Estocástica: FINANZAS Y RIESGO

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1 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: Gauge Theory on Financial Modeling Guillermo Sierra Juárez* Fecha de recepción: 6 de enero de 2015 Fecha de aceptación: 26 de mayo de 2015 * Universidad de Guadalajara Centro Universitario de Ciencias Económico Administrativas gsierraj@cucea.udg.mx gsierraj@yahoo.com.mx Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

2 Estocástica: RESUMEN - nos de los parámetros de modelo y se proponen parámetros implícitos Palabras clave: - ABSTRACT Keyword: Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

3 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: Introducción E mercados en su dinámica del día a día no están permanentemente en equi- - 1 En lo subsecuente se mencionará también como Modelación de Teoría de Norma en Finanzas Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

4 Estocástica: sido analizado por muy pocas personas en la literatura, a continuación se Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

5 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: de los especuladores, el modelo toma en cuenta la restricción al no arbitra- tocásticas e introducir la teoría de arbitraje doméstico donde el mercado - da parte se consideran los procesos dinámicos dentro de la normalización y 1. Teoría de Norma y haz fibrado 1.1 Introducción 2 colección de líneas unidimensionales puestas sobre un eje, cada una de las - E consiste de una base BF que son colocadas en cada punto de la base B La definición matemática formal de haz fibrado aparece en el Anexo 1. Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

6 Estocástica: Figura 1 Plano descompuesto B y F Cilindro descompuesto B y F Fuente: Ilinski K. (2001) () = () Figura 2. Ajuste de sistemas coordenados Fuente: Ilinski K. (2001). 148 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

7 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: La comparación de dos objetos distantes dependerá de la ruta tomada entre Figura 3. Transporte paralelo Fuente: Ilinski K.(2001 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

8 Estocástica: Figura 4. Haz fibrado en divisas y acciones Fuente: Ilinski K. ( Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

9 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: Haz fibrado en finanzas y dinámica del campo de normalización Para una definición más formal de haz fibrado consultar Anexo 1. Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

10 Estocástica: trayectorias sobre la base y los correspondientes transportes paralelos, : {0, ±1} de- (, ) (, ) los elementos de la matriz de links (, ) son cero (, ) =0 (1) (, ) = 1 (, ) =1 (2) ) =, y el enésimo momento del tiempo el i- -supóngase que la transacción es instantánea, en este caso (, ) =1 (3) los puntos de la base están conectados si ellos representan el mismo título y - Usando la matriz (.,.)- (, ) en L 0 que relaciona dos puntos, es un conjunto de puntos =, =, los elementos de la matriz de relaciones, son distintos de cero, = ±1 = 1, Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

11 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: Figura 5. Haz fibrado y conectividad en finanzas divisas y acciones Fuente: Ilinski K.(2001). L L 0 para una pareja de elementos - [0, +) para al- () =(). () = [0, +) (4) - - Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

12 Estocástica: y (): (5), () es de- () = (, ), { } = = (6) () = ( ) (, ), (, + 1) = (7) donde es una unidad de tiempo y r i es la tasa apropiada de rendimiento r i es la componente temporal (i,), (, unidades del k- 154 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

13 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: (, ), (, ) =, (8) un círculo encerrando todas las plaquetas elementales 4 con distintos de cero en la base L = 1 (9) m corre sobre todas las plaquetas { } son los transportes paralelos correspondientes a los operadores de transporte paralelos y acordando sobre i, esto i - i - i -1 i es considerado como un conjunto de tiempos equidistantes {} con saltos de tiempo = 0 entre dos tiempos subsecuentes t i y t las acciones están caracterizadas por una tasa r Como se mencionará la tasa r 1 está relacionada a la tasa pro- tiempos subsecuentes t i y t - i y quiere obtener acciones en el momento t 4 La curvatura relaciona al transporte paralelo alrededor de bucles cerrados que en espacios discretos son N-gons con x 1, x 2,.., x N unidos consecutivamente por vínculos que se llamarán N-gons plaquetas. Se pueden asociar con transporte paralelo a lo largo de bucles, alrededor de cada plaqueta de la base. Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

14 Estocástica: depósito bancario con tasa de interés r 0 en el momento t i en el momento t to t mento t i y Figura 6. Plaqueta acción-efectivo Fuente: Ilinski K. (2001). () = + 2 (10) bitraje de plaquetas en el límite continuo R(2)/2 - = =1 (11) Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

15 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: () = + 2 (12) = ( +1) +( +1) 2 espacio-espacio, por ejemplo en un modelo de tipo de cambio para tres mo- = 1 (13) y el arbitraje cruzado puede ser caracterizado por la cantidad () = + 2 (14) 2.1 Supuestos básicos Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

