El Modelo de Espacio-Estado

Transcripción

1 Lección 4 El Modelo de Espacio-Estado 1 Estados: Definición y ejemplo Estados: variables internas que describen la evolución del sistema. El conocimiento de estas variables en t = junto al conocimiento de la entrada para t determina el comportamiento del sistema para t Ejemplo ŷ(s) û(s) = ĝ(s) = Transformada inversa: 1 + s 1 + 2s + 5s 2 (1 + 2s + 5s2 )ŷ(s) = (1 + s)û(s) 5ÿ(t) + 2ẏ(t) + y(t) = u(t) + u(t) (1) Definiendo: x 1 (t) = y(t), x 2 (t) = ẏ(t) 1 5u(t), (1) es equivalente a { ẋ1 (t) = x 2 (t) u(t) ẋ 2 (t) = 1 5 x 1(t) 2 5 x 2(t) u(t) y(t) = x 1 (t) = [ 1 0 ] [ ] x1 (t) x 2 (t) Solución [ ] única fijada una condición inicial x 1 ( ) = x 10, x 2 ( ) = x 20. x1 (t) =Vector de estados del sistema. x 2 (t) 2

2 Estados: Definición y ejemplo Estados: variables internas que describen la evolución del sistema. El conocimiento de estas variables en t = junto al conocimiento de la entrada para t determina el comportamiento del sistema para t Ejemplo ŷ(s) û(s) = ĝ(s) = Transformada inversa: 1 + s 1 + 2s + 5s 2 (1 + 2s + 5s2 )ŷ(s) = (1 + s)û(s) 5ÿ(t) + 2ẏ(t) + y(t) = u(t) + u(t) (1) Definiendo: x 1 (t) = y(t), x 2 (t) = ẏ(t) 1 5u(t), (1) es equivalente a Ecuación de estados Ecuación de salidas { ẋ1 (t) = x 2 (t) u(t) ẋ 2 (t) = 1 5 x 1(t) 2 5 x 2(t) u(t) y(t) = x 1 (t) = [ 1 0 ] Solución [ ] única fijada una condición inicial x 1 ( ) = x 10, x 2 ( ) = x 20. x1 (t) =Vector de estados del sistema. x 2 (t) [ x1 (t) x 2 (t) 3 ] Estados: Formalismo Los sistemas de control: Evolucionan en el tiempo: T =conjunto tiempo, T R un intervalo (sistemas continuos) o T = Z o N (sistemas discretos) Variables externas: entradas (controles, perturbaciones, ruido,... ) y salidas (medidas o variables que deben controlarse). Debe especificarse: U= conjunto de valores de las entradas, U {u( ) : T U}= conjunto de funciones de entrada o funciones de control. Y = conjunto de valores de las salidas. Variables Internas: Estados: variables que describen la evolución del sistema. Tres condiciones: (I) El estado actual y la función de control determinan los futuros estados del sistema: Dado x( ) = x 0 y una función de control u( ) U, x(t) determinado de forma única para todo t en un cierto intervalo T t0,x 0,u( ) de T (periodo de existencia de la trayectoria x( ) que comienza en x 0 en el instante bajo el control u( )). 4

3 Estados: Formalismo (II) Dado x( ) = x 0, el estado x(t) para t sólo depende de los valores u( ) en [, t). (III) Los valores de las salidas en el instante t están determinados completamente por los valores en t de las entradas, u(t), y de los estados, x(t). Transición de estados: Aplicación que define la evolución de los estados (solución de las ecuaciones, generalmente). Es consecuencia de (I) y (II) x(t) = ψ(t;, x 0, u( )), t T t0,x 0,u( ). ψ= función de transición de estados. Sólo depende de la restricción de u( ) a [, t). X=conjunto de valores de los estados. Función de salidas: Por (III) existe y(t) = η(t, x(t), u(t)) que sólo depende de x(t) y u(t) para cada t. 5 Ejemplo [ ] 0 1 ẋ(t) = y(t) = x 1 (t) = [ 1 x(t) + [ ] x(t) 25 ] u(t) Suponiendo la condición inicial x( ) = x 0 (diremos que el estado está en la posición x 0 en el instante ): ( [ ] [ ]) Función de transición de estados A = 1 5 2, b = ψ(t;, x 0, u( )) = e A(t ) x 0 + e A(t s) bu(s) ds, t [, t 1 ]. posición del estado en el instante t: x(t) = ψ(t;, x 0, u( )). Función de salida (respuesta del sistema) ( C = [ 1 0 ]) y(t) = η((t, x(t), u(t)) = Cx(t) 6

