Typeset by GMNI & FoilTEX
|
|
- Veronica Acosta Ferreyra
- hace 5 años
- Vistas:
Transcripción
1 Typeset by GMNI & FoilTEX
2 MÉTODOS DIRECTOS PARA GRANDES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: FACTORIZACIONES DE CROUT Y CHOLESKY F Navarrina, I Colominas, M Casteleiro, H Gómez, J París GMNI GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación Escuela Técnica Superior de Ingenieros de Caminos, Canales y Puertos Universidad de A Coruña, España fnavarrina@udces página web:
3 ÍNDICE FACTORIZACIÓN DE CROUT Ã = L D Ũ Fundamentos teóricos Condiciones de existencia Algoritmos de factorización y de solución de sistemas Programación Almacenamiento de los resultados sobre los datos Adaptación para almacenamientos en banda y perfil T FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY Ã = L D L Fundamentos teóricos Condiciones de existencia Algoritmos de factorización y de solución de sistemas Programación Almacenamiento de los resultados sobre los datos Adaptación para almacenamientos en banda y perfil CONDICIONES DE VINCULACIÓN [coacciones] IMPLEMENTACIÓN Método de Cholesky para matrices en perfil ( Column Profile o Sky-Line )
4 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (I) FACTORIZACIÓN DE CROUT [à = L D Ũ] Sea el problema à x = b con à = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, x = a n1 a n2 a nn x 1 x 2, b = x n b 1 b 2 b n La FACTORIZACIÓN DE CROUT consiste en: à = L D Ũ = L z {}}{ D Ũ x }{{} ȳ = b = L z = b, D ȳ = z, Ũ x = ȳ
5 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IIa) FUNCIONAMIENTO DEL MÉTODO Supongamos que ya hemos factorizado [ ] a11 a 1k à k = L k D k Ũ k, con à k =, a k1 a kk siendo [ ] l11 0 L k = l k1 l kk [ ] d11 0, k D =, Ũ k = 0 d kk [ ] u11 u 1k 0 u kk
6 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IIb) Pretendemos factorizar (a partir de lo anterior) à k+1 = L k+1 D k+1 Ũ k+1, con à k+1 = à k c k+1 f T k+1 a k+1,k+1, de forma que 2 Lk+1 = e 6 4 L e k lt k+1 0 l k+1,k+1 3, D k+1 = 7 e D e k 0 T 0 d k+1,k+1 3, U k+1 = 7 e U e k ū k+1 0 T u k+1,k donde c k+1 = 8 < : 9 a 1,k+1 = ;, ū k+1 = a k,k+1 8 < : 9 u 1,k+1 = ;, u k,k+1 f T k+1 = [ a k+1,1 a k+1,k ], lt k+1 = [ l k+1,1 l k+1,k ]
7 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IIc) Multiplicamos por cajas D e k+1 U e k+1 = z} { e z } { Dk U e e k T Dk ūk u k+1,k+1 e 0 T U k + d k+1,k+1 0 T 0 T ū k+1 + d k+1,k+1 u k+1,k+1 e {z } 0 T {z } 0 T {z } 0 3 L e k+1 `De k+1 U e k+1 = z} { e z } { Lk D e e k U e k T Lk D e e k ūk d k+1,k+1 u k+1,k+1 lt k+1 Dk U e e k + l k+1,k+1 0 T lt k+1 Dk ūk+1 + l k+1,k+1 d k+1,k+1 u k+1,k+1 e {z } 5 0 T
8 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IId) Igualamos A e k c k+1 f T k+1 a k+1,k = 6 4 L e k D e k U e k L e k D e k ūk+1 lt k+1 D e k U e k lt k+1 D e k ūk+1 + l k+1,k+1 d k+1,k+1 u k+1,k+1, 7 5 lo que por cajas equivale a à k = L k D k Ũ k, [ HIPÓTESIS] c k+1 = L k D k ū k+1, f T k+1 = l T k+1 D k Ũ k, a k+1,k+1 = l T k+1 D k ū k+1 + l k+1,k+1 d k+1,k+1 u k+1,k+1
9 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IIe) Por tanto 1 El vector ū k+1 es la solucíón del sistema: [L k D k] ū k+1 = c k+1 2 El vector l k+1 es la solucíón del sistema: [ Ũ T k D k ] lk+1 = f k+1 3 Los coeficientes l k+1,k+1, d k+1,k+1 y u k+1,k+1 verifican: l k+1,k+1 d k+1,k+1 u k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1d k ūk+1 (*) (*) Donde l k+1 y ū k+1 se habrán calculado previamente Hay infinitas descomposiciones posibles Por convenio, se eligen (arbitrariamente) los valores: l k+1,k+1 = 1, u k+1,k+1 = 1 = d k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1 D e k ūk+1
10 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IIf) 4 Para k = 1: Ã 1 = L 1 D 1 Ũ 1 = l 11 d 11 u 11 = a 11 (*) 5 Para k = n: Ã n = Ã = Ã = L D Ũ con = L n L, = n D D, Ũ = Ũ n (*) Hay infinitas descomposiciones posibles Por convenio, se eligen (arbitrariamente) los valores: l 11 = 1, u 11 = 1 = d 11 = a 11
11 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IIIa) REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS 1 FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: Asignar l 11 = 1, u 11 = 1, d 11 = a 11 Para k = 1,, n 1 Resolver [ L k D k] ū k+1 = c k+1, [ Ũ k T D k ] lk+1 = f k+1 Asignar l k+1,k+1 = 1, u k+1,k+1 = 1, d k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1d k ūk+1
12 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IIIb) Notas: 1 Los sistemas [L k D k] ū k+1 = c k+1 se resuelven en dos fases: L k v k+1 {}}{ D k ūk+1 = c k+1 = L k v k+1 = c k+1, k D ūk+1 = v k+1 2 Los sistemas Ũ T k [ Ũ T k D k] lk+1 = f k+1 se resuelven en dos fases: m k+1 {}}{ D k l k+1 = f k+1 = Ũ T k m k+1 = f k+1, k D l k+1 = m k+1
13 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IIIc) REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS (continuación) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: Resolver L z = b, D ȳ = z, Ũ x = ȳ
14 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IVa) CONDICIONES DE EXISTENCIA Por construcción (unos en la diagonal principal), se cumple det(lk ) = det(u k) = 1 para k = 1,, n e e Por tanto, basta con que se cumplan las condiciones ( det(de k ) 0, k = 1,, n 1 para que pueda realizarse la factorización, det(d e k ) 0, k = n para que pueda realizarse la solución de sistemas Por otro lado, Ak = L e e k D e k U e k = det(ak ) = det(l e e k) det(d e k) det(u e k) = det(d k) k e Luego, las condiciones de existencia pueden expresarse en la forma ( det(ae k ) 0, k = 1,, n 1 para que pueda realizarse la factorización, det(a e k ) 0, k = n para que pueda realizarse la solución de sistemas
15 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IVb) En general, podemos afirmar que: Si la matriz es REGULAR h i det(a) 0 e puede pasar que la factorización exista; (*) puede pasar que la factorización NO exista; (**) es prácticamente imposible comprobar a priori la condición de existencia anterior; es sencillo (y RECOMENDABLE en todo caso) comprobar sobre la marcha que Aunque la matriz sea SINGULAR d 11 0, d k+1,k+1 0 para k = 1,, n h i det(a) = 0 e puede pasar que la factorización exista; (*) pero no se podrá utilizar para resolver el sistema (***) (*) Esto sucederá cuando det(ak ) 0, k = 1,, n 1 e (**) Esto sucederá cuando no se cumpla la condición anterior Por ejemplo, cuando a 11 = 0 Al igual que en el Método de Gauss, estos casos requieren PIVOTAMIENTO (intercambio de filas y/o columnas) El problema es que el pivotamiento casa mal con los almacenamientos en banda y en perfil (***) Porque el sistema no tiene solución y el algoritmo fallará al resolver D e ȳ = z
