Diseño en espacio de estados

Transcripción

1 Diseño en espacio de estados Dr. Guillermo Valencia-Palomo Instituto Tecnológico de Hermosillo. División de estudios de posgrado e investigación. Junio, 2011.

2 1 Introducción Contenido 2 Controlabilidad y observabilidad Controlabilidad Observabilidad 3 Formas canónicas Forma canónica controlable Forma canónica observable Forma canónica de Jordan 4 Diseño de controladores Control por retroalimentación de estados Regulador lineal cuadrático (LQR) Seguimiento y acción integral 5 Diseño de observadores Observador de estados completo Observador de orden mínimo Controladores basados en observador 2 / 90

3 Introducción Un sistema moderno complejo posee muchas entradas y muchas salidas que se relacionan entre sí en una forma complicada. De esta forma, y especialmente cuando el nivel de acoplamiento del sistema es elevado, el análisis clásico se complica enormemente. Para analizar un sistema de este tipo, se requiere la complejidad de las expresiones matemáticas, además de recurrir a una computadora que realice gran parte de los cálculos necesarios en el análisis. El enfoque en el espacio de estados para los análisis de sistemas es el más conveniente desde este punto de vista. Mientras que la teoría de control convencional se basa en la relación entrada-salida, o función de transferencia, la teoría de control moderna 1 se basa en la descripción de las ecuaciones de un sistema en términos de n ecuaciones diferenciales de primer orden, que se combinan en una ecuación diferencial matricial de primer orden. 1 La teoría del control moderno se reconoce usualmente como el desarrollo teórico que se inició a comienzos de los años 60, a partir del trabajo pionero de R. Kalman. 3 / 90

4 Introducción La representación en variables de estado ha mostrado ser más útil, que la representación externa (entrada-salida), pues permite un análisis más profundo de las propiedades de un sistema dado. La representación en variables de estado permite la descripción completa del sistema, a diferencia al enfoque basado en funciones de transferencia, donde sólo se describe la parte completamente controlable y completamente observable. Esto último ha dejado de manifiesto algunas limitaciones de las funciones de transferencia para el análisis de sistemas, principalmente porque este tipo de modelos expresa sólo las propiedades de entradasalida de un sistema, tales como estabilidad, velocidad, respuesta en frecuencia, y otras propiedades y limitaciones fundamentales producto de la ubicación de los ceros y polos. 4 / 90

5 Introducción Por último, la descripción en variables de estado permite tratar de manera unificada tanto los sistemas escalares como los sistemas multivariables. El uso de la notación matricial simplifica enormemente la representación matemática de los sistemas de ecuaciones. El incremento en la cantidad de variables de estado, de entradas o de salidas no aumenta la complejidad de las ecuaciones. De hecho, el análisis de los sistemas complicados con entradas y salidas múltiples se realiza mediante procedimientos sólo ligeramente más complicados que los requeridos para el análisis de sistemas de ecuaciones diferenciales escalares de primer orden. 5 / 90

6 Controlabilidad Una propiedad muy importante que nos interesa en sistemas de control es saber cuándo es posible llevar, o no, el vector de estado a un punto específico del espacio de estado, a través de las señales de entrada al sistema. 6 / 90

7 Controlabilidad Una propiedad muy importante que nos interesa en sistemas de control es saber cuándo es posible llevar, o no, el vector de estado a un punto específico del espacio de estado, a través de las señales de entrada al sistema. Se debe recordar que el estado de un sistema por lo general está formado por algunas de sus variables físicas (o alguna función de sus variables físicas), como temperatura, presión o el nivel de algún tanque, que pueden ser críticas e interesa mantenerlas controladas entre algunos valores específicos. 6 / 90

8 Controlabilidad Una propiedad muy importante que nos interesa en sistemas de control es saber cuándo es posible llevar, o no, el vector de estado a un punto específico del espacio de estado, a través de las señales de entrada al sistema. Se debe recordar que el estado de un sistema por lo general está formado por algunas de sus variables físicas (o alguna función de sus variables físicas), como temperatura, presión o el nivel de algún tanque, que pueden ser críticas e interesa mantenerlas controladas entre algunos valores específicos. Esta noción de controlabilidad se puede formalizar con la siguiente definición: Controlabilidad Un estado x(t) = x i se dice controlable en t = t 0 si existe un intervalo de tiempo finito [t 0, t f ] y una entrada (no necesariamente acotada) u(t), t [t 0, t f ] tal que x(t f ) = x f. Si todos los estados son controlables, entonces se dice que el sistema es completamente controlable. 6 / 90

9 Considere el sistema descrito por, Controlabilidad ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t); con x(t) R n, u(t) R m n, A R n n, B R n m. El sistema es completamente controlable en t = t 0 si es posible llevar al vector de estados x(t) con valor inicial x i utilizando una entrada (no necesariamente acotada) u(t) hasta un valor final x f en un tiempo finito. Sin pérdida de generalidad, se asume que x(t f ) = 0 y t 0 = 0. La solución general de este sistema es, x(t) = e At x(0)+ t 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ; Para el tiempo t = t f, se puede calcular como x(t f ) = 0 = e At f x(0)+ tf 0 e A(t f τ) Bu(τ)dτ; 7 / 90

10 Controlabilidad Despejando x(0), tf x(0) = e Aτ Bu(τ)dτ; 0 Refiriéndonos a la fórmula de interpolación de Sylvester, e Aτ puede ser reescrito como, n 1 e Aτ = α j (τ)a j ; j=0 Sustituyendo en la ecuación, n 1 tf x(0) = A j B α j (τ)u(τ)dτ; j=0 0 } {{ } β j n 1 = A j Bβ j ; j=0 8 / 90

11 Controlabilidad Reescribiendo la ecuación en forma matricial, x(0) = [ B AB... A n 1 B ] β 0 β 1. β n 1 Con este resultado se pueden establecer las condiciones para la controlabilidad completa del sistema dado un estado inicial x(0).. 9 / 90

12 Controlabilidad Reescribiendo la ecuación en forma matricial, x(0) = [ B AB... A n 1 B ] β 0 β 1. β n 1 Con este resultado se pueden establecer las condiciones para la controlabilidad completa del sistema dado un estado inicial x(0).. Condición necesaria y suficiente para la controlabilidad El par (A,B) es completamente controlable dado un estado inicial x(0) si y sólo si la matriz de controlabilidad Γ c R n mn es de rango n, Γ c = [ B AB... A n 1 B ]. 9 / 90

