Modelización: Ejemplos y aplicaciones

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1 Lección 2 Modelización: Ejemplos y aplicaciones 1 Qué es un modelo? Modelo: representación idealizada pero precisa de los (algunos) componentes de un sistema dinámico cuyo comportamiento se quiere estudiar o predecir. Modelo del amortiguador de una rueda de un coche El modelo puede no ser único: la elección del modelo depende de las preguntas que se quieran contestar. Debe ser: completo y eficiente, sencillo pero no simplista. Modelo matemático: representación mediante ecuaciones del sistema dinámico (físico, biológico, económico,...) una vez modelizado. M b ẍ b + K s (x b x w ) = f a (t) M w ẍ w + K s (x w x s ) + K t (x w x r ) + B t (ẋ w ẋ r ) = f a (t) 2

2 Variables del modelo Asociado a un sistema de control tenemos una serie de variables que, en general, pueden cambiar con el tiempo. Variables de salida o medidas: cantidades que se miden y se quieren controlar. Variables de entrada o controles: cantidades que se pueden modificar con el fin de producir un determinado efecto sobre los valores de las variables de salida. Perturbaciones, ruido: señales aleatorias que tienden a afectar negativamente el valor de la salida de un sistema. Incertidumbres: falta de información en alguna parte del sistema modelado. Además se pueden definir las variables de estado, que son variables auxiliares que resumen toda la información pasada relevante para conocer el futuro del sistema. 3 Sistemas mecánicos de traslación Comportamiento dinámico: descrito por vectores de desplazamientos, velocidades y fuerzas. Técnica de modelado: representar los sistemas como una interconexión de elementos idealizados (masas, muelles y amortiguadores). Cada elemento está gobernado por una ley física simple: ecuación o ley constitutiva del elemento. Por ejemplo: La suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual a la razón del cambio del momento lineal respecto del tiempo. (Segunda Ley del Movimiento de Newton) 4

3 Ejemplo: Oscilador lineal (horizontal) Sistema compuesto por una masa con un muelle y amortiguación Realización física de muelle-amortiguador m: masa k: constante del muelle c: constante de amortiguación q(t): posición de la masa en el tiempo t con respecto a su posición de descanso La ecuación del movimiento es: m q(t) + c q(t) + kq(t) = 0 5 Ejemplo: Oscilador lineal (vertical) y(t): posición de la masa en el tiempo t con respecto a su posición de reposo teniendo en cuenta la gravedad Ecuación del movimiento: Entrada: βu(t), Salida: y(t). Mÿ(t) + cẏ(t) + ky(t) = βu(t) y(0) = ẏ(0) = 0 Objetivos de control: conseguir una elongación determinada, devolver la masa a su posición de equilibrio,... 6

4 Ejemplo: Sistema de dos masas conectadas por un resorte y un amortiguador Tercera Ley del Movimiento de Newton (conservación del momento lineal): Toda fuerza de un elemento sobre otro va acompañada de una fuerza de reacción del segundo elemento sobre el primero de igual magnitud pero en dirección opuesta a lo largo de la ĺınea que los une. M 1 ÿ 1 (t) + B(ẏ 1 (t) ẏ 2 (t)) + K(y 1 (t) y 2 (t)) = f (t) M 2 ÿ 2 (t) + B(ẏ 2 (t) ẏ 1 (t)) + K(y 2 (t) y 1 (t)) = 0 y i (0) = y i (0) = 0, i = 1, 2 7 Ejemplo: una aplicación en automoción Modelización de la suspensión de una rueda de un coche: M b ẍ b + K s (x b x w ) = f a (t) M w ẍ w + B t (ẋ w ẋ r ) + K s (x w x b ) + K t (x w x r ) = f a (t) x b (0) = x w (0) = ẋ b (0) = ẋ w (0) = 0 Entrada: f a, Salida(s): x b y ẋ b, Perturbación: x r y ẋ r Objetivo de control: Atenuar, mediante el actuador (controlador) f a, el efecto de x r y ẋ r sobre x b y ẋ b a fin de preservar el confort de los pasajeros (disturbance attenuation problem). 8

5 Algunos modelos basados en sistemas mecánicos de traslación Figura: Control automático de la velocidad (Cruise control): Aström y Murray, Sec Sistemas mecánicos de traslación. Figura: Microscopio de fuerza atómica: Aström y Murray, Sec Sistema masa-muelle. 9 Sistemas mecánicos de rotación Momento angular de una partícula de masa m respecto de un punto de referencia O: H(t) = r(t) mṙ(t), r(t)= vector de posición de la partícula respecto de O Par o Momento de fuerza: N(t) = r(t) F(t) Ḣ(t) = N(t) Para una partícula de masa m girando en el plano x, y alrededor de un eje paralelo a z en O siendo r(t) = (x(t), y(t), 0) el vector de posición de la partícula respecto de O con distancia constante, es decir, r = r(t) a la que se le aplica una fuerza F(t) = (F 1 (t), F 2 (t), 0): x(t)f 2 (t) y(t)f 1 (t) = N(t) = mr 2 ẇ(t) donde N(t)= componente de N(t) en la dirección del eje z y w(t) = (0, 0, w(t)) es la velocidad angular. Momento de inercia de la partícula alrededor de O: J = mr 2 N(t) = d dt (Jw(t)) 10

