Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Tercera sesión

Transcripción

1 1/22 Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Tercera sesión Ramón Esteban y Antonio Pastor

2 Índice Objetivos, programa, evaluación y bibliografía 2 2/22 1 Matemática Discreta 7 Algunos problemas de Matemática Discreta

3 Objetivo general de la asignatura Matemática Discreta y Álgebra Se plantea un doble objetivo: Por un lado, dotar al alumno de una serie de conocimientos básicos de la Matemática Discreta de gran utilidad en la disciplina informática, así como de los aspectos fundamentales del Álgebra Lineal y sus aplicaciones desde un punto de vista matricial. Por otra parte, se pretende introducir al alumno en la comprensión y manejo del lenguaje matemático, así como desarrollar su capacidad de razonamiento lógico, sin olvidar los aspectos algorítmicos y constructivos de las materias tratadas. Asimismo, se pretende iniciar al alumno en el manejo del paquete matemático MATLAB como soporte básico para la resolución de problemas. 3/22

4 Programa Bloque 1: Matemática Discreta 1. Introducción a la Lógica 2. Conjuntos y relaciones 3. Álgebras de Boole 4. Introducción a la teoría de grafos Bloque 2: Álgebra 5. Sistemas de ecuaciones lineales 6. Matrices 7. Determinantes 8. Espacios vectoriales 9. Diagonalización de matrices 10. Espacio euclídeo 4/22

5 Evaluación de la asignatura Se realizará un examen parcial de Matemática Discreta y un examen final. El peso de las prácticas en la calificación final será del 20 %. 5/22

6 Bibliografía general [1] Alegre, C.; Martínez, A.; Pedraza, M. C.: Problemas de Matemática Discreta. SPUPV [2] Bravo, P.; Ferrando, J. C.; Martínez, A.: Complementos de Matemática Discreta. Curso Práctico. SPUPV [3] Bru, R.; Climent, J. J.; Mas, J.; Urbano, A.: Álgebra Lineal. SPUPV [4] Ferrando, J. C.; Gregori, V.: Matemática Discreta. Reverté, [5] Pedroche, F.; Fullana, M.: Fonaments d Àlgebra Lineal. SPUPV /22

7 Matemática Discreta Algunos problemas de Matemática Discreta 1. Determina si el siguiente argumento esgrimido por un político es consistente lógicamente: «Si la inflación decrece o el euro no se devalúa, los impuestos no subirán. Si los impuestos suben, la inflación bajará si y solo si el euro no se devalúa. O bien los impuestos suben, o el euro se devalúa y la inflación baja. Por consiguiente, los impuestos subirán, pero la inflación bajará y el euro no se devaluará.» (problema de Lógica). 7/22

8 Matemática Discreta Algunos problemas de Matemática Discreta 1. Determina si el siguiente argumento esgrimido por un político es consistente lógicamente: «Si la inflación decrece o el euro no se devalúa, los impuestos no subirán. Si los impuestos suben, la inflación bajará si y solo si el euro no se devalúa. O bien los impuestos suben, o el euro se devalúa y la inflación baja. Por consiguiente, los impuestos subirán, pero la inflación bajará y el euro no se devaluará.» (problema de Lógica). Podemos formalizar este argumento expresando mediante I la proposición la inflación decrece, mediante P la proposición el euro se devalúa y mediante S la proposición los impuestos suben. De esta manera, las premisas se formalizan así: 7/22

9 (a) I E S. (b) S (I E). (c) S (E I). La conclusión se puede formalizar como S I E. 8/22

10 (a) I E S. (b) S (I E). (c) S (E I). La conclusión se puede formalizar como S I E. Veamos que este argumento es inconsistente, esto es, que de las premisas se deduce una conclusión contradictoria con la conclusión dada por el político. De la tercera premisa deducimos que S (E I) mediante transformación de la disyunción en condicional 8/22

11 (a) I E S. (b) S (I E). (c) S (E I). La conclusión se puede formalizar como S I E. Veamos que este argumento es inconsistente, esto es, que de las premisas se deduce una conclusión contradictoria con la conclusión dada por el político. De la tercera premisa deducimos que S (E I) mediante transformación de la disyunción en condicional. De la primera premisa y esta última concluimos que (I E) (E I). 8/22

12 (a) I E S. (b) S (I E). (c) S (E I). La conclusión se puede formalizar como S I E. Veamos que este argumento es inconsistente, esto es, que de las premisas se deduce una conclusión contradictoria con la conclusión dada por el político. De la tercera premisa deducimos que S (E I) mediante transformación de la disyunción en condicional. De la primera premisa y esta última concluimos que (I E) (E I). Si transformamos esta última expresión de condicional a disyunción, se tiene que (I E) (E I). 8/22

13 9/22

14 Por la Ley de De Morgan, tenemos que ( I E) (E I). Por la distributividad, se sigue que E ( I I). 9/22

15 Por la Ley de De Morgan, tenemos que ( I E) (E I). Por la distributividad, se sigue que E ( I I). 9/22 Si denotamos por τ la tautología (siempre verdadera), se sigue que E τ.

