1.5. Seguimiento de Referencias Acción Integral Controlador con Dos Grados de Libertad 35

Transcripción

1 . Diseño Basado en la Ubicación de Polos. Diseño Basado en la Ubicación de Polos.. Introducción.. Realimentación del Estado... Caso General 3... Aspectos Prácticos... Control de Tiempo Finito..3. Perturbación Más General 4.3. Observadores Observador Dinámico.3.. Observador Sin Retardo.4. Realimentación con Observador Diferentes Perturbaciones Efecto Integral 7.5. Seguimiento de Referencias Acción Integral 3.6. Controlador con Dos Grados de Libertad 35.. Adición del Observador Simplificación Diseño de Movimiento Flexible 4 Clase 4 Ubicación de Polos.doc

2 u.. Introducción Objetivos del control: - atenuación de perturbaciones de carga o ruido - seguimiento de una referencia - imperfecciones del modelo.. Realimentación del Estado Ley de control lineal = Lx [.] Ejemplo.. Doble integrador T T x = x + u T + una ley general de control puede ser u = l x l x [.3] x en lazo cerrado resulta l T T l T x lt lt + = el polinomio característico es ( ) ( T T ) z l lt z l lt = [.5] si se quiere tener una ecuación de diseño Clase 4 Ubicación de Polos.doc [.] [.4]

3 z pz p + + = [.6] se iguala l T l T p l T l T p o sea + = + + = l = + p+ p T l = ( 3+ p + p T ) en este caso siempre existe solución.... Caso General Sea el polinomio del sistema en lazo abierto n n z + az + + a n [.9] se puede encontrar la forma canónica controlable mediante la transformación x = Tx [.] resultando x + =Φ x +Γ u [.] con [.7] [.8] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 3

4 a a an an Φ= Γ= El polinomio deseado en lazo cerrado es n n [.] P z = z + pz + + p n [.3] Esto se puede obtener con la ley de control u = Lx = p a p a p a x [ ] n n [.4] Para llegar al sistema de partida se hace u = Lx = LTx = Lx [.5] la matriz T se obtiene mediante las matrices de controlabilidad de ambos sistemas ya que W c W T c n = Γ ΦΓ Φ Γ [.6] y la relación entre ambas matrices es = TWc = WW c c y más aún [.7] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 4

5 3 a a a a + a a3 3 a a a a + a a3 a a a W c = a a a a an an an 3 a n W c = an 3 [.8] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 5

6 Teorema. Asignación de Polos Sea el sistema x =Φ x +Γ u [.9] + con una entrada. Si el sistema es controlable existe una ley de control lineal tal que el polinomio característico en lazo cerrado es P( z ). Esta ley es u = Lx [.] con L L= p a p a p a WW [ ] [ ] W P = Φ c n n c c siendo W c y W c las matrices de controlabilidad de los sistemas x =Φ x +Γ + u y x + = Φ x +Γ u respectivamente. y [.] n n n Φ =Φ + Φ + + n = ( ) Φ + + ( n n) P p p I p a p a I e e i [.] la segunda igualdad se obtiene aplicando Cayley-Hamilton Se define = [.3] col i resulta i i Φ= e, e n n n [.4] Φ = e Clase 4 Ubicación de Polos.doc 6

7 y también, de [.4] y[.] n L = e P Φ [.5] por lo tanto c c = = Φ = Φ = Φ [.6] n n n L LT e P T T T e TP e WW P de la ecuación [.8] se puede ver que n n ew c = e n n ew = e c n L e Wc P [.7] = Φ [.8] que es la ecuación [.] llamada fórmula de Acermann Nota: la matriz de transformación resulta tal que a an an an 3 a n n T = WW c c = Γ ΦΓ Φ Γ an 3 [.9] n n T = Γ ΦΓ+ aγ Φ Γ+ aφ Γ+ + a n Γ [.3] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 7

8 Ejemplo.. Doble integrador W W z c c T 3T = [ Γ ΦΓ ] = T T,5 T T =,5 T T [.3] [.3] el polinomio característico en lazo abierto es z+ [.33] Se desea que en lazo cerrado tenga polos según la ecuación P p p I + p + p T + pt Φ =Φ + Φ+ = + p+ p la fórmula de Acerman es [.34] [ ],5 p p T pt L W P p+ p 3+ p p = T T = c Φ = T T + p+ p igual resultado que antes [.35] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 8

9 Ejemplo.3. Sistema No Controlable,5 x = x + u,3 +,5 detw c = det = la ley de control u = lx lx da un sistema en lazo cerrado con una ecuación característica ( z l )( z ) [.36] [.37],5 +,3 = [.38] El polo en,5 puede ser cambiado arbitrariamente pero el otro, en,3 que es el incontrolable, no se puede cambiar Clase 4 Ubicación de Polos.doc 9

