SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO

Transcripción

1 SISTEMAS DE CONTROL AVANZADO LUIS EDO GARCÍA JAIMES POLITÉCNICO COLOMBIANO J.I.C PRIMERA PARTE

2 ANÁLISIS DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO Este método tiene como objetivo la descripción de un sistema en función de n ecuaciones en diferencias o diferenciales de primer orden, las cuales pueden combinarse para formar una ecuación matricial en diferencias o una diferencial de primer orden.

3 CONCEPTOS BÁSICOS Estado: el estado de un sistema dinámico es el conjunto más pequeño de variables, tales que el conocimiento de dichas variables en t = t o junto con el conocimiento de la entrada para t t o, determinan completamente el comportamiento dinámico del sistema para t t o. Variables de Estado: son las variables que conforman el conjunto más pequeño de variables que determinan el estado de un sistema dinámico: x 1, x 2... x n. Vector de Estado: es el vector formado por el conjunto de las n variables de estado x 1, x 2... x n que sean necesarias para determinar completamente el comportamiento del sistema.

4 REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO DE UN SISTEMA CONTINUO Las variables u i (t), i = 1... r, representan las entradas Las variables y i (t), i = 1... m, representan las salidas Las variables x i (t), i = 1... n, representan las variables de estado a) u 1 (t) u 2 (t) u 3 (t) u r (t) Variables de estado x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) x n (t) y 1 (t) y 2 (t) y 3 (t) y m (t) u t = u 1 (t) u 2 t u r t y t = y 1 (t) y 2 (t) y m (t) x kt = x 1 (t) x 2 (t) x n (t) u(t) Vector de Estado y(t)

5 ECUACIÓN DE ESTADO En general, la ecuación que describe el estado de un sistema de tiempo continuo, se puede escribir en la forma: xሶ t = f x t, u(t) La salida del sistema se puede dar como: y t = g x t, u(t) Para los sistemas lineales, de tiempo continuo e invariantes en el tiempo, la ecuación de entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así xሶ t = Ax t + Bu t y t = Cx t + Du t

6 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS En donde: x(t) = Vector de estado y(t) =Vector de salida u(t) = Vector de entrada A =Matriz de estado B = Matriz de entrada C = Matriz de salida D = Matriz de transmisión directa (vector n) (vector m) (vector r) (matriz n n) (matriz n r) (matriz m n) (matriz m r)

7 DIAGRAMA DE BLOQUES SISTEMA CONTINUO D u(t) B + + x(t) x(t) C + + y(t) A xሶ t = Ax t + Bu t y t = Cx t + Du t

8 REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO DE UN SISTEMA DISCRETO Las variables u i (k), i = 1... r, representan las entradas Las variables y i (k), i = 1... m, representan las salidas Las variables x i (k), i = 1... n, representan las variables de estado b) u 1 (k) u 2 (k) u 3 (k) u r (k) Variables de estado x 1 (k) x 2 (k) x 3 (k) x n (k) y 1 (k) y 2 (k) y 3 (k) y m (k) u k = u 1 (k) u 2 k u r k y k = y 1 (k) y 2 (k) y m (k) x k = x 1 (k) x 2 (k) x n (k) u(k) Vector de Estado y(k)

9 ECUACIÓN DE ESTADO SISTEMA DISCRETO En general, la ecuación que describe el estado de un sistema de tiempo discreto, en el instante k + 1 se puede escribir en la forma: x k + 1 = f x k, u(k) Así mismo, la salida del sistema se puede dar como: y k = g x k, u(k) Para los sistemas lineales de tiempo discreto invariantes en el tiempo, la ecuación de entrada y la ecuación de salida se pueden escribir así: x k + 1 = Ax k + Bu k y k = Cx k + Du k

10 DEFINICIÓN DE TÉRMINOS En donde: x(k) = Vector de estado y(k) =Vector de salida u(k) = Vector de entrada A =Matriz de estado B = Matriz de entrada C = Matriz de salida D = Matriz de transmisión directa (vector n) (vector m) (vector r) (matriz n n) (matriz n r) (matriz m n) (matriz m r)

11 DIAGRAMA DE BLOQUES SISTEMA DISCRETO D u(k) B + + x(k+1) z -1 x(k) C + + y(k) A x k + 1 = Ax k + Bu k y k = Cx k + Du k

12 EJEMPLO Considere el movimiento angular de deflexión de un avión respecto a la horizontal. Dicho sistema puede representarse, para ángulos pequeños, mediante la ecuación diferencial: d 2 α(t) dt dα(t) = Aδ(t) T dt Los alerones son accionados mediante un servomecanismo que responde a la ecuación diferencial: dδ(t) dt = Ke(t) Siendo α(t) el ángulo del avión con respecto a la horizontal, δ(t) el ángulo de deflexión de los alerones y e(t) es el voltaje de alimentación del servo que mueve los alerones Hallar una representación del sistema en el espacio de estado. Asuma que α(t) es la salida del sistema y e(t) su entrada