13 Controlabilidad En el caso que un sistema no sea completamente controlable, este puede descomponerse un subsistema completamente controlable y uno completamente incontrolable. 10 / 90

14 Controlabilidad En el caso que un sistema no sea completamente controlable, este puede descomponerse un subsistema completamente controlable y uno completamente incontrolable. Considere un sistema para el cual rango{γ c } = k < n, entonces existe una matriz de transformación de similaridad T tal que x(t) = T 1 x(t), Ā = T 1 AT; B = T 1 B; donde las matrices tienen la siguiente forma: [ ] [ Āc Ā Ā = 12 Bc ; B = 0 Ā nc 0 con Āc R k k, Bc R k m, Ānc R n k n k y el par (Āc, B c ) es completamente controlable. La nueva representación del sistema es, [ ] [ x c Āc Ā = 12 x nc 0 Ā nc ][ xc x nc ] + [ Bc 0 ] ; ] u(t). 10 / 90

15 Controlabilidad El subespacio controlable del modelo en variables de estado está compuesto por todos los estados generados como combinación de los estados en x c (t). La estabilidad de este subespacio está determinada por la ubicación de los valores propios de la matriz Āc. 11 / 90

16 Controlabilidad El subespacio controlable del modelo en variables de estado está compuesto por todos los estados generados como combinación de los estados en x c (t). La estabilidad de este subespacio está determinada por la ubicación de los valores propios de la matriz Āc. Por otra parte, el subespacio no controlable está formado por todos los estados generados como combinación lineal de los estados en x nc (t). La estabilidad de este subespacio queda determinada por los valores propios de la matriz Ānc. De esta forma, u(t) no tiene efecto alguno sobre el subespacio no controlable; por lo que en el mejor de los casos, podríamos esperar que este subespacio fuera al menos estable, de manera que sus estados decaigan naturalmente al origen. 11 / 90

17 Controlabilidad El subespacio controlable del modelo en variables de estado está compuesto por todos los estados generados como combinación de los estados en x c (t). La estabilidad de este subespacio está determinada por la ubicación de los valores propios de la matriz Āc. Por otra parte, el subespacio no controlable está formado por todos los estados generados como combinación lineal de los estados en x nc (t). La estabilidad de este subespacio queda determinada por los valores propios de la matriz Ānc. De esta forma, u(t) no tiene efecto alguno sobre el subespacio no controlable; por lo que en el mejor de los casos, podríamos esperar que este subespacio fuera al menos estable, de manera que sus estados decaigan naturalmente al origen. Sistema estabilizable Se denomina sistema estabilizable al sistema cuyo subespacio no controlable es estable. Dicho de otra manera, al sistema cuyos estados inestables son controlables. 11 / 90

18 Controlabilidad Para cuestiones prácticas, no se requiere que el vector de estados sea completamente controlable. De hecho basta con que la combinación de estados que componen la salida sea controlable, por ello es necesario definir la propiedad de controlabilidad de la salida. 12 / 90

19 Controlabilidad Para cuestiones prácticas, no se requiere que el vector de estados sea completamente controlable. De hecho basta con que la combinación de estados que componen la salida sea controlable, por ello es necesario definir la propiedad de controlabilidad de la salida. Considere un sistema descrito por la siguiente representación en espacio de estados: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t); y(t) = Cx(t)+Du(t); con x(t) R n, u(t) R m n, y(t) R l, A R n n, B R n m, C R l n, D R l m. Para este caso, la matriz de controlabilidad Γ c R l (n+1)m ahora se escribe como Γ c = [ CB CAB... CA n 1 B D ]. Para que exista controlabilidad completa de la salida, Γ c debe de ser de rango l. Note que la presencia de D siempre ayuda a la controlabilidad. 12 / 90

20 Observabilidad Si se observa el modelo de estado de un sistema dado, se aprecia que la salida de éste depende directamente del estado, por tanto se podría suponer que si se observa esta salida durante un intervalo de tiempo, entonces se podría obtener información sobre el vector de estado. La propiedad asociada a esta idea se denomina observabilidad, y puede formalizarse con la siguiente definición: 13 / 90

21 Observabilidad Si se observa el modelo de estado de un sistema dado, se aprecia que la salida de éste depende directamente del estado, por tanto se podría suponer que si se observa esta salida durante un intervalo de tiempo, entonces se podría obtener información sobre el vector de estado. La propiedad asociada a esta idea se denomina observabilidad, y puede formalizarse con la siguiente definición: Observabilidad El estado x(t) se dice observable en t = t 0 si es posible determinar su valor a partir de los valores de y(t) y u(t) en un intervalo de tiempo finito [t 0, t f ]. El sistema se dice completamente observable si todos sus estados son observables. 13 / 90

22 Observabilidad Si se observa el modelo de estado de un sistema dado, se aprecia que la salida de éste depende directamente del estado, por tanto se podría suponer que si se observa esta salida durante un intervalo de tiempo, entonces se podría obtener información sobre el vector de estado. La propiedad asociada a esta idea se denomina observabilidad, y puede formalizarse con la siguiente definición: Observabilidad El estado x(t) se dice observable en t = t 0 si es posible determinar su valor a partir de los valores de y(t) y u(t) en un intervalo de tiempo finito [t 0, t f ]. El sistema se dice completamente observable si todos sus estados son observables. De la definición, se concluye que el sistema es completamente observable si para cada cambio del vector de estado existe un cambio en la salida. 13 / 90

23 Observabilidad Considere un sistema descrito por la siguiente representación en espacio de estados: ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t); y(t) = Cx(t)+Du(t); con x(t) R n, u(t) R m n, y(t) R l, A R n n, B R n m, C R l n, D R l m. El valor de la salida se puede calcular de la siguiente manera: la solución general de este sistema es, x(t) = e At x(0)+ t y(t) = Ce At x(0)+c 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ; t 0 e A(t τ) Bu(τ)dτ + Du(t); Ya que las matrices A, B, C, D son conocidas, así como la entrada u(t), los dos últimos términos de la ecuación de salida son conocidos y pueden ser restados del valor de y(t). 14 / 90

24 Observabilidad Por lo que para determinar las condiciones suficientes y necesarias para que la observabilidad completa se de, es suficiente trabajar con y(t) = Ce At x(0); De la misma forma que en el caso de controlabilidad la ecuación anterior se reescribe utilizando la fórmula de interpolación de Sylvester, n 1 y(t) = α j (t)ca j x(0); j=0 15 / 90