10 ... Aspectos Prácticos Una forma de especificar el control es hacerlo, no en función de los polos en lazo cerrado sino en función de un polinomio continuo de lazo cerrado tal como s + ξωs+ ω [.39] se puede demostrar que la relación con el polinomio discreto es L ξωt ω ξ ξωt p = e cos T p = e la matriz de realimentación es [.4] ( ω ξ ) ( ω ξ ) e cos T + e 3+ e cos T e T T ξωt ξωt ξωt ξωt = para períodos muy pequeños se puede aproximar a L ω ξω [.4] = [.4] Sea el doble integrador que inicialmente tiene una posición x y una velocidad v. El valor inicial de actuación será u = lx lv [.43] u = ω x ξωv [.44] Clase 4 Ubicación de Polos.doc

11 Al aumentar ω se incrementa la acción de control. Se puede calcular la frecuencia para la máxima actuación admisible. Se muestra a continuación, los estados y actuación para diferentes períodos de muestreo El período de muestreo también influye. Una elección correcta es utilizar el número de muestras en el tiempo de crecimiento igual a N 4. r Para este caso el período de muestreo dependerá de lo que se desee en lazo cerrado. Una forma de solucionarlo es elegir el numero de muestras por período del modo dominante en lazo cerrado: π N = [.45] ωt ξ Clase 4 Ubicación de Polos.doc

12 ... Control de Tiempo Finito en este caso n z P z n c = [.46] Se puede mostrar que la matriz de lazo cerrado cumple n ( L) Φ = Φ Γ = [.47] esto implica que, a partir de cualquier valor inicial, se pueden llevar los estados a cero en, a lo sumo n pasos. L La matriz de realimentación se obtiene [ ] [.48] n n+ = Φ Γ Φ Γ Φ Γ Hay solo un parámetro de diseño: el período de muestreo. El tiempo de establecimiento es, a lo sumo nt El período de muestreo influye la magnitud del control. Hay que elegirlo cuidadosamente. No tiene equivalente continuo. Clase 4 Ubicación de Polos.doc

13 Ejemplo.4. Control de tiempo finito del doble integrador + p+ p 3+ p p 3 L = = T T T T La primera y segunda actuación serán [.49] u = x 3 T T v [.5] u = x 3 T + T v [.5] Para muestreos muy pequeños la primera y segunda actuación son prácticamente iguales y de signo contrario Clase 4 Ubicación de Polos.doc 3

14 ..3. Perturbación Más General Se considera el sistema dx Ax Bu v dt = + + [.5] con v d = A dt v = C con condiciones iniciales dadas. Se pueden generar diferentes perturbaciones. Normalmente inestables. A [.53] A tiene autovalores en el eje imaginarios o Por ejemplo un escalón, A = Senoide ω = ω x z = Se supone, en un principio que se puede medir. Se define un estado aumentado [.54] [.55] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 4

15 dz dt d x A C x B = u dt = + A Aquí tenemos el mismo problema de ubicación de polos. Ahora hay que ubicar los polos del sistema y los de la perturbación. [.56] Pero el sistema anterior no es completamente controlable ya que la perturbación es no controlable. La perturbación no puede ser influida por el control. El sistema muestreado resulta: x+ Φ Φx x Γ u = + + Φ El control lineal es [.57] u = Lx L [.58] Este control hace que el sistema tenga el siguiente comportamiento en lazo cerrado: x = Φ Γ L x + Φ ΓL + x =Φ + Se calcula la realimentación de modo que Φ Γ L tenga los autovalores en un lugar deseado y para que Φ x ΓL sea pequeña. Esta matriz no siempre se puede hacer cero. [.59] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 5

16 Ejemplo.5. Perturbación constante En este caso Φ = y Φ x =Γ. El sistema queda x = Φ Γ L x +Γ L + + = [.6] En Matlab existe el comando place para ubicar los polos. Clase 4 Ubicación de Polos.doc 6

17 .3. Observadores Problema: cómo reconstruir el estado a partir de la salida. Se verá que el estado puede ser reconstruido conociendo las entradas y salidas pasadas. y n+ = Cx n+ y = CΦ x + CΓu Y n+ n+ n+ y = CΦ x + CΦ Γ u + + CΓu n n n+ n+ definiendo y y n+ = n+ y U se reescribe u y n+ = n+ o n+ u u [.6] [.6] Y = W x + WU [.63] W o donde C CΦ = CΦ n C Φ CΓ Wu = CΦΓ CΓ n n 3 CΦ Γ CΦ Γ CΓ [.64] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 7

