2 Medio UNIDAD: 1. Números.

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1 Medio UNIDAD: 1 Números.

2 CONTENIDOS 1. Potencias 1.1 potencias 1. propiedades de las potencias 1. ecuaciones exponenciales. Radicación.1 raíces. propiedades de las raíces. racionalización.4 ecuaciones irracionales. Logaritmos.1 logaritmos. propiedades

3 Definición de potencia Bueno, entendieron lo que es realmente una potencia? Yo si, pero parece que mi amigo no mucho Bueno, lo explicare mas detenidamente. Tomen atención. Una potencia es un numero que llamaremos a que arriba de este se encuentra otro numero que llamaremos n de esta forma: a n Al n se le llama exponente de la potencia Al a se le llama base de la potencia a es el número en cuestión, n es la cantidad de veces que se Se define de esta forma: an=a a a a a (n veces) multiplica por si mismo. Las potencias sirven para expresar la multiplicación de un dato que se repite una cierta cantidad de veces

4 Ahora veamos si entendiste Calculemos el valor de (-) Aplicando la definición tenemos: (-) = (-) (-) (-) = -8 Calculemos el valor de -4 Observamos que la base de la potencia es ( y no -) expresándola en forma de producto nos queda: -4 = - = -81

5 Ahora resuelve tú Soluciones: Como conclusión se puede decir que cuando un término que es antecedido por un signo negativo se eleva a un exponente impar el término siempre será el mismo que al inicio, en cambio elevado a un número par se logrará el signo contrario al inicial.

6 POTENCIAS CON EXPONENTE 1 Es igual a la base de la potencia, es decir: a1=a ejemplos: 101=10; 1= Ejercita: 1) 71= ) 1= Soluciones: 1)7 ) 41= ) 1 4) 6= )4 4)6 En todo caso, sea cual sea, la base será igual a si misma si el exponente es 1.

7 POTENCIAS CON EXPONENTE -1 es igual al inverso multiplicativo de la base, es decir: a-1=1/a ejemplos: 5-1=1/a ; (1/)-1= Ejercita: 1 1) 4 Soluciones: 1) ), ) 10/ )8 1 ) 1/ ) 5 4) /10

8 Multiplicación de potencias de igual base Para multiplicar potencias de igual base mantenemos la base y sumamos los exponentes, es decir: an am = an+m al revés cuando tenemos una base con una suma en el exponente la podemos descomponer, es decir: an+m = an am

9 EJERCICIO RESUELTO Expresemos en forma de potencias: aquí tenemos el producto del término (-1/) cinco veces (el término se repite 5 veces).en este caso lo que se hace es sumar los exponentes de todos los términos, dejando solo un término

10 RESUELVE ESTOS EJERCICIOS PARA VER COMO VAS MANEJANDO ESTA PROPIEDAD 1)a a 5 )b b b 6 ) )a x 4 y a x y

11 SOLUCIONES: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1)a8 )b11 ) 55 4)ax+y

12 División de potencias de igual base. En este caso, mantenemos la base y restamos los exponentes, es decir: an : am = an-m al revés cuando tenemos una base con una resta en el exponente la podemos descomponer, es decir: an-m = an : am

13 EJERCICIO RESUELTO x :x x 6 6 x 4 (a b) (a b) (a b) (a b)

14 Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad 16 m 1) 6 m 6 5 x x ) 5 4 x x 4 5 ) : 5 5 x 1 x 1 4)m : m

15 SOLUCIONES: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1)m10 )x ) /5 4)m

16 POTENCIA CON EXPONENTE 0 Es igual a 1: Ejercita: a0=1, 00= no existe 1) 0= )-0= ) (1/)0= 4) 10= Ejemplos: 50=1-40=-1 Soluciones: 1)1 )-1 )1 4)1

17 POTENCIA CON EXPONENTE NEGATIVO Es la misma propiedad que con exponente a -1,solo que ahora, cuando se da vuelta al ser negativo el exponente, no queda en 1, sino que en n. a-n=1/an ; a 0 ejemplo: -=(1/)=1/=1/9 Ejercitemos: 1)--= )(1/)-= )(-)-= 4) (/)-4= Soluciones: 1)-1/4 )9 )1/4 4)16

18 Potencia de una potencia Aquí debemos elevar la base a la multiplicación de los exponentes. (am)n = an m En el caso contrario si tenemos una base con exponentes multiplicándose se pueden distribuir. an m = (am)n

19 EJERCICIO RESUELTO Desarrollemos (a :a6) Primero tenemos que aplicar la propiedad, multiplicando los exponentes, luego aplicando las propiedades ya conocidas deberíamos poder llegar a un término. 1. a a a a a a a a a 4