16 Por la Ley de De Morgan, tenemos que ( I E) (E I). Por la distributividad, se sigue que E ( I I). 9/22 Si denotamos por τ la tautología (siempre verdadera), se sigue que E τ. Como τ es elemento neutro para, deducimos E.

17 Por la Ley de De Morgan, tenemos que ( I E) (E I). Por la distributividad, se sigue que E ( I I). 9/22 Si denotamos por τ la tautología (siempre verdadera), se sigue que E τ. Como τ es elemento neutro para, deducimos E. Pero esta conclusión es claramente contradictoria con la conclusión del político, de la que se deduce E.

18 Por la Ley de De Morgan, tenemos que ( I E) (E I). Por la distributividad, se sigue que E ( I I). 9/22 Si denotamos por τ la tautología (siempre verdadera), se sigue que E τ. Como τ es elemento neutro para, deducimos E. Pero esta conclusión es claramente contradictoria con la conclusión del político, de la que se deduce E. Se puede observar que los valores E = 1, I = 0, S = 1 y E = 1, I = 1, S = 0 hacen que las premisas sean verdaderas y la conclusión falsa.

19 2. En una encuesta realizada a personas que habitualmente ven la televisión se obtuvieron los siguientes datos: 64 ven programas informativos, 94 ven programas deportivos, 58 ven programas culturales, 28 ven programas informativos y culturales, 26 ven programas informativos y deportivos, 22 ven programas deportivos y culturales, 14 ven los tres tipos de programas. (a) Cuántas personas respondieron a la encuesta? (b) Cuántos de los encuestados ven informativos y no ven programas culturales? (c) Cuántos de los encuestados no ven programas culturales? (problema de teoría de conjuntos y cardinales). 10/22

20 11/22 I D C 22 Figura 1: Problema de la encuesta

21 3. Es posible realizar el dibujo de la izquierda de la figura 2 de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel? Y el dibujo de la derecha? (problema de grafos). 12/22 Figura 2: Se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel?

22 4. Es costumbre representar los circuitos lógicos mediante diagramas como el de la figura 3. Cada uno de los símbolos que aparecen en el diagrama corresponde a una puerta lógica (figura 4). 13/22

23 4. Es costumbre representar los circuitos lógicos mediante diagramas como el de la figura 3. Cada uno de los símbolos que aparecen en el diagrama corresponde a una puerta lógica (figura 4). A la hora de diseñar circuitos lógicos, es importante conseguir minimizar el número de elementos que intervienen en el circuito, en particular, las puertas lógicas. En el capítulo dedicado a las álgebras de Boole estudiaremos algunas maneras de hacerlo. La figura 5 nos muestra un circuito lógico que es equivalente al de la figura 3 con solo tres puertas lógicas en lugar de nueve. 13/22

24 14/22 Figura 3: Un circuito lógico

25 15/22 Figura 4: Puertas lógicas no, o, y (de arriba abajo)

26 16/22 Figura 5: Un circuito lógico equivalente al de la figura 3 con menos puertas lógicas

27 5. Puedes encontrar dos enteros α y β tales que 7α + 11β = 1? 17/22

28 5. Puedes encontrar dos enteros α y β tales que 7α + 11β = 1? Y dos enteros α y β tales que 6α + 15β = 1? 17/22

29 5. Puedes encontrar dos enteros α y β tales que 7α + 11β = 1? Y dos enteros α y β tales que 6α + 15β = 1? 17/22 6. Puedes encontrar un número entero x tal que si divides el producto 11x entre 7 obtienes como resto 1? Y un entero x tal que si divides 15x entre 6 obtienes como resto 1?

30 7. Es posible realizar el dibujo de la izquierda de la figura 6 de un solo trazo sin levantar el lápiz del papel? Y el dibujo de la derecha? 18/22 Figura 6: Se pueden dibujar sin levantar el lápiz del papel?

31 8. En la ciudad de Königsberg hay un río con varios puentes como en la figura 7. Uno de los pasatiempos preferidos de los habitantes de esta ciudad es intentar hacer un recorrido que les permita pasar por todos los puentes sin pasar dos veces por el mismo. Existe un recorrido tal? (problema de grafos). 19/22 Figura 7: Los puentes de Königsberg

32 8. En la ciudad de Königsberg hay un río con varios puentes como en la figura 7. Uno de los pasatiempos preferidos de los habitantes de esta ciudad es intentar hacer un recorrido que les permita pasar por todos los puentes sin pasar dos veces por el mismo. Existe un recorrido tal? (problema de grafos). 19/22 Figura 7: Los puentes de Königsberg Algunos intentos fallidos de solucion aparecen en la figura 8.

33 20/22 Figura 8: Algunas soluciones fallidas al problema de los puentes de Königsberg

34 9. Una antigua costumbre de los cartógrafos es la de pintar diferentes regiones de un mapa con colores distintos para diferenciarlas fácilmente de un vistazo. Cuántos colores se necesitan para pintar el mapa de la Figura 9? 21/22

35 22/22 Figura 9: Mapa de las comarcas valencianas