6 Elementos básicos de los sistemas mecánicos de rotación Realizaciones físicas de muelles de torsión 11 Ejemplos: Cuerpos rígidos que rotan J θ(t) + B θ(t) + Kθ(t) = T (t) El par que ejerce un elemento sobre otro lleva emparejado un par de la misma magnitud pero de dirección opuesta del segundo elemento sobre el primero (siempre que roten sobre el mismo eje) J 1 θ 1 (t) + B 1 θ 1 (t) + K 1 θ 1 (t) + K 2 (θ 1 (t) θ 2 (t)) = T 1 (t) J 2 θ 2 (t) + B 2 θ 2 (t) + K 2 (θ 2 (t) θ 1 (t)) + K 3 θ 2 (t) = T 2 (t) 12

7 Ejemplo: Péndulo Recordemos: Para una párticula de masa m girando en el plano x,y alrededor del eje z a una distancia l con coordenadas (x(t), y(t), 0) a la que se le aplica una fuerza F(t) = (F 1 (t), F 2 (t), 0): x(t)f 2 (t) y(t)f 1 (t) = N(t) = ml 2 ω(t). Así: ml 2 θ(t) = mgl sen θ(t) 13 Ejemplo: Sistema carro-péndulo Ecuación del desplazamiento del carro: las fuerzas se compensan en dirección vertical. Y en la horizontal: M r(t) = βu(t) cṙ(t) + F 1 (t) (1) Ecuaciones del desplazamiento del péndulo: mẍ(t) = F 1 (t) m d2 dt 2 (r(t)+l sen θ(t)) = F 1(t) mÿ(t) = mg+f 2 (t) ml d2 dt 2 ( cos θ(t)) = mg+f 2(t) (Horizontal) (2) (Vertical) (3) 14

8 Ejemplo: Sistema carro-péndulo Par de la fuerza ( F 1 (t), F 2 (t)) sobre (x(t), y(t)): N(t) = ( l sen θ(t) )F }{{} 2 (t) (l cos θ(t) )( F }{{} 1 (t)) r(t) x(t) y(t) Suponiendo una fricción rotacional en el eje de giro del péndulo de constante c P, la ecuación del movimiento rotacional: J θ(t) = F 2 (t)l sen θ(t) + F 1 (t)l cos θ(t) c P θ(t) (4) Despejando F 1 (t) y F 2 (t) en (2) y (3) y sustituyendo en (1) y (4) : Ecuaciones del sistema carro-péndulo { M(θ) r = (J + ml 2 )(βu cṙ + ml θ 2 sen θ) + ml cos θ(mgl sen θ + c P θ) M(θ) θ = ml cos θ(βu cṙ + ml θ 2 sen θ) (M + m)(c p θ + mgl sen θ) donde M(θ) = (M + m)j + ml 2 M + m 2 l 2 sen 2 θ. Entrada: βu, Salidas: r y θ Objetivo de control: Llevar el péndulo en posición de equilibrio (θ = 0) a cualquier punto (r 0 ) en tiempo finito (controllability problem). 15 Péndulo invertido Basta cambiar θ = π + ϕ: { M(ϕ) r = (J + ml 2 )(βu cṙ ml ϕ 2 sen ϕ) ml cos ϕ( mgl sen ϕ + c P ϕ) M(ϕ) ϕ = ml cos ϕ(βu cṙ ml ϕ 2 sen ϕ) (M + m)(c p ϕ mgl sen ϕ) vídeo controlador del péndulo invertido: Entrada: u, Salidas: r y ϕ Objetivo de control: Diseñar un regulador que mantenga el péndulo en posición vertical (ϕ = 0) en cualquier punto (r 0 ). El regulador o controlador acepta como entradas las salidas del sistema (r(t) y ϕ(t)) y devuelve como salida la entrada u(t) que estabiliza el péndulo (stabilization problem). 16

9 Algunos modelos basados en sistemas mecánicos de rotación Figura: Dinámica de una bicicleta en giro:aström y Murray, Sec Figura: Segway y despegue de cohete espacial: Aström y Murray, Sec.2.1. Péndulo invertido (carro-péndulo) Sistemas mecánicos de traslación y rotación en 3 dimensiones: (L26) Satélite en órbita geoestacionaria 17 Circuitos eléctricos Comportamiento dinámico: descrito por cargas (Q en culombios), intensidades de corriente (I en amperios) y diferencias de potencial o voltajes (V en voltios): I = dq dt. Técnica de modelado: representar los sistemas como una interconexión de elementos idealizados (Resistencias, inductancias y capacitancias). Cada elemento está gobernado por una ley física simple: 18

