Controlabilidad y observabilidad

Transcripción

1 Lección 5 Controlabilidad y observabilidad 1 Eventos alcanzables y controlables Σ = (T, U, U, X, Y, ψ, η) un sistema de control arbitrario T X= Espacio de eventos (t, x) T X= el estado del sistema en el instante t es x Definición de controlabilidad-alcanzabilidad (a) El evento (t, x) es alcanzable desde el evento (, x ) si existe un control u( ) U tal que ψ(t;, x, u( )) = x También se dice que (, x ) puede controlarse hasta (t, x) (b) Si x, x 1 X, t T, (t ) y, t 1 T tales que t 1 = t y (t 1, x 1 ) es alcanzable desde (, x ) entonces se dice que el estado x 1 es alcanzable desde el estado x en tiempo t También se dice que x es controlable hasta x 1 en tiempo t (c) El estado x 1 es alcanzable desde el estado x (o x es controlable hasta x 1 ) si t T tal que x 1 es alcanzable desde x en tiempo t ( o x es controlable hasta x 1 en tiempo t) 2

2 Controlabilidad de sistemas lineales (dimensión finita) T R un intervalo X = K n, U = K m, Y = K p (K = R o C) { ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) t T (Σ) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) A( ) C(T, R n n ), B( ) C(T, R n m ), C( ) C(T, R p n ), D( ) C(T, R p m ) Definición de controlabilidad de sistemas lineales (Σ) es controlable en [, t f ] T si para (x, x 1 ) R n R n existe una función de control u( ) C([, t f ], R m ) tal que la única solución del PCI { ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) x( ) = x cumple x(t f ) = x 1 ((, x ) es controlable a (t f, x 1 ) o (t f, x 1 ) es alcanzable desde (, x )) Nota Para sistemas continuos alcanzabilidad y controlabilidad son conceptos (matemáticamente) equivalentes Solución de los sistemas lineales 3 La única solución del PCI { ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) es x( ) = x x(t) = Φ(t, )x + Φ(t, s)b(s)u(s) ds, t T donde Φ(t, ) es la matriz fundamental de soluciones o matriz de transición de estados: única solución de { Ẋ(t) = A(t)X(t), t T X( ) = I n Recordar concepto y poner ejemplo 4

3 Sistemas diferenciales lineales invariantes en el tiempo { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t R A R n n, B R n m y(t) = Cx(t) + Du(t) C R p n, D R p m Matriz fundamental de soluciones o de transición de estados: Φ(t, ) = e A(t ) e At t k = k! Ak, t R (Matlab: expm) k= Solución (función de transición de estados): x(t) = e A(t ) x + Respuesta del sistema: y(t) = Cx(t)+Du(t) = Ce A(t ) x + e A(t τ) B(τ)u(τ) dτ, t R Ce A(t τ) B(τ)u(τ) dτ+du(t) 5 Matriz de transición: Forma de Jordan Si A R n n, existe T C n n tq T 1 AT = J, con J = J 1 J r, J j = λ j 1 λ j 1 λ j 1 λ j C n j nj, Esta es la forma de Jordan de A y λ 1,, λ r C son los valores propios (vp) distintos (λ i λ j ) de A Se cumple que: e Jt = e J 1 t e J k t, ej j t = e λ j t 1 t t 2 2! 1 t t n j 2 (n j 2)! t n j 3 (n j 3)! t n j 1 (n j 1)! t n j 2 (n j 2)! 1 t 1 Si λ j = a j + ib j e λ j t = e a j t e ib j t = e a j t (cos(b j t) + i sen(b j t)) e A(t τ) = T e J(t τ) T 1 (Matlab: eig) (valores propios) (Matlab (symbolic toolbox): jordan) (forma de Jordan) 6

