{ẋ t =Ax t Bu t. Modelos en el espacio de estados. y t =Cx t Du t. Objetivos específicos. Materiales y equipo. Introducción Teórica

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1 1 Facultad: Ingeniería Escuela: Electrónica Asignatura: Control Digital Lugar de Ejecución: Aula 3.24 Instrumentación y Control Modelos en el espacio de estados Objetivos específicos Crear modelos en el espacio de estado usando la caja de herramientas de sistemas de control de MATLAB. Aplicar los comandos mostrados en la guía. Materiales y equipo 1 Computadora con MATLAB 2008a o superior. Introducción Teórica En este guía se presentarán los modelos matemáticos en donde el sistema será estudiado como visto desde el computador. Este recibe mediciones del proceso a intervalos discretos y transmite una nueva señal de control también a intervalos discretos. El objetivo es entonces describir los cambios en las señales de muestra a muestra sin importar el comportamiento entre ellas. Es de recalcar que a pesar de que estos modelos muestran el comportamiento en los puntos de muestreo, el proceso físico sigue siendo un proceso continuo. Representación en Variables de estado. No se debe olvidar que la planta a controlar sigue siendo continua y que se observa su comportamiento en el instante de muestreo. Sea una planta con una dinámica descrita en variables de estado como la ecuación siguiente: {ẋ t =Ax t Bu t y t =Cx t Du t Ec 1. Una situación común en control es encontrar los conversores DA construidos de tal manera que mantengan la señal analógica constante hasta la llegada de una nueva conversión. Es natural entonces elegir los instantes de muestreo, tk, como los instantes en donde el control cambia. Como la señal de control es discontinua, es necesario precisar su comportamiento en la discontinuidad. Se adopta por convención que la señal es continua por derecha.

2 2 Si se le controla con una señal u reconstruida con un bloqueador de orden cero, esta será constante durante todo el período de muestreo y la evolución de los estados durante este período se podrá calcular, resolviendo la Ec 1, Para el instante siguiente resulta, t x t =e A t t k x t k e A t Bu d Ec 2. t k t k 1 x t k 1 =x k 1 =e A t k 1 t k x t k e A t d Bu t k Ec 3. t k La segunda igualdad resulta de considerar constante u entre instantes de muestreo. El vector de estado en tk+1 es una función lineal de x(tk) y u(tk). Si los conversores AD y DA están perfectamente sincronizados y si el tiempo de conversión es despreciable, u e Y pueden considerarse como muestreadas en el mismo instante. La ecuación del sistema muestreado es { x t k 1 = t k 1, t k x t k t k 1, t k u t k y t k =Cx t k Du t k Ec 4. con t k 1, t k =e A t t k 1 k t k 1 t k 1, t k = e A t d B Ec 5. t k La relación entre las señales muestreadas está dada por la ecuación lineal en diferencias Ec 4. Esta no involucra ningún tipo de aproximación, da el exacto valor de las variables y de la salida en el instante de muestreo ya que la señal de control es constante durante el período de muestreo. El modelo de la Ec 4 es llamado modelo de un sistema muestreado con bloqueador de orden cero y es el equivalente al de la Ec1. En muchos casos D es nula. Una razón es que en los sistemas controlados digitalmente existe un pequeño retardo entre el muestreo de Y y la salida de control u. Además la respuesta del sistema entre muestreos es parte de la respuesta escalón. Se puede considerar que el sistema actúa a lazo abierto entre dos instantes de muestreo. Si al período de muestreo se le llama T, el sistema es invariante en el tiempo y la matriz D es nula, se puede simplificar de la siguiente forma:

3 3 { x k 1= x k u k y k =Cx k Ec 6. con = 0 =e AT T e A Ec 7. d B Valor entre muestras Con la misma ecuación, variando t, se calcula el estado entre muestras. El cálculo del estado entre muestras es como calcular la respuesta al escalón. Entre muestras el sistema está en lazo abierto. Cálculo de las matrices Discretas El cálculo del muestreo de un sistema continuo requiere de la evaluación de matrices exponenciales e integración de éstas. Pueden ser calculadas de diferentes maneras. Por ejemplo: Desarrollo en serie de la matriz exponencial Transformada de Laplace e AT = si A 1 Teorema de Cayley-Hamilton Llevar la matriz a la forma canónica de Jordan Para sistemas de orden menor o igual a dos o para órdenes superiores con alguna estructura especial se pueden hacer cálculos manuales. Una posible forma es mediante el desarrollo en serie de la matriz resultando T = e A d =IT AT2 0 2!... Ai T i 1 i 1! Ec 8. =I A = B Ec 9.