4 Sistemas diferenciales (i) T R es un intervalo abierto. (ii) U R m, Y R p y X R n abiertos. (iii) U = C(T, U) o P C(T, U) (iv) x(t) = ψ(t;, x 0, u( )) es la única solución del P.C.I. 1 { ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), t t0, t T x( ) = x 0 (v) η : T X U Y es continua. 1 Una condición suficiente para que exista y sea única es que g(t, x) = f(t, x, u(t)) sea continua a trozos respecto de t y continuamente diferenciable respecto a x (i.e., g x i, y son continuas). El Teorema de Carathéodory da condiciones suficientes para la existencia y unicidad de soluciones para funciones más generales. 7 Sistemas recursivos o en diferencias finitas (i) T = N o Z. (ii) U, X, Y conjuntos no vacíos (iii) x(t) = ψ(t;, x 0, u( )) es la única solución del sistema en diferencias finitas x(t + 1) = f(t, x(t), u(t)) con la condición inicial x( ) = x 0 con T, x 0 X y t. 8

5 Sistemas lineales Un sistema dinámico es lineal si (i) U, U, X, Y son espacios vectoriales sobre K (un cuerpo) (ii) Las aplicaciones ψ(t;,, ) : X U X (x, u( )) ψ(t;, x, u( )) η(t,, ) : X U Y (x(t), u(t)) η(t, x(t), u(t)) son lineales para todo t, T, t Algunas consecuencias de la linealidad: ψ(t;, 0 X, 0 U ) = 0 X, η(t; 0 X, 0 U ) = 0 Y, t, T, t Principio de descomposición: (x 0, u( )) = (x 0, 0 U ) + (0 X, u( )) ψ(t;, x 0, u( )) = ψ(t;, x 0, 0 U ) + ψ(t;, 0 X, u( )), Movimiento libre Movimiento forzado (Lo mismo para las salidas) 9 Más sobre sistema lineales Principio de superposición: La salida de una suma de estados y entradas es la suma de las salidas de cada uno de los estados y entradas: ( ψ η t;, k i=1 λ ix i, ) k i=1 λ iu i ( ) ( t, k i=1 λ ix i, ) k i=1 λ iu i = k i=1 λ iη(t, x i, u i ). = k i=1 λ iψ(t;, x i, u i ( )), Leyes de superposición para los movimientos libre y forzado: ( ψ t;, k i=1 λ ix i, ) k i=1 λ i0 U = k i=1 λ iψ(t;, x i, 0 U ) ( ψ t;, 0 x, ) k i=1 λ iu i ( ) = k i=1 λ iψ(t;, 0 X, u i ( )) (Lo mismo para las salidas) 10

6 Sistemas lineales de dimensión finita { Sistemas Diferenciales ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) { Sistemas en Diferencias x(t + 1) = A(t)x(t) + B(t)u(t) y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) T R un intervalo, P C =continuas a trozos: A(t)= matriz de estados: A( ) P C(T, R n n ) B(t= matriz de controles o entradas: B( ) P C(T, R n m ) C(t)= matriz de salidas: C( ) P C(T, R p n ) D(t)=matriz de salidas directas: D( ) P C(T, R p m ) El problema de condiciones iniciales: { ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), t T x( ) = x 0 (2) tiene solución única: Para cada (, x 0, u( )) T R n P C(T, R), ψ( ;, x 0, u( )) : T R n es una aplicación continua definida como la única solución del P.C.I. (2). ψ es diferenciable en todo t T excepto en los puntos de discontinuidad de A( ), B( ) y u( ). 11 Estados de equilibrio x X es un estado de equilibrio o estacionario de un sistema bajo el control u( ) si ψ(t;, x, u( )) = x parar todo t T con t. 0 X es un estado de equilibrio para los sistemas dinámicos lineales bajo el control u( ) = 0 U porque ψ(t;, 0 X, 0 U ) = 0 X, t, T, t. Si ẋ(t) = f(t, x(t), u(t)), t T es la ecuación del sistema, para cada ũ( ) U, los estados de equilibrio bajo el control ũ( ) son las soluciones constantes de ẋ(t) = f(t, x, ũ(t)) (i.e., f(t, x e, ũ(t)) = 0) Es decir, sus soluciones de equilibrio: Si en un instante inicial T el estado es x( ) = x e y el sistema está bajo el control de ũ( ) entonces el estado de Σ es x(t) = x e para todo t, t T. 12