25 Observabilidad Por lo que para determinar las condiciones suficientes y necesarias para que la observabilidad completa se de, es suficiente trabajar con y(t) = Ce At x(0); De la misma forma que en el caso de controlabilidad la ecuación anterior se reescribe utilizando la fórmula de interpolación de Sylvester, n 1 y(t) = α j (t)ca j x(0); Condición necesaria y suficiente para la observabilidad j=0 El par (A,C) es completamente observable para estado inicial x(0) si y sólo si la matriz de observabilidad Γ o R n ln es de rango n, [ ( ] Γ o = C T A T C T... A T) n 1 C T. 15 / 90

26 Observabilidad En forma análoga a lo que sucede con la controlabilidad de los estados de un sistema, pueden existir algunos de ellos que sean observables y otros que no lo sean, es decir, la salida del sistema no aporta información sobre ellos. 16 / 90

27 Observabilidad En forma análoga a lo que sucede con la controlabilidad de los estados de un sistema, pueden existir algunos de ellos que sean observables y otros que no lo sean, es decir, la salida del sistema no aporta información sobre ellos. Considere un sistema para el cual rango{γ o } = k < n, entonces existe una matriz de transformación de similaridad T tal que x(t) = T 1 x(t), Ā = T 1 AT; C = CT, y toman la siguiente forma: [ ] Āo 0 [ Ā = ; C = Co 0 ] ; Ā 21 Ā no con Āo R k k, Co R l k, Ā no R n k n k y el par (Āo, C o ) es completamente observable. El estado (transformado) y la ecuaciones de salida se expresan como: [ x o x no ] = [ Āo 0 Ā 21 y(t) = [ Co Ā no ][ xo 0 ][ x o x no ] x no ] + [ Bo B no ] u(t); 16 / 90

28 Observabilidad La descripción anterior pone en evidencia el problema que puede surgir cuando se intenta controlar un sistema usando sólo su salida, pues en ésta no aparece información alguna sobre el estado x no (t). El subespacio observable de un modelo es el espacio formado por todos los estados que se generan como combinaciones lineales de los estados en x o (t). La estabilidad de este subespacio queda determinada por la ubicación de los valores propios de la matriz Āo. El subespacio no observable de un modelo, es el espacio formado por todos los estados generados como combinación lineal de los estados en x no. La estabilidad de este subespacio queda determinada por los valores propios de la matriz Āno. 17 / 90

29 Observabilidad La descripción anterior pone en evidencia el problema que puede surgir cuando se intenta controlar un sistema usando sólo su salida, pues en ésta no aparece información alguna sobre el estado x no (t). El subespacio observable de un modelo es el espacio formado por todos los estados que se generan como combinaciones lineales de los estados en x o (t). La estabilidad de este subespacio queda determinada por la ubicación de los valores propios de la matriz Āo. El subespacio no observable de un modelo, es el espacio formado por todos los estados generados como combinación lineal de los estados en x no. La estabilidad de este subespacio queda determinada por los valores propios de la matriz Āno. Sistema detectable Se denomina sistema detectable al sistema cuyo subespacio no observable es estable. Dicho de otra manera, al sistema cuyos estados inestables son observables. 17 / 90

30 Ejercicio 1 Para el sistema [ 1 1 ẋ(t) = 2 1 y(t) = [ 1 Ejercicios 0 ] x(t); ] [ 0 x(t)+ 1 ] u(t); Describa sus propiedades de (i) controlabilidad y (ii) observabilidad. 18 / 90

31 Ejercicio 1 Para el sistema [ 1 1 ẋ(t) = 2 1 y(t) = [ 1 Ejercicios 0 ] x(t); ] [ 0 x(t)+ 1 ] u(t); Describa sus propiedades de (i) controlabilidad y (ii) observabilidad. Solución: Para ambos casos, verificamos las condiciones necesarias y suficientes. Para la controlabilidad: Γ c = [ B AB ] [[ 0 = 1 ] [ ][ 0 1 ]] = [ ] ; 18 / 90

32 Ejercicio 1 Para el sistema [ 1 1 ẋ(t) = 2 1 y(t) = [ 1 Ejercicios 0 ] x(t); ] [ 0 x(t)+ 1 ] u(t); Describa sus propiedades de (i) controlabilidad y (ii) observabilidad. Solución: Para ambos casos, verificamos las condiciones necesarias y suficientes. Para la controlabilidad: Γ c = [ B AB ] [[ 0 = 1 ] [ ][ 0 1 ]] = [ La matriz de controlabilidad se encuentra de forma escalonada, se tienen dos filas linealmente independientes y por lo tanto su rango es dos, con lo que concluimos que el sistema es totalmente controlable. ] ; 18 / 90

33 Ejercicios Para el caso de controlabilidad de la salida: Γ c = [ CB CAB ] = [ 0 1 ] ; 19 / 90

34 Ejercicios Para el caso de controlabilidad de la salida: Γ c = [ CB CAB ] = [ 0 1 ] ; La matriz de controlabilidad se encuentra de forma escalonada, se tiene una fila linealmente independiente y por lo tanto su rango es uno, con lo que concluimos que la salida del sistema es totalmente controlable. 19 / 90

35 Ejercicios Para el caso de controlabilidad de la salida: Γ c = [ CB CAB ] = [ 0 1 ] ; La matriz de controlabilidad se encuentra de forma escalonada, se tiene una fila linealmente independiente y por lo tanto su rango es uno, con lo que concluimos que la salida del sistema es totalmente controlable. Para la observabilidad: [ ] Γ o = C T A T C T = [ ] ; 19 / 90

36 Ejercicios Para el caso de controlabilidad de la salida: Γ c = [ CB CAB ] = [ 0 1 ] ; La matriz de controlabilidad se encuentra de forma escalonada, se tiene una fila linealmente independiente y por lo tanto su rango es uno, con lo que concluimos que la salida del sistema es totalmente controlable. Para la observabilidad: [ ] Γ o = C T A T C T = [ La matriz de observabilidad se encuentra de forma escalonada, se tienen dos filas linealmente independientes y por lo tanto su rango es dos, con lo que concluimos que los estados del sistema son totalmente observables. ] ; 19 / 90

37 Ejercicios Ejercicio 2 Para el sistema [ 1 1 ẋ(t) = 0 1 ] [ 1 x(t)+ 0 ] u(t); y(t) = [ 0 1 ] x(t); Describa sus propiedades de (i) controlabilidad y (ii) observabilidad. 20 / 90

38 Ejercicios Ejercicio 2 Para el sistema [ 1 1 ẋ(t) = 0 1 ] [ 1 x(t)+ 0 ] u(t); y(t) = [ 0 1 ] x(t); Describa sus propiedades de (i) controlabilidad y (ii) observabilidad. Solución: Para ambos casos, verificamos las condiciones necesarias y suficientes. Para la controlabilidad: Γ c = [ B AB ] = [ ] ; 20 / 90