10 Ejemplo: Un circuito simple Leyes de Kirchhoff: (i) La suma algebraica de las corrientes que concurren en un nodo de una red es cero. (ii) La suma de las diferencias de potencial en cualquier ciclo de la red es cero. e(t) V R (t) V C (t) V L (t) = 0 V R (t) = I (t)r, V C (t) = Q(t)/C, V L (t) = L I (t), I (t) = Q(t) L Q(t) + R Q(t) + 1 Q(t) = e(t), t 0 C Entrada: e, Salida(s): depende lo que se quiera observar o controlar. Objetivos de control: Por ejemplo, mantener constante la corriente I (t) = Q(t) en el circuito. 19 Analogía entre circuitos y sistemas mecánicos M 1 ÿ 1 (t) + B(ẏ 1 (t) ẏ 2 (t)) + K(y 1 (t) y 2 (t)) = f (t) M 2 ÿ 2 (t) + B(ẏ 2 (t) ẏ 1 (t)) + K(y 2 (t) y 1 (t)) = 0 M 1 Q1 (t) + B( Q 1 (t) Q 2 (t)) + K(Q 1 (t) Q 2 (t)) = f (t) M 2 Q 2 (t) + B( Q 2 (t) Q 1 (t)) + K(Q 2 (t) Q 1 (t)) = 0 20

11 Modelo basado en circuitos eléctricos Amplificadores Operacionales (op amp): dispositivos electrónicos diseñados para amplificar las señales de entrada. Tutorial de electrónica: Componentes Entradas invertida y no invertida (v = V 1, v + = V 2 ) Salida v out Suministrador de voltaje (e = V supply, e + = +V supply ) v out = k(v + v ) k = v out v + v (ganancia en lazo abierto) 21 Ganancia de un op amp en lazo cerrado Para una primera aproximación v 2 = k(v + v ) =: kv (k=ganancia del amplificador en lazo abierto). Suponiendo i 0 = 0 y v = 0, por la primera ley de Kirchhoff: I R1 I R2 = 0 v v 2 = 0 v 2 = R 2 = k cl (ganancia lazo cerrado) R 1 R 2 v 1 R 1 Suponiendo i 0 = 0 pero v 0: e v 1 v R 1 = v v 2 R 2 v = R 1 R 1 + R 2 {( }} ){ R2 v 1 + v 2 R 1 k cl = v 2 v 1 = R 2 R 1 kr 1 R 1 + R 2 + kr 1 22

12 Amplificadores aditivos I 1 +I 2 +I 3 = I F (primera ley de Kirchhoff) Suponiendo que el votaje en x es 0: I 1 = v 1, I 2 = v 2, I 3 = v 3, R 1 R 2 R 3 I F = v out R F ( RF v out = v 1 + R F v 2 + R ) F v 3 R 1 R 2 R 3 Aplicación: Mezclador de sonidos, conversor digital analógico, Amplificadores integradores y diferenciadores Suponemos que el votaje en x es 0. I in = I f (primera ley de Kirchhoff) I in = v in, v out = Q/C R in d dt v out = I f C d dt v out = 1 R in C v in v out = 1 v in dt R in C d dt v in = I in C, v out = R f C I f = v out d dt v in R f 24

13 Dinámica del sistema insulina-glucosa Minimal Model (Bergman et al.): dx 1 dt = (p 1 + x 2 )x 1 + p 1 g e dx 2 dt = p 2x 2 + p 3 (u i e ) u(t)= insulina en la sangre i e, g e valores de equilibrio de insulina y glucosa x 1 = concentración de glucosa en sangre x 2 = proporcional a la concentración de insulina en el ĺıquido intersticial p 1, p 2, p 3 = parámetros. 25 Producto Interior Bruto Sin contar las importaciones y exportaciones, el PIB se calcula sumando el consumo, las inversiones y el gasto público. Samuelson-Hicks multiplier-accelerator model: C(t + 1) = f (P(t), P(t 1)) (1) I (t + 1) = h(p(t) P(t 1)) (2) P(t) = C(t) + I (t) + G(t) (3) Sustituyendo las ecuaciones (1) y (2) en la (3): P(t + 1) = f (P(t), P(t 1)) + h(p(t) P(t 1)) + G(t + 1) Entrada: G(t), Salida: P(t) Objetivo de control: Regular el PIB, el consumo y la inversión manteniendo estas variables tan próximas como se pueda a unos valores previamente fijados: Minimizar N J = [g 1 (P(t) P (t)) 2 + g 2 (C(t) C (t)) 2 + g 3 (I (t) I (t)) 2 ] t=1 (quadratic control optimization problem) 26

14 Calentamiento de una barra metálica Coordenadas ciĺındricas (r, ϕ, x) El cilindro se calienta mediante chorros de calor cuya intensidad v(x, t) puede ser controlada y la misma para todo ϕ (varía con r). Θ(x, t)= temperatura media en el corte transversal. C= Temperatura de referencia y u(x, t) = Θ(x, t) C u t (x, t) = u α 2 (x, t) + v(x, t), x 2 u(x, 0) = f (x), u(0, t) = 0 = u(l, t) α=conductividad termométrica (supuesta constante) Entrada: v(x, t), Salida: u(x, t) Objetivo de control: Controlar la temperatura de la barra en cada punto en un intervalo de tiempo determinado. 27