Bloque 2. La matemática para un pensamiento reflexivo

Transcripción

1 La matemática para un pensamiento reflexivo Aprender matemáticas no solo significa memorizar conocimientos, también es necesario practicarlos y ser más reflexivo ante los desafíos de la vida cotidiana. Por ejemplo, son importantes para resolver planteamientos con el fin de explicar nuestro entorno, como crear modelos del comportamiento de la población en una ciudad. Podríamos llegar a una solución sin matemáticas? Es probable que sí, pero estas nos permiten agilizar procedimientos y usar técnicas más eficientes para dar certeza a nuestros resultados, aunque, recuerda que usar un algoritmo o método apropiadamente es solo una parte de la solución; la otra es saber darle un sentido y tomar buenas decisiones. En este bloque estudiarás monomios y polinomios, y fórmulas y pasos para calcular volúmenes de cubos, prismas y pirámides, además de situaciones de proporcionalidad inversa, probabilidad frecuencial y teórica. Bloque 2 72

2 Aprendizajes esperados 1. Resuelve problemas aditivos con monomios y polinomios. 2. Resuelve problemas en los que sea necesario calcular cualquiera de las variables de las fórmulas para obtener el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos. Establece relaciones de variación entre dichos términos. 73

3 Lección 13 Adición y sustracción de monomios I Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas aditivos Contenido Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios En el taller de carpintería Leobardo diseñó un librero armable. Cada pieza cuadrada se ensambla con otra y se pueden crear diferentes diseños de ese mismo librero. 1. Observa las secuencias de figuras. El perímetro exterior de cada una se muestra con color diferente. Contesta las preguntas en tu cuaderno. Figura 1 Figura 2 Figura 3 Figura 4 Figura 5 Secuencia 1 a) Considera que la medida de un lado del cuadrado de la figura 1 es una unidad. Cuál es el perímetro de las figuras 1 a 5? Ahora considera que la medida es a. Cuáles son los perímetros? 4, 8, 12, 16, 20; 4a, 8a, 12a, 16a, 20a b) Compara, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados y digan cómo los obtuvieron. c) Vuelve a trabajar individialmente. Considera que un cliente pidió a Leobardo que elaborara 2a piezas cuadradas del doble de tamaño. Fíjate en la figura, a es el valor original de la pieza. Oriéntate En las expresiones algebraicas, las literales representan números. d) Al fabricar las piezas al doble de su tamaño, cuál sería el perímetro del cuadrado que corresponde a la figura 1 de la secuencia nueva? 8a e) Determina el perímetro exterior de la figura 2 de la nueva secuencia; considera que las piezas están al doble de su tamaño. 16a f) El perímetro de una figura es de 48a. A qué número de figura corresponde? A la figura 6. g) Otro cliente le pidió a Leobardo fabricar piezas a la mitad de su tamaño original. Cuánto medirá el perímetro exterior de la figura 5 de la secuencia de estas nuevas figuras? 10a h) Leobardo diseño otro estilo de librero, con cuadrados de 5a por lado. Escribe, en tu cuaderno, el perímetro de las siguientes tres figuras de la secuencia 2. 30a, 60a, 90a Figura 1 Figura 2 Figura 3 Secuencia 2 i) Valida, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados anteriores. Escriban una conclusión sobre los procedimientos usados para obtener el perímetro. 2. Reúnete con un compañero. Analicen la figura y respondan en sus cuadernos. Usen lo trabajado en la actividad anterior. 4a 2a a) Determinen el perímetro de la figura anterior. Si en el rectángulo anterior se disminuyera a la mitad cada uno de sus lados, cuál sería el valor del perímetro del nuevo rectángulo? 12a; 6a 74 Bloque 2 Lección 13

