TEMAS AVANZADOS DE ELEMENTOS FINITOS Y DINÁMICA DINÁMICA EN ELEMENTOS FINITOS

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1 TEMAS AVANZADOS DE ELEMENTOS FINITOS Y DINÁMICA DINÁMICA EN ELEMENTOS FINITOS

2 PLANTEO GENERAL ( CASO ESTÁTICO ) PROBLEMA DINÁMICO Sin Amortiguamiento B INCLUYENDO EN R B LAS FUERZAS INERCIALES:

3 PROBLEMA DINÁMICO Sin Amortiguamiento RESULTA: PROBLEMA DINÁMICO CON Amortiguamiento B INCLUYENDO EN R B LAS FUERZAS INERCIALES Y VISCOSAS:

4 PROBLEMA DINÁMICO CON Amortiguamiento PROBLEMA DINÁMICO MATRIZ RIGIDEZ: IDEM CASO ESTÁTICO

5 PROBLEMA DINÁMICO MATRIZ DE MASA: CONSISTENTE O CONCENTRADA: CONSISTENTE PROBLEMA DINÁMICO MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO VISCOSO: CONSISTENTE EN LA PRÁCTICA NO SE EVALÚA DE ESTA MANERA, POR LA DIFICULTAD DE CONOCER κ

6 PROBLEMA DINÁMICO ( CASO ESTÁTICO ) PROBLEMA DINÁMICO FORMAS DE RESOLUCIÓN: A) ANÁLISIS MODAL: MÁS RÁPIDO, PERMITE OPTIMIZAR EL TIEMPO DE RESOLUCIÓN. SOLAMENTE SIRVE PARA ANÁLISIS LINEAL. B) ANÁLISIS PASO A PASO : PUEDE APLICARSE CON MATERIALES NO LINEALES. PUEDEN ABORDARSE PROBLEMAS EVOLUTIVOS (GEOMETRÍA CAMBIANTE, COMBINACIÓN CON ANÁLISIS ESTÁTICO)

7 ANÁLISIS MODAL MÜ + CÙ + KU = -M üg(t) Vibración Libre no amortiguadas: MÜ + KU = 0 Proponiendo una solución: U(x,t) = Φ sen(ωt) ω 2 M = K (Autovalores) Det (K - ω 2 M) =0 Consideremos un problema plano 2 desplazamientos por cada Nodo AUTOVECTORES (Φ) Y AUTOVALORES (ω)

8 SEPARACIÓN DE ESPACIO Y TIEMPO EN U: Φ = φ 11 φ 12 φ 1N φ 21 φ 22 φ 2N φ N1 φ N2 φ NN Φ i Φ J =1(i=j), 0 (i j) N = 2n, n= Nro de Nodos u1(t) φ 11 φ 12 φ 13 Y1(t) U(x,t) = u2(t) u N (t) = φ 21 φ 22 φ 23 φ n1 φ n2 φ n3 Y2(t) Y N (t) = Φ (x) Y (t) ui(t) = φ i1 Y1(t) + φ i2 Y2(t) + + φ in Y N (t) Velocidad y aceleración relativa: Ù(x,t) = Φ (x) Ý (t) - Ü(x,t) = Φ (x) Ÿ (t) ANÁLISIS MODAL MÜ + CÙ + KU = -M üg(t) = MΦŸ + CΦÝ + KΦY = -M üg(t) = Φ T MΦ Ÿ + Φ T CΦ Ý + Φ T KΦ Y = Φ T M üg(t)

9 MATRIZ DE MASA M Φ T MΦ Ÿ + Φ T CΦ Ý + Φ T KΦ Y = Φ T M üg(t) CONSISTENTE m1x m1y 0 0 M = 0 0 mnx Mny CONCENTRADA (LUMPED) N = 2n MATRIZ DE MASA M Φ T MΦ Ÿ + Φ T CΦ Ý + Φ T KΦ Y = Φ T M üg(t) Φ T MΦ = φ 11 φ 21 φ N1 φ 12 φ 22 φ N2 M φ 11 φ 12 φ 1N φ 21 φ 22 φ 2N φ 1N φ 2N φ NN φ N1 φ N2 φ NN Φ T MΦ = M M M N M1 = φ 112 m1 + φ 212 m2 + +φ N12 m N M2 = φ 122 m1 + φ 222 m2 + + φ N22 m N M N = φ 132 m1 + φ 232 m2 + +φ NN2 m N

10 MATRIZ RIGIDEZ K Φ T MΦ Ÿ + Φ T CΦ Ý + Φ T KΦ Y = Φ T M üg(t) Como KΦ= ω 2 MΦ Φ T KΦ = ω 2 Φ T MΦ = ω ω ω N 2 M M M N Φ T KΦ = ω 1 2 M ω 2 2 M ω N2 M N PROPIEDADES Φ T MΦ Ÿ + Φ T CΦ Ý + Φ T KΦ Y = Φ T M üg(t) Se IMPONE: Φ T CΦ = 2ξ 1 ω 1 M ξ 2 ω 2 M ξ N ω N M N Donde N=2n, n= Cantidad de Nodos