20 EJERCICIOS a b 1) 6 x 4 a b c ) 9 x y z 4) a 4 ) a b c , 5 4 5

21 SOLUCIONES: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) (a4b8)/x1 ) 7ab19c9 ) xyz 4) a/16

22 Potencia de un producto Elevamos el producto de las bases al exponente común. an bn = (ab)n Por el contrario si tenemos un paréntesis elevado a un numero, los componentes del paréntesis se pueden separar. (ab)n = an bn

23 EJERCICIO RESUELTO Primero se aplica la propiedad de mantener el exponente y multiplicar las bases, luego solo resolvemos la potencia resultante

24 EJERCICIOS 1) x a 8 ) a b q )a 4 p 1 b 4 p 1 4)8 7

25 SOLUCIONES: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores,. 1) (ax) ) [q(a+b)] ) (ab)4p-1 4) 6

26 POTENCIAS DE = = = = = = = =

27 POTENCIA CON EXPONENTE FRACCIONARIO Esta potencia consta del exponente fraccionario, que se trabaja de la siguiente forma, se eleva la base a el numerador de la fracción y luego se hace la raíz de esta, y cuyo índice corresponde a el denominador de la fracción. 1 n m n a n am a a n Y por otro lado se puede trabajar inversamente, es decir al ver una raíz la podemos transformar en potencia poniendo el índice como denominador y el exponente que tenga el radicando como numerador en la potencia que se formaría a a 5 5

28 Resuelve estos ejercicios para ver como vas manejando esta propiedad Soluciones: 1 1)5 1 ) )15 1 4)178 1) )17 )-1 4)10

29 Reforzamientos varios: ( ) 10 1 ( 1,1) 6 ( ) 4 1 ( 1 ) (1) 1 ( 1) (0,0) (0,0)

30 Raíces

31 RAÍCES En este nuevo capitulo encontramos lo contrario de la potencias, las raíces, es decir las potencias se simplifican (eliminan) con las raíces y viceversa Pero con que términos trabajaremos ahora en este capitulo de raíces, si en potencias a=base, y n=exponente, ahora como es esto? Bueno tenemos terminos con los que trabajaremos los cuales son: Índice de la raíz n Operante a Cantidad subradical o radicando Las raíces tienen sus comienzos en las potencias y por ello se puede hacer el proceso inverso que en el caso de las potencias, por lo tanto: n a a 1 n

32 PROPIEDADES DE LAS RAÍCES Bueno apliquemos lo anterior aprendiendo las propiedades de las raíces, veamos la primera: Raíz de una potencia con exponente igual al índice. Si se tiene un índice igual a el exponente que tiene el radicando, que esta dentro de la raíz se puede dejar el radicando como potencia, una base elevado a una fracción de la siguiente forma: n 1 n n n n a n ( a ) a a1 Al elevar a n la raíz n-esima de a estamos simplificando el proceso anterior por lo cual el numero quedaría el numero

33 Veamos unos ejemplos: p p p x p x x1 x Aplicando la propiedad, vemos que el índice y el exponente del radicando se deja en forma de potencia, por lo tanto igual numerador y denominador dan como resultado 1, así se dice que se simplifico o elimino la raíz y se convierte en una simple base elevado a 1 lo que da como resultado la misma base, como vemos en los ejemplos.

34 Ahora te toca a ti trabajar:

35 Raíz de un producto: Ahora si se tiene una raíz de o más términos que se estén multiplicando, se pueden separar en otras dos raíces (las cuales tienen el mismo índice que la primera raíz) que se multipliquen, como se muestra a continuación. n a b a b n n Así también podemos hacer el proceso inverso, donde el producto de dos raíces de igual índice que puede agrupar en una sola raíz n a n b n a b

36 Resolvamos juntos estos ejercicios, separando cada raíz en dos productos de raíces y resolviéndolas por separado, luego se multiplica y se obtiene el resultado correspondiente:

37 Trabaja tu: a a 6. x 4 x 8 x 4. 5 p 5 p 5 p

38 SOLUCIONES: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) 6 ) 6a ) 4x 4) 5p4 Si acertaste a por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, resuelve los ejercicios de reforzamiento, o anda a la consulta bibliografía de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

39 * Pasemos a Raíz de un cuociente: De la raíz de una fracción o división se puede separar en raíces pero que poseen el mismo índice que la anterior y esas dos nuevas raíces se dividen ahora. n a na n b b ** Ahh!!!!!! pero entonces es muy similar a raíz de un producto * Ahora se puede invierte la situación donde se une el numerador con raíz y el denominador con raíz siempre y cuando tengan el mismo índice, como se muestra a continuación: n n a n a b b

40 Resolvamos algunos ejemplos para aprender mejor: : : a 6a : a 1 a 444 a 444a : 111a 4 111a Pero parta poder resolver algunos ejercicios no solo debemos dividir, sino también aplicar propiedades de las potencias como es la resta de exponentes

41 Vamos te toca ahora Si tienes alguna duda no vaciles en repasar la materia.!!!! Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) ) ) 4) 10.