4 Oscilador lineal amortiguado mẍ + cẋ + kx = x() = x, ẋ() = v Con el cambio k ω = m (frecuencia natural) (movimiento libre) ζ = c 2 km (razón de amortiguamiento) ẍ + 2ζω ẋ + ω 2 x = Ecuaciones de estado (x 1 = x, x 2 = ẋ): ] [ ] [ ] [ẋ1 1 x1 = ẋ 2 ω 2, 2ζω x 2 [ ] x1 () x 2 () = [ x v ] 7 Oscilador lineal amortiguado Polinomio característico: ( ) λ 2 + 2ζω λ + ω 2 = [ λ + ] ζω ± ω ζ2 1 Solución general: x(t) = T e Jt T 1 x v Movimiento subamortiguado: < ζ < 1 [ e Jt e ( ζω +ω d ] i)t = e ( ζω ω d i)t ω d = ω ζ2 1 (frecuencia natural amortiguada) e ( ζω ±ω d i)t = e ζωt (cos(ω d t) ± i sen(ω d t)) x(t) = e ζω t (A cos(ω d t) + B sen(ω d t)) Movimiento sobreamortiguado: ζ > 1 e Jt = [ e ( ζ+ ζ 2 1)ω t e ( ζ ζ 2 1)ω t x(t) = Ae ( ζ+ ζ 2 1)ω t + Be ( ζ ζ 2 1)ω t ] 8

5 Oscilador lineal amortiguado Movimiento críticamente amortiguado: ζ = 1 [ ] [ ] ω 1 J =, e Jt = e ω t 1 t ω 1 [ ] Solución general: x(t) = T e Jt T 1 x v x(t) = e ω t [(v + ω x )t + x ] Observación: Las tres figuras tienen una caractrística común: después de un tiempo en el que el sistema evoluciona con cambios significativos, tiende al estado estacionario Es una propiedad general de los sistemas lineales 9 Respuesta de estado estacionario { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t R A R n n, B R n 1 y(t) = Cx(t) + Du(t) C R 1 n, D R 1 1 Hipótesis: { Una entrada (m = 1), la función salto unidad, t < γ(t) := Condición inicial: x() = 1, t Respuesta del sistema (A invertible): y(t) = = C Ce A(t τ) B(τ)u(τ) dτ + Du(t) = C e Aσ D dσ = C(A 1 e Aσ B) σ=t σ= + D = = CA 1 e At B CA 1 B + D e A(t τ) D dτ + D = respuesta transitoria respuesta de estado estacionario Si parte real de λ i (A) <, CA 1 e At B 1

6 Una caracterización algebraica de la controlabilidad Recordemos: x(t) = Φ(t, )x + solución del PCI: Φ(t, s)b(s)u(s) ds es la única { ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) x( ) = x Observaciones importante: {f } R(t f, ) = Φ(t f, s)b(s)u(s) ds : u( ) U es un espacio vectorial, (U = C(R, R m )) Espacio de estados alcanzables desde (, ) en tiempo t f (t f, x 1 ) alcanzable desde (, x ) sii x 1 Φ(t f, )x R(, t f ) Se puede caracterizar R(, t f ) algebraicamente? Matriz Grammiana de controlabilidad: W (t f, ) = f Φ(t f, t)b(t)b(t) T Φ(t f, t) T dt R(t f, ) = Im(W (t f, )) 11 Controlabilidad y matriz Grammiana (Σ) es controlable en [, t f ] si y sólo si R(t f, ) = R n (Σ) es controlable en [, t f ] si y sólo si W (, t f ) es invertible w(t) = B(t) T Φ(t f, t) T W (t f, ) 1 (x 1 Φ(t f, )x ) lleva el estado x en t = al estado x 1 en t = t f, y f w(t) 2 dt f u(t) 2 dt entre todos los controles u( ) C([, t f ], R m ) para los que ψ(t f ;, x, u( )) = x 1 Interpretación: w(t) es el control que minimiza la energía o el consumo 12