7 Péndulo invertido Se quiere aplicar una fuerza en la base del péndulo amortiguado para devolverlo a la posición vertical. Recordando la expresión para el par de fuerzas: x(t)f 2 (t) y(t)f 1 (t) = N(t) = mr 2 ω(t)): ml 2 θ(t) = c θ(t) + mgl sen θ(t) + u(t)l cos θ(t). Suponiendo, por sencillez que l = g = c = 1 m y suprimiendo el argumento t: θ = θ + sen θ + u cos θ. Ecuaciones de espacio-estado (x 1 = θ y x 2 = θ): ẋ 1 = x 2 (t) ẋ 2 = x 2 (t) + sen x 1 + u cos x 1 f(t, x, u) = [ ] x 2. x 2 + sen x 1 + u cos x 1 Los estados estacionarios bajo el control u( ): soluciones constantes de f(t, x, u) = 0. Si u(t) = 0: [ ] x f(t, x, 0) = 2, x 2 + sen x 1 f(t, x, 0) = 0 (x constante) si y sólo si x 2 = 0 y x 1 = kπ, k = 0, ±1, ±2, Satélites de comunicaciones Origen: centro de la Tierra M T = Masa de la tierra M S = Masa del satélite G= cte de gravitación universal (6, N m2 Kg 2 ) Ω= velocidad angular de la Tierra (7, rad/seg) Posición del satelite: sobre el ecuador Coordenadas polares: (r, θ, ψ) (r, θ) Ecuaciones del movimiento (F r (t), F θ (t) fuerzas ejercidas por propulsores en el satélite en las direcciones radial y tangencial): { M S r(t) = M S r(t) θ(t) 2 GM T M S r(t) + F 2 r (t) M S r(t) θ(t) = 2M S ṙ(t) θ(t) + F θ (t) Renombrando F r = F r /M S, F θ = F θ /M S { r(t) = r(t) θ(t) 2 GM T r(t) + F 2 r (t) r(t) θ(t) = 2ṙ(t) θ(t) + F θ (t) 14

8 Órbita geosíncrona Es la órbita geosíncrona (mismo periodo que la Tierra), circular y con inclinación cero (ψ = 0) Velocidades angulares iguales: θ(t) = θ 0 + Ωt Cambio de variables: x 1 (t) = r(t), x 2 (t) = ṙ(t), x 3 (t) = θ(t) (θ 0 + Ωt), x 4 (t) = θ(t) Ω θ 0 ángulo de referencia x 3 (0) = 0 Sistema en espacio-estado: x 2 (t) ẋ 1 (t) ẋ 2 (t) ẋ 3 (t) = x 1 (t)(x 4 (t) + Ω) 2 GM T x 1 (t) 2 + F r(t) x 4 (t) ẋ 4 (t) 2x 2(t)(x 4 (t) + Ω) + F θ(t) x 1 (t) x 1 (t) 15 Estados estacionarios Supondremos control 0: F r (t) = F θ (t) = 0. x i (t) = cte x 1 = R 0, x 3 = Θ 0, x 2 = x 4 = 0 ( 2 a ecuación) 0 = x 1 (t)ω 2 GM T x 1 = R (t) 2 0 Ω 2 GM T R0 2 ( ) 1 R 0 = GMT Km Ω 2 Como x 3 (t) es constante y x 3 (0) = 0, debe ser x 3 (t) = 0. Estado estacionario a control 0: (R 0, 0, 0, 0) r(t) = R 0, θ(t) = θ 0 + Ωt 16

