Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia
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- Álvaro Farías Marín
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1 Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia Carme Olivé Farré Universitat Rovira i Virgili Ddays, 18 de octubre de 2006 Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 1/2
2 Series de potencias Las matemáticas aplicadas a menudo usan series de potencias: Ecuación funcional con un parámetro: F(u(x), ε) = 0. Conocemos u 0 (x) tal que F(u 0 (x), ε 0 ) = 0 y buscamos u(x, ε) = u 0 (x) + u 1 (x)(ε ε 0 ) + u 2 (x)(ε ε 0 ) 2 + Órbitas periódicas de campos vectoriales variedades estable e inestable de puntos hiperbólicos variedades normalmente hiperbólicas toros invariantes en sistemas hamiltonianos Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 2/2
3 Series de potencias Las matemáticas aplicadas a menudo usan series de potencias: Ecuación funcional con un parámetro: F(u(x), ε) = 0. Conocemos u 0 (x) tal que F(u 0 (x), ε 0 ) = 0 y buscamos u(x, ε) = u 0 (x) + u 1 (x)(ε ε 0 ) + u 2 (x)(ε ε 0 ) 2 + Ecuaciones sin parámetros. Buscamos una solución cuando x x 0. Uso de la serie de Taylor: u(x) = u(x 0 ) + u 1 (x 0 )(x x 0 ) + u 2 (x 0 )(x x 0 ) 2 + Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 2/2
4 Series de potencias Las matemáticas aplicadas a menudo usan series de potencias: Ecuación funcional con un parámetro: F(u(x), ε) = 0. Conocemos u 0 (x) tal que F(u 0 (x), ε 0 ) = 0 y buscamos u(x, ε) = u 0 (x) + u 1 (x)(ε ε 0 ) + u 2 (x)(ε ε 0 ) 2 + Ecuaciones sin parámetros. Buscamos una solución cuando x x 0. Uso de la serie de Taylor: u(x) = u(x 0 ) + u 1 (x 0 )(x x 0 ) + u 2 (x 0 )(x x 0 ) 2 + En cualquier caso: la solución formal encontrada, representa una auténtica solución de la ecuación? Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 2/2
5 Series de potencias Si la serie es convergente, u(x) será una función analítica en un disco. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 3/2
6 Series de potencias Si la serie es convergente, u(x) será una función analítica en un disco. Si la serie es divergente, tiene ésta alguna relación con una solución de la ecuación de partida? hay alguna solución de la ecuación que tenga la serie encontrada como serie de Taylor? Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 3/2
7 Series de potencias Si la serie es convergente, u(x) será una función analítica en un disco. Si la serie es divergente, tiene ésta alguna relación con una solución de la ecuación de partida? hay alguna solución de la ecuación que tenga la serie encontrada como serie de Taylor? Es posible conocerla o saber sus propiedades básicas? Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 3/2
8 Series de potencias Si la serie es convergente, u(x) será una función analítica en un disco. Si la serie es divergente, tiene ésta alguna relación con una solución de la ecuación de partida? hay alguna solución de la ecuación que tenga la serie encontrada como serie de Taylor? Es posible conocerla o saber sus propiedades básicas? Es única? Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 3/2
9 Series de potencias Definición. Dada una serie de potencias ϕ(z) = n N a n z n+1 C[[z 1 ]] diremos que es de clase Gevrey-1 si existen dos constantes positivas M y C tales que a n Mn!C n. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 4/2
10 Series de potencias Definición. Dada una serie de potencias ϕ(z) = n N a n z n+1 C[[z 1 ]] diremos que es de clase Gevrey-1 si existen dos constantes positivas M y C tales que a n Mn!C n. Serie convergente de radio r a n M(r ) n r > r. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 4/2
11 Series de potencias Definición. Dada una serie de potencias ϕ(z) = n N a n z n+1 C[[z 1 ]] diremos que es de clase Gevrey-1 si existen dos constantes positivas M y C tales que a n Mn!C n. Serie convergente de radio r a n M(r ) n r > r. n N n! es Gevrey-1, pero diverge para cualquier valor de z. zn+1 Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 4/2