7 Controlabilidad de sistemas invariantes en el tiempo (Σ) { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) t T y(t) = Cx(t) + Du(t) Matriz fundamental de soluciones (transmisión de estados): Φ(t, ) = e A(t ) Propiedad importante basada en el Teorema de Hamilton-Cayley: e At = α (t)i + α 1 (t)a + + α n 1 (t)a n 1 Teorema Fundamental: rang W (, t f ) = rang [ B AB A n 1 B ] Ker W (, t f ) = Ker [ B AB A n 1 B ] T C(A, B) = [ B AB A n 1 B ] R n nm Matriz de controlabilidad de (Σ) (Σ) controlable si y sólo si rang C(A, B) = n 13 Sistema carro-péndulo linealizado { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) 1 c(j + ml2 ) m 2 l 2 g A = M M 1 mlc (M + m)mgl M M β J + ml2 [ ] B = M 1, C = 1 β ml M Mlc P M (M + m)c P M (M = (M + m)j + ml 2 M) 14

8 Código Matlab para calcular la matriz de controlabilidad syms c J m l cp M g b M A=[ 1 ; -c*(j+m*l^2)/m m^2*l^2*g/m -M*l*cp/M; 1; -m*l*c/m (M+m)*m*g*l/M -(M+m)*cp/M] B=[;b*(J+m*l^2)/M;;b*m*l/M] C=simplify([B A*B A^2*B A^3*B]) de=simplify(det(c)) m=1;m=1;g=968;j=1/2; l=1; cp=1;c=2; M=(M+m)*J+m*l^2*M; Cs=subs(C) des=det(cs) 15 Satélite en órbita geoestacionaria 1 3Ω 2 2R Ω 1 ẋ(t) = 1 2Ω x(t) + 1 R y(t) = [ 1 ] x(t) R u(t) Código Matlab para calcular la matriz la matriz de controlabilidad y un control de norma mínima echo on syms w R t A=[ 1 ; 3*w^2 2*w*R; 1; -2*w/R ] B=[ ;1 ; ; 1/R] C=[B A*B A^2*B A^3*B] rangomc=rank(c) %Control con motor radial estropeado (u_1=) B1=B(:,2) Ct=[B1 A*B1 A^2*B1 A^3*B1] r2=rank(ct) 16

9 Continuación código Matlab %Control con motor tangencial estropeado (u_2=) B2=B(:,1) Cr=[B2 A*B2 A^2*B2 A^3*B2] r1=rank(cr) %calculo del control para partiendo del reposos en $t=$ se llegue %estado [;;1;] en 1 segunto (tf=1) % Radio de la órbita estacionaria y velocidad angular R=42164 w=727*1^(-5) A=subs(A); vpa(a,4) B=subs(B); vpa(b,4) [T J]=jordan(A) %necesitamos forma de Jordan real ) T1=real(T), T2=imag(T), J1=real(J), J2=imag(J) T=[T1(:,1) T1(:,2) T1(:,3) T2(:,3)] JR=blkdiag(J1(1:2,1:2), [ J2(3,3); -J2(3,3) ]) %comprobamos que está bien calculado A-T*JR*T^(-1) 17 Continuación código Matlab %A por la grammiana %matriz de transicion E=simplify(T*expm(JR*(1-t))*T^(-1)); vpa(e,4) %integrando W=simplify(E*B*B *E );vpa(w,4) %matriz grammiana W=int(W,,1); vpa(w,4) %Control u=b *E *W^(-1)*[;;1;]; vpa(u,4) 18

10 Descomposición de Kalman y el test PBH Teorema (Descomposición de Kalman) Si (A, B) no es controlable y rang C(A, B) = r < n, existe T Gl n (R) tal que [ ] [ ] T 1 A1 A AT = 2 B1 T B = A 3 donde A 1 R r r, B 1 R r m y (A 1, B 1 ) es controlable Teorema (A, B) es controlable si y sólo si se cumple cualquiera de las dos siguientes condiciones equivalentes: (i) rang [ λi n A B ] = n para todo λ C (ii) rang [ λi n A B ] = n para cada valor propio de A (i) y (ii) =Test PBH 1 de rango 1 Popov-Belevitch-Hautus 19 Sistemas diferenciales no lineales (i t) (Σ) ẋ(t) = f(x, u), t T x X R n (estados) y u U R m (controles), O = X U abierto, f C (O, R n ) Definición (Controlabilidad global) (Σ) es (globalmente) controlable en [, t f ] T si para cada (x, x 1 ) X X existe u( ) U = C([, t f ], U) tal que la solución del PCI { ẋ = f(x, u(t)), t [t, t 1 ] x( ) = x cumple x(t f ) = x 1 Referencias J M Coron: Control and Nonlinearity AMS (27) Mathematical Surveys and Monographs, vol 136 E D Sontag: Mathematical Control Teory Springer-Verlag (199) 2