9 Solución de los sistemas lineales La única solución del P.C.I. { ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t) es x( ) = x 0 x(t) = Φ(t, )x 0 + Φ(t, s)b(s)u(s) ds, t T donde Φ(t, ) es una matriz fundamental de soluciones: cada una de sus columnas es solución del sistema ẋ(t) = A(t)x(t) y det Φ(t, ) 0, y la matriz de transición de estados: única solución de { Ẋ(t) = A(t)X(t), t T X( ) = I n 17 Sistemas diferenciales lineales invariantes en el tiempo { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t), t R A R n n, B R n m y(t) = Cx(t) + Du(t) C R p n, D R p m Matriz fundamental de soluciones o de transición de estados: Φ(t, ) = e A(t ) e At t k = k! Ak, t R (Matlab: expm) k=0 Solución (función de transición de estados): x(t) = e A(t ) x 0 + Respuesta del sistema: y(t) = Cx(t)+Du(t) = Ce A(t ) x 0 + e A(t τ) Bu(τ) dτ, t R Ce A(t τ) Bu(τ) dτ+du(t) 18

10 Matriz de transición: Forma de Jordan Si A R n n, existe T C n n t.q. T 1 AT = J, con J = J 1... J r, J j = λ j λ j λ j λ j C n j nj, Esta es la forma de Jordan de A y λ 1,..., λ r C son los valores propios (v.p.) distintos (λ i λ j ) de A. Se cumple que: e Jt = e J 1 t... e J k t, ej j t = e λ j t 1 t t 2 2! t n j 2 (n j 2)! 0 1 t t n j 3 (n j 3)!... t n j 1 (n j 1)! t n j 2 (n j 2)! t Si λ j = a j + ib j e λ j t = e a j t e ib j t = e a j t (cos(b j t) + i sen(b j t)) e A(t τ) = T e J(t τ) T 1 (Matlab: eig) (valores propios) (Matlab (symbolic toolbox): jordan) (forma de Jordan). 19 Oscilador lineal amortiguado mẍ + cẋ + kx = 0 x(0) = x 0, ẋ(0) = v 0 (movimiento libre) Con el cambio k ω 0 = m ζ = c 2 km (frecuencia natural) (razón de amortiguamiento) ẍ + 2ζω 0 ẋ + ω 2 0x = 0 Ecuaciones de estado (x 1 = x, x 2 = ẋ): ] [ ] [ ] [ẋ1 0 1 x1 = ẋ 2 ω0 2, 2ζω 0 x 2 [ ] x1 (0) = x 2 (0) [ x0 v 0 ] 20

11 Oscilador lineal amortiguado Polinomio característico: ( ) ( ) λ 2 + 2ζω 0 λ + ω0 2 = λ + ζω 0 + ω [ 0 ] ζ2 1 λ + ζω 0 ω 0 ζ2 1 Solución general: x(t) = T e Jt T 1 x0 v 0 Movimiento subamortiguado: 0 < ζ < 1. [ ] e e Jt ( ζω 0 +ω d i)t 0 = 0 e ( ζω 0 ω d i)t ω d = ω 0 1 ζ2 (frecuencia de amortiguamiento) e ( ζω 0±ω d i)t = e ζω0t (cos(ω d t) ± i sen(ω d t)) x(t) = e ζω0t (A cos(ω d t) + B sen(ω d t)) x(t) = Ae ζω 0t cos(ω d t φ) Movimiento sobreamortiguado: ζ > 1. [ e Jt e = ( ζ+ ] ζ 2 1)ω 0 t 0 0 e ( ζ ζ 2 1)ω 0 t x(t) = Ae ( ζ+ ζ 2 1)ω 0 t + Be ( ζ ζ 2 1)ω 0 t 21 Oscilador lineal amortiguado Movimiento críticamente amortiguado: ζ = 1. [ ] [ ] ω0 1 J =, e Jt = e ω 0t 1 t 0 ω [ ] Solución general: x(t) = T e Jt T 1 x0 v 0 x(t) = e ω 0t [(v 0 + ω 0 x 0 )t + x 0 ] Observación: Las tres figuras tienen una caractrística común: después de un tiempo en el que el sistema evoluciona con cambios significativos, tiende al estado estacionario. Es una propiedad general de los sistemas lineales amortiguados (c 0). 22