4 Lección 13 b) Describan, ante el grupo y con ayuda de su profesor, el procedimiento que usaron para obtener el valor del perímetro. Anoten una conclusión en sus cuadernos. Un paso adelante 3. Responde las siguientes preguntas en tu cuaderno. Lupe fue al mercado a comprar verdura para preparar una sopa. a) Las zanahorias cuestan $12.00 el kilogramo. Si x representa los kilogramos que compró, elige la expresión que se emplea para saber cuánto pagará. 12x 12_ x 12x x_ x b) Los chícharos cuestan $16.00 el 1 kg. Si y representa los kilogramos que compró, qué expresión 2 es útil para saber cuánto pagará? 32y 16y 16 + y 32y 16y + 8 c) El kilogramo de garbanzos cuesta tres cuartos de lo que vale un kilogramo de zanahorias. Anota una expresión donde z represente los kilogramos que compró para saber cuánto pagará. 9z d) Escribe una expresión para determinar cuánto pagará Lupe en total por toda la verdura. 12x + 32y + 9z 4. Reúnete con un compañero. Analicen el siguiente planteamiento y respondan. Oriéntate Con una literal se puede representar el precio de un producto. Se puede escribir como una cantidad x. a) Doña Leonor vende verduras en el mercado. Ella utiliza la expresión 30m para determinar cuánto debe cobrar al vender m kilogramos de manzanas, y la expresión 12n para determinar cuánto debe cobrar al vender n kilogramos de naranjas. i) Es posible escribir una única fórmula para cobrar ambos productos? Sí: 30m + 12n. ii) En la siguiente semana, Doña Leonor venderá el mismo tipo de manzanas pero ahora empaquetadas en bolsas con 2 kg. De acuerdo con este planteamiento, qué significado tiene la expresión 30m + 30m = 60m? R. T. Que ahora utilizará la fórmula 60m ya que las bolsas tienen el doble de kilogramos que la situación anterior (30m). b) Compartan su respuestas del inciso anterior con sus compañeros de grupo y concluyan acerca de la suma de dos expresiones semejantes. Lee, en grupo, la siguiente información y propongan algunos ejemplos con lo visto anteriormente. Un monomio es una expresión algebraica que consta de un coeficiente, positivo o negativo, y una o más literales elevadas a un exponente, que puede ser distinto para cada una. Cuando una expresión algebraica se forma al sumar o restar varios monomios, a cada uno se le llama término de la expresión. Dos términos son semejantes si la literal es la misma y están elevadas al mismo exponente. Al sumar o restar términos semejantes queda solamente un término. 5. Simplifica las siguientes expresiones. a) 10m + 21m = 31m b) 3a + 5a + 8a = 16a c) _ 1 2 b + 3b = 7_ d) 40c2 22c 2 10c 2 = 2 b 8c2 Oriéntate Cuando la literal no tiene ningún exponente indicado, significa que está elevada a la potencia 1, por ejemplo: 4m = 4m 1. Oriéntate Componentes de un monomio literal signo exponente 5xy 2 coeficiente Lección 13 Bloque 2 75

5 Lección 13 Adición y sustracción de monomios I Lee, en grupo, la siguiente información. Propongan algunos ejemplos. Para reducir o simplificar términos semejantes se suman los coeficientes y su parte literal se pasa igual; por ejemplo: 6x 3 + 8x 3 = ( 6 + 8)x 3 = 2x 3 Profundiza 6. Lee cada planteamiento y responde. Usa la información del recuadro anterior. a) La fórmula para obtener el área de un cuadrado es A = l 2, donde la literal l representa la medida del lado del cuadrado. i) El valor del lado de un cuadrado es 4 cm. Sustitúyelo en la fórmula y obtén el área. A = (4 cm) 2 = 16 cm 2 ii) Usa expresiones algebraicas para representar lo siguiente: la suma del área de dos figuras iguales es igual a dos veces el área de la primera. R. T. A + A = 2A b) Observa el diagrama del tangram. Supón que el área del cuadrado pequeño es x unidades cuadradas. Responde en tu cuaderno: cuál es el área del... i) triángulo pequeño? x_ ii) triángulo grande? 2x 2 iii) triángulo mediano? x iv) romboide? x v) cuadrado formado por todas las piezas? 8x c) De forma grupal, valida tus resultados anteriores. Describan el procedimiento que usaron para responder las preguntas. 7. Responde con un compañero. a) Observen los siguientes trazos. 4x x i) Cómo es el primer trazo respecto al segundo? ii) Cómo es el segundo trazo respecto al primero? iii) Cuánto suman ambos segmentos? iv) Cuánto mide el segmento mayor menos el menor? 4 veces mayor. 4 veces menor. 5x 3x v) Escribe la longitud del segmento mayor como la suma de varios segmentos pequeños. 4x = x + x + x + x 76 Bloque 2 Lección 13