12 Ejemplos { x = x 2 y = x y + axy 2 a R Sistema linealizado: ( ) ( ζ 0 0 = η 1 1 ) ( ζ η ) { ζ(t) = ζ 0 η(t) = ζ 0 + ce t η ζ Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 5/2
13 Ejemplos { x = x 2 y = x y + axy 2 a R Sistema completo: Existe una variedad central? W c y y = f(x), f(0) = 0 y f (0) = 1 x Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 5/2
14 Ejemplos { x = x 2 y = x y + axy 2 a R Sistema completo: Existe una variedad central? W c y y = f(x), f(0) = 0 y f (0) = 1 x Condición: f (x) = f(x) x 2 1 x ( 1 af 2 (x) ) Caso a = 0, ecuación de Euler. Caso a 0, ecuación de Riccati. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 5/2
15 Ecuación de Euler Con el cambio de variables z = 1/x, la nueva ecuación es g (z) = g(z) 1 z y buscamos soluciones que se anulen en ±. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 6/2
16 Ecuación de Euler Con el cambio de variables z = 1/x, la nueva ecuación es g (z) = g(z) 1 z y buscamos soluciones que se anulen en ±. Solución formal: g(z) = ( 1) n+1 n! z n+1 n 0 divergente para cualquier z C, pero es Gevrey-1. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 6/2
17 Sistema del péndulo forzado { q = p ṗ = sinq con q R/2πZ. 0 p π 2π q Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 7/2
18 Sistema del péndulo forzado { q = p ṗ = sinq µsinq sin(t/ε) p W W + con 0 < ε < 1 y µ > 0 dos parámetros y (q, t) R/2πZ R/2πεZ. t 2π q Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 7/2
19 Sistema del péndulo forzado H µ,ε (q, p, τ) = p2 2 + cos q 1 + µ(1 cos q) sinτ. Variedades invariantes estable e inestable: p = q T ± (q, τ;µ, ε). T ± son soluciones de la Ecuación de Hamilton-Jacobi: τ T + εh µ,ε (q, q T, τ) = 0 2π-periódicas en τ y con la condición asintótica: lim qt ± (q, τ;µ, ε) = 0. q 0,2π Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 7/2
20 Sistema del péndulo forzado H µ,ε (q, p, τ) = p2 2 + cos q 1 + µ(1 cos q) sinτ. Variedades invariantes estable e inestable: p = q T ± (q, τ;µ, ε). T ± son soluciones de la Ecuación de Hamilton-Jacobi: τ T + εh µ,ε (q, q T, τ) = 0 2π-periódicas en τ y con la condición asintótica: lim qt ± (q, τ;µ, ε) = 0. q 0,2π T ± (q, τ;µ, ε) T 0 (q) + n 1 T n (q, τ;µ)ε n no convergente en ε. T n singularidades polares en {iπ/2 + iπz}. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 7/2
21 Resumación de Borel-Laplace Transformada de Borel formal, B: g(z) = n 0 1 a n z n+1 ĝ(ζ) = ζ n a n n! n 0 Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 8/2
22 Resumación de Borel-Laplace Transformada de Borel formal, B: g(z) = n 0 1 a n z n+1 ĝ(ζ) = ζ n a n n! n 0 Series Gevrey-1, g(z) B L θ Gérmenes Sectoriales, g θ ĝ, Gérmenes analíticos en el origen con prolongación analítica en un sector y con crecimiento exponencial g θ (z) = (θ) 0 e zζ ĝ(ζ) dζ Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 8/2
23 Resumación de Borel-Laplace En general, siempre existe la transformada de Laplace de ĝ? Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 9/2
24 Resumación de Borel-Laplace En general, siempre existe la transformada de Laplace de ĝ? Respuesta: depende. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 9/2
25 Resumación de Borel-Laplace En general, siempre existe la transformada de Laplace de ĝ? Respuesta: depende. Caso de existir, es única? Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 9/2
26 Resumación de Borel-Laplace En general, siempre existe la transformada de Laplace de ĝ? Respuesta: depende. Caso de existir, es única? Respuesta: depende. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 9/2
27 Ecuación de Euler g(z) = n 0 ( 1) n+1 n! z n+1 ĝ(ζ) = ( 1) n+1 ζ n = ζ n 0 analítica en ζ < 1. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 10/2