18 Si el sistema es observable la matriz n+ o o u W o es invertible. x = W Y W WU [.65] se puede reconstruir el estado a partir de muestras anteriores. Para calcular el valor del estado en la muestra se toma la ecuación de estados y se calcula: x =Φ x +Φ Γ u + +Γu n n n+ n+ [.66] x W Y W WU u u A B n n =Φ o o u +Φ Γ n+ + +Γ [.67] y definiendo =Φ W n o = Φ Γ Φ Γ Γ Φ W W n n 3 n u o u resulta x AY y BU u [.68] = + [.69] el estado es una combinación lineal de las muestras anteriores. Clase 4 Ubicación de Polos.doc 8

19 Ejemplo.6. Doble integrador T T Φ= Γ= C = T y = x [ ] [.7] T T y = x + Tx + u = y + T( x Tu ) + u x x resolviendo con respecto a los estados, = y y y T = + u T [.7] [.7] el primer estado es directamente la medición de la salida el segundo es la diferenciación de muestras de la salida más el efecto de la actuación. Clase 4 Ubicación de Polos.doc 9

20 .3.. Observador Dinámico La reconstrucción anterior es muy sensible a perturbaciones ya que se calculan, como en el ejemplo, por medio de diferencias y pueden estar contaminadas por ruido. Otra forma es construir un sistema xˆ =Φ xˆ +Γ u [.73] + Si el estado inicial es conocido y las matrices son perfectamente conocidas, este sistema funciona. Si el estado inicial es distinto, este sistema convergerá al verdadero si es asintóticamente estable. Se puede introducir una mejora realimentando el error entre la observación de la salida y su valor xˆ =Φ xˆ +Γ u + K y Cxˆ [.74] + / / / el error de estimación es x = x xˆ x =Φx K Cx Cxˆ [.75] + / / / = Φ KC x / [.76] esto debe converger a cero, de aquí se puede calcular K Se calcula usando lo ya visto para asignación de polos. Clase 4 Ubicación de Polos.doc

21 Ejemplo.7. Observador de Tiempo Finito T T Φ o =Φ KC = [ ] = la ecuación característica es z z T [.77] + = [.78] si se desea obtener un polinomio z pz p + + = [.79] resulta = + p = ( + p + p ) T si fuese de tiempo finito sería = = T y el observador xˆ = xˆ y xˆ + Γ T + o, reemplazando el estado, [.8] [.8] [.8] Clase 4 Ubicación de Polos.doc

22 xˆ = y y + xˆ = y y T + [.83].3.. Observador Sin Retardo el observador anterior tiene un retardo de una muestra. Para evitar esto se puede plantear ( ˆ ) xˆ =Φ xˆ +Γ u + K y C Φ xˆ +Γu = I KC Φ x +Γ u + Ky / / / / el error de estimación será [.84] x / = x xˆ = Φ KCΦ x / [.85] Ahora el par que debe ser observable es [ Φ,C ] [ Φ,C]. Pero se puede demostrar que si [ Φ,C] también lo es [ Φ,C ] Φ en lugar de es observable, Φ, por lo que se puede encontrar K para ubicar arbitrariamente los autovalores del observador. Clase 4 Ubicación de Polos.doc

23 Ejemplo.8. Observador reducido El observador sin retardo aplicado al doble integrador resulta ( ) T( ) / = ˆ / T + T T + xˆ x u y haciendo la primer fila de I CK = o sea =, se obtiene T [.86] xˆ = xˆ u y T T + + / / T es decir, xˆ = y / no se necesita observarlo. El único estado a observar es ˆ xˆ = T x + y y + T T u [.87] / / [.88] si se quiere un observador de tiempo finito se hace = T por lo tanto, xˆ = y / y T u T + [.89] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 3

24 u.4. Realimentación con Observador Ahora la ley de control es Lxˆ = [.9] con xˆ =Φ xˆ +Γ u + K y Cxˆ [.9] + / / / Cómo se comporta en lazo cerrado?. Para analizarlo se define x = x xˆ [.9] en lazo cerrado, el sistema se rige por x = Φ Γ L x +ΓLx x + / / = Φ KC x + / / Se tienen n estados. Los autovalores serán los de Φ Γ L y los de Φ KC que corresponden al control y al observador. Se puede separa el problema en dos. [.93] El control se puede ver como una relación entrada-salida con una función de transferencia de la forma lc H z = L zi Φ+Γ L+ KC K [.94] Este control tiene un retardo de una muestra. Se puede evitar si se utiliza el observador sin retardo. Clase 4 Ubicación de Polos.doc 4