39 Ejercicios Ejercicio 2 Para el sistema [ 1 1 ẋ(t) = 0 1 ] [ 1 x(t)+ 0 ] u(t); y(t) = [ 0 1 ] x(t); Describa sus propiedades de (i) controlabilidad y (ii) observabilidad. Solución: Para ambos casos, verificamos las condiciones necesarias y suficientes. Para la controlabilidad: Γ c = [ B AB ] = [ La matriz de controlabilidad tiene rango uno, por lo que concluimos que el sistema no es completamente controlable al tener dos estados. Sin embargo, el sistema es estabilizable ya que su estado no controlable es estable. ] ; 20 / 90

40 Ejercicios Para el caso de controlabilidad de la salida: Γ c = [ CB CAB ] = [ 0 0 ] ; 21 / 90

41 Ejercicios Para el caso de controlabilidad de la salida: Γ c = [ CB CAB ] = [ 0 0 ] ; La matriz de controlabilidad es nula, y por lo tanto su rango es cero, con lo que concluimos que la salida del sistema es no es controlable controlable. 21 / 90

42 Ejercicios Para el caso de controlabilidad de la salida: Γ c = [ CB CAB ] = [ 0 0 ] ; La matriz de controlabilidad es nula, y por lo tanto su rango es cero, con lo que concluimos que la salida del sistema es no es controlable controlable. Para la observabilidad: [ Γ o = C T A T C T ] = [ ] ; 21 / 90

43 Ejercicios Para el caso de controlabilidad de la salida: Γ c = [ CB CAB ] = [ 0 0 ] ; La matriz de controlabilidad es nula, y por lo tanto su rango es cero, con lo que concluimos que la salida del sistema es no es controlable controlable. Para la observabilidad: [ Γ o = C T A T C T ] = [ ] ; La matriz de observabilidad es de rango uno, con lo que concluimos que el sistema no es totalmente observable. También se ve que el sistema tampoco es detectable ya que no es posible determinar el valor del estado inestable a partir de la salida. 21 / 90

44 Formas canónicas Como se ha mencionado anteriormente existen muchos métodos para la obtención de la representación en espacio de estados de un sistema. Para el caso de sistemas SISO se pueden construir formas preestablecidas en espacio de estados dependiendo de la elección de las variables de estado. 22 / 90

45 Formas canónicas Como se ha mencionado anteriormente existen muchos métodos para la obtención de la representación en espacio de estados de un sistema. Para el caso de sistemas SISO se pueden construir formas preestablecidas en espacio de estados dependiendo de la elección de las variables de estado. Esto es particularmente útil para obtener una representación que: garantice la controlabilidad completa de los estados; garantice la observabilidad compelta de los estados; garantice el desacoplo total o parcial de los estados. 22 / 90

46 Formas canónicas Como se ha mencionado anteriormente existen muchos métodos para la obtención de la representación en espacio de estados de un sistema. Para el caso de sistemas SISO se pueden construir formas preestablecidas en espacio de estados dependiendo de la elección de las variables de estado. Esto es particularmente útil para obtener una representación que: garantice la controlabilidad completa de los estados; garantice la observabilidad compelta de los estados; garantice el desacoplo total o parcial de los estados. Estas formas predeterminadas reciben el nombre de: forma canónica controlable; forma canónica observable; y forma canónica de Jordan, cuyo caso particular es la forma canónica diagonal. 22 / 90

47 Forma canónica controlable La forma canónica controlable es la forma típica de representar una ecuación diferencial de orden n puesto que las variables de estado se obtienen de una forma natural. Considere la siguiente ecuación diferencial d n y(t) dt n + a 0 d n 1 y(t) dt n a n 1 dy(t) dt b 0 d n u(t) dt n + a n = + b 1 d n 1 u(t) dt n b n 1 du(t) dt + b n por facilidad y correspondencia considere también su representación en función de transferencia, Y(s) U(s) = b 0s n + b 1 s n b n 1 s + b n s n + a 1 s n a n 1 s+a n. 23 / 90

48 Forma canónica controlable En la forma canónica controlable los bloques de los integradores están unidos uno detrás del otro, por lo que los estados se escogen integrándolos en serie. Esto es, x 1 = y; x 2 = ẋ 1 = ẏ; x 3 = ẋ 2 = ÿ;... x n = ẋ n 1 ; Lo cual en espacio de estados toma la siguiente forma: ẋ(t) = x(t) a n a n 1 a n 2... a u(t); y(t) = [ b n a n b 0 b n 1 a n 1 b 0... b 1 a 1 b 0 ] x(t)+b0 u(t). 24 / 90

49 Forma canónica observable La estructura interna de la forma canónica observable es diferente a la de la llamada forma canónica controlable. Se obtiene aplicando el método de la programación anidada (se empieza definiendo una variable de salida y recursivamente se obtienen relaciones en función de las demás variables de estado en función de las derivadas de la salida). Las ecuaciones de estado resultantes son: a n a n 1 ẋ(t) = x(t) a 1 y(t) = [ ] x(t)+b 0 u(t). b n a n b 0 b n 1 a n 1 b 0. b 1 a 1 b 0 u(t); 25 / 90

50 Forma canónica de Jordan La forma canónica de Jordan se puede obtener aplicando una expansión en fracciones parciales de la función de transferencia. Asumiendo que el sistema posee n raíces distintas: Y(s) U(s) = b 0 + c 1 s p 1 + c 2 s p c n s p n. Las ecuaciones de estado resultantes son: p p ẋ(t) = x(t) p n y(t) = [ c 1 c 2... c n ] x(t)+b0 u(t). u(t); 26 / 90

51 Forma canónica de Jordan Si el sistema tiene raíces repetidas es difícil saber a simple vista si el sistema tiene una forma diagonal o no. Lo que se hace es encontrar una representación de estados genérica ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t); y(t) = Cx(t)+Du(t); y hacer un cambio de variable de estados x(t) = Pz(t) donde P es una matriz de transformación lineal construida con los vectores propios de A. Si no es posible encontrar los n vectores propios necesarios para encontrar P tal que diagonalize A; los vectores propios encontrados se completan con vectores propios generalizados, en cuyo caso el sistema será diagonal por bloques llamado forma de Jordan. Quedando el sistema redefinido como: ż(t) = P 1 APz(t)+P 1 Bu(t); y(t) = CPz(t)+Du(t). 27 / 90