11 PROPIEDADES Φ T MΦ Ÿ + Φ T CΦ Ý + Φ T KΦ Y = Φ T M üg(t) Φ T M üg(t) = φ 11 φ 21 φ N1 φ 12 φ 22 φ N2 m m2 0 üg(t) = φ 1N φ 2N φ NN 0 0 m N Φ T M üg(t) = L1 üg(t) L2 üg(t) L N üg(t) L1 = φ 11 m1 + φ 21 m2 + + φ N1 m N L2 = φ 12 m1 + φ 22 m2 + + φ N2 m N LN = φ 1N m1 + φ 2N m2 + + φ NN m N DESCOMPOSICIÓN Φ T MΦ Ÿ + Φ T CΦ Ý + Φ T KΦ Y = Φ T M üg(t) Queda descompuesta en (n) ecuaciones diferenciales DESACOPLADAS, una para cada modo de vibración, es decir, una por cada GL dinámico: (1) Ÿ1(t) + 2ξ 1 ω 1 Ý1(t) + ω 1 2 Y1(t) = L1/M1 üg(t) (2) Ÿ2(t) + 2ξ 2 ω 2 Ý2(t) + ω 2 2 Y2(t) = L2/M2 üg(t) (N) Ÿ N (t) + 2ξ N ω N Ý N (t) + ω N2 Y N (t) = LN/M N üg(t) Cada una es como un vibrador simple, cuya solución está dada por la integral de Convolución del sismo dado, con la frecuencia circular ω y el amortiguamiento ξ propio de c/u de los modos. Yi(t) = Li/(Mi ωi) üg(t) e -ξn ωi (t-τ ) sen ωi(t-τ) dτ

12 DESCOMPOSICIÓN Φ T MΦ Ÿ + Φ T CΦ Ý + Φ T KΦ Y = Φ T M üg(t) Por lo tanto la respuesta desacoplada de cada modo de vibración (uno por cada GL dinámico), se obtiene como la de un vibrador simple de las siguientes características: Masa: Mi = φ i12 m1 + φ i22 m2 + + φ in2 m N Frecuencia circular: ωi (del Autovalor ωi 2 ) Amortiguamiento: ξi Acción sísmica: Li / Mi üg(t) Siendo Li = φ i1 m1 + φ i2 m2 + + φ in m N VALORES ESPECTRALES MODALES sa1 san T1 Ti Siendo la acción sísmica modal igual a : Li / Mi üg(t) Se tendrá, para el modo i Desplazamiento espectral: Li/Mi s D i = Li/Mi sai / ωi 2 Velocidad espectral: Li/Mi s V i = Li/Mi sai / ωi Aceleración espectral: Li/Mi sai = Li/Mi sai

13 FUERZAS MÁXIMAS MODALES POR MASA Li 2 / Mi se denomina MASA MODAL EFECTIVA, y Σ Li 2 / Mi = Σ mi = Masa Total = m1+m2+ +m N Li 2 /Mi expresado como % de la masa total permite obtener una idea de la participación de masa en cada modo, y decidir para sistemas con muchos GL dinámica y por lo tanto modos de vibración- cuáles son significativos y deben ser tenidos en cuenta en el análisis. Por ejemplo, si fuera para un caso: (L1 2 /M1) / Mtot = 60% (L2 2 /M2) / Mtot = 28% (L3 2 /M3) / Mtot = 6% Significa que sería suficiente considerar el primer modo de vibración para representar el comportamiento de la estructura. COMBINACIÓN DE MÁXIMOS MODALES LOS MÁXIMOS VALORES (DESPLAZAMIENTOS, VELOCIDADES O FUERZAS) NO SON SIMULTÁNEOS: 0.05 Desplazamientos Nodo 1 por MODO 1: φ 11 Y1 (t) u(m) t (seg) Desplazamientos Nodo 1 por MODO 2: φ12 Y2 (t) u(m) 1.E-03 1.E-03 8.E-04 6.E-04 4.E-04 2.E-04 0.E+00-2.E-04-4.E-04-6.E-04-8.E-04-1.E t (seg) Desplazamientos Nodo 1 por MODO 3: φ 13 Y3 (t) 2.E-05 1.E-05 5.E-06 u(m) 0.E+00-5.E-06-1.E-05-2.E t (seg)

14 COMBINACIÓN DE MÁXIMOS MODALES LOS MÁXIMOS VALORES (DESPLAZAMIENTOS, VELOCIDADES O FUERZAS) NO SON SIMULTÁNEOS, Y PARA OBTENER VALORES NO DEMASIADO CONSERVADORES, SE PUEDEN COMBINAR LOS MÁXIMOS MODALES MEDIANTE UNA MEDIA CUADRÁTICA. POR EJEMPLO PARA EL CORTE BASAL MÁXIMO, RESULTARÍA: Vo Máx total = [ ( Vo1 Máx ) 2 + ( Vo2 Máx ) ( VoN Máx ) 2 ] 1/2 ANÁLISIS PASO A PASO (TIME HISTORY) MÜ + CÙ + KU = -M üg(t) Equivale a resolver, en cada paso de tiempo t siendo t una partición del tiempo total de análisis, la ecuación estática: K t U = -M üg(t) M t Ü C t Ù Para que la única incógnita sea U, se obtienen Ü y Ù en función de U, por técnicas de diferenciación numérica tipo Diferencias Finitas