4 4 Otra forma es utilizar la Transformada de Laplace ya que e AT = si A 1 Ec 10. Una tercera opción es utilizar el siguiente teorema Teorema de Cayley-Hamilton det I A = = n a n 1 n 1... a 1 a 0 Ec 11. Una matriz satisface su polinomio característico A n a n 1 A n 1... a 1 A a 0 =0 Ec 12. o lo que es lo mismo A n = a n 1 A n 1... a 1 A a 0 Ec 13. pero si se multiplica por A tendremos A n =f I, A,A 2,..., A n 1 Ec 14. A n 1 = a n 1 A n... a 1 A 2 a 0 A A n 1 = a n 1 a n 1 A n 1... a 1 A a 0... a 1 A 2 a 0 A A n 1 =f I, A, A 2,..., A n 1 Ec 15. es decir toda potencia de la matriz original se puede expresar como una combinación lineal de (I,A,A 2,..., A n-1 ) y por lo tanto cualquier polinomio f(a). También A satisface polinomios de grado menor a n-1. Esto se cumple cuando el polinomio característico tiene raíces múltiples. En este caso se define el polinomio mínimo que es de menor grado que el característico y depende del tamaño de los bloques de Jordan. Todo polinomio puede ser expresado como una división de polinomio, de la forma f =q h Ec 16. pero el primer término es nulo, con lo que queda, calculado en A, lo siguiente f A =h A Ec 17.

5 5 este polinomio es de grado n-1. La EC 16 se cumple para todos los autovalores de A En el caso del cálculo de e AT se puede considerar como un polinomio de grado infinito y calcularlo en base al polinomio característico de A Ejemplo 1. Teorema de Cayley-Hamilton Se desea calcular e AT con la matriz cuyo polinomio característico es el polinomio a calcular es A= [ ] Ec 18. = I A = [ ] = = 4 3 Ec 19. f =e T Ec 20. El polinomio h tendrá orden 1 y será de la forma: y se cumple que que calculado para los autovalores de A resulta h = 1 0 Ec 21. f =e T =h = 1 0 Ec 22. { e4t = e 3T Ec 23. = de donde se puede deducir el valor de las constantes { 1=e 4T e 3T 0 = 3 e 4T 3T Ec 24. 4e

6 6 reemplazando Ejemplo 2. Doble integrador e AT = 0 I 1 A= 3e 4T 4 e 3T I e 4T e 3T A Ec 25. e AT = [ 3e4T 4 e 3T e 4T e 3T 3T] 12 e 4T e 3T 4 e 4T Ec e El doble integrador se describe en variables de estado según la siguiente ecuación {ẋ t = [ 0 1 y t =[1 0] x t 0 0] x t [ 0 1] u t Ec 27. = [ ] [ 0 T 0 0 ] 0= [ 1 T 0 1 ] Ec 28. T = [ d 0 1 ] =[ T2 ] 2 Ec T 29. {x k 1= [ 1 T y k =[1 0] x k 0 1 ] k [ x T 2 2 T ] u k Ec 30. Ejemplo 3. Motor Un modelo simple, normalizado de un motor de cc es el siguiente {ẋ t = [ ] x t [ 1 0] u t Ec 31. y t =[0 1] x t