13 EJEMPLO La figura representa el sistema de control de un depósito de sección constante y altura máxima de 1m alimentado por una caudal de entrada q e. La salida del líquido se controla mediante una válvula de modo que el caudal de salida depende del producto de su velocidad por el factor de apertura de la válvula w. El factor de apertura responde a la señal eléctrica proporcionada por un amplificador diferencial que amplifica, con una ganancia K, la diferencia entre la señal eléctrica n, proporcional al nivel de líquido en el depósito (n = Nh) y la señal de referencia r. a) Obtenga la representación en el espacio de estado para el sistema y calcule la altura de equilibrio que alcanza el líquido cuando q e = 0.02 m 3 s y r = 7 V. b) Obtenga el un diagrama de bloques para el sistema. N = 10 V m K = m 2 V A = 0.5m 2

14 SOLUCIÓN AL EJEMPLO Acumula = Entra Sale q S = w v = w 2gh A dh dt = q e K NH r 2gh Reemplazando los valores dados: A dh dt = q e q S w = K NH r 0.5 dh dt = q e h r 19.6h dh dt = 2q e 0.442h h r h Se define como variable de estado x = h Así la representación en el espacio de estado es: xሶ = 2q e 0.442x r x

15 SOLUCIÓN AL EJEMPLO (2) En el equilibrio el cambio de altura es igual a cero: dh dt = 0 y con r = 7 resulta: 0 = h h h Organizando la ecuación: h h h = Resolviendo se obtiene: h = 0.802m, h = 0.58 m y h = m. La solución válida es h = m

16 FORMAS CANÓNICAS PARA ECUACIONES EN EL ESPACIO DE ESTADO EN TIEMPO DISCRETO Sea el sistema en tiempo discreto definido por la ecuación de diferencias: y k + a 1 y k 1 + a 2 y k 2 + a n y k n = b o u k + b 1 u k 1 + b n u k n En donde u(k) es la entrada y y(k) es la salida del sistema. La función de transferencia de pulso correspondiente a la ecuación anterior está dada por: G z = Y(z) U(z) = b o + b 1 z 1 + b 2 z 2 + b n z n 1 + a 1 z 1 + a 2 z 2 + a n z n G z = Y(z) U(z) = b oz n + b 1 z n 1 + b 2 z n 2 + b n z n + a 1 z n 1 + a 2 z n 2 + a n

17 TIPOS DE FORMAS CANÓNICAS Existen diferentes formas para representar el sistema discreto definido por las ecuaciones dadas. Las más utilizadas son las llamadas formas canónicas a saber: Forma canónica controlable (FCC). Forma canónica observable (FCO). Forma canónica diagonal (FCD). Forma canónica de Jordan (FCJ).

18 FORMA CANÓNICA CONTROLABLE La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto definido por las funciones de transferencia dadas se puede expresar en la forma: x 1 (k + 1) x 2 (k + 1) x 3 (k + 1) x n (k + 1) = a 1 a 2 a n 1 a n y k = b 1 a 1 b o b 2 a 2 b o b n a n b o x 1 (k) x 2 (k) x 3 (k) x n (k) + x 1 (k) x 2 (k) x n 1 (k) x n (k) u k + b o u(k)

19 FORMA CANÓNICA OBSERVABLE La representación en el espacio de estado del sistema en tiempo discreto, definido por las funciones de transferencia dadas, se puede expresar en la forma: x 1 (k + 1) x 2 (k + 1) x n 1 (k + 1) x n (k + 1) = a a a n a n y k = x 1 (k) x 2 (k) x n 1 (k) x n (k) x 1 (k) x 2 (k) x n 1 (k) x n (k) + b 1 a 1 b o b 2 a 2 b o b n 1 a n 1 b o b n a n b o + b o u(k u k

20 FORMA CANÓNICA DIAGONAL Si los polos de la función de transferencia de pulso dada son todos distintos, es decir, si ella se puede expandir en fracciones parciales en la forma: G z = C 1 + C 2 + C n + b z p 1 z p 2 z p o n La representación en el espacio de estado definido se puede expresar en la forma: x 1 (k + 1) x 2 (k + 1) x n (k + 1) = p p p n x 1 (k) x 2 (k) x n (k) u k y k = C 1 C 2 C n x 1 k x 2 k x n k + b o u k

21 FORMA CANONICA DE JORDAN Si al descomponer en fracciones parciales la función de transferencia dada se obtiene un polo múltiple de orden r en z = p 1 y todos los demás polos son distintos, es decir: C 1 G z = (z p 1 ) r + C 2 (z p 1 ) r 1 + C r + C r+1 + C r+2 + C n + b z p 1 z p r+1 z p r+2 z p 0 n La representación en el espacio de estado se puede expresar en la forma x 1 (k + 1) x 2 (k + 1) x r (k + 1) x r+1 (k + 1) x n (k + 1) = p p p y k = C 1 C 2 C n p r p n x 1 k x 2 k x n k + b o u k x 1 (k) x 2 (k) x r (k) x r+1 (k) x n (k) u

22 EJEMPLO Obtenga tres representaciones en el espacio de estado para el sistema descrito mediante la ecuación en diferencias dada. Considere condiciones iniciales iguales a cero. y k 1.3 k y k 2 = u k u(k 2) Tomando la transformada z: 1 1.3z z 2 Y z = z z 2 U(z) La función de transferencia es: G z = Y(z) U(z) = z z z z 2 b 0 = 0 b 1 = 1 b 2 = 0.5 a 1 = 1.3 a 2 = 0.4