16 Estocástica: puntos de la base L están Construcción de la dinámica - - ({, }) =, (15), - - la base, es decir, esos productos son operadores de transporte paralelo a lo 5 Pueden proponerse otros tipos de distribuciones, pero la exponencial representa muchas ventajas técnicas. 158 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

17 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: ik son productos de U 12 U, U n1 y -, = {...}, ( +1) (16) donde la suma es tomada sobre todos los posibles conjuntos de plaquetas,.. la ecuación anterior ({, }) = +1 {...} (17) que es la suma sobre todas las plaquetas elementales - no depende de la orientación, entonces se puede reescribir ({, }) = [ ] (18) Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

18 Estocástica: - i i =, =,, i ({, }) = ( + 2) (19) =1/2 en el limite 0- ((. )) = () () () (20) () dependiente del tiempo y tasa promedio del rendimiento de las acciones = (21) se introduce ( ) como ( ) =( + /2) que permite representar el término do =1/2 ((. )) = ( ) + ( ) + (22) 0 y r 1 nas al sistema, además se supone certidumbre y que la capitalización de la de acciones para cada acción es tendrían un precio 0, tomando = ( ) (23) 160 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

19 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: de lo anterior la tasa de rendimiento de la acción debería ser - ({, }) = {.} (24) después la suma es tomada sobre todas las plaquetas elementales incluyendo distintas orientación - ((. )) =, (25) ( ()) ( ) + ( ) - 3. Modelo de normalización para determinar precios de derivados una tasa de interés r b i y C i, es decir, una acción o i to t i, -1 i y C i -1, considera el periodo que tiempo más corto = / y - i son el conjunto de tiempo equidistante { }, = La tasa de interés es r b entre dos tiempos subsecuentes t i y t -.- Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

20 Estocástica: dos están caracterizados por las tasas r 1 y r 2, - i i t y cierra su posición corta en el tiempo t pidiendo prestado () = 1 (26) () 0 () = ( + 2)/ (27) = =1 (28) lo mismo puede ser para otras operaciones de plaqueta, por ejemplo el ele- dada por () = 1 (29) la acción de normalización más simple que depende de correlaciones de ac- 162 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

21 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: = (30) + + aquí - - b y r b -r 1 y r b -r 2 tasas promedio = () () (31) () () 0 deración de la probabilidad de las trayectorias de los precios en ausencia del sita calcular la matriz de correlación para sustituir = ()( ) ()( ) = (32) ()/2 se introduce Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

22 Estocástica: () = ()( ) ()( ) ()( ) ()( ) (33) ciente de correlación se puede escribir = /2 (34) C 22 - () correlaciones residuales = () +( ) (35) () +( ) / = () + () () a =1 =, la matriz es resultado = 2 + = () () () + () (36) () () = () +( () ) (37) 164 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

23 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: + se debe notar que () () () +( ) () () () +( ) (,) () = () + (38) donde () = () (,) = () () (39) esta acción está en un sistema de látice, el cual es considerado usando la 3.1 Derivación de la ecuación de Black-Scholes Toda la estructura matemática anterior de la teoría de normalización es el + () +( () ) (40) () () +( () ) y se puede reescribir el término de acción (41) Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

24 Estocástica: =. S y - miento de acciones obedece la acción = de S de la normalización corresponde a arbitrario de acción (42) En el caso clásico, que corresponde a la ausencia de arbitraje, - + (43) - de arbitraje que se toman en cuenta para introducir el término Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

25 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: =[()(() ) +(()))][() +] 1 (44) = ()()(()) () + () ()()(()) (45) en el límite clásico las opciones call europeas () =[() ](() ) (46) sin considerar la posibilidad de arbitraje en el tiempo T, es posible usar esta - 4. Arbitraje de flujo de dinero C C (47) - - Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

26 Estocástica: ( ), las trayectorias + =0 (48) = = (49) es dictado - sólo dos puntos, (50 a),+ (50 b) que permitirá usar los resultados de esos capítulos en el análisis de la reac- C 168 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

27 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: = (1 ) + + () () + + () () (51) En el caso anterior, la matriz de transición no normalizada para el incre- (, ) = ( ) 1 (52) 1 () (± ) = ± + + / (53) y se puede reescribir la matriz de transición (, ) = (54) = + + (55) entonces se obtiene la matriz de transición Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