16 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamentos Teóricos (IVc) Un caso importante es el de las MATRICES DEFINIDAS: A DEFINIDA = det(ak ) 0, k = 1,, n e e Luego, si à es DEFINIDA (positiva o negativa) puede realizarse la factorización y puede realizarse la solución de sistemas
17 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Algoritmos (I) 1 FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: l 11 = 1, u 11 = 1 d 11 = a 11 DO k=1,n-1 ENDDO u i,k+1 = a i,k+1 Xi 1 l ij u j,k+1 ; i = 1,, k u i,k+1 = u i,k+1 / d ii ; i = 1,, k l k+1,i = a k+1,i Xi 1 u ji l k+1,j ; i = 1,, k l k+1,i = l k+1,i / d ii ; i = 1,, k l k+1,k+1 = 1, u k+1,k+1 = 1 kx d k+1,k+1 = a k+1,k+1 l k+1,j d jj u j,k+1
18 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Algoritmos (II) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) z i = b i Xi 1 l ij z j ; i = 1,, n y i = z i / d ii ; i = 1,, n nx x i = y i u ij x j ; i = n,, 1, 1 j=i+1 (*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda pero inadecuado para matrices en perfil debido a que el bucle interno de la última expresión (sumatorio) barre la matriz U e por filas
19 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Algoritmos (III) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: [Planteamiento Alternativo] (*) z i = b i Xi 1 l ij z j ; i = 1,, n y i = z i / d ii ; i = 1,, n x i = y i ; i = 1,, n x j = x j u ji x i ; j = 1,, i 1 ; i = n,, 2, 1 (*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda y también para matrices en perfil Obsérvese que el bucle interno de la última expresión barre ahora la matriz U e por columnas
20 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Programación ( ) Es fácil comprobar que podemos almacenar L, D y Ũ sobre Ã; podemos almacenar z, ȳ y x sobre b; Así a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn se transformará en d 11 u 12 u 13 u 1n l 21 d 22 u 23 u 2n l 31 l 32 d 33 u 3n l n1 l n2 l n3 d nn b 1 b 2 b 3 b n se transformará en z 1 z 2 z 3 z n se transformará en y 1 y 2 y 3 y n se transformará en x 1 x 2 x 3 x n
21 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Programación (I) 1 FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: DO k=1,n-1 ENDDO a i,k+1 a i,k+1 Xi 1 a ij a j,k+1 ; i = 2,, k a i,k+1 a i,k+1 / a ii ; i = 1,, k a k+1,i a k+1,i Xi 1 a ji a k+1,j ; i = 2,, k a k+1,i a k+1,i / a ii ; i = 1,, k kx a k+1,k+1 a k+1,k+1 a k+1,j a jj a j,k+1
22 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Programación (II) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) b i b i Xi 1 a ij b j ; i = 2,, n b i b i / a ii ; i = 1,, n nx b i b i a ij b j ; i = n 1,, 1, 1 j=i+1 (*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda pero inadecuado para matrices en perfil debido a que el bucle interno de la última expresión (sumatorio) barre la parte superior de la matriz A e por filas
23 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Programación (III) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: [Planteamiento Alternativo] (*) b i b i Xi 1 a ij b j ; i = 2,, n b i b i / a ii ; i = 1,, n b j b j a ji b i ; j = 1,, i 1 ; i = n,, 2, 1 (*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda y también para matrices en perfil Obsérvese que el bucle interno de la última expresión barre ahora la parte superior de la matriz A e por columnas
24 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Adaptación a Banda y Perfil (Ia) Sea la matriz à tal que à = 0 0 a i u(i),i a i 1,i 0 0 a i,i l(i) a i,i 1 a ii fila i columna i donde ( l(i) semiancho de banda inferior de la fila i, u(i) semiancho de banda superior de la columna i
25 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Adaptación a Banda y Perfil (Ib) Examinamos en detalle el cálculo { de la fila k + 1 de L, y de la columna k + 1 de Ũ u i,k+1 = a i,k+1 Xi 1 l ij u j,k+1 ; i = 1,, k u i,k+1 = u i,k+1 / d ii ; i = 1,, k IRRELEVANTE l k+1,i = a k+1,i Xi 1 u ji l k+1,j ; i = 1,, k l k+1,i = l k+1,i / d ii ; i = 1,, k IRRELEVANTE
26 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Adaptación a Banda y Perfil (Ic) Observamos que (a falta de dividir por los elementos d ii ) 8 i 1 X i = 1 a i,k+1 = 0 u i,k+1 = a i,k+1 l ij u j,k+1 = 0, i 1 X i = 2 a i,k+1 = 0 u i,k+1 = a i,k+1 l ij u j,k+1 = 0, >< i 1 X i = (k + 1) u(k + 1) 1 a i,k+1 = 0 u i,k+1 = a i,k+1 l ij u j,k+1 = 0, i 1 X i = (k + 1) u(k + 1) a >: i,k+1 0 u i,k+1 = a i,k+1 l ij u j,k+1 = a i,k i 1 X i = 1 a k+1,i = 0 l k+1,i = a k+1,i u ji l k+1,j = 0, i 1 X i = 2 a k+1,i = 0 l k+1,i = a k+1,i u ji l k+1,j = 0, >< i 1 X i = (k + 1) l(k + 1) 1 a k+1,i = 0 l k+1,i = a k+1,i u ji l k+1,j = 0, i 1 X i = (k + 1) l(k + 1) a >: k+1,i 0 l k+1,i = a k+1,i u ji l k+1,j = a k+1,i 0
27 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Adaptación a Banda y Perfil (II) Por tanto, se conservan los semianchos de banda inferior y superior: Y también los perfiles inferior (por filas) y superior (por columnas):
28 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamentos Teóricos (I) FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY [à = L D L T, à simétrica] Sea el problema à x = b con à = a 11 a 12 a 1n a 22 a 2n Sim a nn, x = x 1 x 2, b = x n b 1 b 2 b n La FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY consiste en: T à = L D L = L z {}}{ D L T x }{{} ȳ = b = L z = b, D ȳ = z, L T x = ȳ
29 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamentos Teóricos (IIa) FUNCIONAMIENTO DEL MÉTODO Observamos que es un caso particular de la Factorización de CROUT para matrices simétricas en el que Ũ = L T Debido a la simetría se cumplirá c k+1 = f k+1, T = k L, ū k+1 = l k+1, Ũ k u k+1,k+1 = l k+1,k+1
30 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamentos Teóricos (IIb) Por tanto 1-2 El vector l k+1 es la solucíón del sistema: [L k D k] lk+1 = f k+1 3 Los coeficientes l k+1,k+1 y d k+1,k+1 verifican: l k+1,k+1 d k+1,k+1 l k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1d k l k+1 (*) (*) Donde l k+1 se habrá calculado previamente Hay infinitas descomposiciones posibles Por convenio, se eligen (arbitrariamente) los valores: l k+1,k+1 = 1 = d k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1 D e k l k+1