23 SOLUCIÓN a) FORMA CANÓNICA CONTROLABLE (FCC) x 1 (k + 1) x 2 (k + 1) = x 1 (k) x 2 (k) u k y k = x 1(k) x 2 (k) b) FORMA CANÓNICA OBSERVABLE (FCO) x 1 (k + 1) x 2 (k + 1) = x 1 (k) x 2 (k) u k y k = 1 0 x 1(k) x 2 (k) c) FORMA CANÓNICA DIAGONAL (FCD) G z = Y(z) U(z) = z z z z 2 = z z 0.5 x 1 (k + 1) x 2 (k + 1) = x 1 (k) x 2 (k) u k y k = x 1(k) x 2 (k)

24 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA Y REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO PARA UN SISTEMA CONTINUO La representación en el espacio de estado de un sistema continuo es: xሶ t = Ax t + Bu t y t = Cx t + Du t Tomando la transformada de Laplace con CI=0 se obtiene SX S = AX S + BU(S) SI A X S = BU(S) Despejando X(S) : Es decir: X S = SI A 1 BU(S) Y S = C SI A 1 BU S + DU S Como u(t) es la entrada al sistema e y(t) su salida, la función de transferencia es: G S = Y(S) U(S) = C SI A 1 B + D

25 ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SISTEMA CONTINUO Por definición: Para la expresión: Se obtiene: A 1 = Adj(A) det(a) = Adj(A) A G S = Y(S) U(S) = C SI A 1 B G S = Y(S) U(S) = C SI A 1 B = C Adj SI A SI A B La ecuación característica del sistema es: SI A = S n + α 1 S n 1 + α 2 S n 2 + α n = 0

26 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO Y REPRESENTACIÓN EN EL ESPACIO DE ESTADO DISCRETO La representación en el espacio de estado de un sistema discreto es: x k + 1 = Ax k + Bu k y k = Cx k + Du k Tomando la transformada z con CI=0 se obtiene: zx z = AX z + BU(z) zi A X z = BU(z) Despejando X z : X z = zi A 1 BU(z) Es decir: Y z = C zi A 1 BU z + DU z Como u(k) es la entrada al sistema e y(k) su salida, la función de transferencia es: G z = Y(z) U(z) = C zi A 1 B + D

27 ECUACIÓN CARACTERÍSTICA SISTEMA DISCRETO Por definición: Para la expresión: Se obtiene: A 1 = Adj(A) Det(A) = Adj(A) A G z = Y(z) U(z) = C zi A 1 B G z = Y(z) U(z) = C zi A 1 B = C Adj zi A zi A B La ecuación característica del sistema es: zi A = z n + α 1 z n 1 + α 2 z n 2 + α n = 0

28 EJEMPLO Hallar la función de transferencia de pulso del sistema cuyo comportamiento dinámico está descrito mediante la ecuación: x k + 1 = x k u(k) y k = x(k) La función de transferencia del sistema es: G z = Y(z) U(z) = C zi A 1 B zi A = z z = 0 z z 0.3 zi A 1 = adj(a) z z zi A = 0.4 z 0.8 z 0.8 z = 0.4 z 0.8 z 2 1.1z z G z = C(zI A) 1 B = 0.4 z z 2 1.1z z 0.24 G z = z 2 1.1z

29 DISEÑO DE SISTEMAS DE CONTROL EN EL ESPACIO DE ESTADO El diseño de un sistema de control digital consiste en determinar un algoritmo que permita generar una secuencia de valores de las variables de control de la planta u(k), de manera que las salidas y(k) cumplan con las especificaciones de funcionamiento establecidas. En esta sección se presenta el diseño de controladores en el espacio de estado, utilizando el método de asignación de polos. Para su aplicación se requiere que el sistema sea completamente controlable y completamente observable.

30 CONTROLABILIDAD Sea el sistema discreto: x k + 1 = Ax k + Bu k y k = Cx k + Du k Se dice que dicho sistema es de estado completamente controlable, si es posible transferir el sistema desde un estado inicial arbitrario a cualquier otro estado deseado en un intervalo de tiempo finito mediante la aplicación de una señal de control, no restringida, u(kt).

31 CONDICIÓN DE CONTROLABILIDAD El sistema descrito por la ecuación: x k + 1 = Ax k + Bu k y k = Cx k + Du k Es controlable si: Rango B AB A 2 B A n 1 B = n Siendo n n el orden de la matriz A. Una condición suficiente y necesaria para la controlabilidad completa del estado, es que no se presente cancelación de ceros y polos en la función de transferencia del sistema.

32 OBSERVABILIDAD Sea el sistema discreto definido por: x k + 1 = Ax k + Bu k y k = Cx k + Du k Se dice que dicho sistema es de estado complemente observable si cualquier estado inicial x(0) puede determinarse a partir de la observación de y(k) en n períodos de muestreo como máximo.

33 CONDICIÓN DE OBSERVABILIDAD El sistema discreto definido por la ecuación: x k + 1 = Ax k + Bu k y k = Cx k + Du k Es de estado completamente observable sí: C CA Rango CA 2 = n CA n 1 Una condición suficiente y necesaria para la observabilidad completa del estado es que no se presente cancelación de ceros y polos en la función de transferencia de pulso.