52 Ejercicio Ejercicio 3 Determine la formas canónica controlable, observable y de Jordan del siguiente sistema G(s) = s + 3 s 2 + 3s + 2 ; 28 / 90

53 Ejercicio 3 Ejercicio Determine la formas canónica controlable, observable y de Jordan del siguiente sistema G(s) = s + 3 s 2 + 3s + 2 ; Solución: Para obtener la forma canónica controlable simplemente se sustituyen los valores en la forma general, por lo que la representación en espacio de estados queda, [ 0 1 ẋ(t) = 2 3 y(t) = [ 3 1 ] x(t). ] [ 0 x(t)+ 1 ] u(t); 28 / 90

54 Ejercicio De la misma forma, para obtener la forma canónica observable simplemente se sustituyen los valores en la forma general, por lo que la representación en espacio de estados queda, [ ] [ ] ẋ(t) = x(t)+ u(t); y(t) = [ 0 1 ] x(t). 29 / 90

55 Ejercicio De la misma forma, para obtener la forma canónica observable simplemente se sustituyen los valores en la forma general, por lo que la representación en espacio de estados queda, [ ] [ ] ẋ(t) = x(t)+ u(t); y(t) = [ 0 1 ] x(t). Para la forma de Jordan verificamos las raíces del numerador, que son p 1 = 1 y p 2 = 2; por lo que el sistema tiene una representación de forma diagonal. Expandiendo en fracciones parciales G(s) = s+3 s 2 + 3s+2 = 2 s+1 1 s+2 ; Quedando la representación en espacio de estados [ ] [ ] ẋ(t) = x(t)+ u(t); y(t) = [ ] x(t). 29 / 90

56 Diseño de controladores Muchas de las plantas industriales tienen diversas variables para ser controladas y diversas variables para ser manipuladas y, en general, las variables se encuentran acopladas. 30 / 90

57 Diseño de controladores Muchas de las plantas industriales tienen diversas variables para ser controladas y diversas variables para ser manipuladas y, en general, las variables se encuentran acopladas. En el enfoque de control clásico lo que se hace es diseñar compensadores que desacoplen las variables para suprimir las interacciones entre ellas y posteriormente diseñar múltiples controladores monovariables. Para esto, primero requiere de cómo relacionar las variables de entradas y salidas; esto es, determinar cuál variable de entrada estará asociada a cierta variable de salida y además de que la planta debe de tener el mismo número de entradas que de salidas. 30 / 90

58 Diseño de controladores Muchas de las plantas industriales tienen diversas variables para ser controladas y diversas variables para ser manipuladas y, en general, las variables se encuentran acopladas. En el enfoque de control clásico lo que se hace es diseñar compensadores que desacoplen las variables para suprimir las interacciones entre ellas y posteriormente diseñar múltiples controladores monovariables. Para esto, primero requiere de cómo relacionar las variables de entradas y salidas; esto es, determinar cuál variable de entrada estará asociada a cierta variable de salida y además de que la planta debe de tener el mismo número de entradas que de salidas. Una de las ventajas del enfoque en espacio de estados es que los procesos multivariables pueden ser tratados de forma natural, y el aumento de variables no cambia la forma de diseñar los controladores. 30 / 90

59 Control por retroalimentación de estados En esta sección nos enfocaremos al problema de regulación de la salida. En regulación, el objetivo radica en hacer que la(s) variable(s) a ser controlada(s) llegue(n) hasta un valor deseado y permanezcan en ese valor. 31 / 90

60 Control por retroalimentación de estados En esta sección nos enfocaremos al problema de regulación de la salida. En regulación, el objetivo radica en hacer que la(s) variable(s) a ser controlada(s) llegue(n) hasta un valor deseado y permanezcan en ese valor. El control clásico-convencional de regulación por retroalimentación con ganancia K se muestra en el siguiente esquema, r(t) + - u(t) Planta y(t) K 31 / 90

61 Control por retroalimentación de estados En esta sección nos enfocaremos al problema de regulación de la salida. En regulación, el objetivo radica en hacer que la(s) variable(s) a ser controlada(s) llegue(n) hasta un valor deseado y permanezcan en ese valor. El control clásico-convencional de regulación por retroalimentación con ganancia K se muestra en el siguiente esquema, r(t) + - u(t) Planta y(t) K Donde la ley de control es u(t) = r(t) Ky(t). Dado que la señal r(t) no cambia, es posible considerarla como referencia de todas las demás señales, esto es, consideraremos r(t) = 0; la ley de control se reduce a u(t) = Ky(t). 31 / 90

62 Control por retroalimentación de estados Usando variables de estados la referencia r(t) representa un punto en el espacio n-dimensional de estados y mediante alguna transformación se puede hacer un cambio de coordenadas poniendo a r(t) en el origen sin pérdida de generalidad. 32 / 90

63 Control por retroalimentación de estados Usando variables de estados la referencia r(t) representa un punto en el espacio n-dimensional de estados y mediante alguna transformación se puede hacer un cambio de coordenadas poniendo a r(t) en el origen sin pérdida de generalidad. El control por retroalimentación de estados es análogo a la regulación por retroalimentación convencional, con la excepción de que lo que se retroalimenta no es la salida y(t) propiamente, sino el estado x(t). 32 / 90

64 Control por retroalimentación de estados Usando variables de estados la referencia r(t) representa un punto en el espacio n-dimensional de estados y mediante alguna transformación se puede hacer un cambio de coordenadas poniendo a r(t) en el origen sin pérdida de generalidad. El control por retroalimentación de estados es análogo a la regulación por retroalimentación convencional, con la excepción de que lo que se retroalimenta no es la salida y(t) propiamente, sino el estado x(t). Ley de control para regulación por retroalimentación de estados Para el sistema ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), y(t) = Cx(t), x R n, u R m, y R l, la ley de control para regulación por retroalimentación de estados es, con K R m 1. u(t) = Kx(t), 32 / 90

65 Control por retroalimentación de estados El esquema para el control por retroalimentación de estados se muestra en la siguiente figura. r(t)=0 + - u(t) B + + x(t) dt x(t) C y(t) A K 33 / 90

66 Control por retroalimentación de estados El esquema para el control por retroalimentación de estados se muestra en la siguiente figura. r(t)=0 + - u(t) B + + x(t) dt x(t) C y(t) A K Note que se requiere de que el vector de estados esté completamente disponible, por lo que en el mejor de los casos la matriz de salida C será una matriz identidad y así se asumirá durante esta sección, por lo que y(t) = x(t). Sin embargo, lo más común es que la(s) salidas sea(n) una combinación lineal del(de los) estado(s). 33 / 90