31 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamentos Teóricos (IIc) 4 Para k = 1: Ã 1 = L 1 T 1 1 = l 11 d 11 l 11 = a 11 (*) D L 5 Para k = n: T Ã n = Ã = Ã = L D L con { L = L n, D = D n (*) Hay infinitas descomposiciones posibles Por convenio, se eligen (arbitrariamente) los valores: l 11 = 1 = d 11 = a 11
32 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamentos Teóricos (IIIa) REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS 1 FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: Asignar l 11 = 1, d 11 = a 11 Para k = 1,, n 1 [ Resolver L k k] lk+1 = D f k+1 Asignar l k+1,k+1 = 1, d k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1d k l k+1
33 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamentos Teóricos (IIIb) Notas: 1 Los sistemas [L k D k] l k+1 = f k+1 se resuelven en dos fases: L k m k+1 {}}{ D k l k+1 = f k+1 = L k m k+1 = f k+1, k D l k+1 = m k+1
34 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamentos Teóricos (IIIc) REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS (continuación) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: Resolver L D z = b, ȳ = z, L T x = ȳ
35 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamentos Teóricos (IV) CONDICIONES DE EXISTENCIA Son las mismas que en el caso de la Factorización de CROUT
36 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Algoritmos (I) 1 FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: l 11 = 1, d 11 = a 11 DO k=1,n-1 l k+1,i = a k+1,i Xi 1 l ij l k+1,j ; i = 1,, k l k+1,i = l k+1,i / d ii ; i = 1,, k ENDDO l k+1,k+1 = 1, d k+1,k+1 = a k+1,k+1 kx l k+1,j d jj l k+1,j
37 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Algoritmos (II) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) z i = b i Xi 1 l ij z j ; i = 1,, n y i = z i / d ii ; i = 1,, n nx x i = y i l ji x j ; i = n,, 1, 1 j=i+1 (*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda pero inadecuado para matrices en perfil debido a que el bucle interno de la última expresión (sumatorio) barre la matriz L e por columnas
38 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Algoritmos (III) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: [Planteamiento Alternativo] (*) z i = b i Xi 1 l ij z j ; i = 1,, n y i = z i / d ii ; i = 1,, n x i = y i ; i = 1,, n x j = x j l ij x i ; j = 1,, i 1 ; i = n,, 2, 1 (*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda y también para matrices en perfil Obsérvese que el bucle interno de la última expresión barre ahora la matriz L e por filas
39 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Programación ( ) Es fácil comprobar que podemos almacenar L Y D sobre la parte inferior de Ã; podemos almacenar z, ȳ y x sobre b; Así a 11 a 21 a 22 a 31 a 32 a 33 a n1 a n2 a n3 a nn se transformará en d 11 l 21 d 22 l 31 l 32 d 33 l n1 l n2 l n3 d nn b 1 b 2 b 3 b n se transformará en z 1 z 2 z 3 z n se transformará en y 1 y 2 y 3 y n se transformará en x 1 x 2 x 3 x n
40 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Programación (I) 1 FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: DO k=1,n-1 ENDDO a k+1,i a k+1,i Xi 1 a ij a k+1,j ; i = 2,, k a k+1,i a k+1,i / a ii ; i = 1,, k kx a k+1,k+1 a k+1,k+1 a k+1,j a jj a k+1,j
41 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Programación (II) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) b i b i Xi 1 a ij b j ; i = 2,, n b i b i / a ii ; i = 1,, n nx b i b i a ji b j ; i = n 1,, 1, 1 j=i+1 (*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda pero inadecuado para matrices en perfil debido a que el bucle interno de la última expresión (sumatorio) barre la parte inferior de la matriz A e por columnas
42 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Programación (III) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: [Planteamiento Alternativo] (*) b i b i Xi 1 a ij b j ; i = 2,, n b i b i / a ii ; i = 1,, n b j b j a ij b i ; j = 1,, i 1 ; i = n,, 2, 1 (*) Este planteamiento es adecuado para matrices en banda y también para matrices en perfil Obsérvese que el bucle interno de la última expresión barre ahora la parte inferior de la matriz A e por filas
43 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Adaptación a Banda y Perfil (Ia) Sea la matriz à tal que à = SIM 0 0 a i,i l(i) a i,i 1 a ii fila i columna i donde ( l(i) semiancho de banda inferior de la fila i, semiancho de banda superior de la columna i
44 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Adaptación a Banda y Perfil (Ib) Examinamos en detalle el cálculo de la fila k + 1 de L l k+1,i = a k+1,i Xi 1 l ij l k+1,j ; i = 1,, k l k+1,i = l k+1,i / d ii ; i = 1,, k IRRELEVANTE
45 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Adaptación a Banda y Perfil (Ic) Observamos que (a falta de dividir por los elementos d ii ) 8 i 1 X i = 1 a k+1,i = 0 l k+1,i = a k+1,i i 1 X i = 2 a k+1,i = 0 l k+1,i = a k+1,i >< i 1 X i = (k + 1) l(k + 1) 1 a k+1,i = 0 l k+1,i = a k+1,i i 1 X i = (k + 1) l(k + 1) a >: k+1,i 0 l k+1,i = a k+1,i l ij l k+1,j = 0, l ij l k+1,j = 0, l ij l k+1,j = 0, l ij l k+1,j = a k+1,i 0
46 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Adaptación a Banda y Perfil (II) Por tanto, se conservan los semianchos de banda inferior y superior: Y también los perfiles inferior (por filas) y superior (por columnas):
47 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Adaptación a Banda y Perfil (IIIa) 1 FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: (*) DO k=1,n-1 ENDDO a k+1,i a k+1,i Xi 1 a ij a k+1,j j=max{i l(i),(k+1) l(k+1)} ; i = [(k+1) l(k+1)+1],, k a k+1,i a k+1,i / a ii ; i = [(k+1) l(k+1)],, k kx a k+1,k+1 a k+1,k+1 a k+1,j a jj a k+1,j j=(k+1) l(k+1) (*) l(i) es el semiancho de banda inferior de la fila i Este valor indica que el primer elemento no nulo de la fila i es el coeficiente a i,i l(i)
48 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Adaptación a Banda y Perfil (IIIb) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) b i b i Xi 1 j=i l(i) a ij b j ; i = 2,, n b i b i / a ii ; i = 1,, n b j b j a ij b i ; j = [i l(i)],, i 1 ; i = n,, 2, 1 (*) l(i) es el semiancho de banda inferior de la fila i Este valor indica que el primer elemento no nulo de la fila i es el coeficiente a i,i l(i)
