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- Isabel Méndez Coronel
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2 FACTORIZACIONES DE CROUT Y DE CHOLESKY F. Navarrina, I. Colominas, H. Gómz, J. París, M. Castliro GMNI GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Dpartamnto d Métodos Matmáticos y d Rprsntación Escula Técnica Suprior d Ingniros d Caminos, Canals y Purtos Univrsidad d A Coruña, España -mail: fnavarrina@udc.s página wb:
3 ÍNDICE FACTORIZACIÓN DE CROUT Ã = L D Ũ Fundamntos tóricos. Condicions d xistncia Algoritmos d factorización y d solución d sistmas Programación. Almacnaminto d los rsultados sobr los datos Adaptación para almacnamintos n banda y prfil T FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY Ã = L D L Fundamntos tóricos. Condicions d xistncia Algoritmos d factorización y d solución d sistmas Programación. Almacnaminto d los rsultados sobr los datos Adaptación para almacnamintos n banda y prfil
4 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (I) FACTORIZACIÓN DE CROUT [à = L D Ũ] Sa l problma à x = b con à = a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n......, x = a n1 a n2 a nn x 1 x 2., b = x n b 1 b 2.. b n La FACTORIZACIÓN DE CROUT consist n: à = L D Ũ = L z {}}{ D Ũ x }{{} ȳ = b = L z = b, D ȳ = z, Ũ x = ȳ.
5 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IIa) FUNCIONAMIENTO DEL MÉTODO Supongamos qu ya hmos factorizado [ ] a11 a 1k à k = L k D k Ũ k, con à k =....., a k1 a kk sindo [ ] l11 0 L k =.... l k1 l kk [ ] d11 0, k D =..., Ũ k = 0 d kk [ ] u11 u 1k u kk
6 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IIb) Prtndmos factorizar (a partir d lo antrior) à k+1 = L k+1 D k+1 Ũ k+1, con à k+1 = à k c k+1 f T k+1 a k+1,k+1, d forma qu 2 Lk+1 = 6 4 L k lt k+1 0 l k+1,k+1 3, D k+1 = D k 0 T 0 d k+1,k+1 3, U k+1 = U k ū k+1 0 T u k+1,k dond c k+1 = 8 < : 9 a 1,k+1 =. ;, ū k+1 = a k,k+1 8 < : 9 u 1,k+1 =. ;, u k,k+1 f T k+1 = [ a k+1,1 a k+1,k ], lt k+1 = [ l k+1,1 l k+1,k ].
7 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IIc) Multiplicamos por cajas... D k+1 U k+1 = z} { z } { Dk U k T Dk ūk u k+1,k+1. 0 T U k + d k+1,k+1 0 T 0 T ū k+1 + d k+1,k+1 u k+1,k {z } 0 T {z } 0 T {z } 0 3 L k+1 `D k+1 U k+1 = z} { z } { Lk D k U k T Lk D k ūk d k+1,k+1 u k+1,k+1. lt k+1 Dk U k + l k+1,k+1 0 T lt k+1 Dk ūk+1 + l k+1,k+1 d k+1,k+1 u k+1,k {z } 5 0 T
8 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IId) Igualamos A k c k+1 f T k+1 a k+1,k = 6 4 L k D k U k L k D k ūk+1 lt k+1 D k U k lt k+1 D k ūk+1 + l k+1,k+1 d k+1,k+1 u k+1,k+1, 7 5 lo qu por cajas quival a à k = L k D k Ũ k, [ HIPÓTESIS] c k+1 = L k D k ū k+1, f T k+1 = l T k+1 D k Ũ k, a k+1,k+1 = l T k+1 D k ū k+1 + l k+1,k+1 d k+1,k+1 u k+1,k+1.