11 Controlabilidad local de sistemas no lineales Definición (Controlabilidad local) Sea (x e, u e ) un punto de equilibrio de (Σ) Este sistema se dice localmente controlable instantaneamente en (x e, u e ) si para cada número real ε > existe un número real δ > tal que para cada par de puntos x, x 1 B δ (x e ) := {x R n : x x e < δ} existe u( ) C([, ε], R) tal que u(t) u e < ε para todo t [, ε] y la solución del PCI { ẋ = f(x, u(t)), x() = x cumple x(ε) = x 1 Una condición suficiente Sea (x e, u e ) un punto de equilibrio de ẋ = f(x, u) Si su sistema de control linealizado en (x e, u e ) es controlable entonces el sistema ẋ = f(x, u) es localmente controlable instantaneamente en (x e, u e ) 21 Observabilidad de los sistemas lineales Observabilidad= capacidad de determinar el estado del sistema a partir de las salidas (conocido el control) (Σ) Definición de observabilidad { ẋ(t) = A(t)x(t) + Bu(t), t T y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) (Σ) es observable en [, t f ] si cualquier estado inicial x( ) = x está determinado de manera única por la salida y(t) en [, t f ] y(t) = C(t)Φ(t, )x( ) + C(t)Φ(t, τ)b(τ)u(τ) dt + Du(t) }{{} y r (t)= respuesta forzada La respuesta forzada no juega ningún papel en la determinación de x = x( ) a partir del conocimiento de y( ) en [, t f ] 22

12 Un criterio de observabilidad Si C(t)Φ(t, )x 1 = C(t)Φ(t, )x 2 en [, t f ] el sistema no es observable (hay dos estados iniciales distintos que producen la misma salida) La aplicación L : R n C ([, t f ], R p ) es lineal y el x C(t)Φ(t, )x sistema es no observable si y sólo si Ker L {} Ker L = Ker M(t f, ) donde M(t f, ) es la matriz grammiana de observabilidad: M(t f, ) = f Φ(t, ) T C(t) T C(t)Φ(t, ) dt (Σ) es observable en [, t f ] si y sólo si det M(t f, ) El estado inicial determinado por la salida es: x( ) = M(t f, ) 1 f Φ(t, ) T C(t) T y(t) dt 23 Observabilidad de sistemas invariantes en el tiempo (Σ) { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) t T y(t) = Cx(t) + Du(t) Matriz fundamental de soluciones: Φ(t, ) = e A(t ) Teorema Fundamental: Si M T = [ C T A T C T (A T ) n 1 C ] T C CA CA n 1 entonces Im M(t f, ) = Im M T = Im [ C T A T C T (A T ) n 1 C ] T T y Ker M(t f, ) = Ker M T = Ker [ C T A T C T (A T ) n 1 C ] T O(A, C) = C CA CA n 1 Rpn n Matriz de observabilidad de (Σ) (Σ) observable si y sólo si rang O(A, C) = n 24

13 Satélite en órbita geoestacionaria 1 3Ω 2 2R Ω 1 ẋ(t) = 1 2Ω x(t) + 1 R y(t) = [ 1 ] x(t) R u(t) O(A, C) = 1 1 2Ω R 6Ω3 R 4Ω 2 Si y(t) = [ 1 ] x(t) el sistema no sería observable 25