49 CONDICIONES DE VINCULACIÓN [coacciones] (I) Sea el sistema a 11 a 12 a 13 a 1v a 1n x 1 a 21 a 22 a 23 a 2v a 2n x 2 a 31 a 32 a 33 a 3v a 3n x 3 a v1 a v2 a v3 a vv a vn x v a n1 a n2 a n3 a nv a nn x n = b 1 b 2 b 3 b ṿ b n r v 0, con la coacción adicional x v = p v, donde v = GRADO DE LIBERTAD (GDL) COACCIONADO, p v = VALOR PRESCRITO (conocido), r v = REACCIÓN (desconocida)
50 CONDICIONES DE VINCULACIÓN [coacciones] (II) El planteamiento anterior puede reescribirse en la forma b 1 a 1v p v a 11 a 12 a 13 0 a 1n x 1 a 21 a 22 a 23 0 a 2n b x 2 a 2v p v 2 a 31 a 32 a 33 0 a 3n x 3 b 3 a 3v p v = x v p v a n1 a n2 a n3 0 a nn x n b n a nv p v x 1 con la ecuación adicional x 2 x 3 r v = [ a v1 a v2 a v3 a vv a vn ] b v, x v x n que se utiliza una vez resuelto el sistema anterior,
51 CONDICIONES DE VINCULACIÓN [coacciones] (III) TRATAMIENTO DE LAS CONDICIONES DE VINCULACIÓN [coacciones] Dado el sistema A e x = b + r, con algunas x v = p v, se procede de la siguiente manera: 1) Al factorizar se ignoran filas y columnas correspondientes a GDL prescritos (v) 2) Las columnas correspondientes a GDL prescritos pasan restando a los términos independientes multiplicadas por los valores prescritos ( a iv p v ) 3) Las filas correspondientes a GDL prescritos (a vj ) se usan a posteriori para calcular las reacciones ( r v ) Luego, los datos almacenados en filas y columnas correspondientes a GDL prescritos no se alteran durante la factorización y se pueden utilizar para resolver múltiples sistemas con la misma matriz y distintos términos independientes o valores prescritos (*) (*) OJO!: pueden cambiarse los valores prescritos (pv), pero no pueden cambiarse los GDL prescritos (v)
52 IMPLEMENTACIÓN: Cholesky para matrices en perfil (Ia) CODIFICACIÓN DEL ALMACENAMIENTO ( ) Ã = a 11 0 SIM a i,i lsbi a i,i 1 a ii fila i a nn ( ) PARTE TRIANGULAR SUPERIOR EN PERFIL POR COLUMNAS PARTE TRIANGULAR INFERIOR EN PERFIL POR FILAS
53 IMPLEMENTACIÓN: Cholesky para matrices en perfil (Ib) ALMACENAMIENTO EN PERFIL (*) { Ã se almacena en v = [a11,, a i,i lsbi,,, a i,i 1, a ii,,, a nn ] a ij v k, con k = lpij puntero del coeficiente a ij Si lp(i) puntero del coeficiente a ii, entonces: 8 lpii = lp(i) puntero de a ii, ( ) >< lsbi = lpii ( lp(i 1) + 1) semiancho de banda inferior de la fila i, ( ) lpiø = lpii i, >: lpij = lpiø + j puntero de a ij, con i lsbi j i, (*) Sistema de punteros y variables utilizado en la subrutina SLE$Solver_LDLt_CP() (**) Se utilizan valores absolutos porque esta subrutina cambia los signos de los punteros de los GDL coaccionados
54 IMPLEMENTACIÓN: Cholesky para matrices en perfil (II) PROGRAMACIÓN 1) CAMBIAR SIGNO A PUNTEROS DE GDL COACCIONADOS 2) FACTORIZAR: Ã = L D L T (*) 3) INICIALIZAR REACCIONES E IMPONER CONDICIONES DE VINCULACIÓN 4) RESOLVER LOS SISTEMAS: L z = b, D ȳ = z, L T x = ȳ (*) 5) CALCULAR REACCIONES 6) RESTAURAR SIGNO A PUNTEROS DE GDL COACCIONADOS (*) IGNORANDO FILAS Y COLUMNAS CORRESPONDIENTES A GDL COACCIONADOS
55 IMPLEMENTACIÓN: Cholesky para matrices en perfil (IIIa) 1 FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: (*) DO k=2,n ENDDO a ki a ki Xi 1 a ij a kj ; i = [k lsbk+1],, k 1 j=max{i lsbi,k lsbk} a ki a ki / a ii ; i = [k lsbk],, k 1 a kk a kk Xk 1 j=k lsbk a kj a jj a kj (*) lsbi es el semiancho de banda inferior de la fila i Este valor indica que el primer elemento no nulo de la fila i es el coeficiente a i,i lsbi
56 IMPLEMENTACIÓN: Cholesky para matrices en perfil (IIIb) 2 SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) b i b i Xi 1 a ij b j j=i lsbi ; i = 2,, n b i b i / a ii ; i = 1,, n b j b j a ij b i ; j = [i lsbi],, i 1 ; i = n,, 2, 1 (*) lsbi es el semiancho de banda inferior de la fila i Este valor indica que el primer elemento no nulo de la fila i es el coeficiente a i,i lsbi
Typeset by GMNI & FoilTEX
Typst by GMNI & FoilTEX FACTORIZACIONES DE CROUT Y DE CHOLESKY F. Navarrina, I. Colominas, H. Gómz, J. París, M. Castliro GMNI GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Dpartamnto d Métodos Matmáticos y
Más detallesSistemas de Ecuaciones. Lineales II
Sistemas de Ecuaciones Lineales II Factorización LU: Eliminación Gaussiana Relación con la factorización LU 521230-1 - DIM Universidad de Concepción Solución de sistemas con matriz triangular Dadas L =
Más detallesSEL - Métodos Directos
Facultad de Ingeniería Mecánica Universidad Nacional de Ingeniería Métodos Numéricos Contenido 1 Métodos Directos Generalidades sobre Métodos Directos Eliminación Gaussiana Pivoteo Factorización LU Generalidades
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales
Sistemas de Ecuaciones Lineales José Vicente Romero Bauset ETSIT-curso 2009/200 José Vicente Romero Bauset Tema 2.- Sistemas de Ecuaciones Lineales Sistema de ecuaciones lineales Un sistema de ecuaciones
Más detallesSEL Métodos Directos
SEL Pantoja Carhuavilca Métodos Numérico Agenda métodos directos Encuentra una solución en un número finito de operaciones(en ausencia de errores de redondeo) transformando el sistema en un sistema equivalente
Más detallesResolución de Sistema de Ecuaciones Lineales
Resolución de Sistema de Ecuaciones Lineales Hermes Pantoja Carhuavilca Facultad de Ingeniería Mecanica Universidad Nacional de Ingenieria Métodos Numérico Hermes Pantoja Carhuavilca 1 de 29 CONTENIDO
Más detallesResolución de sistemas de ecuaciones lineales
Tema 2 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales 21 Métodos directos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales 211 Resolución de sistemas triangulares Definición 211 Una matriz A se dice triangular
Más detallesMÉTODOS SEMI-ITERATIVOS PARA GRANDES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRECONDICIONAMIENTO
MÉTODOS SEMI-ITERATIVOS PARA GRANDES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: PRECONDICIONAMIENTO J. París, H. Gómez, X. Nogueira,F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro GMNI GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Más detallesMétodos Numéricos. Grado en Ingeniería en Informática Tema 4. Análisis Numérico Matricial I
Métodos Numéricos. Grado en Ingeniería en Informática Tema 4. Análisis Numérico Matricial I Luis Alvarez León Univ. de Las Palmas de G.C. Luis Alvarez León () Métodos Numéricos Univ. de Las Palmas de G.C.