28 Ecuación de Euler g(z) = n 0 ( 1) n+1 n! z n+1 ĝ(ζ) = ( 1) n+1 ζ n = ζ n 0 analítica en ζ < 1. con continuación analítica en C { 1}. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 10/2
29 Ecuación de Euler g(z) = n 0 ( 1) n+1 n! z n+1 ĝ(ζ) = ( 1) n+1 ζ n = ζ n 0 analítica en ζ < 1. con continuación analítica en C { 1}. ĝ(ζ) C = C e 0 ζ, tiene crecimiento exponencial 0 en un sector de R +. R + Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 10/2
30 Ecuación de Euler g(z) = n 0 ( 1) n+1 n! z n+1 ĝ(ζ) = ( 1) n+1 ζ n = ζ n 0 Transformada de Laplace en la dirección R + : g(z) = 0 e zζ ζ dζ ζ z R + Π 0 Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 11/2
31 Ecuación de Euler Propiedades de g(z) = 0 e zζ ζ dζ analítica en Π 0. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 12/2
32 Ecuación de Euler Propiedades de g(z) = 0 e zζ ζ dζ analítica en Π 0. g 1 g en Π 0 : N N, M, C > 0 tales que N 1 g(z) n=0 a n z n+1 MCN N! z N+1. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 12/2
33 Ecuación de Euler Propiedades de g(z) = 0 e zζ ζ dζ analítica en Π 0. g 1 g en Π 0 : N N, M, C > 0 tales que N 1 g(z) n=0 a n z n+1 MCN N! z N+1. solución de la ecuación de Euler con lim g(z) = 0. z + Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 12/2
34 Ecuación de Euler Otras resumaciones de Borel-Laplace: g θ (z) = ζ d θ (θ) 0 e zζ ζ dζ z Π θ θ Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 13/2
35 Ecuación de Euler Otras resumaciones de Borel-Laplace: g θ (z) = ζ d θ (θ) 0 e zζ ζ dζ z Π θ θ Importante: g θ (z) = g 0 (z) cuando z Π 0 Π θ porque no hay singularidades g θ (z) es una continuación analítica de g 0 (z) en Π θ Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 13/2
36 Ecuación de Euler g π/2 (z) = (π/2) 0 e zζ ζ dζ d θ ζ z θ Π θ Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 14/2
37 Ecuación de Euler θ = π es imposible porque ĝ tiene una singularidad en ζ = 1 g π (z) = ζ (π ) 0 e zζ ζ dζ z d θ 1 θ Π θ Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 14/2
38 Ecuación de Euler g(z), que estaba definida en Rez > 0 Hemos construido una continuación analítica de g(z) en: z Π θ θ Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 15/2
39 Ecuación de Euler g(z), que estaba definida en Rez > 0 Hemos construido una continuación analítica de g(z) en: z z Π θ θ θ Π θ Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 15/2
40 Ecuación de Euler g(z), que estaba definida en Rez > 0 Hemos construido una continuación analítica de g(z) en: z z z Π θ θ θ θ Π θ Π θ Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 15/2
41 Ecuación de Euler g(z), que estaba definida en Rez > 0 Hemos construido una continuación analítica de g(z) en: z z z Π θ θ θ Π θ Π θ θ En cualquier sector del plano cortado g π solución de la ecuación g π (z) 1 n 0 ( 1) n+1 n! z n+1 En particular, lim Im z g π (z) = 0. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 15/2
42 Ecuación de Euler g(z), que estaba definida en Rez > 0 Construimos una continuación analítica de g(z) en el sentido contrario y en cualquier sector del plano cortado g π + solución de la ecuación g π +(z) 1 n 0 ( 1) n+1 n! z n+1 En particular, lim g π +(z) = 0. Im z + Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 16/2
43 Ecuación de Euler Tenemos dos continuaciones analíticas de la función g inicial, g π y g π + que son soluciones de la ecuación de Euler y son asintóticas a la misma serie. Coinciden en Rez > 0, pero no en Rez < 0: g π +(z) = g π (z) + e zζ ĝ(ζ) dζ = γ = g π (z) + 2πiRes γ ( ) e zζ ĝ(ζ), ζ = 1 = g π (z) 2πie z Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 17/2
44 Ecuación de Euler Tenemos dos continuaciones analíticas de la función g inicial, g π y g π + que son soluciones de la ecuación de Euler y son asintóticas a la misma serie. Coinciden en Rez > 0, pero no en Rez < 0: g π +(z) = g π (z) + e zζ ĝ(ζ) dζ = = g π (z) + 2πiRes γ ( ) e zζ ĝ(ζ), ζ = 1 = g π (z) 2πie z Singularidades ramificadas de la "funciones resumadas" singularidades de ĝ en el plano de Borel. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 17/2
