OPTIMIZACIÓN NO LINEAL MULTIDIMENSIONAL RESTRINGIDA

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Ramón Ortiz de Zárate Sosa
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1 3 de Mayo de 8 OPTIMIZACIÓN NO LINEAL MULTIDIMENSIONAL RESTRINGIDA (Parte ) Postgrado de Investigación de Operaciones Facultad de Ingeniería Universidad Central de Venezuela Programación No Lineal José Luis Quintero

2 Puntos a tratar. Segundo problema de interés. Definiciones importantes 3. Método de Lagrange (Igualdad) 4. Análisis de sensibilidad 5. Ejemplos ilustrativos Programación No Lineal José Luis Quintero

3 PROBLEMA. Segundo problema de interés P: optf(x) s.a. G(x) =, H(x) n n n m f:r R, x R, G:R R, n p H:R R OBSERVACIÓN. El conjunto F(P) está formado por todos los vectores x que satisfacen las restricciones del problema P. Programación No Lineal José Luis Quintero 3

4 Puntos a tratar. Segundo problema de interés. Definiciones importantes 3. Método de Lagrange (Igualdad) 4. Análisis de sensibilidad 5. Ejemplos ilustrativos Programación No Lineal José Luis Quintero 4

5 Definiciones importantes DEFINICIÓN. El vector x F(P) se dice que satura una restricción g(x) o h(x) (restricción activa) si g(x) = o h(x) =. DEFINICIÓN. El vectorx F(P) se dice regular si y sólo si los gradientes de las restricciones saturadas o activas en x forman un conjunto de vectores linealmente independientes. Programación No Lineal José Luis Quintero 5

6 Puntos a tratar. Segundo problema de interés. Definiciones importantes 3. Método de Lagrange (Igualdad) 4. Análisis de sensibilidad 5. Ejemplos ilustrativos Programación No Lineal José Luis Quintero 6

7 PROBLEMA. Método de Lagrange (Igualdad) optf(x) s.a. G(x) =, f:r R, x R, G:R R PROBLEMA. (Función de Lagrange) OBSERVACIÓN. n n n m t m optl(x, λ ) = f(x) λg(x), λ R Si x es factible en PROBLEMA entonces L(x, λ ) = f(x) Programación No Lineal José Luis Quintero 7

8 Método de Lagrange (Igualdad) PROPOSICIÓN. En un punto regularx de la hipersuperficie S definida por G(x) =, el plano tangente o espacio nulo de la matriz jacobiana G(x) viene definido por N { y R n : G(x) y } = = Programación No Lineal José Luis Quintero 8

9 Método de Lagrange (Igualdad) ÓPTIMO (CONDICIÓN NECESARIA): m f(x) = λ g(x) i i L(x, λ ) = i= G(x) = t f(x) = λ G(x) L(x, λ ) = G(x) = x debe ser regular Programación No Lineal José Luis Quintero 9

10 Método de Lagrange (Igualdad) ÓPTIMO (CONDICIÓN SUFICIENTE): (x, λ) x t f(x) = λ G(x) G(x) = PROPOSICIÓN. Suponga con regular tal que y la matriz es definida positiva en N, esto es, para y Entonces t se cumple que. sujeto a. m L(x, λ ) = f(x) λ x i i i= x G(x) = y g(x) y N, L(x, λ ) y > x es un mínimo local estricto de f(x) Programación No Lineal José Luis Quintero

11 H Hessiano Orlado L M O M L G = G t L xx n = n L m L x x x x xn ORL g g L L M O M L g gm L L x n xn xnx xn Programación No Lineal José Luis Quintero g x g x m L g x M O M L g x M O M L m

12 Hessiano Orlado donde : matrizm mdeceros G(x) : matriz jacobiana de las restricciones t G(x): matriz jacobiana traspuesta L : xx matrizn ndesegundasderivadasdel Lagrangiano respecto de x Programación No Lineal José Luis Quintero

13 Método de Lagrange (Igualdad) CRITERIO DEL HESSIANO ORLADO Si(x, λ) cumple con la condición necesaria de primer orden y los últimos n m menores principales dominantes del Hessiano Orlado evaluado en(x, λ) tienen signos alternados m empezando en ( ) + entonces x es un máximo local de f(x) bajo restricciones de igualdad. Programación No Lineal José Luis Quintero 3

14 Método de Lagrange (Igualdad) CRITERIO DEL HESSIANO ORLADO Si(x, λ) cumple con la condición necesaria de primer orden y los últimos n m menores principales dominantes del Hessiano Orlado evaluado en(x, λ) tienen todos el signo de m ( ) entoncesx es un mínimo local de f(x) bajo restricciones de igualdad. Programación No Lineal José Luis Quintero 4

15 Puntos a tratar. Segundo problema de interés. Definiciones importantes 3. Método de Lagrange (Igualdad) 4. Análisis de sensibilidad 5. Ejemplos ilustrativos Programación No Lineal José Luis Quintero 5

16 Análisis de sensibilidad PROBLEMA. optf(x) s.a. G(x) = c, f:r R, x R, G:R R n n n m OBSERVACIÓN. f(x( c )) c = c = λ t Programación No Lineal José Luis Quintero 6

17 Puntos a tratar. Segundo problema de interés. Definiciones importantes 3. Método de Lagrange (Igualdad) 4. Análisis de sensibilidad 5. Ejemplos ilustrativos Programación No Lineal José Luis Quintero 7

18 PROBLEMA. Ejemplo ilustrativo optf(x,x) = xx s.a. g(x,x) = x + x = PROBLEMA. (Función de Lagrange) optl(x,x, λ ) = xx λ (x + x ) Programación No Lineal José Luis Quintero 8