Más detallesParte 2. Métodos directos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales
Parte 2. Métodos directos para la resolución de sistemas de ecuaciones lineales Gustavo Montero Escuela Técnica Superior de Ingenieros Industriales University of Las Palmas de Gran Canaria Curso 2006-2007
Más detallesA.M. Urbano, R. Cantó, B. Ricarte Institut de Matemàtica Multidisciplinar, Universitat Politècnica de València, E Valencia
Factorización de Cholesky de matrices singulares A.M. Urbano, R. Cantó, B. Ricarte Institut de Matemàtica Multidisciplinar, Universitat Politècnica de València, E-460 Valencia amurbano@mat.upv.es,rcanto@mat.upv.es,bearibe@mat.upv.es,
Más detallesRESOLUCIÓN DE SISTEMAS LINEALES
Contenido 1 Métodos de Solución Contenido Métodos de Solución 1 Métodos de Solución Desarrollamos el algoritmo de sustitución regresiva, con el que podremos resolver un sistema de ecuaciones lineales cuya
Más detallesMAT web:
Clase No. 7: MAT 251 Matrices definidas positivas Matrices simétricas Dr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato e-mail: alram@ cimat.mx web: http://www.cimat.mx/ alram/met_num/
Más detallesPara resolver un sistema lineal estan permitidas tres operaciones en las ecuaciones.
Para resolver un sistema lineal estan permitidas tres operaciones en las ecuaciones. 1. La ecuación E i puede multiplicarse por cualquier costante diferente de cero y se puede usar la ecuación resultante
Más detallesDepartamento de Ecuaciones Diferenciales y Análisis Numérico. CÁLCULO NUMÉRICO I (Tema 3 - Relación 2)
CÁLCULO NUMÉRICO I (Tema - Relación 2) 5 Resolver mediante el método de Gauss los siguientes sistemas de ecuaciones. 2x 2 + x = 0 2x + 2x 2 + x + 2x = 2 x x 2 + x = 7 6x + x 2 6x 5x = 6. x + x 2 x = x
Más detallesAl considerar varios polígonos regulares inscritos resulta: perímetro del cuadrado < π. perímetro del 96 gono < π
AMPLIACIÓN DE MATEMÁTICAS INTRODUCCIÓN Método Constructivo: Conjunto de instrucciones que permiten calcular la solución de un problema, bien en un número finito de pasos, bien en un proceso de paso al
Más detallesDescomposición LU de matrices
Descomposición LU de matrices José L. Vieitez IMERL, Facultad de Ingeniería, Universidad de la República 3 de agosto de 006 Abstract Descomposición LU de una matriz A = (a ij ), i, j = 1,..., n. 1 Hechos
Más detallesTypeset by GMNI & FoilTEX
Typeset by GMNI & FoilTEX MÉTODO DE RESIDUOS PONDERADOS: EJEMPLO DEL MÉTODO DE ELEMENTOS FINITOS F. Navarrina, I. Colominas, M. Casteleiro, H. Gómez, J. París GMNI GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA
Más detallesProfesor Francisco R. Villatoro 13 de Diciembre de 1999 SOLUCIONES. 1. Una matriz A de n n es diagonalmente dominante (estrictamente) por filas si
Cuarta relación de problemas Técnicas Numéricas Profesor Francisco R. Villatoro 13 de Diciembre de 1999 SOLUCIONES 1. Una matriz A de n n es diagonalmente dominante estrictamente por filas si a ii > a
Más detallesMatrices y Sistemas Lineales
Matrices y Sistemas Lineales Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza Matrices sobre IR ó C. Definición Dado un conjunto K (IR ó C) y dos conjuntos finitos de índices I = {,, m} J
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Chapter 2 Sistemas de ecuaciones lineales 2.1 Resolución de sistemas de ecuaciones lineales El problema que se pretende resolver en este capítulo es el de un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas
Más detallesSistemas de Ecuaciones. Lineales III
Sistemas de Ecuaciones Lineales III Pivoteo: Estrategia de pivoteo parcial Adaptación a matrices con estructuras particulares: Matrices banda y tridiagonales Método de holesky 52123-1 - DIM Universidad
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES
16 de Mayo de 2013 SISTEMAS DE ECUACIONES Departamento de Matemática Aplicada Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Cálculo Numérico José Luis Quintero 1 Puntos a tratar 1. Sistemas fáciles
Más detalles1. Utilizar el método de Gauss para clasificar y resolver cuando sea posible los siguientes sistemas: x 3y + 7z = 10 5x y + z = 8 x + 4y 10z = 11
Teorema de Rouché Frobenius: Si A es la matriz de coeficientes de un sistema de ecuaciones lineales y AM la matriz ampliada de un sistema de ecuaciones lineales. Si r(a = r(am = número de incógnitas =
Más detallesResolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales
Resolución numérica de sistemas de ecuaciones lineales María González Taboada Departamento de Matemáticas Febrero de 2008 Esquema: 1 Descripción del problema 2 Algunas definiciones y propiedades 3 Condicionamiento
Más detallesTEMA 4: Sistemas de ecuaciones lineales II
TEM 4: Sistemas de ecuaciones lineales II ) Teorema de Rouché-Frobenius. ) Sistemas de Cramer: regla de Cramer. 3) Sistemas homogeneos. 4) Eliminación de parámetros. 5) Métodos de factorización. 5) Métodos
Más detallesMétodos directos de resolución de sistemas lineales
3 Versión: Métodos directos de resolución de sistemas lineales 2 de abril de 208 3 Introducción Una ecuación lineal (sistema de orden ) es de la forma: ax = b, donde a y b son números reales dados y x
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2011 2012) 2. Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí.