6 Lección Lee los siguientes planteamientos y escribe, en tu cuaderno, la expresión algebraica correspondiente. En los incisos c) y d) encuentra además la solución. a) En un triángulo isósceles, uno de los lados iguales mide lo doble que el lado desigual. Determina su perímetro. R. T. P = a + 2a + 2a = 5a b) En una cancha de futbol, la medida del ancho es _ 3 la medida del largo. Halla su perímetro. 4 R. T. P = a + 3a 4 c) Dos números iguales + suman a + 3a = 7a 2 Qué número es? R. T. a + a = 32 = 2a; a = 16 d) Un número más su doble suman 21. Qué número es? R. T. b + 2b = 3b = 21; b = 7 9. Lee la situación y responde en tu cuaderno. Usa la información analizada anteriormente. Rodrigo trabaja en un laboratorio y efectuará un experimento con dos vasos de precipitado. a) Escribe con expresiones algebraicas la siguiente relación: la capacidad de un vaso grande es el doble de un vaso pequeño. La capacidad del vaso grande es 2x y la capacidad del vaso pequeño es x. b) El manual menciona que un vaso de precipitado debe tener una capacidad de 2x mililitros y el otro, el doble de capacidad que el primero. Qué capacidad tiene el segundo vaso? 4x ml c) Si repitió el experimento varias veces y utilizó tres vasos pequeños y cuatro grandes, cuál fue el total de capacidad que usó para su experimento? 22x ml 10. Completa, a partir de lo trabajado en la lección, la siguiente tabla. Expresión Valor de la literal Simplificación Valor numérico de la expresión 2x + 7x x = 3 9x 27 5x x 2 x = 2 15x b + 3b b = 1 13b g + 2g+ 5g g = 3 11g 33 6y y 2y y = 1 9y Verifica, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados de la tabla anterior, analicen las dudas y dificultades. Corrijan lo que sea necesario. TIC Explora Practica las operaciones con monomios. Explora Comenta con un compañero lo que aprendiste y las dudas que tengas de las actividades. Si lo consideran necesario, revisen los resultados de las actividades 4 y 5 de esta lección. Para la bi ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 13 en la bitácora de la página 110. En un código de barras, el valor de cada una depende de su grosor. Supón la equivalencia siguiente: x 2x 3x Cuánto suman todas las barras? 41x Lección 13 Bloque 2 77

7 Lección 14 Adición y sustracción de monomios II Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas aditivos Contenido Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de monomios Cajas de cartón Una empresa de empaques está elaborando un pedido de cajas de cartón. Cada caja tiene una forma cúbica y a su vez, dentro de cada caja se acomodarán otras cajas cúbicas de menor tamaño. Al gerente le interesa saber el área de las caras porque hay que pintarlas. 1. Responde lo siguiente. a) En la figura de la izquierda (figura 1) se muestra un esquema de cómo se acomodan ocho cajas cúbicas de menor tamaño. i) Para obtener el área de una de las caras de un cubo se emplea la fórmula A = l 2, donde l es la medida de la arista de cada cubo pequeño; entonces, para dos caras se usa: A = l 2 + l 2 = 2l 2. Cuál es la fórmula para obtener el área total (área de todas las caras) de un cubo pequeño? A = 6l 2 Figura 1 ii) Cuál es la fórmula para obtener el área total de dos cubos pequeños? A = 12l 2 iii) Cuál es la fórmula para obtener el área de todos los cubos pequeños que conforman la figura 1? A = 48l 2 iv) El gerente decidió emplear dos tonalidades de color; pintará las caras exteriores del cubo grande de un tono oscuro y las interiores de uno claro. Considera la figura 1; escribe una fórmula para obtener el área de las caras que dan al exterior y otra para las que dan al interior. A = 24l 2 A = 48l 2 24l 2 = 24l 2 Figura 2 v) El gerente quiere repetir la combinación de tonalidades con el cubo de la figura 2. Anota una fórmula para obtener el área de las caras que dan al exterior y otra para las que dan al interior. A = 96l 2 A = 288l 2 b) Revisa, en pareja y con ayuda del profesor los resultados. Escriban una conclusión sobre el procedimiento para obtener el área de varias caras de los cubos. 2. Reúnete con un compañero. Analicen el siguiente planteamiento y respondan. a) Mauricio quiere cercar un terreno con malla metálica. La cantidad de rollos que requiere para cada lado del terreno se muestra en la imagen de arriba. i) Calculen la cantidad total de malla que requerirá. 22 _ 1 12 r ii) Mauricio tiene 2 1 r para cercar el terreno. Cuánto le falta? 19 _ r iii) Si r = 8 m de largo, cuántos metros tiene? 18 m iv) Cuántos metros le faltan para cercar el terreno? 158 _ 2 3 m v) Compartan sus respuestas con sus compañeros de grupo, analícenlas y escriban una conclusión. 2r 1.25r 7.5r 6r 5 _ 1 3 r 78 Bloque 2 Lección 14