9 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (II) Por tanto El vctor ū k+1 s la solucíón dl sistma: [L k D k] ū k+1 = c k El vctor l k+1 s la solucíón dl sistma: [ Ũ T k D k ] lk+1 = f k Los coficints l k+1,k+1, d k+1,k+1 y u k+1,k+1 vrifican: l k+1,k+1 d k+1,k+1 u k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1d k ūk+1. (*) (*) Dond l k+1 y ū k+1 s habrán calculado prviamnt. Hay infinitas dscomposicions posibls. Por convnio, s lign (arbitrariamnt) los valors: l k+1,k+1 = 1, u k+1,k+1 = 1 = d k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1 D k ūk+1.
10 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IIf) 4. Para k = 1: Ã 1 = L 1 D 1 Ũ 1 = l 11 d 11 u 11 = a 11. (*) 5. Para k = n: Ã n = Ã = Ã = L D Ũ con = L n L, = n D D, Ũ = Ũ n. (*) Hay infinitas dscomposicions posibls. Por convnio, s lign (arbitrariamnt) los valors: l 11 = 1, u 11 = 1 = d 11 = a 11.
11 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IIIa) REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS 1. FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: Asignar l 11 = 1, u 11 = 1, d 11 = a 11. Para k = 1,..., n 1 Rsolvr [ L k D k] ū k+1 = c k+1, [ Ũ k T D k ] lk+1 = f k+1. Asignar l k+1,k+1 = 1, u k+1,k+1 = 1, d k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1d k ūk+1.
12 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IIIb) Notas: 1. Los sistmas [L k D k] ū k+1 = c k+1 s rsulvn n dos fass: L k v k+1 {}}{ D k ūk+1 = c k+1 = L k v k+1 = c k+1, k D ūk+1 = v k Los sistmas Ũ T k [ Ũ T k D k] lk+1 = f k+1 s rsulvn n dos fass: m k+1 {}}{ D k l k+1 = f k+1 = Ũ T k m k+1 = f k+1, k D l k+1 = m k+1.
13 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IIIc) REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS (continuación) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: Rsolvr L z = b, D ȳ = z, Ũ x = ȳ.
14 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IVa) CONDICIONES DE EXISTENCIA Por construcción (unos n la diagonal principal), s cumpl dt(lk ) = dt(u k) = 1 para k = 1,..., n. Por tanto, basta con qu s cumplan las condicions ( dt(d k ) 0, k = 1,..., n 1 para qu puda ralizars la factorización, dt(d k ) 0, k = n para qu puda ralizars la solución d sistmas. Por otro lado, Ak = L k D k U k = dt(ak ) = dt(l k) dt(d k) dt(u k) = dt(d k) k. Lugo, las condicions d xistncia pudn xprsars n la forma ( dt(a k ) 0, k = 1,..., n 1 para qu puda ralizars la factorización, dt(a k ) 0, k = n para qu puda ralizars la solución d sistmas.
15 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IVb) En gnral, podmos afirmar qu: Si la matriz s REGULAR h i dt(a) 0... pud pasar qu la factorización xista; (*) pud pasar qu la factorización NO xista; (**) s prácticamnt imposibl comprobar a priori la condición d xistncia antrior; s sncillo (y RECOMENDABLE n todo caso) comprobar sobr la marcha qu Aunqu la matriz sa SINGULAR d 11 0, d k+1,k+1 0 para k = 1,..., n. h i dt(a) = 0... pud pasar qu la factorización xista; (*) pro no s podrá utilizar para rsolvr l sistma. (***) (*) Esto sucdrá cuando dt(ak ) 0, k = 1,..., n 1. (**) Esto sucdrá cuando no s cumpla la condición antrior. Por jmplo, cuando a 11 = 0. Al igual qu n l Método d Gauss, stos casos rquirn PIVOTAMIENTO (intrcambio d filas y/o columnas). El problma s qu l pivotaminto casa mal con los almacnamintos n banda y n prfil. (***) Porqu l sistma no tin solución y l algoritmo fallará al rsolvr D ȳ = z.
16 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Fundamntos Tóricos (IVc) Un caso important s l d las MATRICES DEFINIDAS: A DEFINIDA = dt(ak ) 0, k = 1,..., n. Lugo, si à s DEFINIDA (positiva o ngativa) pud ralizars la factorización y pud ralizars la solución d sistmas.