Más detallesLección 10. Eliminación Gaussiana
Lección 10. Eliminación Gaussiana MIGUEL ANGEL UH ZAPATA 1 Análisis Numérico I Facultad de Matemáticas, UADY Septiembre 2014 1 Centro de Investigación en Matemáticas, Unidad Mérida. En esta lección analizaremos
Más detallesMatrices y sistemas de ecuaciones
Matrices y sistemas de ecuaciones María Muñoz Guillermo maria.mg@upct.es U.P.C.T. Matemáticas I M. Muñoz (U.P.C.T.) Matrices y sistemas de ecuaciones Matemáticas I 1 / 59 Definición de Matriz Matrices
Más detallesPrograma EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión
1/26 Programa EUROPA Ayuda a la Mejora en el Aprendizaje Matemáticas Cuarta sesión Ramón Esteban y Antonio Pastor Índice 1 Álgebra 3 Sistemas de ecuaciones lineales................ 3 Métodos conocidos...................
Más detallesMatrices y determinantes
Matrices y determinantes 1 Ejemplo Cuál es el tamaño de las siguientes matrices? Cuál es el elemento a 21, b 23, c 42? 2 Tipos de matrices Matriz renglón o vector renglón Matriz columna o vector columna
Más detallesITERATIVOS Y DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES. Ayudante: Rodrigo Torres Aguirre Ejercicios:
Universidad de Santiago de Chile Facultad de Ciencia Departamento de Matemática y Ciencias de la Computación MÉTODOS ITERATIVOS Y DIRECTOS PARA SISTEMAS LINEALES Profesor: Jaime Álvarez Maldonado Ayudante:
Más detallesCálculo Numérico - CO3211. Ejercicios. d ) Sabiendo que la inversa de la matriz A = es A c d
Cálculo Numérico - CO32 Ejercicios Decida cuáles de las siguientes proposiciones son verdaderas y cuáles son falsas Si una proposición es verdadera, demuéstrela, y si es falsa dé un contraejemplo: a Sea
Más detallesFactorización QR Método iterativo de Jacobi
Clase No. 13: MAT 251 Factorización QR Método iterativo de Jacobi Dr. Alonso Ramírez Manzanares CIMAT A.C. e-mail: alram@ cimat.mx web: http://www.cimat.mx/ alram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT
Más detallesMétodos directos de resolución de sistemas lineales
Tema 3 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 1 Introducción En este tema se estudian algunos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que
Más detallesAnálisis Numérico para Ingeniería. Clase Nro. 5
Análisis Numérico para Ingeniería Clase Nro. 5 Sistemas de Ecuaciones Lineales Temas a tratar: Tipos de Matrices Método de Triangulación de Gauss Método de Diagonalización de Gauss-Jordan Tácticas de Pivoteo
Más detallesMétodos Numéricos para Sistemas de Ecuaciones Lineales
Universidad de Chile Departamento de Ingeniería Matemática Cálculo Numérico MA-33A Métodos Numéricos para Sistemas de Ecuaciones Lineales Gonzalo Hernández Oliva GHO SEL - MA33A 1 MN para SEL: Temario
Más detallesCarmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, U.P.M. Álgebra Lineal. 1 TEMA 1.1: MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Carmen Torres Blanc, Gloria Sánchez Torrubia DMATIC, ETSIInf, UPM Álgebra Lineal TEMA : MATRICES Y SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Definición de cuerpo conmutativo Definición Un Cuerpo Conmutativo es un
Más detallesAplicar este algoritmo para resolver el sistema de ecuaciones: º «« º ««
Introducción al Cálculo Numérico y Programación 1 MÓDULO 8: SISTEMA DE ECUACIONES LINEALES. A- MÉTODOS DIRECTOS 6LVWHPDVIiFLOHVGHUHVROYHU Ejercicio 1: Escribe una función MATLAB llamada =sp(a,b) que admita
Más detallesClase. 1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: preliminares
Clase 1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales: preliminares 2. Método directo y exacto: Gauss 3. Método directo y exacto (II): descomposición LU 4. Métodos indirectos: Jacobi, Gauss-Seidel 2 Sistemas
Más detallesClase No. 13: Factorización QR MAT 251. Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) / 16
Clase No 13: Factorización QR MAT 251 Joaquín Peña (CIMAT) Métodos Numéricos (MAT 251) 03102011 1 / 16 Factorización QR Sea A R m n con m n La factorización QR de A es A = QR = [Q 1 Q 2 ] R1 = Q 0 1 R
Más detallesCap 3: Álgebra lineal
Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Cálculo Numérico 1 IF321 Cap 3: Álgebra lineal Prof: J. Solano 2018-I INTRODUCCION Aqui trabjaremos con operaciones basicas con matrices, tales como
Más detallesMatrices y Determinantes.
Tema II Capítulo 1 Matrices Álgebra Lineal I Departamento de Métodos Matemáticos y de Representación UDC Tema II Matrices y Determinantes 1 Matrices 1 Definiciones básicas Definición 11 Una matriz A de
Más detallesUna ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma:
página 1/13 Teoría Tema 6 Ecuación lineal Una ecuación lineal de n-incógnitas es una igualdad de la forma: a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 +...+a n x n =c página 2/13 Sistema de ecuaciones lineales Un sistema
Más detallesDr. Alonso Ramírez Manzanares CIMAT A.C. cimat.mx web: alram/met_num/
Clase No 4: MAT 251 Factorización LU Dr Alonso Ramírez Manzanares CIMAT AC e-mail: alram@ cimatmx web: http://wwwcimatmx/ alram/met_num/ Dr Joaquín Peña Acevedo CIMAT AC e-mail: joaquin@ cimatmx Joaquín
Más detallesGustavo Rodríguez Gómez. Agosto Dicembre 2011
Computación Científica Gustavo Rodríguez Gómez INAOE Agosto Dicembre 2011 1 / 46 Capítulo II 2 / 46 1 Introducción Métodos Directos Sistemas Triangulares Sustitución Hacia Atrás Invertibilidad de una Matriz
Más detallesAnálisis Numérico para Ingeniería. Clase Nro. 5
Análisis Numérico para Ingeniería Clase Nro. 5 Sistemas de Ecuaciones Lineales Temas a tratar: Tipos de Matrices Método de Triangulación de Gauss Método de Diagonalización de Gauss-Jordan Tácticas de Pivoteo
Más detalles2. Sistemas de ecuaciones lineales.
