NPC. Más problemas NP-Completos. Complexity D.Moshkovitz

Transcripción

1 NPC Más problemas NP-Completos

2 Introducción Objetivos: - Introducir más NP-Completos. Resumen: 3SAT CLIQUE INDEPENDENT-SET 2

3 Método Cómo demostramos que un problema está en NPC? Primero probamos que el problema está en NP Después demostramos que es NP-Hard reduciendo algún problema NP-Hard a él. 3

4 Nuevos problemas base El único problema NP-Completo que conocemos es SAT. Desgraciadamente no es muy cómodo trabajar con SAT. Por ello, comenzaremos introduciendo variantes más útiles de SAT. Usaremos estas variantes como problemas base. 4

5 3SAT Entrada: a 3CNF formula Problema: Decidir si la fórmula es satisfactible. Una fórmula 3CNF satisfactible (x y z) (x y z) Una fórmula 3CNF insatisfactible (x x x) ( x x x) 5

6 SIP SAT es NP-Completo 3SAT es un caso especial de SAT y, por tanto, está en NP. Para ver que es NP-Completo, volvemos a la prueba de que SAT es NP-Completo, Será suficiente con fórmulas 3CNF? 6

7 Volviendo a la prueba de que SAT es NP-Completo Dada una máquina de Turing y una entrada se produce la fórmula: φ cell = x i,j,s k i,j n s C s t C (x i,j,s x i,j, t ) φ start = x,,# x,2,q x,3,w... x,n 2,_... x k +,n,_ x,n k,# ( ) + + φ = x... x move i,j,a i,j,a i,j n legal a,...,a φ k 6 6 accept = i,j n k x i,j,q accept 7

8 Transformando la fórmula en una fórmula CNF Todas las subfórmulas salvo ϕ move, son fórmulas CNF. Usando la operación distributiva podemos transformar ϕ move en una conjunción de cláusulas CNF. La fórmula resultante sigue teniendo un tamaño polinómico ( Comprobarlo!). 8

9 CNF 3CNF Clausulas con o 2 literales (x y) (x x 2... x t )... Clausulas con 3 o más literales repetición división (x y x) (x x 2 c ) ( c x 3 c 2 )... ( c t-3 x t- x t ) 9

10 3SAT es NP-Completo Hemos visto que podemos reducir cualquier problema de NP a 3SAT y que 3SAT está en NP 3SATes NP-Completo.

11 CLIQUE Entrada: Un grafo no dirigido G=(V,E) y un natural k. Problema: Decidir si existe un conjunto de nodos C={v,...,v k } V, t.q. por cada u,v C: (u,v) E.

12 CLIQUE está en NP Con entrada G=(V,E),k: Adivinar C={v,...,v k } V Por cada u,v C: comprobar que (u,v) E Rechazar si alguna comprobación falla, aceptar en otro caso La longitud del certificado: O(n) (n= V ) El tiempo de ejecución: O(n 2 ) 2

13 SIP CLIQUE es NP-Completo Prueba: Demostraremos que 3SAT p CLIQUE. (......)... (......) p 3

14 La reducción Por cada cláusula (α β γ) α β γ V = longitud de la fórmula conectado si y sólo si α δ δ K=n o. of cláusulas 4

15 Prueba NO conectados!... Un clique de tamaño k debe contener un nodo de cada capa. k 5

16 Las dos direcciones de la reducción Dado un k-clique, asigna a x TRUE o FALSE según x o x estén en el clique. Esto satisface la fórmula (......)... (......). Dada una asignación que satisface la fórmula, un conjunto formado por un literal con valor TRUE de cada cláusula es un k-clique. 6

17 INDEPENDENT-SET Entrada: Un grafo no dirigido G=(V,E) y un natural k. Problema: Decidir si existe un conjunto de nodos I={v,...,v k } V, t.q. Por cada u,v I: (u,v) E. 7

18 INDEPENDENT-SET NP Con entrada G=(V,E),k: Adivinar I={v,...,v k } V Por cada u,v C: comprobar (u,v) E Rechazar si alguna comprobación falla, aceptar en otro caso. La longitud del certificado: O(n) (n= V ) El tiempo de ejecución: O(n 2 ) 8

19 INDEPENDENT-SET NPC Prueba: Por el hecho de estar en NP y una reducción trivial desde CLIQUE. Existe un k- clique Existe un k-is en el grafo complementario 9

20 SUBSET-SUM Entrada: Un conjunto de números S yun número t a obtener. Problem: Decidir si existe un subconjunto Y S tal que Σ n Y n = t. 2

21 SUBSET-SUM está en NP Con entrada S,t: Adivinar Y S Aceptar si y sólo si Σ n Y n = t. La longitud del certificado es : O(n) (n= S ) El tiempo de ejecución es polinómico. 2

22 SIP SUBSET-SUM NPC Prueba: 3SAT p SUBSET-SUM. (......)... (......) p 22

23 SUBSET-SUM NPC un dígito por cláusula c c 2 c k numéro por cada variable x i con valor true: y i numéro por cada variable con x i valor false : z i si x i está en c j si x i está en c j en otro caso en otro caso 23

24 SUBSET-SUM NPC un dígito por cláusula c c 2 c k <d<4 t: 24

25 SUBSET-SUM NPC un dígito por cláusula c c 2 c k t: 3 25

26 SUBSET-SUM NPC Un subconjunto podría contener tanto a y i como a z i y z y l z l c c 2 c k

27 SUBSET-SUM NPC c c 2 c k y... z y l z l

28 La reducción es polinómica k l 2l 2k 28

29 Las dos direcciones de la reducción Si existe una asignación que satisface la fórmula, entonces se puede elegir un subconjunto de números que sumen t: los s Si la variable i-ésima es TRUE, elegimos y i, en vez de z i. Si es FALSE, LO CONTRARIO Sumamos los números auxiliares que necesitemos. los 3 s Sólo si la cláusula es TRUE 29

30 Las dos direcciones de la reducción Si existe un subconjunto que suma t, la fórmula es satisfactible: Si y i está en el subconjunto, asignar TRUE a la i-ésima variable. Si z i está en el subconjunto, asignar FALSE a la i-ésima variable. 3

31 Observación: no hay carry c c 2 c k y Todos los dígitos son s o s. Cadacolumna contiene como mucho cinco s. z y l z l No existe carry

32 La asignación es consistente c c 2 c k y El subconjunto sólo puede contener o bien y i o bien z i, pero no los dos a la vez. z y l z l

33 La fórmula es satisfactible c c 2 c k y En cada columna, como mucho, se pueden obtener 2 unidades de los números auxiliares. Por tanto todas las cláusulas son satisfechas. z y l z l

34 SUBSET-SUM NPC. SUBSET-SUM está en NP 2. 3SAT p SUBSET-SUM 3. SUBSET-SUM es NP-Completo 34

35 Resumen Hemos añadido más problemas a la clase NPC. Es muy importante señalar que NPC contiene más de problemas diferentes! 35

36 Apéndice 36

37 Diccionario negación: not ( ) conjunción: and ( ) literal: variable booleana negada o no disjunción: or ( ) Ejemplo: x, x cláusula: varios literales unidos por Ejemplo: (x y z) CNF (Conjunctive Normal Form): varias cláusulas unidas por Ejemplo: (x y) (x y z) 3CNF: un fórmula CNF con 3 literales en cada cláusula Ejemplo: (x y z) (x y z) 37