25 Ejemplo.9. Control del Doble Integrador con Observador L se calcula para obtener una respuesta en lazo cerrado con ω =, ξ =,7 y T =,44 L = [,73,] [.95] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 5

26 .4.. Diferentes Perturbaciones Un sistema con perturbaciones se puede modelar como x+ Φ Φx x Γ u = + + Φ [.96] x y = [ C ] generalmente, los autovalores de circunferencia unidad. la matriz de controlabilidad es Φ están sobre la n Γ ΓΦ ΓΦ W c = [.97] es no controlable debido a que la perturbación es no controlable. La ley de control que se debe utilizar es u = Lxˆ L ˆ [.98] donde xˆ+ Φ Φx xˆ Γ K u ˆ = + ˆ + + K Φ y Cxˆ [ ] la perturbación es observable pero no controlable [.99] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 6

27 Φ = x.4.. Efecto Integral Caso perturbación constante y desconocida. Φ =Γ si se hace [.] L = [.] se cancela la perturbación. El conjunto observador, control es u = Lxˆ ˆ xˆ =Φ xˆ +Γ ˆ + u + Kε + ˆ = ˆ + K + ε = y Cxˆ ε Se está integrando en error de observación. [.] ˆx - L - u Proceso y ε Observador de la Perturbación ŵ Observador del Estado la ecuación anterior se puede rescribir Clase 4 Ubicación de Polos.doc 7

28 u = Lxˆ ˆ xˆ = Φ Γ L xˆ + K y Cxˆ + ˆ = ˆ + K y Cxˆ + [.3] el estado se observa como si no hubiera perturbación. Si se calcula la función de transferencia, H z = L zi Φ+Γ L+ KC K [.4] U z la relación entrada salida del regulador es L zi Φ+Γ L+ KC K + = Y z ( + K I C( zi Φ+Γ L+ KC) K) z [.5] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 8

29 .5. Seguimiento de Referencias Ley de control lineal u = Lxˆ + L r [.6] c x =Φ x +Γu y = Cx + xˆ =Φ xˆ +Γ u + K y Cxˆ u = Lxˆ + L r + c haciendo x = x xˆ [.7] [.8] se obtiene x = Φ+Γ L x +Γ Lx +ΓL r + c x = Φ KC x [.9] + y = Cx el error de observación no depende de la referencia, es no controlable respecto a la misma. La relación referencia-salida m B z Hlc ( z) = C( zi Φ+ΓL) Γ Lc = Lc [.] A z y en lazo abierto es C( zi ) H z B z = Φ Γ= [.] A z Clase 4 Ubicación de Polos.doc 9

30 se mantienen los ceros Los autovalores para el rechazo de perturbaciones y para seguimiento de referencias son los mismos y se varían con L..5.. Acción Integral se agrega, u = Lxˆ vˆ + Lcr xˆ =Φ xˆ +Γ vˆ + u + K y Cxˆ + vˆ = vˆ + K y Cxˆ + ó u = Lxˆ vˆ + Lcr xˆ = Φ Γ L xˆ +Γ L r + K y Cxˆ + c vˆ = vˆ + K y Cxˆ + [.] [.3] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 3

31 .5.. Simulación Doble integrador continuo - Realimentación del estado sin observador. No se compensa la perturbación estados y actuación Realimentación del estado sin observador. Se mide y se compensa la perturbación Clase 4 Ubicación de Polos.doc 3

32 3 - Realimentación del estado con observador. No se compensa la perturbación Realimentación del estado con observador. Se mide y se compensa la perturbación Clase 4 Ubicación de Polos.doc 3

33 5 - Realimentación del estado con observador. Se observa y se compensa la perturbación Perturbación real y observada Clase 4 Ubicación de Polos.doc 33

34 6 - Realimentación del estado con observador. Se observa y se compensa la perturbación. Se agrega una salida deseada Clase 4 Ubicación de Polos.doc 34

35 .6. Controlador con Dos Grados de Libertad Se separa el rechazo a perturbaciones del seguimiento de trayectorias r u ff H ff H fb u fb u Proceso y H H fb ff se calcula para rechazo de perturbaciones es insensible al diseño para rechazo de perturbaciones Se define un modelo x =Φ x +Γ r m+ m m m y = C x m m m Una ley de control natural es u = u + u fb ff ( ˆ ) = L x x + u m ff si el estado sigue al modelo no hay realimentación [.4] [.5] r Modelo + Control en Adelanto x m L u fb u ff Proceso y ˆx Observador del Estado Clase 4 Ubicación de Polos.doc 35