45 Ecuación de Riccati g (z) = g(z) + B 1 z + B+1 z g2 (z) no se puede obtener explícitamente g y no sabemos si es Gevrey-1. no tenemos información de la continuación analítica de ĝ. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 18/2
46 Ecuación de Riccati g (z) = g(z) + B 1 z + B+1 z g2 (z) no se puede obtener explícitamente g y no sabemos si es Gevrey-1. no tenemos información de la continuación analítica de ĝ. Alternativa: trabajar con la transformada de Borel de la ecuación (ζ + 1)ĝ = B + B + (1 ĝ ĝ) donde f g(ζ) = ζ 0 f(t)g(ζ t) dt. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 18/2
47 Ecuación de Riccati Propiedades de ĝ: es una función con singularidades polares simples y logarítmicas en ζ Z. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 19/2
48 Ecuación de Riccati Propiedades de ĝ: es una función con singularidades polares simples y logarítmicas en ζ Z. es convergente en el origen Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 19/2
49 Ecuación de Riccati Propiedades de ĝ: es una función con singularidades polares simples y logarítmicas en ζ Z. es convergente en el origen tiene continuación analítica a lo largo de cualquier recta que evite las singularidades tiene crecimiento exponencial Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 19/2
50 Ecuación de Riccati Propiedades de ĝ: es una función con singularidades polares simples y logarítmicas en ζ Z. es convergente en el origen tiene continuación analítica a lo largo de cualquier recta que evite las singularidades tiene crecimiento exponencial g es una FUNCIÓN RESURGENTE SIMPLE. Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 19/2
51 Ecuación de Riccati Propiedades de ĝ: es una función con singularidades polares simples y logarítmicas en ζ Z. es convergente en el origen tiene continuación analítica a lo largo de cualquier recta que evite las singularidades tiene crecimiento exponencial g es una FUNCIÓN RESURGENTE SIMPLE. Las FUNCIONES RESURGENTES y el CÁLCULO DIFERENCIAL permiten estudiar las diferentes resumaciones de una serie Gevrey-1 Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 19/2
52 Ecuación de Riccati θ 0 θ g θ (z) = g θ (z) + r 1 1 r! e (ω i 1 + +ω ir)z ( ωi1 ωi r g) θ Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 20/2
53 Ecuación de Riccati 0 ω 3 Determinación ĝ + ω 1 ω 2 de la forma: c + ω 1 ω 2 2πiζ + ˆψ + ω 1 ω 2 (ζ) logζ 2πi + regular Entonces, la derivada extranjera de g es: donde ǫ i = + o. ω3 g = promedio ( ) c ǫ 1ǫ 2 ω 1 ω 2 + B 1 ˆψǫ 1 ǫ 2 ω 1 ω 2 Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 21/2
54 Ecuación de Riccati Cálculo de ω1 ωr g: INTEGRAL FORMAL. G(z, u) = n 0 u n e nz g n (z) ECUACIÓN DEL PUENTE. ω G = Aω (u) G u Singularidades en ecuaciones diferenciales Teoría de la resurgencia p. 22/2
55 Referencias: W. Balser. From Divergent Power Series to Analytic Functions. Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag (1994). C. Bonet, D. Sauzin, T.M. Seara and M. València. Adiabatic invariant of the harmonic oscillator, complex matching and resurgence methods. SIAM J. Math. Anal. (1998), 29 (6), B. Candelpergher, J.C. Nosmas, F. Pham, Approche de la résurgence, Actualités Math. Hermann, París, V.G. Gelfreich and D. Sauzin. Borel summation and splitting of separatrices for the Hénon map. Ann. Inst. Fourier, Grenoble. (2001), 51(2), B. Malgrange. Sommation des s\'eries divergentes. Exp. Math. (1995), 13, C. Olivé, D. Sauzin and T. M. Seara. Resurgence in a Hamilton-Jacobi equation. Ann. Inst. Fourier, Grenoble. (2003), 53(4), C. Olivé, D. Sauzin and T. M. Seara Two Examples of Resurgence. Contemporary Mathematics. (2005), 373, D. Sauzin. Résurgence paramétrique et exponentielle petitesse de l'écart des séparatrices du pendule rapidement forcé. Ann.Ins.Fourier, Grenoble. (1995), 45(2),
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