67 Control por retroalimentación de estados Con esta nueva entrada u(t) = Kx(t) la nueva dinámica del sistema en espacio de estados es 34 / 90

68 Control por retroalimentación de estados Con esta nueva entrada u(t) = Kx(t) la nueva dinámica del sistema en espacio de estados es ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t); ẋ(t) = Ax(t) BKx(t); ẋ(t) = (A BK) x(t); el sistema se vuelve un sistema autónomo cuya nueva matriz de transición de estados es (A BK). 34 / 90

69 Control por retroalimentación de estados Con esta nueva entrada u(t) = Kx(t) la nueva dinámica del sistema en espacio de estados es ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t); ẋ(t) = Ax(t) BKx(t); ẋ(t) = (A BK) x(t); el sistema se vuelve un sistema autónomo cuya nueva matriz de transición de estados es (A BK). Si se elige la matriz K de manera adecuada, la matriz (A BK) se convierte en una matriz que producirá estabilidad de manera asintótica y será factible lograr que x(t) tienda al origen conforme aumenta el tiempo. Los valores propios de la matriz (A BK) determinarán la evolución en el tiempo del sistema. Si éstos tienen parte real negativa entonces x(t) tenderá al origen. 34 / 90

70 Control por retroalimentación de estados Observaciones Este esquema de control necesita que el vector de estados esté totalmente disponible a la salida o pueda ser reconstruido de alguna forma a través de la salida. 2 Utilizando alguna otra técnica, no con la de ubicación de polos. 35 / 90

71 Control por retroalimentación de estados Observaciones Este esquema de control necesita que el vector de estados esté totalmente disponible a la salida o pueda ser reconstruido de alguna forma a través de la salida. Los valores propios de la matriz (A BK) son los valores propios del sistema en lazo cerrado. 2 Utilizando alguna otra técnica, no con la de ubicación de polos. 35 / 90

72 Control por retroalimentación de estados Observaciones Este esquema de control necesita que el vector de estados esté totalmente disponible a la salida o pueda ser reconstruido de alguna forma a través de la salida. Los valores propios de la matriz (A BK) son los valores propios del sistema en lazo cerrado. La controlabilidad completa del sistema es una condición necesaria y suficiente para poder ubicar los valores propios de lazo cerrado del regulador de forma arbitraria. 2 Utilizando alguna otra técnica, no con la de ubicación de polos. 35 / 90

73 Control por retroalimentación de estados Observaciones Este esquema de control necesita que el vector de estados esté totalmente disponible a la salida o pueda ser reconstruido de alguna forma a través de la salida. Los valores propios de la matriz (A BK) son los valores propios del sistema en lazo cerrado. La controlabilidad completa del sistema es una condición necesaria y suficiente para poder ubicar los valores propios de lazo cerrado del regulador de forma arbitraria. Sin embargo, para poder regular al sistema 2 es suficiente con que el sistema sea estabilizable, puesto que esta propiedad garantiza que el subespacio no controlable es estable y los estados que no se pueden controlar convergerán al origen de manera natural. 2 Utilizando alguna otra técnica, no con la de ubicación de polos. 35 / 90

74 Control por retroalimentación de estados Es importante de hacer notar que en el control clásico se diseñan compensadores para que el sistema tenga un determinado factor de amortiguamiento ζ y una frecuencia natural no amortiguada ω n determinada asumiendo que los efectos de los polos no dominantes son despreciables. 36 / 90

75 Control por retroalimentación de estados Es importante de hacer notar que en el control clásico se diseñan compensadores para que el sistema tenga un determinado factor de amortiguamiento ζ y una frecuencia natural no amortiguada ω n determinada asumiendo que los efectos de los polos no dominantes son despreciables. Mientras que con el control por retroalimentación de estados utilizando la técnica llamada asignación de polos o posicionamiento de polos se especifican todos y cada uno de las raíces del lazo cerrado. 36 / 90

76 Control por retroalimentación de estados Antes de mencionar los pasos para el cálculo de la matriz K se hacen algunas definiciones. Sea T la matriz que de transformación que, mediante una nueva definición de los estados z(t) = Tx(t), convierte al sistema en su forma controlable, definida por T = Γ c W; donde Γ c es la matriz de controlabilidad del sistema y a n 1 a n 2... a 1 1 a n 2 a n W = ; a donde los coeficientes a i se obtienen del polinomio característico de la matriz A: det(λi A) = λ n + a 1 λ n a n 1 λ+a n. 37 / 90

77 Control por retroalimentación de estados Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K 1 Verificar la condición de controlabilidad del sistema. 38 / 90

78 Control por retroalimentación de estados Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K 1 Verificar la condición de controlabilidad del sistema. 2 Determinar el polinomio característico de A. 38 / 90

79 Control por retroalimentación de estados Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K 1 Verificar la condición de controlabilidad del sistema. 2 Determinar el polinomio característico de A. 3 Determinar la matriz de transformación T. 38 / 90

80 Control por retroalimentación de estados Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K 1 Verificar la condición de controlabilidad del sistema. 2 Determinar el polinomio característico de A. 3 Determinar la matriz de transformación T. 4 Usando los valores propios deseados, escribir el polinomio característico que se busca como λ n +α 1 λ n α n 1 λ+α n. 38 / 90

81 Control por retroalimentación de estados Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K 1 Verificar la condición de controlabilidad del sistema. 2 Determinar el polinomio característico de A. 3 Determinar la matriz de transformación T. 4 Usando los valores propios deseados, escribir el polinomio característico que se busca como λ n +α 1 λ n α n 1 λ+α n. 5 El valor de K se puede determinar a partir de la siguiente ecuación K = [ α n a n α n 1 a n 1... α 1 a 1 ] T / 90

82 Control por retroalimentación de estados Note que, cuando el orden del sistema no es muy grande, la sustitución directa de K en el polinomio característico deseado puede ser más simple det(λi A+BK) = (λ λ 1 )(λ λ 2 )...(λ λ n ), donde λ i son los i valores propios deseados del lazo cerrado. 39 / 90

83 Control por retroalimentación de estados Note que, cuando el orden del sistema no es muy grande, la sustitución directa de K en el polinomio característico deseado puede ser más simple det(λi A+BK) = (λ λ 1 )(λ λ 2 )...(λ λ n ), donde λ i son los i valores propios deseados del lazo cerrado. Dado que ambos miembros de esta ecuación característica son polinomios en λ, igualando los coeficientes de las potencias iguales de λ en ambos miembros, es posible determinar los valores de K. Este método no es muy conveniente para cuando el orden del sistema es grande ya que se vuelve muy pesado. 39 / 90