36 u ff Cómo generar la acción en adelanto H ( q) m = r [.6] H q Caso SISO m B q B q H( q) = Hm ( q) = λ [.7] A q A q m n m ( a a ) q + + ( an an ) Aq u = λ r = λ + r ff n m n m Am q q + a q + + an [.8] Los estados del modelo en la forma canónica controlable son x =Φ x +Γ r [.9] m+ m m m con m m m m a a an a λ n Φ m = Γ m = definiendo C a a a a a a [.] m m m ff = n n [.] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 36

37 la ley de control resulta u = λr + C x [.] ff ff m.7. Adición del Observador u = u + u fb ff u = λr + C x ff ff m ( ˆ ) u = L x x L ˆ fb m xˆ =Φ xˆ +Φ ˆ +Γ u + Kε + x ˆ =Φ ˆ + K + ε = y Cxˆ ε x =Φ x +Γ r m+ m m m [.3] u ff r Modelo + Control en Adelanto x m L u fb u Proceso y ŵ L ˆx Observador del Estado Se logra separar el efecto de perturbaciones de carga, ruido de medición y seguimiento de referencias. Clase 4 Ubicación de Polos.doc 37

38 m.7.. Simplificación Se hace C = C Γ = λγ [.4] m Se define eˆ= x xˆ [.5] m eˆ = x xˆ = + m+ + =Φ x +Γ r Φxˆ Φ ˆ Γu Kε m m m x =Φeˆ Φ ˆ + Φ Φ x + λγr Γu Kε x m m el vector [.6] Φm Φ xm + λγr tiene todos sus elementos ceros excepto el primero que es m m m ( a a ) xm + ( a a ) xm + + ( an an ) xm + λr n = λ( Cffxm + r) recordando u = u + u fb ff ( ) λ ( Cff xm + r ) = u + λ C x + r fb ff m [.7] [.8] Φ Φ x + λγ r = =Γ u =Γ u u m m ff fb x fb [.9] eˆ + =Φeˆ Φ ˆ +Γu Kε [.3] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 38

39 ε = además y Cxˆ = y Cxˆ + Cx Cx m m = y y + Ceˆ m el control resulta u = u + u fb ff u = λ r + C x ff ff m u = Leˆ L ˆ fb eˆ =Φeˆ Φ ˆ +Γ u + K y y Ceˆ + x fb m ˆ =Φ ˆ + K y y Ceˆ + m x =Φ x +Γ r m+ m m m caso perturbación constante [.3] [.3] = v Φ = Φ =Γ [.33] quedando u = u + u fb ff u = Leˆ vˆ x u = λ r + C x ff ff m fb ˆ ( ) eˆ = Φ ΓL KC e + K y y + m vˆ = vˆ + K y y Ceˆ + m x =Φ x +Γ r m+ m m m [.34] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 39

40 tiene efecto integral r Modelo + Control en Adelanto y m Observador del Estado ê L u fb u ff u Proceso y C ˆv K z - Ejemplo.. Doble integrador Clase 4 Ubicación de Polos.doc 4

41 .8. Diseño de Movimiento Flexible ω I Motor M transmisión flexible ϕ J ω ϕ M J x = ϕ ϕ x = ω ω [.35] x 3 ω = ω ω con ( J + J ) = [.36] JJ el proceso es dx = ω α β β x+ γ u+ δ v dt α β β y = x [ ω ] con [.37] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 4

42 α = δ = J ( J + J ) β = d J ω β d = J ω γ = J ω J ω Valores d factor de amortiguamiento viscoso constante de corriente del motor. [.38] J momento de inercia 9 J momento de inercia v torque de perturbación en J ω p, p 3 polos del proceso p p 3 = =,5 ±,999 j Clase 4 Ubicación de Polos.doc 4

43 z ceros del proceso z = ξ p factor de amortiguamiento,5 ω p frecuencia natural rad seg fig fig Condiciones de diseño: ω m =,5 ξ =,7 [.39] - Período de Muestreo m dado que la frecuencia natural deseada es ω m =,5 se puede elegir una ωn = π > ω T m resultando T =,5segs [.4] Se debería poner un filtro antialiasing - Realimentación del Estado u = Lx + Lcr [.4] Polinomio deseado ( s ξω m ms ωm )( s αω m) α = = [.4] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 43

44 se discretiza para el período elegido y se calcula L c para ganancia unitaria. No se introduce integrador fig Observador se eligen los polos del observador de la forma ( s ξαω m ms ( αω m) )( s ααω m) α = = α = es dos veces más rápido que el proceso. el período de muestreo es un poco grande fig [.43] Clase 4 Ubicación de Polos.doc 44