17 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Algoritmos (I) 1. FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: l 11 = 1, u 11 = 1 d 11 = a 11 DO k=1,n-1 ENDDO u i,k+1 = a i,k+1 Xi 1 j=1 l ij u j,k+1 ; i = 1,..., k u i,k+1 = u i,k+1 / d ii ; i = 1,..., k l k+1,i = a k+1,i Xi 1 j=1 u ji l k+1,j ; i = 1,..., k l k+1,i = l k+1,i / d ii ; i = 1,..., k l k+1,k+1 = 1, u k+1,k+1 = 1 kx d k+1,k+1 = a k+1,k+1 l k+1,j d jj u j,k+1 j=1
18 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Algoritmos (II) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) z i = b i Xi 1 l ij z j ; i = 1,..., n j=1 y i = z i / d ii ; i = 1,..., n nx x i = y i u ij x j ; i = n,..., 1, 1 j=i+1 (*) Est plantaminto s adcuado para matrics n banda pro inadcuado para matrics n prfil dbido a qu l bucl intrno d la última xprsión (sumatorio) barr la matriz U por filas.
19 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Algoritmos (III) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: [Plantaminto Altrnativo] (*) z i = b i Xi 1 j=1 l ij z j ; i = 1,..., n y i = z i / d ii ; i = 1,..., n x i = y i ; i = 1,..., n x j = x j u ji x i ; j = 1,..., i 1 ; i = n,..., 2, 1 (*) Est plantaminto s adcuado para matrics n banda y también para matrics n prfil. Obsérvs qu l bucl intrno d la última xprsión barr ahora la matriz U por columnas.
20 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Algoritmos (IV) Es fácil comprobar qu podmos almacnar L, D y Ũ sobr Ã; podmos almacnar z, ȳ y x sobr b; Así... a 11 a 12 a 13 a 1n a 21 a 22 a 23 a 2n a 31 a 32 a 33 a 3n a n1 a n2 a n3 a nn s transformará n d 11 u 12 u 13 u 1n l 21 d 22 u 23 u 2n l 31 l 32 d u 3n. l n1 l n2 l n3 d nn. b 1 b 2 b 3. b n s transformará n z 1 z 2 z 3. z n s transformará n y 1 y 2 y 3. y n s transformará n x 1 x 2 x 3. x n.
21 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Programación (I) 1. FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: DO k=1,n-1 ENDDO a i,k+1 a i,k+1 Xi 1 j=1 a ij a j,k+1 ; i = 2,..., k a i,k+1 a i,k+1 / a ii ; i = 1,..., k a k+1,i a k+1,i Xi 1 j=1 a ji a k+1,j ; i = 2,..., k a k+1,i a k+1,i / a ii ; i = 1,..., k kx a k+1,k+1 a k+1,k+1 a k+1,j a jj a j,k+1 j=1
22 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Programación (II) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) b i b i Xi 1 a ij b j ; i = 2,..., n j=1 b i b i / a ii ; i = 1,..., n nx b i b i a ij b j ; i = n 1,..., 1, 1 j=i+1 (*) Est plantaminto s adcuado para matrics n banda pro inadcuado para matrics n prfil dbido a qu l bucl intrno d la última xprsión (sumatorio) barr la part suprior d la matriz A por filas.
23 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Programación (III) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: [Plantaminto Altrnativo] (*) b i b i Xi 1 j=1 a ij b j ; i = 2,..., n b i b i / a ii ; i = 1,..., n b j b j a ji b i ; j = 1,..., i 1 ; i = n,..., 2, 1 (*) Est plantaminto s adcuado para matrics n banda y también para matrics n prfil. Obsérvs qu l bucl intrno d la última xprsión barr ahora la part suprior d la matriz A por columnas.