84 Control por retroalimentación de estados Note que, cuando el orden del sistema no es muy grande, la sustitución directa de K en el polinomio característico deseado puede ser más simple det(λi A+BK) = (λ λ 1 )(λ λ 2 )...(λ λ n ), donde λ i son los i valores propios deseados del lazo cerrado. Dado que ambos miembros de esta ecuación característica son polinomios en λ, igualando los coeficientes de las potencias iguales de λ en ambos miembros, es posible determinar los valores de K. Este método no es muy conveniente para cuando el orden del sistema es grande ya que se vuelve muy pesado. Es de hacer notar que existen otros métodos para la determinación de K, uno de los más difundidos es utilizando la fórmula de Ackerman. Sin embargo, este método no será tratado en este curso. 39 / 90

85 Control por retroalimentación de estados Comentarios Es importante señalar que K no es la única para el sistema determinado, sino que depende de las ubicaciones de los valores propios en lazo cerrado deseados (los cuales determinan la velocidad y el amortiguamiento de la respuesta) seleccionados. 40 / 90

86 Control por retroalimentación de estados Comentarios Es importante señalar que K no es la única para el sistema determinado, sino que depende de las ubicaciones de los valores propios en lazo cerrado deseados (los cuales determinan la velocidad y el amortiguamiento de la respuesta) seleccionados. En sistemas multivariables K no es única para un determinado conjunto de valores propios en lazo cerrado deseados. 40 / 90

87 Control por retroalimentación de estados Comentarios Es importante señalar que K no es la única para el sistema determinado, sino que depende de las ubicaciones de los valores propios en lazo cerrado deseados (los cuales determinan la velocidad y el amortiguamiento de la respuesta) seleccionados. En sistemas multivariables K no es única para un determinado conjunto de valores propios en lazo cerrado deseados. Observe que la selección de los valores propios en un lazo cerrado deseados, o de la ecuación característica deseada, es un compromiso entre la rapidez de la respuesta del vector de error y la sensibilidad ante perturbaciones y el ruido en la medición. Es decir, si incrementamos la velocidad de respuesta de error, por lo general se incrementan los procesos adversos de las perturbaciones y el ruido en la medición. 40 / 90

88 Ejercicios Ejercicio 4 Diseñe un controlador por retroalimentación de estados que estabilice en el origen al sistema definido por ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) con [ ] [ ] A = ; B = ; Ubique los valores propios del sistema en lazo cerrado en λ 1 = 4 y en λ 2 = 5. Asuma el vector de estados completamente medible. 41 / 90

89 Ejercicios Solución: En este caso, los valores propios del sistema en lazo abierto son λ 1 = 1 y λ 2 = 1 por lo que el sistema es inestable y requiere de estabilización. Como primer paso, se verifica la matriz de controlabilidad, [ ] 0 1 Γ o = ; 1 1 cuyo rango es 2 y por tanto completamente controlable. El polinomio característico deseado es p(λ) = (λ+4)(λ+5) = λ 2 + 9λ+20. Se requiere calcular una matriz de ganancias de retroalimentación K = [ k 1 k 2 ]. La matriz de transferencia de estados del lazo cerrado es (A BK) y su polinomio característico es det(λi A+BK) = λ 2 + k 2 λ+(k 2 + k 1 1). 42 / 90

90 Ejercicios Se pueden obtener los valores de k 1 y k 2 igualando los polinomios λ 2 + 9λ+20 = λ 2 + k 2 λ+(k 2 + k 1 1); de esta forma, k 1 = 12 y k 2 = 9. La ley de control que estabiliza al sistema es: u(t) = [ 12 9 ] x(t); Para efectos de comprobación la matriz de transición de estados en lazo cerrado (A BK) queda [ ] 1 1 A BK = ; 12 8 la cual tiene los valores propios en las ubicaciones deseadas. 43 / 90

91 Ejercicios Finalmente se simula la ley de control para ciertas condiciones iniciales del vector de estados. Respuesta a las condiciones iniciales del regulador por realimentación de estados 4 x 1 Amplitud 2 0 x Tiempo (s) 10 5 u(t) Tiempo (s) 44 / 90

92 Ejercicios Ejercicio 5 Diseñe un controlador por retroalimentación de estados que estabilice en el origen al sistema definido por ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) con A = ; B = 6 2 ; Ubique los valores propios del sistema en lazo cerrado en λ 1 = 6 y enλ 23 = 2±3j. Asuma el vector de estados completamente medible. 45 / 90

93 Ejercicios Ejercicio 5 Diseñe un controlador por retroalimentación de estados que estabilice en el origen al sistema definido por ẋ(t) = Ax(t)+Bu(t) con A = ; B = 6 2 ; Ubique los valores propios del sistema en lazo cerrado en λ 1 = 6 y enλ 23 = 2±3j. Asuma el vector de estados completamente medible. Solución: En este caso, los valores propios del sistema en lazo abierto son λ 12 = ±2 y λ 3 = 1 por lo que el sistema es inestable y requiere de estabilización. 45 / 90

94 Ejercicios Como primer paso, se verifica la propiedad de controlabilidad, Γ o = ; La matriz Γ o es de rango 3 (no se muestra la comprobación). Se calcula la ecuación característica, por lo que det(λi A) = λ 3 + a 1 λ 2 + a 2 λ+a 3 = λ 3 +λ 2 4λ 4; Se calcula la matriz de transformación T: T = Γ o W = = El polinomio característico deseado es p(λ) = (λ+2+3j)(λ+2 3j)(λ+6) = (λ 2 + 4λ+13)(λ+6); = λ 3 +α 1 λ 2 +α 2 λ+α 3 = λ λ λ+78; 46 / 90

95 Posteriormente se calcula K, Ejercicios K = [ α 3 a 3 α 2 a 2 α 1 a 1 ] T 1 ; = [ ] T 1 ; = [ ]. La ley de control que estabiliza al sistema es: u(t) = [ ] x(t); Para efectos de comprobación la matriz de transición de estados en lazo cerrado (A BK) queda A BK = ; la cual tiene los valores propios en las ubicaciones deseadas. 47 / 90

96 Ejercicios Finalmente se simula la ley de control para ciertas condiciones iniciales del vector de estados. Respuesta a las condiciones iniciales del regulador por realimentación de estado 5 Amplitud x 1 x 2 x Tiempo (s) 10 0 u(t) Tiempo (s) 48 / 90