12 Respuesta de los sistemas lineales { ẋ(t) = A(t)x(t) + B(t)u(t), y(t) = C(t)x(t) + D(t)u(t) y(t) = C(t)Φ(t, )x 0 + C(t)Φ(t, s)b(s)u(s) ds + D(t)u(t), t T. respuesta al movimiento libre (control 0) respuesta al movimiento forzado (estado inicial 0) La respuesta al movimiento forzado se divide en dos: Respuesta transitoria Respuesta de estado estacionario 23 Respuesta a un impulso { 0, t τ impulso unidad en τ: δ τ (t) := +, t = τ + f(u)δ(t u) du = + f(t u)δ(u) du = f(t) Respuesta a un impulso= Salida al estado inicial cero en de u(t) = e j δ(t [ ). t ] h j (t, ) = C(t)Φ(t, s)b j (s)δ(s ) ds + D( )(t)δ(t ) e j, Matriz de{ Respuesta a un Impulso: C(t)Φ(t, s)b(s) + D(s)δ(t s) t s H(t, s) = 0 t < s y(t) = C(t)Φ(t, )x 0 + H(t, s)u(s) ds, t Sistemas invariantes en el tiempo: 0 H(t, s) = Ce A(t s) B + Dδ(t s) =: H(t s), y(t) = e A(t t0) x 0 + = e A(t t0) x 0 + H(t s)u(s) ds = Ce A(t s) Bu(s) ds + Du(t). 24

13 Respuesta transitoria y de estado estacionario MATLAB: impulse,impulseplot Ejemplo: Oscilador armónico lineal( ω 0 = 0,5, ζ = 0,25) ] [ ] [ ] [ ] [ẋ1 0 1 x1 0 = ω0 2 + δ(t); y(t) = x(t) 2ζω 0 x 2 1 ẋ 2 >> w=0.5; z=0.25; >> A=[0 1; -w^2-2*z*w]; B=[0;1]; C=eye(2); >> sis=ss(a,b,c,0) >> impulse(sis) 25 Respuesta a un salto unidad { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Hipótesis: A invertible Función salto unidad { 0, t < t0 γ(t) := u 1, t t j (t) = γ(t)e j, 1 j m 0 Respuesta del sistema (x(0) = 0): 1 i p, para cada u j, t s ij (t) = c i e A(t s) Bγ(s)e j ds + d ij γ(t) = = c i ea(t s)bj ds + dij = [ ] t = c i ( A 1 e A(t s) b j + d ij = c i A 1 e At b j c i A 1 b j + d ij Matriz de respuesta a un salto: S(t) = CA 1 e At B CA 1 B + D CA 1 e At B 0 si Re λ i (A) < 0, 26

14 Respuesta a un salto unidad { ẋ(t) = Ax(t) + Bu(t) y(t) = Cx(t) + Du(t) Hipótesis: A invertible Función salto unidad { 0, t < t0 γ(t) := u 1, t t j (t) = γ(t)e j, 1 j m 0 Respuesta del sistema (x(0) = 0): 1 i p, para cada u j, t s ij (t) = c i e A(t s) Bγ(s)e j ds + d ij γ(t) = = c i ea(t s)bj ds + dij = [ ] t = c i ( A 1 e A(t s) b j + d ij = c i A 1 e At b j c i A 1 b j + d ij Matriz de respuesta a un salto: S(t) = CA 1 e At B CA 1 B + D respuesta transitoria respuesta de estado estacionario CA 1 e At B 0 si Re λ i (A) < 0, 27 Parámetros en la respuesta a un salto unidad El valor de estado estacionario y ee : valor final de la salida (suponiendo convergencia). Tiempo de Subida T r : cantidad de tiempo que se requiere para que la señal pase del 10 % al 90 % de su valor final. Sobreelongación (Overshoot) M p : porcentaje del valor final que la señal sube por encima de éste en la etapa transitoria. Tiempo de Ajuste T s : cantidad de tiempo necesaria para que la señal se sitúe en el 2 % de su valor final. 28

