Trazo de Primitivas Geométricas I

Transcripción

1 Quinta sesión 17 de agosto de 2010

2 Contenido 1 Manejo de la discretización del Plano de Observación 2 Geometría analítica de la recta Algoritmo del analizador diferencial Algoritmo de Bresenham 3 Eliminación de artefactos (antialiasing)

3 Discretización del plano de observación

4 El plano de observación como proyección del mundo Analogía biológica: la retina obtiene una proyección (curva, anisótropa) de lo observado Las representaciones 3D en papel y computador son proyecciones del mundo en un dominio delimitado Incluso las aproximaciones estereoscópicas usan proyecciones planas; se emula la estereopsis mediante proyecciones ligeramente desplazadas que se componen en el cerebro.

5 Discretización de la supercie En computador, la digitalización impone representaciones nitas Al limitar el número de puntos en el plano de proyección, se impone necesariamente una discretización del espacio de la proyección En una pantalla de computador, tales elementos discretos, píxeles, constituyen una supercie homogénea constituida por elementos de color en disposición matricial rectangular... x x x...

6 Implementación del Buer de color Antes de ser presentado al usuario, el plano de observación ha de ser procesado hasta que todos los objetos de la escena presentada sean proyectados sobre éste, considerando su carácter discreto Las representaciones de los contornos y supercies de los objetos en la escena (2D o 3D) han de ser recorridos de algún modo para que la proyección de cada punto de las aristas y caras visibles al observador sean proyectados al plano de observación y x i max 0 j max Solución: activar píxeles en una matriz de color en memoria, dada una coordenada bidimensional y un color: SetPixel(i,j,color)

7 Discretización de Rectas

8 Ecuación de la recta Geometría analítica de la recta Algoritmo del analizador diferencial Algoritmo de Bresenham La representación cartesiana de una línea recta está dada por la expresión y = mx + b donde m es la pendiente y b es el punto de corte de la recta con el eje y. Conociendo los puntos inicial (x 1, y 1 ) y nal (x 2, y 2 ) de un segmento, la pendiente de la recta que los une es m = y x = y 2 y 1 x 2 x 1 y el punto de corte se obtiene con el despeje de b de la ecuación general usando cualquiera de los extremos: b = y 1 mx 1

9 Geometría analítica de la recta Algoritmo del analizador diferencial Algoritmo de Bresenham Para un intervalo entre los puntos inicial y nal, se puede estimar el cambio en y a medida que x avanza, así y = m x El incremento en x dado un cambio conocido en y se escribiría como x = y /m Así, los puntos sobre una recta se pueden estimar usando un valor de partida para las coordenadas (x 1, y 1 ) y aumentando la coordenada x en un valor de δx nal Discretización simple de una recta. El paso de avance δx es usualmente igual a 1. (x i, y i ) = (x 1 + kδx, y 1 + kmδx)

10 Analizador diferencial digital (DDA) Geometría analítica de la recta Algoritmo del analizador diferencial Algoritmo de Bresenham Si 0 < m < 1, la gráca está más cerca de la horizontal y se escoge recorrer la línea en x. Asumiendo la discretización, se hace δx = 1 y se estiman las coordenadas y mediante la expresión y k+1 = y k + m Para líneas con pendiente mayor a 1, más cercanas a la vertical, se escoge incrementar en y, con δy = 1. Así, la recurrencia para estimar las coordenadas x se escribe x k+1 = x k + 1 /m (x i, y i ) = (x 1 + kδx, y 1 + kmδx)

11 Geometría analítica de la recta Algoritmo del analizador diferencial Algoritmo de Bresenham Implementación de trazo de rectas DDA 1 Se toman (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) 2 Activar el píxel (x 1, y 1 ) (paso cero) 3 Calcular x, y. 1 Si x > y, entonces n = x 2 De lo contrario n = y 4 δx = x /n, δy = y /n, 5 Para cada índice k comenzando en 1 hasta n 1 x = x + δx, y = y + δy 2 Activar el píxel (x, y)