24 FACTORIZACIÓN DE CROUT: Adaptación a Banda y Prfil (I) S consrvan los smianchos d banda infrior y suprior: S consrvan los prfils infrior (por filas) y suprior (por columnas):
25 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamntos Tóricos (I) FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY [à = L D L T, à simétrica] Sa l problma à x = b con à = a 11 a 12 a 1n a 22 a 2n.... Sim. a nn, x = x 1 x 2., b = x n b 1 b 2.. b n La FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY consist n: T à = L D L = L z {}}{ D L T x }{{} ȳ = b = L z = b, D ȳ = z, L T x = ȳ.
26 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamntos Tóricos (IIa) FUNCIONAMIENTO DEL MÉTODO Obsrvamos qu s un caso particular d la Factorización d CROUT para matrics simétricas n l qu Ũ = L T. Dbido a la simtría s cumplirá c k+1 = f k+1, T = k L, ū k+1 = l k+1, Ũ k u k+1,k+1 = l k+1,k+1.
27 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamntos Tóricos (IIb) Por tanto El vctor l k+1 s la solucíón dl sistma: [L k D k] lk+1 = f k Los coficints l k+1,k+1 y d k+1,k+1 vrifican: l k+1,k+1 d k+1,k+1 l k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1d k l k+1. (*) (*) Dond l k+1 s habrá calculado prviamnt. Hay infinitas dscomposicions posibls. Por convnio, s lign (arbitrariamnt) los valors: l k+1,k+1 = 1 = d k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1 D k l k+1.
28 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamntos Tóricos (IIc) 4. Para k = 1: Ã 1 = L 1 T 1 1 = l 11 d 11 l 11 = a 11. (*) D L 5. Para k = n: T Ã n = Ã = Ã = L D L con { L = L n, D = D n. (*) Hay infinitas dscomposicions posibls. Por convnio, s lign (arbitrariamnt) los valors: l 11 = 1 = d 11 = a 11.
29 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamntos Tóricos (IIIa) REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS 1. FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: Asignar l 11 = 1, d 11 = a 11. Para k = 1,..., n 1 [ Rsolvr L k k] lk+1 = D f k+1. Asignar l k+1,k+1 = 1, d k+1,k+1 = a k+1,k+1 l T k+1d k l k+1.
30 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamntos Tóricos (IIIb) Notas: 1. Los sistmas [L k D k] l k+1 = f k+1 s rsulvn n dos fass: L k m k+1 {}}{ D k l k+1 = f k+1 = L k m k+1 = f k+1, k D l k+1 = m k+1.
31 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamntos Tóricos (IIIc) REALIZACIÓN DE LOS CÁLCULOS (continuación) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: Rsolvr L D z = b, ȳ = z, L T x = ȳ.
32 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Fundamntos Tóricos (IV) CONDICIONES DE EXISTENCIA Son las mismas qu n l caso d la Factorización d CROUT.
33 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Algoritmos (I) 1. FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: l 11 = 1, d 11 = a 11 DO k=1,n-1 l k+1,i = a k+1,i Xi 1 j=1 l ij l k+1,j ; i = 1,..., k l k+1,i = l k+1,i / d ii ; i = 1,..., k ENDDO l k+1,k+1 = 1, d k+1,k+1 = a k+1,k+1 kx j=1 l k+1,j d jj l k+1,j
34 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Algoritmos (II) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) z i = b i Xi 1 l ij z j ; i = 1,..., n j=1 y i = z i / d ii ; i = 1,..., n nx x i = y i l ji x j ; i = n,..., 1, 1 j=i+1 (*) Est plantaminto s adcuado para matrics n banda pro inadcuado para matrics n prfil dbido a qu l bucl intrno d la última xprsión (sumatorio) barr la matriz L por columnas.
35 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Algoritmos (III) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: [Plantaminto Altrnativo] (*) z i = b i Xi 1 j=1 l ij z j ; i = 1,..., n y i = z i / d ii ; i = 1,..., n x i = y i ; i = 1,..., n x j = x j l ij x i ; j = 1,..., i 1 ; i = n,..., 2, 1 (*) Est plantaminto s adcuado para matrics n banda y también para matrics n prfil. Obsérvs qu l bucl intrno d la última xprsión barr ahora la matriz L por filas.