15 ANÁLISIS PASO A PASO MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL: ANÁLISIS PASO A PASO MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL: PARTICULARIDADES: -ES UN MÉTODO EXPLÍCITO -REQUIERE CONDICIONES INICIALES EN t = - t

16 ANÁLISIS PASO A PASO MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL: Si la matriz de masa M es concentrada, y no existe C, se simplifica mucho la resolución, ya que: Y la solución en el t siguiente se obtiene escalarmente para cada grado de libertad: ANÁLISIS PASO A PASO MÉTODO DE LA DIFERENCIA CENTRAL: Para que la solución explícita sea la adecuada, se deben usar t pequeños, acotados por: Donde Tn es el menor período propio del sistema con n grados de libertad.

17 ANÁLISIS PASO A PASO FORMULACIÓN EXPLÍCITA PARA DISTINTOS t : utt (t) / g t (seg) ANÁLISIS PASO A PASO MÉTODO WILSON - Θ: (IMPLÍCITO) Plantea una variación lineal de la aceleración: E integrando se obtiene la velocidad y el desplazamiento:

18 ANÁLISIS PASO A PASO MÉTODO WILSON - Θ: Luego se plantea el equilibrio en t+θ Θ t: Usando las relaciones: ANÁLISIS PASO A PASO MÉTODO WILSON - Θ: El sistema a resolver: Queda planteado con la única incógnita t+ t U, ya que el resto de los parámetros cinemáticos están localizados en t

19 COMPARACIÓN ANÁLISIS PASO A PASO Amortiguamiento y estiramiento del período: COMPARACIÓN ANÁLISIS PASO A PASO

20 COMPARACIÓN ANÁLISIS PASO A PASO ANÁLISIS PASO A PASO CONSIDERACIÓN DE LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO C: El planteo utilizado en el análisis modal era IMPONER: Φ T CΦ = 2ξ 1 ω 1 M ξ 2 ω 2 M ξ N ω N M N Pero este planteo no es práctico en el análisis Paso a Paso, ya que en este caso hay que utilizar C.

21 ANÁLISIS PASO A PASO CONSIDERACIÓN DE LA MATRIZ DE AMORTIGUAMIENTO C: Por lo tanto, se plantea C como una combinación lineal de K y M (RAYLEIGH, 1877): Los dos coeficientes a y k pueden ajustarse conociendo el amortiguamiento para dos períodos o frecuencias, generalmente los dos primeros períodos propios: ANÁLISIS PASO A PASO EJEMPLO: T central = 1.00 seg ξ 1= T2= 0.43 seg ξ 2= 0.12 α = β = ξ M T (segs) K

22 AMORTIGÜAMIENTO MATERIAL SUELOS (SEED et al): λ = λ 1 min + 1 B γ 1+ A ( λ max + C) AMORTIGÜAMIENTO MATERIAL SUELOS (SEED vs MOHR-COULOMB): τ (kpa) W γ (%) LE M-C W LE W M-C

23 AMORTIGÜAMIENTO MATERIAL SUELOS (SEED vs MOHR-COULOMB): Gs / Gi γ (%) LE M-C AMORTIGÜAMIENTO EN PRESAS DE HORMIGÓN CONSIDERAR EL AMORTIGUAMIENTO DE LA PRESA, EL AGREGADO POR LA FUNDACIÓN Y POR EL EMBALSE (USACE-EP ): ξ TOT = ξ PRESA + ξ RES + ξ FUND

24 AMORTIGÜAMIENTO EN PRESAS DE HORMIGÓN (USACE-EP ): ξ TOT = ξ PRESA + ξ RES + ξ FUND EJEMPLO REAL: ξ PRESA =5% ξ RES = 2% ξ FUND =20% ξ TOT = 27% >> 5% (presa sola) Consideraciones importantes: AMORTIGÜAMIENTO El amortiguamiento lineal y de tipo viscoso incluye, en la mayoría de las estructuras reales, una aproximación a los verdaderos mecanismos de disipación de energía. Su uso extensivo se debe más a la facilidad de implementación en el análisis lineal elástico, que a una adecuada representación de la realidad. El amortiguamiento de tipo Raylegh ajusta bien cuando hay pocas frecuencias con gran participación de masa, caso contrario penaliza las alejadas de los puntos de ajuste. No genera grandes problemas en estructuras civiles, pero sí en problemas de tipo impacto. Cuando se aplica una relación constitutiva que incluye comportamiento plástico, debe evaluarse cuidadosamente el amortiguamiento de tipo viscoso (por ejemplo, Rayleigh en análisis paso a paso) a aplicar. En general, NO es aconsejable anularlo, pero sí ajustarlo considerando la disipación de energía incluída en la RC del material.