Parte I. Diseño utilizando Variables de Estado

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1 Parte I. Diseño utilizando Variables de Estado El control de un proceso representado a través de variables de estado nos proporciona la ventaja de que se tendrán a todas las variables del proceso cumpliendo con unas condiciones dadas, para lo cual se utilizarán técnicas de realimentación de estado. En las mismas, se busca asignar todos los polos del proceso según sean las características de respuesta transitoria deseadas, para lo cual es necesario que el proceso sea completamente observable y controlable. A continuación se explicarán los conceptos de controlabilidad y observabilidad, para nalmente mostrar las técnicas de diseño por realimentación de estado... Controlabilidad Para poder reubicar los polos de un proceso o sistema arbitrariamente es necesario que el sistema sea completamente controlable y observable. Se dice que un sistema es completamente controlable si existe un control sin restricción que pueda llevar cualquier estado inicial x(t ) a cualquier otro estado deseado x(t) en un tiempo nito. Para un sistema, representado por la Ec. 3, se puede determinar si es completamente controlable a partir de la matriz de controlabilidad W c denida por la Ec.. ẋ= Ax + Bu () donde, x... vector de estados (dimensión n) u... señal de control (dimensión r) A... matriz de n x n B... matriz de n x Wc = B AB A B...A n B () Se dice que el sistema será completamente controlable si el rango de dicha matriz de controlabilidad W c es igual a n, o lo que es lo mismo, que el determinante de la matriz sea distinto de cero. Ejemplo Determine si el siguiente sistema es controlable

2 ẋ ẋ = 3 x x + u u Solución B = AB = 3 = 7 4 Wc = 7 4 det(wc) Como el determinante de la matriz de controlabilidad es distinto de cero entonces se dice que el sistema es completamente controlable. Ejemplo Para un sistema cuyo diagrama de ujo de señal se muestra en la Fig., se desea saber si el mismo será controlable. Figura : Diagrama de ujo de señal Solución A partir del diagrama del sistema se debe obtener la representación de estado, de forma tal que se dispongan de las matrices A y B y se pueda concluir respecto a la controlabilidad del

3 sistema. Para ello se convierte el diagrama de ujo de señal es las ecuaciones diferenciales que le dieron origen y de allí se obtendrá fácilmente la representación de estado deseada. Ecuaciones diferenciales del sistema dx dt = x + x dx dt = x + 3x 3 dx 3 dt = 3x + x x 3 + u de donde, ẋ = 3 3 x + u B = AB = A B = Wc = det(wc) Como el determinante de la matriz de controlabilidad es diferente a cero entonces se dice que el sistema es completamente controlable. 3

4 .. Observabilidad Tal como se mencionó anteriormente, los polos de un sistemaa lazo cerrado pueden ser reubicados arbitrariamente, si el mismo es completamente controlable y observable. La observabilidad se reere a la posiblilidad de estimar las variables de estado, siendo un sistema completamente observable si y solo si existe un tiempo nito T para el cual el estado inicial x() se puede observar a partir de la observación de la historia y(t) dado el control u(t). Para un sistema como el que sigue, donde, x... vector de estado (dimensión n) y... vector de salida (dimensión m) A... matriz de n x n C... vector de m x n ẋ= Ax + Bu y = Cx (3) Se dice que el sistema es completamente observable si la matriz de observabilidad W ob, que se calcula según la Ec. xx, tiene un rango igual a n, o lo que es lo mismo, su determinante es diferente de cero. Ejemplo W ob = C CA CA. CA n Para el ejemplo anterior, en el cual la representación de estado quedó establecida como, ẋ = 3 3 x + u concluya si el sistema completamente observable o no, si la variable de salida puede conocerse como, y = x Solución 4

5 C = CA = CA = W ob = det(w ob ) Como el determinante de la matriz de observabilidad es diferente a cero entonces se dice que el sistema es completamente observable..3. Diseño por asignación de polos Esta técnica de control es similar a la que se realiza cuando, utilizando funciones transferencia, se reubican los polos del sistema para que los mismos se encuentren en un lugar o zona especíca del plano s. Sin embargo, en lugar de trabajar con los polos dominantes, en este caso se deben reubicar todos los polos del sistema, para lo cual el mismo debe ser completamente controlable. Para un sistema de control como el que sigue, ẋ= Ax + Bu (4) y = Cx + Du donde, x... vector de estados (dimensión n) y... señal de salida (escalar) u... señal de control (escalar) A... matriz de n x n B... matriz de n x 5

6 C... matriz de x n D... escalar Se utiliza una señal de control tal como la que se muestra en la Ec.5, lo que signica que dicha señal de control se determina mediante un estado instantáneo. Este esquema de control se muestra en la Fig. xx, donde se puede apreciar que no tiene referencia y su objetivo es mantener la salida en cero. Si hubiesen perturbaciones, dicha salida se desviaría del cero, pero gracias al esquema de realimentación del estado, retornaría a la referencia cero. Este sistema se conoce como un Sistema Regulador. u = Kx (5) Figura : Sistema de control por realimentación de estado Sustituyendo la Ec. 5 en la Ec. 4 se tiene, ẋ= (A BK) x La estabilidad y las características de la respuesta transitoria dependen de la matriz A BK, por lo que la elección de la matriz K podrá garantizar que el sistema sea estable y que los polos del mismo se ubiquen en un lugar determinado del plano s. A continuación se mostrarán diferentes metodologías para la obtención de dicha matriz K, de forma tal que se logre lo deseado..3.. Determinación de la matriz K utilizando el método de sustitución directa Este método se reduce a igualar la ecuación característica deseada con el determinante de la matriz si A + BK, tal como se muestra, si A + BK = (s µ ) (s µ )... (s µ n ) (6) 6

7 donde, los µ i corresponden con los polos deseados del sistema a lazo cerrado. Como a ambos lados de la Ec. 6 se tienen polinomios en s, se igualan los coecientes de las potencias iguales y se obtienen los valores de k, k, k n. Este método es sumamente útil si n es igual a o 3, pero si es mayor resultarán muy tediosos los cálculos requeridos..3.. Determinación de la matriz K utilizando la fórmula de Ackermann La determinación de la matriz de ganancias K, utilizando la fórmula de Ackermann. se realiza planteando la expresión que se muestra en la Ec. 7, donde W c es utiliza la matriz de controlabilidad denida previamente en la Ec. y φ(a) se calcula según la Ec. 8. K =... W c φ(a) (7) φ(a) = A n + α A n α n A + α n I (8) donde los α i corresponden a los coecientes de la ecuación característica deseada. 7