36 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Algoritmos (IV) Es fácil comprobar qu podmos almacnar L Y D sobr la part infrior d Ã; podmos almacnar z, ȳ y x sobr b; Así... a 11 a 21 a 22 a 31 a 32 a a n1 a n2 a n3 a nn s transformará n d 11 l 21 d 22 l 31. l 32. d l n1 l n2 l n3 d nn. b 1 b 2 b 3. b n s transformará n z 1 z 2 z 3. z n s transformará n y 1 y 2 y 3. y n s transformará n x 1 x 2 x 3. x n.
37 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Programación (I) 1. FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: DO k=1,n-1 ENDDO a k+1,i a k+1,i Xi 1 j=1 a ij a k+1,j ; i = 2,..., k a k+1,i a k+1,i / a ii ; i = 1,..., k kx a k+1,k+1 a k+1,k+1 a k+1,j a jj a k+1,j j=1
38 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Programación (II) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) b i b i Xi 1 a ij b j ; i = 2,..., n j=1 b i b i / a ii ; i = 1,..., n nx b i b i a ji b j ; i = n 1,..., 1, 1 j=i+1 (*) Est plantaminto s adcuado para matrics n banda pro inadcuado para matrics n prfil dbido a qu l bucl intrno d la última xprsión (sumatorio) barr la part infrior d la matriz A por columnas.
39 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Programación (III) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: [Plantaminto Altrnativo] (*) b i b i Xi 1 j=1 a ij b j ; i = 2,..., n b i b i / a ii ; i = 1,..., n b j b j a ij b i ; j = 1,..., i 1 ; i = n,..., 2, 1 (*) Est plantaminto s adcuado para matrics n banda y también para matrics n prfil. Obsérvs qu l bucl intrno d la última xprsión barr ahora la part infrior d la matriz A por filas.
40 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Adaptación a Banda y Prfil (I) S consrvan los smianchos d banda infrior y suprior: S consrvan los prfils infrior (por filas) y suprior (por columnas):
41 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Adaptación a Banda y Prfil (IIa) 1. FACTORIZACIÓN DE LA MATRIZ: (*) DO k=1,n-1 ENDDO a k+1,i a k+1,i Xi 1 a ij a k+1,j j=max{i l(i),(k+1) l(k+1)} ; i = [(k+1) l(k+1)+1],..., k a k+1,i a k+1,i / a ii ; i = [(k+1) l(k+1)],..., k kx a k+1,k+1 a k+1,k+1 a k+1,j a jj a k+1,j j=(k+1) l(k+1) (*) l(i) s l smiancho d banda infrior d la fila i. Est valor indica qu l primr lmnto no nulo d la fila i s l coficint a i,i l(i).
42 FACTORIZACIÓN DE CHOLESKY: Adaptación a Banda y Prfil (IIb) 2. SOLUCIÓN DE SISTEMAS: (*) b i b i Xi 1 j=i l(i) a ij b j ; i = 2,..., n b i b i / a ii ; i = 1,..., n b j b j a ij b i ; j = [i l(i)],..., i 1 ; i = n,..., 2, 1 (*) l(i) s l smiancho d banda infrior d la fila i. Est valor indica qu l primr lmnto no nulo d la fila i s l coficint a i,i l(i).
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Typeset by GMNI & FoilTEX MÉTODOS DIRECTOS PARA GRANDES SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES: FACTORIZACIONES DE CROUT Y CHOLESKY F Navarrina, I Colominas, M Casteleiro, H Gómez, J París GMNI GRUPO DE MÉTODOS
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Typst by GMNI & FoilTEX CÁLCULO MATRICIAL DE ESTRUCTURAS DE BARRAS (Articuladas 2D-3D) F. Navarrina, I. Colominas, M. Castliro, H. Gómz, J. París GMNI GRUPO DE MÉTODOS NUMÉRICOS EN INGENIERÍA Dpartamnto
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