97 Regulador lineal cuadrático (LQR) El regulador lineal cuadrático (LQR) es un tipo de controlador (regulador de retroalimentación de estados) que pertenece a la familia de los controladores óptimos y tiene la ventaja de que permite diseñar la matriz de retroalimentación K de una manera un poco más sistemática y no necesita la total controlabilidad del sistema, solamente que el sistema sea estabilizable. 49 / 90

98 Regulador lineal cuadrático (LQR) El regulador lineal cuadrático (LQR) es un tipo de controlador (regulador de retroalimentación de estados) que pertenece a la familia de los controladores óptimos y tiene la ventaja de que permite diseñar la matriz de retroalimentación K de una manera un poco más sistemática y no necesita la total controlabilidad del sistema, solamente que el sistema sea estabilizable. Regulador lineal cuadrático (LQR) El regulador lineal cuadrático está definido, para el sistema ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), como la ley de control u(t) = Kx(t) que minimiza el índice de desempeño (función de costo): J = 0 x(t) T Qx(t)+u(t) T Ru(t)dt; donde Q R n n, R R m m son las matrices de peso del estado y la entrada respectivamente, siendo ambas definidas positivas, n es el orden del sistema y m el número de entradas al sistema. 49 / 90

99 Regulador lineal cuadrático (LQR) Para resolver el problema de minimización, se asume que el sistema en lazo cerrado será estable. Sustituyendo la ley de control, ẋ(t) = Ax(t) BKx(t) = (A BK)x(t); J = = 0 0 x(t) T Qx(t)+x(t) T K T RKx(t)dt; x(t) T (Q+K T RK)x(t)dt; Haciendo x(t) T (Q + K T RK)x(t) = d dx (x(t)t Px(t)) con P = P T > 0 (para hacer J decreciente), x(t) T (Q+K T RK)x(t) = ẋ(t) T Px(t) x(t) T Pẋ(t); x(t) T (Q+K T RK)x(t) = x(t) T [ (A BK) T P+P(A BK) ] x(t); (Q+K T RK) = (A BK) T P+P(A BK); Por lo que si (A BK) es estable existe una matriz P = P T > 0 que satisfaga esta ecuación. 50 / 90

100 Regulador lineal cuadrático (LQR) El problema se convierte entonces, en determinar los valores de P para verificar que sea definida positiva y se cumpla la condición (existe más de una solución si y sólo si el sistema es estable). La función de costo puede ser evaluada como, J = x(t) T (Q+K T RK)x(t)dt = x(t) T Px(t) 0 = x( ) T Px( )+x(0) T Px(0); Como se está asumiendo que el sistema es estable x( ) 0, la función de costo puede ser obtenida en términos de las condiciones iniciales de los estados: J = x(0) T Px(0). Para obtener la solución del problema de control, se reescribe R = T T T con T no singular, esto es posible ya que R>0: (A T K T B T )P+P(A BK)+Q+K T T T TK = 0; 0 ; 51 / 90

101 Regulador lineal cuadrático (LQR) Manipulando algebraicamente, [ ( A T P+PA+ TK T T) ] 1 T [ B T P TK ( T T) ] 1 B T P PBR 1 B T P+Q = 0; 52 / 90

102 Regulador lineal cuadrático (LQR) Manipulando algebraicamente, [ ( A T P+PA+ TK T T) ] 1 T [ B T P TK ( T T) ] 1 B T P PBR 1 B T P+Q = 0; La minimización con respecto a K requiere la minimización de ( x(t) [TK T T T) ] 1 T [ ( B T P TK T T) ] 1 B T P x(t); 52 / 90

103 Regulador lineal cuadrático (LQR) Manipulando algebraicamente, [ ( A T P+PA+ TK T T) ] 1 T [ B T P TK ( T T) ] 1 B T P PBR 1 B T P+Q = 0; La minimización con respecto a K requiere la minimización de ( x(t) [TK T T T) ] 1 T [ ( B T P TK T T) ] 1 B T P x(t); Como la expresión es cuadrática, el mínimo ocurre en el origen, [ ( TK T T) ] 1 T [ ( B T P TK T T) ] 1 B T P = 0; ( TK = T T) 1 B T P; K =R 1 B T P; donde ( ) indica que el valor de ( ) es el óptimo. 52 / 90

104 Regulador lineal cuadrático (LQR) Ecuación de Riccati La ecuación que debe de satisfacer P = P T > 0, utilizando u (t) = K x(t) = R 1 B T Px(t) se reduce a Llamada ecuación de Riccati. A T P+ PA PBR 1 B T P+Q = 0; 53 / 90

105 Regulador lineal cuadrático (LQR) Ecuación de Riccati La ecuación que debe de satisfacer P = P T > 0, utilizando u (t) = K x(t) = R 1 B T Px(t) se reduce a Llamada ecuación de Riccati. A T P+ PA PBR 1 B T P+Q = 0; Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K (LQR) 53 / 90

106 Regulador lineal cuadrático (LQR) Ecuación de Riccati La ecuación que debe de satisfacer P = P T > 0, utilizando u (t) = K x(t) = R 1 B T Px(t) se reduce a Llamada ecuación de Riccati. A T P+ PA PBR 1 B T P+Q = 0; Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K (LQR) 1 Verifique que el sistema sea estabilizable. 53 / 90

107 Regulador lineal cuadrático (LQR) Ecuación de Riccati La ecuación que debe de satisfacer P = P T > 0, utilizando u (t) = K x(t) = R 1 B T Px(t) se reduce a Llamada ecuación de Riccati. A T P+ PA PBR 1 B T P+Q = 0; Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K (LQR) 1 Verifique que el sistema sea estabilizable. 2 Resuelva la ecuación de Riccati para P. Si existe P > 0 podrá ser posible encontrar K tal que u (t) = K x(t) estabilize al sistema. 53 / 90

108 Regulador lineal cuadrático (LQR) Ecuación de Riccati La ecuación que debe de satisfacer P = P T > 0, utilizando u (t) = K x(t) = R 1 B T Px(t) se reduce a Llamada ecuación de Riccati. A T P+ PA PBR 1 B T P+Q = 0; Pasos para el cálculo de la matriz de retroalimentación K (LQR) 1 Verifique que el sistema sea estabilizable. 2 Resuelva la ecuación de Riccati para P. Si existe P > 0 podrá ser posible encontrar K tal que u (t) = K x(t) estabilize al sistema. 3 Calcule la ley de control de u (t) = K x(t) = R 1 B T Px(t). 53 / 90