19 Ejemplo ilustrativo PROBLEMA. (Condición necesaria) L(x,x, λ ) = : x x = λx (x,x, λ ) = (,, ) () () () = λ () () () 4 λ = = x x (x,x, ) (,, ) Programación No Lineal José Luis Quintero 9

20 Ejemplo ilustrativo PROBLEMA. (Regularidad) g(x,x) = (x,): g(x,x ) = g(, ) = (,) () () Rango( g(, )) = (, )regular g(x,x ) = g(, ) = (,) () () Rango( g(, )) = (, )regular Programación No Lineal José Luis Quintero

21 Ejemplo ilustrativo PROBLEMA. (Espacio nulo) { y } N = :xy + y = { y } P(,, ) N = : y + y = { y } P(,, ) N = : y + y = Programación No Lineal José Luis Quintero

22 Ejemplo ilustrativo PROBLEMA. (Condición suficiente) λ L(x,x, λ ) = = + λ x 4 3 L( x 3, 3, 3) = 4 3 L( x 3, 3, 3) = Programación No Lineal José Luis Quintero

23 Ejemplo ilustrativo PROBLEMA. (Condición suficiente) t y t λ y y Ly = y yy y = λ + y x t y L(P) y = 6 y >.mínimolocalestricto x 3 t y L(P) y = 6 y <.máximolocalestricto x 3 Programación No Lineal José Luis Quintero 3

24 Ejemplo ilustrativo CRITERIO DEL HESSIANO ORLADO x H = x λ ORL Programación No Lineal José Luis Quintero 4

25 Ejemplo ilustrativo 3 H (P) = ORL = 4 < P esunmínimolocal Programación No Lineal José Luis Quintero 5

26 Ejemplo ilustrativo 3 H (P) = ORL = 4 > P esunmáximolocal Programación No Lineal José Luis Quintero 6

27 Ejemplo ilustrativo 5 5 Eje z Eje z -5 Eje y - - Eje x -5 Eje y Eje x x 7 Eje z Eje z - x 4 Eje y Eje x - 3 Eje y Eje x.5 Programación No Lineal José Luis Quintero 7

28 PROBLEMA. Ejemplo ilustrativo optf(x,x) = x + x s.a. g(x,x) = x + x = PROBLEMA. (Función de Lagrange) optl(x,x, λ ) = x + x λ (x + x ) Programación No Lineal José Luis Quintero 8

29 Ejemplo ilustrativo PROBLEMA. (Condición necesaria) L(x,x, λ ) = : () () () () () () = λx = λx x + x = (x,x, λ ) = (,, ) (x,x, λ ) = (,, ) Programación No Lineal José Luis Quintero 9

30 Ejemplo ilustrativo PROBLEMA. (Regularidad) g(x,x) = (x,x): = = () () g(x,x ) g(, ) (, ) Rango( g(, )) = (, )regular = = () () g(x,x ) g(,) (,) Rango( g(,)) = (,) regular Programación No Lineal José Luis Quintero 3

31 Ejemplo ilustrativo PROBLEMA. (Espacio nulo) { y } N = :xy + xy = { y } P(,, ) N = : y y = { y } P(,, ) N = :y + y = Programación No Lineal José Luis Quintero 3

32 Ejemplo ilustrativo PROBLEMA. (Condición suficiente) λ λ L(x,x, λ ) = = + λ x L(,, x ) = L(,, x ) = Programación No Lineal José Luis Quintero 3

33 Ejemplo ilustrativo PROBLEMA. (Condición suficiente) t y t λ y y Ly = (y y) x y = λ + λ y t y L(P) y = y >.mínimolocalestricto x t y L(P) y = y <. máximo local estricto x Programación No Lineal José Luis Quintero 33

34 Ejemplo ilustrativo CRITERIO DEL HESSIANO ORLADO x x H = x λ ORL x λ Programación No Lineal José Luis Quintero 34

35 Ejemplo ilustrativo H (P) = ORL = 8 < P esunmínimolocal Programación No Lineal José Luis Quintero 35

36 Ejemplo ilustrativo H (P) = ORL = 8 > P esunmáximolocal Programación No Lineal José Luis Quintero 36

37 Ejemplo ilustrativo 5 Eje z Eje z - -5 Eje y - - Eje x -4 Eje y Eje x Eje z Eje z - Eje y Eje x - Eje y Eje x.5 Programación No Lineal José Luis Quintero 37

38 PROBLEMA. Ejemplo ilustrativo 3 optf(x,y,z) = x + y s.a. g(x,y,z) = z = 3 g(x,y,z) = z (y ) = PROBLEMA. (Función de Lagrange) 3 optl(x,y,z, λ, λ ) = x + y λz λ(z (y )) Programación No Lineal José Luis Quintero 38

39 Ejemplo ilustrativo 3 PROBLEMA. (Condición necesaria) L(x,y,z, λ, λ ) = : x = y = 3 λ(y ) = λ + λz z = 3 z (y ) = INFACTIBLE Programación No Lineal José Luis Quintero 39

40 Ejemplo ilustrativo 3 OTRA FORMA: z = C: r(t) = (t,,) 3 z (y ) = f((t)) r = u(t) = t + u'(t) = t = t = u''(t) = u''() > P(,, ) Mínimo local Programación No Lineal José Luis Quintero 4

41 Pensamiento de hoy Todo el mundo desea saber, pero pocos están dispuestos a pagarelprecio. Juvenal Programación No Lineal José Luis Quintero 4

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