7 si A 1 1 = [ s 1 0 = 1 s ] 1 s s 1 [ s 0 1 s 1] =[ 1 s 1 1 s s 1 ] 0 Ec 1 s =[ =e AT e T 0 1] 1 e T Ec 33. T = [ e ] 0 1 e d = [ 1 e T T] Ec 34. T 1 e Evolución del Estado Los sistemas discretos invariantes se pueden describir mediante la ecuación en diferencias descrita anteriormente y por simplicidad se utiliza T=1 y x(kt)=x k. Asumiendo conocidos x(k a )=x a y las señales de entrada u(k0), u(k0+1),... Cómo evoluciona entonces el estado? Se puede resolver la ecuación iterativamente x ka 1= x ka u Ka x ka 2= x ka 1 u K a 1 = 2 x k a u Ka u Ka 1... x k = k k a x ka k k a 1 u ka... u k 1 k 1 x k = k k a x ka j=k a k j 1 u j Ec 35. La solución tiene dos partes: una que depende de la condición inicial y otra que es una suma ponderada de las señales de entrada Pasaje de Discreto a Continuo Con el muestreo de un sistema se define una correspondencia entre un sistema continuo, como el de la Ec 1 y un sistema discreto como el de la Ec 6. Un ejemplo simple mostrará que esta

8 8 correspondencia no siempre se puede invertir. Ejemplo 4. Sistema de primer orden No hay ecuación diferencial de primer orden que después del muestreo de la ecuación en diferencia x k 1 = 0.5x k u k Ec 36. e at = 0.5 Ec 37. tenga solución real dado que la exponencial es siempre positiva. El modelo discreto es mas general que el continuo Si el sistema discreto no tiene autovalores reales negativos, si existe inversa A= ln T =ln 1 T Ec 38. B= 1 Ec 39. Si el sistema no tiene integradores, Ф-I es no singular Ejemplo 5 Oscilador Armónico B= 1 = A 1 A = A I 1 A Ec 40. Existen muchos sistemas continuos que dan el mismo sistema continuo ẋ t = [ 0 0] x t [ 0 ] u t Ec 41. = 2 T i i=0,1, Ec 42. x k 1 = [ cos T sen T T ] sen T cos x k [ 1 cos T ] sen T u k Ec 43. Pero existe un único n n = T que es el entorno de la frecuencia de Nyquist

9 9 Procedimiento Parte I. Tutorial. Modelos de tiempo discreto en el espacio de estado: Crear modelos en el tiempo discreto es muy similar a como se crean en el tiempo continuo, excepto que se debe especificar el periodo o tiempo de muestreo de los modelos en tiempo discreto. El valor del tiempo de muestreo debe ser un escalar y estar expresado en segundos. También puede usarse el valor de -1 para dejarlo sin especificar. Como vimos en el práctica sobre las herramientas de MATLAB, para especificar modelos LTI (Lineales invariables en el tiempo) en el tiempo discreto se usan los comandos tf, zpk, ss, o frd y simplemente se añade el valor del tiempo de muestreo deseado a la lista de las entradas. sist1 = tf(num,den,ts) sist2 = zpk(z,p,k,ts) sist3 = ss(a,b,c,d,ts) sist4 = frd(respuesta,frecuencia,ts) Por ejemplo: sist = ss(a,b,c,d,0.5) Especifica el modelo en el espacio de estado de tiempo discreto: x[n 1]=Ax[ n] Bu[n ] y [n]=cx [n] Du [ n] Ec 44. con un periodo de muestreo de 0.5 segundos. Los vectores x[n], u[n], y[n], denotan las valores de los vectores de estado, de entrada y salida en la n-ésima muestra. Herramientas de análisis de modelos: Las siguientes funciones son útiles para analizar, realizar transformaciones de coordenadas de estado en ellos y derivar realizaciones canónicas en el espacio de estado para modelos únicos LTI o arreglos de modelos LTI en el espacio de estado. canon ctrb ctrbf Realizaciones en el espacio de estado Realización canónica en el espacio de estado Matriz de controlabilidad Forma de escalera de controlabilidad