34 EJEMPLO DE CONTROLABILIDAD Y OBSERVABILIDAD Dado el sistema en tiempo discreto definido por: x k + 1 = x k u k y k = x k a) Es el sistema completamente controlable? b) Es el sistema completamente observable? Solución: a) La matriz de controlabilidad es: Co = B A. B A 2. B Co = det Co = 0.25 Rango Co = 3 El sistema es Controlable

35 MATRIZ DE OBSERVBILIDAD b) La matriz de observabilidad para el sistema dado es: C O b = CA CA 2 Ob = det Ob = 1 Rango O b = 3 El sistema es observable. NOTA: Tener en cuenta que las matrices son de orden 3.

36 CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Y ASIGNACIÓN DE POLOS El método de asignación de polos, comienza con la determinación de los polos de lazo cerrado deseados, utilizando especificaciones basadas en la respuesta transitoria y/o en los requerimientos de respuesta en frecuencia. Si se desea ubicar los polos de lazo cerrado en z = z 1, z = z 2, z = z n es posible elegir una matriz de ganancia de realimentación K adecuada, que force al sistema a tener los polos de lazo cerrado en el lugar deseado siempre y cuando el sistema sea de estado completamente controlable y completamente observable.

37 CONTROL POR REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Sea el sistema de control en lazo abierto de la fig a, definido por la ecuación de estado: x k + 1 = Ax k + Bu k Si se elige como ley de control: u k = Kx k Se obtiene el sistema de control realimentado de la fig b. A este esquema se le denomina sistema con realimentación de estado. b. u(k) B + + x(k+1) z -1 I A x(k) Sistema en lazo abierto Sistema en lazo cerrado -K

38 MATRIZ DE REALIMENTACIÓN K La matriz K = k 1 k 2 k n se llama matriz de ganancia de realimentación y convierte al sistema en un sistema de control en lazo cerrado, con sus polos ubicados en el lugar deseado. Reemplazando la ley de control: u k = Kx(k): x k + 1 = Ax k BKx(k) x k + 1 = A BK x k Tomando la transformada z a la ecuación se obtiene: zx z zx 0 = A BK X(z) zi A + BK X z = zx 0 z. adj zi A + BK X z =. x(0) zi A + BK Así, la ecuación característica del sistema en lazo cerrado es: zi A + BK = z n + α 1 z n 1 + α 2 z n 2 + α n 1 z + α n = 0 En donde α 1, α 2, α n son los coeficientes de la ecuación característica deseada.

39 CÁLCULO DE LA MATRIZ DE GANACIA DE REALIMENTACIÓN K La matriz de ganancia de realimentación K se puede obtener por diferentes métodos. Uno de los más utilizados es el de la Formula de Ackerman el cual permite calcular directamente la matriz de ganancia de realimentación, a partir de la ecuación: K = B AB A 2 B A n 1 B 1 φ A En donde: φ A = A n +α 1 A n 1 + α 2 A n 2 + α n 1 A + α n I Siendo α 1, α 2 α n los coeficientes de la ecuación característica deseada: z z 1 z z 2.. z z n = z n + α 1 z n 1 + α 2 z n 2 + α n 1 z + α n = 0

40 SISTEMA CON REALIMENTACIÓN DEL ESTADO Y ENTRADA DE REFERENCIA El sistema de control anterior no tiene entrada de referencia. Este tipo de control se denomina sistema de control tipo regulador. En la mayoría de los casos, es necesario que la salida y(k) siga a una entrada de referencia r(k), este sistema se denomina sistema de control tipo Servo y su configuración básica se muestra en la figura r(k) v(k) u(k) x(k+1) x(k) y(k) K B z + -1 o I C A -K

41 CÁLCULO DEL FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR Ko Considerando el sistema de la figura anterior, se tiene: La señal de control está dada por: Cox(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = cx(k) u(k) = K o r(k) Kx(k) En donde K o es una constante que se debe determinar y r(k) es la referencia. Y(z) = C zi A + BK 1 BK o R(z) La función de transferencia del sistema en lazo cerrado es: G w (z) = Y(z) R(z) = C zi A + BK 1 BK o = K 0 HG(z) 1 + D(z)HG(z) Para obtener error de estado estable igual a cero se debe cumplir que: y SS = r por lo tanto: K o lim Z 1 C zi A + BK 1 B = 1 HG(z) K 0 lim z D(z)HG(z) = 1

42 EJEMPLO La dinámica del sistema de flujo que se muestra en la figura 2.2 está dada por: G f (S) = 2.372e 0.45S 1.64S + 1 Obtener para este proceso: a) la matriz de ganancia de realimentación de modo que el sistema en lazo cerrado, tenga un tiempo de establecimiento de 3 s y coeficiente de amortiguamiento igual a 0.8. b) El factor de corrección de error K o para que el error de estado estable sea igual a cero. Asuma que el período de muestreo es T = 0.3 s.