28 Estocástica: (, ) = k / (56) / / / / +=(), () =0, ()() = ( ) (57) Modelo fenomenológico de precios con arbitraje virtual < con una oportunidad de arbitraje en el mercado que sucede cuando el precio de la acción subyacente es () (, ) - - descrito por la ecuación =(), () =(, ) (58) { } Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

29 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: =. () =(, ) (59) rendimiento de arbitraje al tiempo (, ) = () (,, ), < (60) (,, ) con precio del - (, ) asumiendo que las - () (, ) =0, (, )(, ) = (61) ( )()( )( ) - - () puede ser estimada del mercado. () = () (62) zado por la ecuación Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

30 Estocástica: = [ +(, )] (63) que puede ser reescrita = (, ) (64) Usando el operador - caso de que la reacción del mercado =0 (, ) Ecuación efectiva para precios de derivados (, ) se distribuye como [(.,. )]~ (65) (, ) (,, )(, ) (,, ) = ( )( ) ()( ) ( ) (66) (,, )(,, ) el kernel es del orden 1/ y se anula, en particular los resultados en 172 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

31 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: (, )(, ) = (,, ) (67) (, ) =(,)(, ) (,) (68) () = (69) =1 nes incluyendo los términos proporcionales () (, ) = 1 -(,,) (70) (,,) 1 (, ) (, ) = () La ecuación es un resultado central de esta sección, esta ecuación se 4.3 Soluciones explícitas - (, ) = (,, ) (71) Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

32 Estocástica: + + () () =0 (72) (, ) =() (73) que este proceso es independiente del proceso de los precios de las acciones, () = +() (74) 0 es la tasa de interés - - (, ) = (, ) () ( (, )) (75) (, = () (, ) ( (, )) (76) Con la notación () (t, S) = ( ) () ± ()/ (77) 174 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

33 Modelación de Medidas y Norma en finanzas () = 1 2 ( ) = ( ) () 0 2, Estocástica: (78a) (78b) () = / () = / (79) =, (80) (,, ) = () (81) (, ) = / (,) () (82) () / (,) () () (, ) = ( ) ()± ()/ (83) Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

34 Estocástica: (, ) = () (,) () / (,) () (84) - (,,) Función generadora de movimiento browniano restringido ( [, ]) - = (85) ± =0 (86) que puede ser planteada como una serie (,,) = + () (87) 176 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

35 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: [( +)][( + )] } () =1+ () + () ()+ (88) simetría, se tienen las primeras contribuciones no lineales, que después de () () () (89) describen ambos casos límites () () (1 () ) (90) () = 1 +() (91) la () = () () ()exp ( + ) + (92) () 1 1 ( 2 + ) Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

36 Estocástica: proceso (, ) = ( 2 + ) (93) (, ) = ( 2 + ) (94) () [( )(1 +) ( )] s para el precio de una opción call y (, ) = (,) () () [()()()] (95) (,) [()()()] () (, ) = () [()()()] (96) (,) [()()()] () (,) () donde, (, ) = ()± ()/ (97) con =2 y ( ) =(1 () )/ 178 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

37 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: 4.5 Análisis de las expresiones con arbitraje - - t ( )ción del mercado (). reacción del mercado ()- Figura 7 mercado para distintas volatilidades del arbitraje Figura 8 mercado para distintas volatilidades del arbitraje Fuente: Elaboración propia. Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

38 Estocástica:.- Figura 9 mercado para distintas volatilidades del arbitraje Fuente: Elaboración propia Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

39 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: Figura 10 Diferencia Call General-Call B&S como función del precios del ejercicio. Fuente: Elaboración propia. Figura 11 Diferencia PutGeneral-Put B&S como función del precios del ejercicio Fuente: Elaboración propia. Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

40 Estocástica: Figura 12 Valor de reacción del mercado que iguala Call General con Call C&S como función de la volatilidad del arbitraje Fuente: Elaboración propia Conclusiónes Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

41 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: - Referencias bibliográficas - - -, - el espacio completo = abierto de un espacio euclidiano n-dimensional y obedece a i e U j con el mapeo Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

42 Estocástica: : ( ) ( )cio euclidiano, los dominios ( )- ma E - que la acción base - - : () (, ) =maciones = : donde = (, ) =, ij - como g g(x)=x () asociada al punto () () por encima del punto () () depende continuamente de la trayectoria (), un pequeño () () es un mapeo identidad si ()=- 184 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015

43 Modelación de Medidas y Norma en finanzas Estocástica: (, ) = ( )( ),( ) =(()) Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015, pp

44 Estocástica: 186 Volumen 5, número 2, julio - diciembre, 2015