42 Y que pasa ahora con Raíz de una raíz? Bueno aquí simplemente se multiplican los índices y se deja al final una sola raíz con índice igual al producto de los índices. Como se puede ver: * n m a n m a

43 Bueno ya que vamos tan avanzados estos ejemplos, los pasaremos volando, o no?: 4 a b x a b x ab x a 1 a a 1

44 Sigue multiplicando tu los índices y resuelve los siguiente: Soluciones: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1) ) 1 ) 4) 1

45 Pasemos a amplificación y simplificación del índice de una raíz: Para esto se amplifica o simplifica tanto el índice como el exponente de la cantidad subradical, por un termino o numero en particular, ejemplo: n p 1 p n a n a a x n: y a x: y

46 Resolvamos estos ejercicios: : : * En el primer ejercicio hay que reducir la raíz para resolver mas fácilmente, así queda como resultado 5 En el segundo se debe amplificar para igualar denominadores, ya que no se puede multiplicar raíces de distinto índice, luego se puede resolver como cualquier otro problema.

47 Comprobemos si aprendiste bien de que se trata la amplificación y simplificación de raíces p 5 4

48 SOLUCIONES: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien p p Si acertaste a por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

49 Factor de una raíz como factor: * En palabras simples es pasar un número que multiplique toda la raíz dentro de ella, para esto se debe elevar el termino al índice de la raíz y ponerlo dentro multiplicándolo por los otros términos dentro de ella, así se pueden aplicar otras operaciones como la suma de raíces de igual índice. a b b a Se da de la siguiente forma: n n n ** Entonces se utiliza para simplificar una raíz que pareciera ser no entera a un termino mas fácil de comprender y trabajar:

50 Vamos resolvamos: * Se puede ver dos posibilidades: simplificar una raíz, dejándola mas simple O realizar una raíz, juntando términos, pero de esta forma queda una raíz muy compleja.

51 Racionalización de denominadores: La idea es dejar los denominadores sin expresiones con raíces para poder trabajar mas fácilmente. Consiste en eliminar los radicales de los denominadores. 4 En el segundo caso debemos amplificar por una cifra, para que el radicando quede, al multiplicarse, elevado al mismo índice, para así poder eliminarse con la raíz, y en el denominador queda sin términos con raíces.

52 En el caso de tener una sustracción o adición de raíces cuadradas, se aplica la suma por diferencia con la cual las raíces en los denominadores se eliminan, multiplicando el numerador denominador por su diferencia (positiva o negativa), así se eliminan las raíces en el denominador. Se presentan los siguiente casos de expresiones:

53 Luego tenemos un caso complejo de raíces cúbicas, y para ello se debe amplificar usando la formula dada de potencias cúbicas: a a b a b a b a b a ab b ab b Hay otros tipos mas de nacionalización que son mucho mas específicos pero evoquémonos en lo esencial, y vamos resolvamos ejercicios.

54 Cuando tenemos una adición en trinomios se agrupan dos términos para dejarlos como suma por diferencia a la hora de multiplicar, así luego de resolver queda una suma por diferencia simple: Luego de resolver el trinomio, se resolvemos el binomio resultante igual que si fuera suma por diferencia, y así se elimina términos con raíces en el denominador, y en este caso nos queda con denominador 4.

55 Te invitamos a resolver los siguientes ejercicios: 1) ) 5 1 ) 9

56 SOLUCIONES Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien Si acertaste a por lo menos significa que ya tienes las nociones de esta propiedad clara, si crees que costo, o tienes dudas, consulta bibliografíca de este módulo y encontrarás algunos links para reforzarte.

57 Ecuaciones irracionales: son aquellas en que la incógnita está como cantidad subradical, para poder resolverás necesitas elevar la ecuación al índice de la raíz, para eliminarla: Ejemplos: x 1 7 x - 1 x - 1 x - 1 x x = 5 / - / () / + 1 / : 5 = 5 = 6 = 1 x / x + 9 / - 6 x + x + = 7 x = 4 x = 8 () / () / - / :

58 PRACTIQUEMOS UN POCO 1. x 1 x. x 5. x( x ) x 5 4. x 4 x

59 SOLUCIONES: Acá tenemos las soluciones de los ejercicios anteriores, espero que te haya ido bien. 1. x1 5. x x. x x

60 Cotrol: veamos si aprendiste n n , n a b c 4n n n 7a 8b 4 x x n n 64a 6 a nb 4 n 18a 5 16c 16x 9 y5 + - x x x 9 x