43 SOLUCIÓN La función de transferencia de pulso del sistema, con T = 0.3 s está dada por: HG(z) = (1 z 1 )z N I m G(S) S G(S) = S + 1 HG(z) = z z z 2 = (z ) z 2 (z ) La representación en el espacio de estado en tiempo discreto es: x(k + 1) = x(k) y(k) = x(k) u(k) La ubicación de los polos de lazo cerrado deseados se obtiene a partir de las especificaciones de tiempo de establecimiento y coeficiente de amortiguamiento requerido así: t s = 4 ξw n w n = 4 ξt s = w n = 1.66 rad/s

44 SOLUCIÓN La ubicación de los polos se obtiene con las ecuaciones:: z = e ξw n T = e = Para diseño z < 1 θ = 57.3w n T 1 ξ 2 = = o Para diseño 0 θ 80 z = z (cosθ ± jsenθ) z = 0.671(cos 17.12º ± j sin 17.12º) = ± j0.197 Los polos de lazo se ubican en: z = j0.197 y z = j El tercer polo se asigna en z = 0.05 de modo que no sea polo dominante. La ecuación característica está dada por: (z j0.197)(z j0.197)(z 0.05) = 0 z z z = 0

45 CÁLCULO DE LA MATRIZ K Utilizando la Fórmula de Ackerman: K = B AB A 2 B 1 φ(a) La ecuación característica deseada dio: z z z = 0 Entonces: φ(a) = A A A I = B AB A 2 B = K = K =

46 CÁLCULO DEL FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR Ko G w (z) = C zi A + BK 1 B = K o lim z 1 C zi A + BK 1 B = (z ) z z z K o lim z (z ) z z z = 1 K o = 0.4 Sin factor de corrección Con factor de corrección K o = 0.4

47 0BSERVADORES O ESTIMADORES DE ESTADO En la práctica, no todas las variables de estado de un sistema se pueden medir en forma directa. Este hecho hace necesario estimar el valor de aquellas variables de estado cuya medición directa no es posible. El sistema que posibilita la estimación se denomina Observador o estimador de estado. El observador de un sistema dinámico lineal en tiempo discreto es otro sistema dinámico lineal en tiempo discreto que tiene como entradas la entrada y la salida del sistema discreto y como salida, los valores de las variables de estado.

48 TIPOS DE OBSERVADORES Para resolver el problema de la observación son posibles dos soluciones: a. Utilizar un observador tipo predictor que permite obtener el estado del sistema en el instante (k + 1), estimando x(k + 1) a partir de la entrada u(k) y de la salida y(k). b. Utilizar un observador corriente que permite obtener el estado del sistema en el instante (k + 1) estimando x(k + 1) a partir de la entrada u(k) y de la salida y(k + 1) Las figuras representan, los dos tipos de observadores. Observadores de estado a) Tipo Predictor b) Tipo Corriente

49 OBSERVADOR DE ESTADO TIPO PREDICTOR Para obtener las ecuaciones que describen a este observador, se supone que el estado real del sistema x(k) no puede medirse directamente. Si el estado x(k) debe estimarse, es necesario que el estado estimado q(k) y el estado real x(k) sean iguales. La figura ilustra cómo se realiza la estimación de los estados. Observador de estado tipo predictor

50 ECUACIÓN DEL OBSERVADOR TIPO PREDICTOR La planta está descrita mediante la ecuación: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) De la figura del observador se deduce que el sistema tiene dos entradas u(k) e y(k), entonces, su ecuación se puede escribir en la forma: q(k + 1) = Fq(k) + Ly(k) + Hu(k) En donde F, L y H son matrices desconocidas. Para que q(k) = x(k). Las matrices F, L y H deben cumplir que: H = B y A = F + LC. Entonces, la ecuación del observador predictor, se puede escribir en la forma: q(k + 1) = (A LC)q(k) + Ly(k) + Bu(k) La matriz L se denomina Matriz de ganancia de realimentación del observador. La ecuación característica del observador es: zi A + L. C = 0

51 DIAGRAMA DE BLOQUES DEL SISTEMA CON EL OBSERVADOR TIPO PREDICTOR La figura representa el sistema de control con la matriz de ganancia de realimentación K y el observador de estado incluidos. u(k) B + + x(k+1) z -1 x(k) C y(k) A -K B q(k+1) q(k) ^y(k) C z A L La ley de control es u(k) = kq(k) así la ecuación del observador tipo predictor de orden completo se puede escribir en la forma: q(k + 1) = (A LC BK)q(k) + Ly(k)

52 FUNCIÓN DE TRANSFERENCIA DE PULSO DEL CONTROLADOR Una vez obtenida la matriz de ganancia de realimentación K y la matriz de ganancia del observador L, es posible obtener la función de transferencia de pulso del controlador. Para este controlador, la entrada es Y(z) y la salida U(z). La ecuación del observador de estado es: q(k + 1) = (A LC BK)q(k) + Ly(k) Tomando la transformada z a esta ecuación del observador con CI=0 zq(z) = A LC BK Q(z) + LY(z) zi A + BK + LC Q(z) = LY(z) Q(z) = zi A + BK + LC 1 LY(z) La ley de control es: u(k) = Kq(k) U(z) = KQ(z) Entonces: U(z) = KQ(z) = K zi A + BK + LC 1 LY(z) D(z) = U(z) Y(z) = K zi A + BK + LC 1 L Esta ecuación permite estimar la función de transferencia de pulso del controlador.