15 Ejemplo salto unidad Oscilador lineal con ω 0 = 0,6 rad/seg, ζ = 0,25: ẍ(t) + 0,30ẋ(t) + 0,36 = 0,36ku(t) Ecuaciones de espacio-estado: [ ] 0 1 ẋ(t) = + 0,36 0,30 y(t) = [ 1 0 ] x(t), Función de transferencia (con y(t) = x 1 (t)): g(s) = >> A=[0 1; ] >> B=[0;0.36], C=[1 0] >> siso=ss(a,b,c,0) >> g=tf(sis) [ ] 0 u(t) 0,36k 0,36k s 2 + 0,30s + 0,36 = C(sI A) 1 B >> num=[0.36], den=[ ] >> sis=tf(num,den) >> sises=ss(sis) >> A1=sises.a, B1=sises.b, >> C1=sises.c Para obtener los parámetros del sistema: stepinfo(g) o stepinfo(sis) o stepinfo(sises) 29 Ejemplo salto unidad. Gráficas step(g) o step(sis) o step(sises) producen la misma gáfica: la respuesta al movimiento forzado por el salto unidad Para obtener la gráfica de la evolución de todos los estados del sistema: >> [y t x]=step(sis); >> plot(t,x(:,1), b-,t,x(:,2), r-- ) 30

16 Oscilador lineal y salto unidad La forma de la curva que representa la respuesta del oscilador lineal a la función salto depende de la razón de amortiguamiento ζ mientras que la velocidad depende de la frecuencia natural del sistema ω 0. Figura: Respuesta del oscilador lineal a la función salto unidad para ω 0 = 0,25, 0,5, 0,75 Figura: Respuesta del oscilador lineal a la función salto unidad para ζ = 0, 0,2, 0,5, 1,05 31 La respuesta de frecuencia Es la respuesta de un sistema lineal a una excitación sinusoidal. Por ejemplo u(t) = cos ωt = 1 ( 2 e iωt + e iωt) u(t) = e st Respuesta: y(t) = Ce At (si A) 1 B + ( C(sI A) 1 B + D ) e st. }{{}}{{} respuesta transitoria respuesta de estado estacionario Matriz de transferencia del sistema: C(sI A) 1 B + D C p m p = m = 1 C(sI A) 1 B + D = Me iθ (M= magnitud, θ=fase) Re(Λ(A)) < 0 y(t) y ee = Me st+iθ para t u(t) = A u sen(ωt + ψ) y ee (t) = MA u sen(ωt + (θ + ψ)) ganancia(ω) = M = A y A u, fase(ω) = ϕ ψ = θ 32

17 Parámetros de la respuesta de frecuencia La ganancia de frecuencia cero M 0 es la ganancia del sistema para ω = 0 (i.e. s = 0). M 0 = CA 1 B + D i.e., es la respuesta de estado estacionario a la función salto unidad. (Matlab: evalfr,respfreq) El ancho de banda ω b es el rango de frecuencia en el que la ganancia ha decrecido no más que 1/ 2 de su valor de referencia. (Matlab: bandwidth) El pico resonante M r y la frecuencia del pico ω r. El primero es el valor máximo de la ganancia del sistema y el segundo es el valor de la frecuencia de entrada donde se alcanza el primero. (Matlab: getpeakgain) 2 2 Las unidades de la ganancia devuelta son absolutas. Para pasar a Db (decibelios) se debe hacer la oparación Db = 20 log(ua) 33 Diagramas de Bode (Bode plot) Propósito: visualizar gráficamente la fase y ganancia a una entrada sinusoidal. MATLAB: bode, bodeplot, bodemag. EJEMPLO: oscilador lineal función de transferencia: g(s) = Me iθ = kω 2 0 (iω) 2 +2ζω 0 (iω)+ω 2 0 = kω 2 0 s 2 +2ζω 0 s+ω 2 0 kω 2 0 ω 2 0 ω2 +2iζω 0 ω Figura: Respuesta de frecuencia para el oscilador lineal en función de ζ. La gráfica superior representa la ganancia y la inferior la fase. Valores pequeños de ζ producen picos resonantes más agudos y un cambio rápido en la fase cuando ω = ω 0 34

18 Filtro de paso de banda activo Figura: Circuito de una amplificador operacional que filtra frecuencias Ecuaciones: [ 1 ẋ(t) = y(t) = [ 0 R C R 1 C 2 1 R 2 C 2 1 ] x(t) Función de transferencia: g(s) = R 2 R 1 ] [ 1 ] R x(t) + 1 C 1 1 u(t) R 1 C 2 R 1 C 1 s (1 + R 1 C 1 s)(1 + R 2 C 2 s) 35