8 Lección 14 Un paso adelante 3. La siguiente tabla presenta expresiones algebraicas. Para cada caso simplifica la expresión y obtén el valor numérico de la expresión. Practica para desarrollar habilidad en el manejo de técnicas. Expresión simplificada Valor de la literal Primer caso Valor numérico de la expresión Valor de la literal 4x + 3.4x 2x 5.4x x = x = 1 2 a = 1 a = 2 4ab ab 3ab b = 3 9 b = 5 1 b + 4b 9b_ b = 6 b = a = 2 a = 3 5a x + 3a x 2 a x 6ax x = 2 24 x = 5 8kx + 4kx kx 5kx k = 1 x = 2 k = 3 x = Segundo caso Valor numérico de la expresión 4. Valida, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados obtenidos en la actividad anterior. Discutan sobre el procedimiento para simplificar una expresión _ Oriéntate Recuerda que 5 ( 4) es lo mismo que En general, la expresión a ( b) puede escribirse como a + b. 5. Trabaja en pareja. Efectúen la siguiente actividad en sus cuadernos. En un rompecabezas se utilizan las siguientes piezas; el valor de cada una depende de su forma, no de su tamaño. 3x 2x 6x 4x 5x 3x 3x 3x a) Determinen el puntaje que obtuvo María con el siguiente arreglo. 88x b) Una variante del juego es que la pieza de la derecha tiene una penalización de 6x. Cuántos puntos obtendrá María con esta regla? 16x c) Posteriormente, Fernando jugó una partida con los valores originales para cada pieza. Cuántos puntos consiguió? 102x 6x d) Quién obtuvo más puntos? Encuentren la diferencia entre los puntos que obtuvo inicialmente María y los de Fernando. Fernando, la diferencia es 14x. e) Ratifiquen, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados. Escriban un conclusión sobre el procedimiento para sumar las piezas. Lección 14 Bloque 2 79

9 Lección 14 Adición y sustracción de monomios II Lee, en grupo, la siguiente información. Propongan algunos ejemplos. Reducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos de aquellas expresiones algebraicas con las literales que tienen el mismo exponente, como se muestra a continuación. 4x 2 + 5x + 5x 2 x = 9x 2 + 4x Profundiza 6. Reduce los siguientes términos semejantes. Usa la información anterior. N a) 12e + 3e 16e ( 20e) = b) 1 4 z 1 8 z z = c) 0.6g 3.4g ( 4.4g) + 1.1g = d) 1 x 6x + 1 x ( x) = 13z _ 40 61x _ 12 19e 2.7g 7. Reúnete con un compañero. Respondan en sus cuadernos con la información del recuadro anterior. O S 3.5x E 3.5x 1.5x 5.3x a) Manuel quería medir una superficie, pero no tenía consigo ningún instrumento de medida. Sin embargo, usó una vara que encontró tirada y dibujó, de acuerdo con las medidas que tomó, el trazo de la izquierda. 2.5x 2x 4x x 4.5x Parcelas 4.5x i) Cuántas varas (x) mide el perímetro del terreno? 34.05x ii) La parte sur colinda con una laguna. Cuál es la medida del perímetro exceptuando la parte colindante con la laguna? 20.8x b) Miguel es agricultor y tiene tres parcelas del mismo tamaño. Cada una es de forma cuadrangular con un valor de 3n por lado. i) Cuánto mide el contorno de una de las parcelas? 12n ii) Cuánto suma el contorno de las tres parcelas, considerando lados comunes? (Las parcelas están ubicadas como se muestra en el dibujo de la izquierda). 30n iii) Miguel quiere cercar las tres parcelas. Planteen esta situación mediante una expresión algebraica en que se indique la sustracción del total obtenido en el inciso anterior y los contornos internos. 30n 6n = 24n c) Miriam juega con piezas geométricas armables. Cada pieza está diseñada a partir de cuadros que miden 3m de lado. 30m 30m 24m 18m 36m 36m 36m 36m 36m 36m 36m 36m 36m i) Determinen el perímetro de todas las piezas de la figura de la izquierda. ii) Qué pieza tiene el menor perímetro? Dibújenla. iii) Describan el procedimiento que usaron para encontrar la medida del contorno. d) Validen, en grupo y con ayuda del profesor, los resultados anteriores. Escriban una conclusión. 80 Bloque 2 Lección 14