53 FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR Si se desea tener error de estado estable igual a cero, ante una entrada en escalón, es necesario adicionar un factor de corrección de error K o en el circuito del set-point R(z) K o + - HG(z) Y(z) D(z) Sistema de control por realimentación de estados con factor de corrección De la figura se obtiene G w (z) = Y(z) R(z) = de error en el circuito del set-point K 0 HG(z) 1 + D(z)HG(z) Para que el error sea cero debe cumplirse que y( ) = r(t), por lo tanto: HG(z) K 0 lim z D(z)HG(z) = 1

54 EJEMPLO Dado el sistema de control en tiempo discreto mostrado en la figura a) Hallar la matriz de ganancia K de modo que la respuesta del sistema en lazo cerrado tenga máximo sobreimpulso del 10% y tiempo de pico de 4 s. b) Diseñar un observador adecuado para el sistema. c) obtener la ecuación del controlador y la respuesta del sistema ante una entrada en escalón unitario. Asuma que el período de muestreo es 1 s. SOLUCIÓN: Con T = 1 s, la función de transferencia de pulso del sistema es: HG(z) = (1 z 1 )I G p(s) S G p (S) = 0.25 S(S + 0.1) HG(z) = (1 z 1 )I 0.25 S 2 (S + 0.1) HG(z) = (z ) (z 1)(z ) HG(z) = z z z

55 SOLUCIÓN: UBICACIÓN DE POLOS La representación del sistema en su forma canónica controlable es: x(k + 1) = x(k) u(k) y(k) = x(k) a) Ubicación de los polos de lazo cerrado deseados para estimar la matriz de ganancia de realimentación K. πξ 1 ξ 2 M p = e ξ t p = π = w n 1 ξ 2 w n = ln(m p ) π 2 + (ln(m p )) 2 ξ = 0.59 π t p 1 ξ 2 La ubicación de los polos deseados es por lo tanto: z = e ξw n T z = w n = rad/s θ = 57.3w n T 1 ξ 2 θ = 45 o z = ± j0.398

56 SOLUCIÓN: CÁLCULO DE LA MATRIZ K La ecuación característica deseada para el sistema es, entonces: (z j0.398)(z j0.398) = z z = 0 Utilizando la fórmula de Ackerman: K = 0 1 B AB 1 φ(a) φ(a) = A A I φ(a) = B AB = K = K =

57 UBICACIÓN DE POLOS PARA EL OBSERVADOR Para diseñar el observador, se recomienda que su coeficiente de amortiguamiento sea igual al seleccionado para el cálculo de la matriz K y que su velocidad angular sea mayor que la del sistema. Sea ξ = 0.59 y w n = 1.5 rad/s. (La velocidad angular para el diseño de la matriz K fue w n = rad/s). Con estos parámetros, la ubicación de los polos deseados para el observador es: z = e ξw n T z = θ = 57.3w n T 1 ξ 2 θ = 69.4 o Es decir, los polos deseados son z = ± j La ecuación característica deseada para el observador es: (z j0.385)(z j0.385) = z z = 0

58 CÁLCULO DE LA MATRIZ DEL OBSERVADOR L Utilizando la fórmula de Ackerman: L = φ(a) C CA φ(a) = A A I = C CA = L = La ecuación del observador está dada por: L = q(k + 1) = A LC BK q(k) + Ly(k) q(k + 1) = q(k) y(k)

59 CÁLCULO DE LA FTP DEL CONTROLADOR La ecuación del controlador está dada por: D(z) = U(z) Y(z) = K zi A + BK + LC 1 L zi A + BK + LC = zi A + BK + LC 1 = z z z z z z D(z) = U(z) z Y(z) = z z z D(z) = U(z) Y(z) = (z ) z z

60 CÁLCULO DEL FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR Ko Para que el error sea cero debe cumplirse que: K 0 lim z 1 G w (z) = 1 HG(z) K 0 lim z D(z)HG(z) = 1 Con HG(z) = z z z y D(z) = U(z) Y(z) = (z ) z z Resulta: G w (z) = z z z z z z z Para el caso del ejemplo se tiene: K o lim z 1 (0.1209z z z ) z z z z K o = 1 K o = 0.79

61 RESPUESTAS DEL SISTEMA CONTROLADO CON Y SIN FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR Respuesta sin factor de corrección Respuesta con factor de corrección

62 SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR La figura muestra un sistema de control por realimentación del estado en el cual se utiliza un integrador adicional para estabilizar adecuadamente el sistema y mejorar su exactitud r(k) v(k) K i + - u(k) B + + x(k+1) z -1 x(k) C y(k) z -1 A K 1 q(k) K 1 B q(k+1) q(k) ^y(k) z -1 C - + A L Sistema tipo servo con integrador

63 DISEÑO DEL SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR La ecuación de estado de la planta y su correspondiente ecuación de salida son, respectivamente: x(k + 1) = Ax(k) + Bu(k) y(k) = Cx(k) La ley de control para el sistema es: u(k) = K 1 x(k) + K i v(k) v(k) = r(k) y(k) + v(k 1) Para realizar el diseño, utilizando la técnica de asignación de polos, se debe estimar la matriz K i correspondiente al integrador y la matriz K 1 correspondiente a la matriz de ganancia de realimentación.

64 ECUACIONES DE DISEÑO PARA EL SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR Para el cálculo de las matrices K 1 y K i se utiliza la ecuación: K 1 K i = K + 0 I m A I n CA B CB K = B AB A 2 B A n 1 B 1 φ A 1 A = A n + α 1 A n 1 + α 2 A n 2 + α n I α 1, α 2 α n : son los coeficientes de la ecuación característica deseada. A = A 0 B B = 0 0 (n+m) (n+m) I m (n+m) m Conocidas las matrices K 1 y K i, la ley de control para el sistema está dada por: U(z) = 1 + K 1 zi A + LC 1 B 1 K i z R(z) Y(z) K 1 (z 1) zi A + LC 1 LY(z) z 1 La matriz L, correspondiente a la matriz de ganancia del observador, se calcula en la misma como la del observador de orden completo con la fórmula de Ackerman.