2. Sistemas de ecuaciones lineales. Manuel Palacios Departamento de Matemática Aplicada Centro Politécnico Superior Universidad de Zaragoza Otoño 2002 Contents 1 Introducción 2 2 Operaciones elementales
Más detallesMatrices bandadas Cálculo de la inversa y determinante Normas vectoriales y matriciales
Clase No. 8: MAT 251 Matrices bandadas Cálculo de la inversa y determinante Normas vectoriales y matriciales Dr. Alonso Ramírez Manzanares CIMAT A.C. e-mail: alram@ cimat.mx web: http://www.cimat.mx/ alram/met_num/
Más detallesMatrices y Sistemas de Ecuaciones lineales
Matrices y Sistemas de Ecuaciones lineales Llamaremos M m n (K) al conjunto de las matrices A = (a ij ) (i = 1, 2,..., m; j = 1, 2,..., n) donde los elementos a ij pertenecen a un cuerpo K. Las matrices,
Más detallesDefinición Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas.
Tema 1 Matrices 1.1. Conceptos básicos y ejemplos Definición 1.1.1. Dados dos números naturales m y n, una matriz de orden o dimensión m n es una tabla numérica rectangular con m filas y n columnas. NOTA:
Más detallesResolución numérica de sistemas de ecuaciones. Introducción
Motivación La cercha de la figura se carga con una fuerza uniforme repartida sobre el cordón superior Resolución numérica de sistemas de ecuaciones. Introducción El planteamiento del problema conduce a
Más detallesMétodos directos de resolución de sistemas lineales
Tema 4 Métodos directos de resolución de sistemas lineales 1 Introducción En este tema se estudian algunos métodos de resolución de sistemas de ecuaciones lineales con el mismo número de ecuaciones que
Más detallesSistemas lineales de ecuaciones
Sistemas lineales de ecuaciones Conceptos previos a) Sistemas de ecuaciones lineales. b) Solución de un sistema. c) Sistemas triangulares. Resolución de sistemas Métodos directos a) Método de eliminación
Más detallesSistema de ecuaciones algebraicas. Eliminación de Gauss.
Sistema de ecuaciones algebraicas. Eliminación de Gauss. Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j.a.otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com
Más detallesCONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 MATRICES
CONTENIDOS MATEMÁTICAS II SEGUNDA EVALUACIÓN CURSO 2017/2018 Unidades: - Matrices (Bloque Álgebra) - Determinantes (Bloque Álgebra) - Sistemas de ecuaciones lineales (Bloque Álgebra) - Vectores (Bloque
Más detallesResolución numérica de sistemas de ecuaciones. Introducción
Resolución numérica de sistemas de ecuaciones. Introducción Laboratori de Càlcul Numèric (LaCàN) Departament de Matemàtica Aplicada III Universitat Politècnica de Catalunya (Spain) http://www-lacan.upc.es
Más detallesÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 3
ÁLGEBRA Ejercicios no resueltos de la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 2007 2008) 15. Encontrar la (única) respuesta correcta, de entre las indicadas, a las siguientes cuestiones: (b) En una
Más detallesSolución de sistemas lineales
Solución de sistemas lineales Felipe Osorio http://www.ies.ucv.cl/fosorio Instituto de Estadística Pontificia Universidad Católica de Valparaíso Marzo 31, 2015 1 / 12 Solución de sistemas lineales El problema
Más detallesde la forma ), i =1,..., m, j =1,..., n, o simplemente por (a i j ).
INTRODUCCIÓN. MATRICES Y DETERMINANTES Las matrices se utilizan en el cálculo numérico, en la resolución de sistemas de ecuaciones lineales, de las ecuaciones diferenciales y de las derivadas parciales.
Más detallesTEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS.
TEMA 1. MATRICES, DETERMINANTES Y APLICACIÓN DE LOS DETERMINANTES. 1. MATRICES. CONCEPTO DE MATRIZ. LA MATRIZ COMO EXPRESIÓN DE TABLAS Y GRAFOS. DEFINICIÓN: Las matrices son tablas numéricas rectangulares
Más detallesDos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas son iguales
Introducción Las matrices aparecen por primera vez hacia el año 1850, introducidas por J.J. Sylvester. El desarrollo inicial de la teoría se debe al matemático W.R. Hamilton en 1853. En 1858, A. Cayley
Más detallesDr. Alonso Ramírez Manzanares Depto. de Matemáticas Univ. de Guanajuato cimat.mx web:
Clase No 12: MAT 251 Factorización QR Dr Alonso Ramírez Manzanares Depto de Matemáticas Univ de Guanajuato e-mail: alram@ cimatmx web: http://wwwcimatmx/alram/met_num/ Dr Joaquín Peña Acevedo CIMAT AC
Más detallesDETERMINANTES Profesor: Fernando Ureña Portero
: CONCEPTO, CÁLCULO DE. Definición: A cada matriz cuadrada A=a ij, de orden n, se le asigna un número real, denominado determinante de A, denotado por A o por det (A). A =det (A)= 1.-Determinante de orden
Más detallesResolverlo mediante el método de Gauss con aritmética exacta y sin pivoteo.
Asignatura Cálculo Numérico Página de Sistemas Lineales lineales (Gauss con variantes y estudio iterativo) Examen Diciembre 000 Ejercicio. Dado el sistema lineal 4x+ y+ z = 9 x+ 4y z = 5, x+ y z = 9 (a)
Más detallesUniversidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias. Física Computacional CC063. Algebra Lineal. Prof: J. Solano 2012-I
Universidad Nacional de Ingeniería Facultad de Ciencias Física Computacional CC063 Algebra Lineal Prof: J. Solano 2012-I Introduccion Aqui trabjaremos con operaciones basicas con matrices, tales como solucion
Más detallesSolución de sistemas de ecuaciones lineales: Descomposición LU
Solución de sistemas de ecuaciones lineales: Descomposición LU Ing. Jesús Javier Cortés Rosas M. en A. Miguel Eduardo González Cárdenas M. en A. Víctor D. Pinilla Morán Facultad de Ingeniería, UNAM * 2006
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 202 203) 6 Sea X una matriz cuadrada de tamaño n n y elementos reales Sea k un número par Probar que si X k = Id, entonces
Más detallesPráctica 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales - Matrices
ALGEBRA LINEAL Primer Cuatrimestre 2017 Práctica 1: Sistemas de Ecuaciones Lineales - Matrices En todas las prácticas, K es un cuerpo; en general K = Q (los números racionales, R (los números reales o
Más detallesMATEMÁTICAS 2º BACH TECNOL. MATRICES. Profesor: Fernando Ureña Portero MATRICES
CONCEPTO DE MATRIZ Definición: Se denomina matriz A o (a ij ) a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas : Columnas Filas Elemento a ij : Cada uno
Más detallesDr. Alonso Ramírez Manzanares CIMAT A.C. cimat.mx web: alram/met_num/
Clase No. 4 (Parte 2): MAT 251 Factorización LU Dr. Alonso Ramírez Manzanares CIMAT A.C. e-mail: alram@ cimat.mx web: http://www.cimat.mx/ alram/met_num/ Dr. Joaquín Peña Acevedo CIMAT A.C. e-mail: joaquin@
Más detallesSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES. Método de reducción o de Gauss. 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González.
SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Método de reducción o de Gauss 1º DE BACHILLERATO DPTO DE MATEMÁTICAS COLEGIO MARAVILLAS AUTORA: Teresa González. SISTEMAS DE DOS ECUACIONES LINEALES CON DOS INCÓGNITAS.
Más detallesEliminacion Gaussiana Metodo de cofactores
Universidad de Puerto Rico Departamento de Matematicas Humacao, Puerto Rico 00791 MATE 4061 Analisis Numerico Prof. Pablo Negron Laboratorio 4: Eliminacion Gaussiana sin Pivoteo En este laboratorio vamos
Más detalles1 ÁLGEBRA DE MATRICES
1 ÁLGEBRA DE MATRICES 1.1 DEFINICIONES Las matrices son tablas numéricas rectangulares. Se dice que una matriz es de dimensión m n si tiene m filas y n columnas. Cada elemento de una matriz se designa
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS Curso 2011-2012 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detalles3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE
3. ÁLGEBRA LINEAL // 3.1. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Y MATRICES COMPLEMENTOS PARA LA FORMACIÓN DISCIPLINAR EN MATEMÁTICAS // Curso 2017-18 3.1.1. Resolución de sistemas de ecuaciones lineales. Método
Más detallesMétodos Numéricos: ecuaciones lineales Eduardo P. Serrano
Métodos Numéricos: ecuaciones lineales Eduardo P. Serrano Versión previa Feb 2012 1. Ecuaciones lineales. El álgebra lineal numérica aborda principalmente dos problemas: - El análisis y resolución de sistemas
Más detallesMatrices. Primeras definiciones
Primeras definiciones Una matriz es un conjunto de elementos números ordenado en filas y columnas. En general una matriz se nombra con una letra mayúscula y a sus elementos con letras minúsculas indicando
Más detallesTema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES
Tema 1 CÁLCULO MATRICIAL y ECUACIONES LINEALES Prof. Rafael López Camino Universidad de Granada 1 Matrices Definición 1.1 Una matriz (real) de n filas y m columnas es una expresión de la forma a 11...
Más detallesFormas cuadráticas. Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza
Formas cuadráticas Natalia Boal María Luisa Sein-Echaluce Universidad de Zaragoza A lo largo de todo el capítulo consideraremos que V un espacio vectorial real de dimensión finita n. 1 Formas bilineales
Más detallesTema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones.
Tema 1. Espacios Vectoriales. Sistemas de ecuaciones. Álgebra Lineal Escuela Politécnica Superior Universidad de Málaga Emilio Muñoz-Velasco (Basado en los apuntes de Jesús Medina e Inmaculada Fortes)
Más detallesÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3
ÁLGEBRA LINEAL I Algunas soluciones a la Práctica 3 Matrices y determinantes (Curso 010 011). Sea A una matriz diagonal n n y supongamos que todos los elementos de su diagonal son distintos entre sí. Demostrar
Más detallesO PIC IN A.S: A g u a c e ro s probable*. NUEVA YORK, VIERNES 13 DE JU L IO DE bandidos y un banquero muertos en lucha a tiros
: 5 - W Y K : 6 - Ñ Y K ---------- «í á K k $ 3 jj j Ú j Q Z Úí á í á x í í - Y k X k j j j W xé 3» á jí jj j j í $ 3» á á á éíí 7«ú j ñ é í! ú é á YK 3 93 59 í! í á j j á Z á «í á á á é á j ] j é k j
Más detallesBLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES.
BLOQUE DE ÁLGEBRA: TEMA 1: MATRICES. Matrices: Se llama matriz de dimensión m n a un conjunto de números reales dispuestos en m filas y n columnas de la siguiente forma: 11 a 12 a 13... a 1n A= a a 21
Más detallesDeterminantes Introducción a los determinantes. Recordemos la definición del determinante de una matriz A de 2 2 ( fórmula.
Capítulo 5 Determinantes 5.1. Introducción a los determinantes Recordemos la definición del determinante de una matriz A de 2 2 ( fórmula 2.4 ) [ ] a b det = ad bc c d La proposición 2.16 implica que el
Más detallesSistema de ecuaciones algebraicas. Descomposición LU.
Sistema de ecuaciones algebraicas. Descomposición LU. Curso: Métodos Numéricos en Ingeniería Profesor: Dr. José A. Otero Hernández Correo: j.a.otero@itesm.mx web: http://metodosnumericoscem.weebly.com
Más detallesSistemas de ecuaciones lineales
Sistemas de ecuaciones lineales Sistemas de ecuaciones lineales Generalidades Definición [Sistema de ecuaciones lineales] Un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas, es un conjunto de m igualdades
Más detallesFactorización de matrices
CAPÍTULO Factorización de matrices En este capítulo se estudian algunas de las técnicas más utilizadas para factorizar matrices, es decir, técnicas que permiten escribir una matriz como producto de dos
Más detallesSe llama adjunto de un elemento de una matriz A, al número resultante de multiplicar por el determinante de la matriz complementaria
T.3: MATRICES Y DETERMINANTES 3.1 Determinantes de segundo orden Se llama determinante de a: 3.2 Determinantes de tercer orden Se llama determinante de a: Ejercicio 1: Halla los determinantes de las siguientes
Más detalles1. Lección 3: Matrices y Determinantes
Apuntes: Matemáticas Empresariales II 1. Lección 3: Matrices y Determinantes Se define matriz de orden n m a todo conjunto de n m elementos de un cuerpo K, dispuestos en n filas y m columnas: A n m = (
Más detalles1 Clase sobre determinantes
1 Clase sobre determinantes Una herramienta muy útil cuando trabajamos con matrices y con el producto de matrices, es su interpretación como: una colección de números, A = [a ij ] ; como una colección
Más detallesSistemas de Ecuaciones Lineales. Matrices y determinantes.
Capítulo 3 Sistemas de Ecuaciones Lineales Matrices y determinantes 31 Sistemas de Ecuaciones Lineales El problema central del Álgebra Lineal es la resolución de ecuaciones lineales simultáneas Una ecuación
Más detallesMatemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales
Matemáticas 2ºBachillerato Aplicadas a las Ciencias Sociales 1era evaluación. Matrices Definición: Una matriz es un conjunto de números ordenados en filas y columnas. Para definirla se utilizan letras
Más detalles