10 Lección Reúnete con un compañero y resuelve. a) Completen la secuencia de expresiones algebraicas. Observen que existe una relación entre un renglón y otro. a 8a 28a 56a 70a 56a 28a 8a a a 7a 21a 35a 35a 21a 7a a a 6a 15a 20a 15a 6a a a 5a 10a 10a 5a a a 4a 6a 4a a a 3a 3a a a 2a a a a a i) Qué regularidades observan en el triángulo? Respondan en sus cuadernos. 9. Determina los monomios que hacen falta. Observa que en cada caso se tiene el resultado pero hacen falta algunos términos para poder hacer verdadera la igualdad. a) 8x 2 + 5y + y 4x 2 = 4x 2 + 6y b) 3x 3 y 2y + x 2 + 9y 7x 3 y 3 = 4x 3 y + 7y + x 2 c) 3a 2 9a 2 4c 2 +b 3 = 6a 2 4c 2 + b 3 d) xy z 2 + 5xy = 4xy z Felipe hizo un video sobre la historia de su escuela. Cuando estaba editando el video en su computadora, observó que podía aumentar el número de cuadros por segundo. El programa de edición tiene varias velocidades: 1x, velocidad normal; 2x, doble de velocidad; 3x, triple de velocidad; etc. La tabla de la derecha muestra cómo quedaron los tiempos del video. Contesta en tu cuaderno. a) Cuál es el promedio de velocidad de imagen del video? 1.25x; _ x. b) Si no hubiese adelantado la velocidad en ninguna parte de su video, cuánto duraría? 5 minutos. 11. Haz un debate grupal, de acuerdo con lo estudiado en esta lección, sobre los diferentes contextos o situaciones donde se utilicen los monomios. Elaboren una tabla y escriban sus conclusiones. Tiempo video original Velocidad (min:seg) 0:00 0:30 1x 0:30 0:45 3x 0:45 1:00 1x 1:00 1:50 2x 1:50 3:40 1x 3:40 4:30 2x 4:30 5:00 1x TIC Explora Haz las actividades y contesta las preguntas. Comenta con un compañero las dificultades que tuvieron. Si tienes dudas revisa las actividades 3 y 9 de esta lección. Explora Resuelve las operaciones con expresiones algebraicas. Si tienes errores, revisa de nuevo los recuadros informativos de las lecciones 13 y 14. Para la bi ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 14 en la bitácora de la página 110. El plano de una casa muestra tres habitaciones cuadradas del mismo tamaño. Cada lado de la habitación mide 7x. Cuánto mide el contorno de las tres habitaciones? 84x Lección 14 Bloque 2 81