65 EJEMPLO DISEÑO SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR Sea el tanque con agitador representado en la figura. El objetivo es controlar la temperatura T o del fluido de salida f o, manipulando el caudal de vapor q i que pasa a través del serpentín. Mediante la aplicación de una entrada en forma de escalón, se obtuvo la función de transferencia: Temperatura del tanque (%) Flujo de vapor (%) = T 0(S) Q i (S) = 2.5e 20.3S 75.4S + 1 Diseñe para el sistema un controlador tipo servo con integrador para regular la temperatura del tanque. (Tiempo en s)

66 SOLUCIÓN: DISCRETIZACIÓN DEL SISTEMA Selección del periodo de muestreo: 0.2(τ eq + θ ) T 0.6(τ eq + θ ) τ eq = Constante de tiempo equivalente del sistema en lazo cerrado sin el retardo. τ eq = 21.54s T 25.1 Se asume T = 21 s G p (z) = (1 z 1 )z N I m G p(s) S G p (z) = (1 z 1 )I m 2.5 S(75.4S + 1) G p (z) = z z(z ) = z z z Se representa el sistema en FCO: x(k + 1) = x(k) u(k) y(k) = 1 0 x(k)

67 CÁLCULO DE LA MATRIZ La matriz K, que permite calcular a la matriz de realimentación K 1 y a la matriz del integrador K i se calcula a partir de la ecuación: K = B AB A 2 B A n 1 B 1 φ(a) A = A 0 B 0 = B AB A 2 B = φ A = A 3 + α 1 A 2 + α 2 A + α 3 I B = 0 I m = La ubicación de los polos para la matriz K, se obtiene con las ecuaciones: z = e ξw n T θ = 57.3w n T 1 ξ 2 z = z cosθ ± jsenθ Estos polos permiten el obtener la ecuación característica y por lo tanto el de los coeficientes α 1, α 2, α 3

68 UBICACIÓN DE LOS POLOS PARA LA MATRIZ K El tiempo de establecimiento del sistema en lazo abierto es: t sla = 4τ = s Se selecciona el tiempo de establecimiento: 0.3t sla t s 0.8t sla t s = 225 s Se selecciona el coeficiente de amortiguamiento: 0.6 ξ 0.9 ξ = 0.8 La ubicación de los polos es: z = e ξw n T θ = 57.3w n T 1 ξ 2 z = z cosθ ± jsenθ t s = 4 ξw n w n = 4 ξt s = w n = rad/s z = e = θ = = Polos están ubicados en z = ± j Se adiciona un tercer polo en z = 0 La ecuación característica es: (z j0.1898)(z j0.1898)z = z z z = 0

69 CÁLCULO DE LAS MATRICES K1 Y Ki Con la ecuación característica obtenida resulta: φ A = A A A = K = K = K 1 K i = K + 0 I m A I n C. A K 1 K i = B C. B K 1 K i = K 1 = K i =

70 CÁLCULO DEL OBSERVADOR El diseño del observador se realiza utilizando la fórmula de Ackerman: L = φ(a) C CA Ubicación de los polos del observador: Se toma t so < t sk. En este caso se asume t so = 200 s y ξ = 0.8 w n = 4 t s ξ = = rad/s z = e = θ = = z = z cosθ ± jsenθ = ± j0.203 Ecuación característica: z z = 0 L = φ(a) = A A I = C CA = L =

71 CÁLCULO DE LA LEY DE CONTROL La ley de control es: U(z) = 1 + K 1 zi A + LC 1 B 1 K i z R(z) Y(z) K 1 (z 1) zi A + LC 1 LY(z) z 1 K 1 zi A + LC z B = z z K 1 zi A + LC z L = z z U(z) = 0.248z z z R(z) 0.248z z z Y(z) z z z Ecuación en diferencias correspondiente a la ley de control: u(k) = 0.248r(k) r(k 1) r(k 2) 0.248y(k) y(k 1) y(k 2) u(k 1) u(k 2) u(k 3)

72 RESPUESTA DEL SISTEMA TIPO SERVO CON INTEGRADOR

73 SISTEMAS NO LINEALES Los sistemas no lineales representan sistemas cuyo comportamiento no se puede expresar como la suma de los comportamientos de sus descriptores, es decir son sistemas que no cumplen el principio de superposición. En los sistemas no lineales, las ecuaciones de movimiento, evolución o comportamiento que regulan su comportamiento dinámico son no lineales.

74 EJEMPLO DE SISTEMAS NO LINEALES (2)

75 REPRESENTACIÓN DE UN SISTEMA NO LINEAL Un sistema no lineal se puede representar mediante ecuaciones de estado en la siguiente forma: xሶ1 = f 1 (x, u, t) xሶ2 = f 2 (x, u, t) xሶn = f n (x, u, t) y = h(x, u, t) Estas ecuaciones se pueden escribir en la forma matricial así: xሶ (t) = f x(t), u(t) y(t) = h x(t), u(t) En donde x(t) es el vector de estado (n 1), u(t) es el vector de entradas (r 1) y f[x(t), u(t)] es un vector que es función del vector de estado y del vector de entrada.