12 Limitaciones del Trazo de Rectas DDA Geometría analítica de la recta Algoritmo del analizador diferencial Algoritmo de Bresenham Se debe usar aritmética de punto otante en el bucle Aún así, hay una probabilidad en pendientes grandes de artefactos producidos por acumulación de error La aritmética entera suele ser más rápida que la de punto otante Argumento cuestionable en implementaciones recientes

13 Geometría analítica de la recta Algoritmo del analizador diferencial Algoritmo de Bresenham Método de Bresenham para trazo de rectas Mejoras de la técnica de Bresenham Implementación puramente discreta (aritmética entera) Evita errores por redondeo haciendo la evaluación de la pendiente de la recta punto a punto Requiere hacer una elección (condicional) para decidir cuál píxel activar

14 Criterio de elección Geometría analítica de la recta Algoritmo del analizador diferencial Algoritmo de Bresenham Dada la posición k + 1, la recta en su versión continua pasa por la coordenada y = m(x k + 1) + b Sea d lower la distancia al nodo a y k+1 y d upper la distancia al nodo superior. La distancia entre las dos se puede escribir d lower = y y k = m(x k + 1) + b y k d upper = y k + 1 y = y k + 1 m(x k + 1) b Así, la diferencia entre las distancias permite escoger qué pixel entrará en la representación de la línea para el paso k + 1 en x

15 Establecimiento del criterio de elección Geometría analítica de la recta Algoritmo del analizador diferencial Algoritmo de Bresenham Con la diferencia entre las separaciones es d lower d upper = 2m(x k + 1) 2y k + 2b 1 Sabiendo que x = y /m, se puede denir el criterio de elección del siguiente píxel a activar, p k = x(d lower d upper ) = 2 yx k 2 xy k + c (1) con c = 2 y + x(2b 1). El signo de p k es el mismo de d lower d upper. Calculando p en k + 1 y restando las dos ecuaciones se tiene p k+1 = p k + 2 y 2 x(y k+1 y k ) en el cual, tratándose de aritmética entera, y k+1 y k puede ser cero o uno. Sabiendo por la ec. 1 que p 0 = 2 y x, se ejecuta la recurrencia para cada valor discreto de x comenzando en x 1 hasta x 2.

16 Geometría analítica de la recta Algoritmo del analizador diferencial Algoritmo de Bresenham Algoritmo de Bresenham para trazo de rectas 1 Se toman (x 1, y 1 ) y (x 2, y 2 ) 2 Activar el píxel (x 1, y 1 ) (paso cero) 3 Calcular x, y, 2 y, 2 y 2 x y se inicializa p 0 = 2 y x 4 Para cada índice k comenzando en 0 (p 0 ) hasta x se evalúa p k < 0 1 Si es cierto, se activa el píxel (x k+1, y k ) y se hace p k+1 = p k 2 y 2 Si es falso, se activa el píxel (x k+1, y k+1 ) y se hace p k+1 = p k + 2 y 2 x

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18 Artefactos propios de la discretización Rectas Eliminación de artefactos (antialiasing) Al tratarse de una aproximación discreta, la aproximación al plano de observación pierde los componentes de baja frecuencia al imponer bordes duros para aproximar contornos continuos Esto lleva implícita una discretización por muestreo: x 2 x 1 δx Es necesario dar al vista la apariencia de contornos contínuos a pesar de esta restricción

19 Ejemplos de Aliasing I Eliminación de artefactos (antialiasing) Ejemplo de imagen con aliasing (izquierda) y eliminación global de los artefactos mediante técnicas basadas en el objeto

20 Ejemplos de Aliasing II Eliminación de artefactos (antialiasing) Ejemplo de imagen con aliasing (izquierda) y eliminación global de los artefactos mediante técnica de ltrado global (pasabajos)

21 Eliminación de artefactos (antialiasing) Eliminación de artefactos de discretización Antialiasing por cubrimiento Los algoritmos de discretización de las primitivas geométricas deberán ser modicados para alterar la intensidad asignada a cada píxel Suelen emplearse modelos basados en una función de cercanía del contorno real al nodo asociado a cada elemento de supercie (píxel) Ejemplo c = I d donde I es la intensidad (color) ideal del contorno y d es la distancia