportamiento de la bolsa? Un grupo de expertos ofrece a la sociedad financiera hacer un estudio e informarle sobre el comportamiento que va a tener la bolsa. Este grupo de expertos han trabajado anteriormente con ésta y otras sociedades financieras y sabemos que cuando se ha dado una subida moderada, la probabilidad de que la información aportada por los expertos sea acertada es del 80%, mientras que la probabilidad de que afirmen que habrá una subida selectiva es del 0% y la probabilidad de que afirmen que habrá una fuerte subida es también del 0%. Cuando se da una subida selectiva la probabilidad de que la información aportada por los expertos sea acertada es del 70%, mientras que la probabilidad de que afirmen que habrá una subida moderada es del 0% y la probabilidad de que afirmen que habrá una fuerte subida es del 0%. Cuando se da una recesión la información aportada por los expertos es acertada siempre. Cuando se da una fuerte subida la probabilidad de que la información aportada por los expertos sea acertada es del 60%, mientras que la probabilidad de que afirmen que habrá una subida selectiva es del 40%. 7. Obtenga las probabilidades a posteriori de cada estado de la naturaleza si los expertos prevén una subida selectiva. 8. Teniendo en cuenta la anterior información facilitada por los expertos, subida selectiva, qué estrategia debería seguir la sociedad financiera y cuál sería el resultado esperado? 9. Cuál es el máximo precio que podrían pedir los expertos a la sociedad financiera por facilitarle la información?

11 SEGUNDO PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III. EXAMEN ORDENADOR APELLIDOS: D.N.I.: NOMBRE: GRUPO: Cada pregunta vale punto, salvo la 7 que vale puntos. Cada respuesta incorrecta resta un punto. Las respuestas en blanco no restan. a 3 :Valores Z. 60 a :Valores Y. 9 3 a :Valores X a 3 :Valores Z ,056 0, ,708 8 a :Valores X. 7, ,9

12 Una sociedad financiera quiere realizar una inversión de euros adquiriendo valores en bolsa para el próximo ejercicio económico. Puede adquirir tres tipos diferentes de valores: X, Y y Z. El precio para todos en el momento de realizar la inversión es de 00 por título. La sociedad financiera estima que al finalizar el ejercicio, los precios de cotización de dichos títulos pueden haber alcanzado diferentes valores según haya sido el comportamiento de la bolsa: Precio de moderada selectiva Recesión Fuerte subida cotización en Valores X Valores Y Valores Z Nota: Beneficio es igual al precio de cotización al finalizar el ejercicio menos el precio inicial de compra.. Si la sociedad financiera estuviera dirigida por un individuo optimista, qué inversión haría y cuál sería el mayor beneficio posible?. De acuerdo al criterio de Hurwicz y con un índice de optimismo igual a α=0,45. Qué inversión haría la sociedad financiera? Beneficio ponderado para dicha estrategia. 3. Utilizando el criterio de Savage, indique cuál sería la mejor estrategia. En qué pérdida de oportunidad se incurriría, como máximo, con la anterior elección? En los últimos 0 años el comportamiento de la bolsa ha sido: moderada selectiva Recesión Fuerte subida Teniendo en cuenta dicha información, qué estrategia debería seguir la sociedad financiera y cuál sería el beneficio esperado para tal decisión? 5. Cuál sería el resultado esperado si se conoce de antemano el comportamiento de la bolsa? 6. Cuál es el precio máximo que la sociedad financiera estaría dispuesta a pagar por conocer de antemano cuál va a ser el comportamiento de la bolsa? Un grupo de expertos ofrece a la sociedad financiera hacer un estudio e informarle sobre el comportamiento que va a tener la bolsa. Este grupo de expertos han trabajado anteriormente con ésta y otras sociedades financieras y sabemos que cuando se ha dado una subida moderada, la probabilidad de que la información aportada por los expertos sea acertada es del 80%, mientras que la probabilidad de que afirmen que habrá una subida selectiva es del 0% y la probabilidad de que afirmen que habrá una fuerte subida es también del 0%. Cuando se da una subida selectiva la probabilidad de que la información aportada por los expertos sea acertada es del 70%, mientras que la probabilidad de que afirmen que habrá una subida moderada es del 0% y la probabilidad de que afirmen que habrá una fuerte subida es del 0%. Cuando se da una recesión la información aportada por los expertos es acertada siempre. Cuando se da una fuerte subida la probabilidad de que la información aportada por los expertos sea acertada es del 60%, mientras que la probabilidad de que afirmen que habrá una subida selectiva es del 40%. 7. Obtenga las probabilidades a posteriori de cada estado de la naturaleza si los expertos prevén una subida selectiva. 8. Teniendo en cuenta la anterior información facilitada por los expertos, subida selectiva, qué estrategia debería seguir la sociedad financiera y cuál sería el resultado esperado? 9. Cuál es el máximo precio que podrían pedir los expertos a la sociedad financiera por facilitarle la información?

13 SEGUNDO PARCIAL DE TÉCNICAS CUANTITATIVAS III. EXAMEN ORDENADOR APELLIDOS: D.N.I.: NOMBRE: GRUPO: Cada pregunta vale punto, salvo la 7 que vale puntos. Cada respuesta incorrecta resta un punto. Las respuestas en blanco no restan. a :Valores X. 55 a :Valores Y. 7 3 a :Valores Y a :Valores X. 7,5 5 33, ,0370 0, , a :Valores X. 50,