76 LINEALIZACIÓN DE UN SISTEMA NO LINEAL Para linealizar un sistema no lineal existen diferentes métodos: uno de ellos consiste en la expansión de las ecuaciones de estado no lineales en series de Taylor alrededor de un punto o de una trayectoria de operación nominal del sistema, despreciando los términos de orden superior al primero, con lo cual resulta una aproximación lineal de las ecuaciones de estado en un punto determinado. En donde: xሶ(t) = Ax(t) + Bu(t) f 1 f 1 x 1 x 2 f 1 x n f 1 f 1 u 1 u 2 f 1 u n A = f 2 f 2 f 2 x 1 x 2 x n B = f 2 f 2 f 2 u 1 u 2 u n f n x 1 f n x 2 f n x n Po f n u 1 f n u 2 f n u n Po Po: corresponde al punto de equilibrio alrededor del cual se va a linealizar el sistema. Los valores de x(t) y de u(t) deben mantenerse siempre lo más cerca posible a los valores de referencia x o y u o respectivamente

77 EJEMPLO DE LINEALIZACIÓN Las siguientes ecuaciones corresponden al modelo matemático de un giroscopio electrostático: x ሶ 1 = x 2 xሶ = x 1 x xሶ3 = x 3 x 1 x 3 u y = x 1 El punto de operación deseado es u o = 8 a) Linealice el sistema en el punto de operación deseado. b) Discretice el modelo lineal obtenido utilizando un período de muestreo T = 0.5 s a) Diseñe un controlador discreto utilizando técnicas de realimentación de estado, de modo que el sistema en lazo cerrado tenga sus polos en el origen. d) Grafique la respuesta del sistema no lineal con el controlador diseñado.

78 SOLUCIÓN: LINEALIZACIÓN DEL MODELO La linealización se debe realizar alrededor del punto de operación u o = 8. Para los puntos de equilibrio se tiene: xሶoi = f i (x o, u o ) = 0 x 2 = 0 x 1 x = 0 x 3 x 1 x 3 u = 0 Resolviendo las ecuaciones anteriores se obtiene el punto de equlibrio: P O = x 1 x 2 x 3 u T 0 = T Las matrices A y B se evalúan con las ecuaciónes A = f 1 x 1 f 1 x 2 f 1 x 3 f 2 x 1 f 2 x 2 f 2 x 3 f 3 x 1 f 3 x 2 f 3 x 3 B = f 1 u f 2 u f 3 u

79 SISTEMA LINEALIZADO Evaluando las derivadas parciales en el punto de equilibrio se obtiene: f 1 = 0 x 1 f 2 = 1 x 1 f 3 = x x 3 = 2 1 Así, el sistema linealizado es: xሶ1(t) xሶ2(t) xሶ3(t) = f 1 f 1 = 1 = 0 x 2 x 3 f 2 f 2 = 0 = 2x x 2 x 3 = 4 3 f 3 = 0 f 3 = 1 x x 2 x 1 = 4 3 x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) f 1 u = 0 f 2 u = 0 f 3 u = 1 u(t) y(t) = x 1 (t) x 2 (t) x 3 (t) La función de transferencia del sistema continuo equivalente es: G p (S) = C SI A 1 B 4 G p (S) = S 3 4S 2 + S 12

80 DISCRETIZACIÓN DEL MODELO La discretización del modelo, con T = 0.5 s da: HG(z) = (1 z 1 )I G p(s) S Utilizando el MATLAB: = (1 z 1 )I 4 S(S 3 4S 2 + S 12) HG(z) = z z z z z La representación en el espacio de estado discreto para el sistema linealizado, en la forma canónica observable es: x(k + 1) = x(k) u(k) y(k) = x(k)

81 DISCRETIZACIÓN DEL MODELO La discretización del modelo, con T = 0.5 s da: HG(z) = (1 z 1 )I G p(s) S Utilizando el MATLAB: = (1 z 1 )I 4 S(S 3 4S 2 + S 12) HG(z) = z z z z z La representación en el espacio de estado discreto para el sistema linealizado, en la forma canónica observable es: x(k + 1) = x(k) u(k) y(k) = x(k)

82 CÁLCULO DE LA MATRIZ DE REALIMENTACIÓN K Utilizando la fórmula de Ackerman: K = B AB A 2 B 1 φ(a) La ecuación característica deseada para el sistema en lazo es: z 3 = 0 φ(a) = A 3 φ(a) = B AB A 2 B = K = K =

83 CÁLCULO DE LA MATRIZ DEL OBSERVADOR L Utilizando la fórmula de Ackerman: L = φ(a) C CA CA La ecuación característica deseada para el observador es: z 3 = 0 φ(a) = A 3 = C CA CA 2 = L = L =

84 CONTROLADOR Y FACTOR DE CORRECCIÓN DE ERROR La ecuación del controlador con observador de orden completo tipo predictor es: D(z) = U(z) Y(z) = K zi A + BK + LC 1 L D(z) = U(z) Y(z) = z z z z z La función de transferencia del sistema en lazo cerrado está dada por: G w (z) = HG(z) 1 + D(z)HG(z) G w (z) = z z z z z z 6 El valor del factor de corrección de error K o esta dado por: K o lim z 1 G w (z) = 1 K o lim z z z z z z z 6 = 1 K o =

85 RESPUESTA DEL SISTEMA AL ESCALÓN UNITARIO R(z) K o + - HG(z) Y(z) D(z)