10 10 Conversión de Modelos gram Gramians de controlabilidad y observabilidad obsv Matriz de observabilidad obsvf Forma de escalera de observabilidad ss2ss Transformación de coordenadas de estado ssbal Balanceo diagonal de realizaciones en el espacio de estado Tabla 1. Comandos para realización en el espacio de estado. La Control System Toolbox contiene un conjunto de funciones que permiten a los modelos LTI ser convertidos entre las varias representaciones. Residue ss2tf ss2zp tf2ss tf2zp zp2tf zp2ss Conversión de Modelos Expansión en fracciones parciales consulte la ayuda de MATLAB Conversión de espacio de estado a función de transferencia Conversión de espacio de estado a polos y ceros Conversión de función de transferencia a espacio de estado Conversión de función de transferencia a polos y ceros Conversión de polos y ceros a función de transferencia Conversión de polos y ceros a espacio de estado Tabla 2. Comandos de MATLAB para conversión de modelos. También pueden convertirse entre el tiempo continuo y el tiempo discreto como se muestra en la siguiente tabla: c2d Ctdm c2dt d2c d2cm Discretización Conversión de tiempo continuo a discreto Conversión de tiempo continuo a discreto con método Conversión de tiempo continuo a discreto con retraso Conversión de tiempo discreto a continuo Conversión de tiempo discreto a continuo con método Tabla 3. Comandos de MATLAB para Discretización. Otros comandos de MATLAB a utilizar: Otros comandos de Matlab a utilizar expm Calcula la matriz exponencial var=syms ('var ') Convierte a una variable en simbólica Calculo de integral de una expresión x, a y b son los límites de int (x,a,b) integración tf(num,den) Mostrar los vectores de coeficientes como una función de transferencia Tabla 4. Otros comandos de MATLAB a utilizar

11 11 Parte II. Ejercicios. Los siguientes ejercicios deben resolverse usando MATLAB. 1. Realice los tres primeros ejemplos que aparecen en la introducción teórica. 2. Encuentre la función de transferencia del Integrador doble (ejemplo 2). 3. Encuentre la respuesta en el tiempo discreto de sistema anterior (tiempo de muestreo de 1s) y explique el por qué de ella. 4. Repita los numerales 2 y 3 para el ejemplo Encuentre la forma canónica en el espacio de estado del doble integrador y del motor. 6. Encuentre el sistema discreto correspondiente al siguiente sistema continuo: 2 Ec 45. s 1 s 2 Para un periodo de muestreo de 1 y para uno de 1e-6. Cuándo puede despreciarse el numerador? 7. Encuentre el sistema discreto correspondiente al siguiente sistema continuo con inversa inestable G(s)= 6 (s 1) Ec 46. (s+2)(s+3) Pruebe para un Ts = 1.25s. e indique si es inestable. NOTA: Un sistema discreto tiene inversa inestable si tiene algún polo fuera del círculo unitario. Análisis de Resultados 1. Presente la solución de los ejercicios y las respuestas a las preguntas que se le pedían en el procedimiento de la guía. Investigación Complementaria Investigue a cerca de los controladores por realimentación de estados. Bibliografía MODELOS DE SISTEMAS DISCRETOS. Diego Palmieri. Universidad Nacional de Quilmes. Disponible en: Modelos%20de%20Sistemas%20Discretos.pdf

12 12 DOCUMENTATION CENTER CONTROL SYSTEM TOOLBOX. Mathworks. Disponible en: Hoja de cotejo: 8 Guía 8: Modelos en el espacio de estados Alumno: Puesto No: Docente: GL: Fecha: EVALUACION % Nota CONOCIMIENTO 25 Conocimiento deficiente de los fundamentos teóricos Conocimiento y explicación incompleta de los fundamentos teóricos Conocimiento completo y explicación clara de los fundamentos teóricos APLICACIÓN DEL CONOCIMIENTO 70 Realizó solamente 1 o 2 ejercicios correctamente Realizó de 3 a 5 ejercicios correctamente Realizó de 6 a 7 Ejercicios correctamente ACTITUD 2.5 Es un observador pasivo. Participa ocasionalmente o lo hace constantemente pero sin coordinarse con su compañero. Participa propositiva e integralmente en toda la práctica. TOTAL Es ordenado; pero no hace un uso adecuado de los recursos Hace un uso adecuado de los recursos, respeta las pautas de seguridad; pero es desordenado. Hace un manejo responsable y adecuado de los recursos conforme a pautas de seguridad e higiene.