11 Lección 15 Adición y sustracción de polinomios Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas aditivos Contenido Resolución de problemas que impliquen adición y sustracción de polinomios Juego con piezas de madera Verónica es profesora de matemáticas; ha comprado un juego didáctico, para el estudio del álgebra, que consiste en piezas de madera con diferente color y valor específico (como se muestra en la imagen de la izquierda). La profesora dio las piezas a Natalia y Néstor para que construyeran estructuras. Después de terminar, deben sumar y obtener el valor final de la estructura. 1. Responde los siguientes planteamientos. a) Una construcción que hizo Natalia tenía solo dos piezas rojas. Qué valor se obtuvo? x 2x 3x 4x 5x 6x Juego didáctico de piezas de madera. 4x Figura 1 Figura 2 Figura 3 b) Nestor formó la figura 1. Cuánto obtuvo? 12x c) Por su parte, Natalia elaboró la figura 2. Cuánto obtuvo? d) Ambos hicieron la figura 3. Qué valor se obtiene? 64x 40x e) Describe el procedimiento que usaste para responder las preguntas anteriores. R. T. Calculé el número de piezas de cada tipo y lo multipliqué por el valor correspondiente; al final sumé todos los resultados para obtener la puntación total. f) Compara, con el grupo y ayuda del profesor, tus respuestas. Lleguen a una conclusión. Oriéntate Si dos términos no son semejantes, no es posible reducirlos; por ello, solo se indica la operación. Por ejemplo: 4x y 5x 2 no son semejantes, por lo que su suma queda como: g) En la siguiente ronda, Natalia obtuvo 12x + 8x + 5x. Dibuja, en tu cuaderno, las piezas que representan este valor y una estructura en la que se acomoden. h) En una variante del juego, la pieza rosa tiene un valor de 4x. Con esta variante, qué valor tiene la siguiente estructura? 19x 4x + 5x 2. i) Validen, con ayuda del profesor, las respuestas anteriores. Escriban una conclusión en sus cuadernos. 82 Bloque 2 Lección 15

12 Lección 15 Un paso adelante 2. Reúnete con un compañero y respondan, en sus cuadernos, los siguientes planteamientos. Arista: x Arista: 3y Volumen: 81y 3 a) Determinen, a partir de la información anterior, el volumen de la siguiente figura. Usen expresiones algebraicas. x 3 135y 3 b) En un triángulo isósceles uno de los lados iguales mide 2x; el desigual, 4y. Determinen su perímetro. 4x + 4y c) El lado mayor de un rectángulo mide 3x; el menor, 3x 2. Cuál es su perímetro? 12x 4 d) Ratifiquen, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas anteriores y escriban una conclusión. Oriéntate En la expresión: 3s 2 + 5s 2 + 2, al 2 se le denomina término independiente, ya que no tiene la literal s como el resto de los términos. Lee, en grupo, la siguiente información. Expongan sus dudas y respóndanlas con ayuda de su profesor. Un polinomio es una expresión algebraica con más de un término (monomio) y cada uno se une por un signo de suma o resta. Un polinomio se puede simplificar si tiene términos semejantes entre sí. A esto se le llama reducción de términos semejantes. 3. Trabaja en pareja. Resuelvan el siguiente arreglo; la suma horizontal, vertical y diagonal debe ser 15x 2 + 3x. Utilicen lo trabajado en la lección. 4x 2 x 9x 2 + 2x 2x 2 + 2x 3x 2 + 4x 5x 2 + x 7x 2 2x 8x 2 6x 2 + 3x Profundiza x 2 4. Responde los siguientes planteamientos. Escribe cada respuesta usando un polinomio. a) La hortaliza escolar tiene forma rectangular. Este año se aumentó en 2 m el ancho y 4 m el largo. Cuál es su nuevo perímetro? R. T. x x y y + 2 = 2x + 2y + 12 Oriéntate Dos números son simétricos si están a la misma distancia de 0; por ejemplo, 5 es el simétrico de 5 y viceversa. Lección 15 Bloque 2 83

13 Lección 15 Adición y sustracción de polinomios b) Noemí compró dos ejemplares de una novela con un descuento de $50.00, después regresó a la librería para comprar otros dos ejemplares pero no obtuvo descuento. Cuánto gastó? 4n 50 c) Una varilla es cortada en tres trozos; el segundo es el doble del primero y el tercero es el doble del segundo, más 5 m. Cuánto mide cada trozo? x 2x 4x + 5 Lee, en grupo, la siguiente información. Aplíquenla en las actividades siguientes. Al restar dos polinomios, usualmente el sustraendo (lo que se resta) se indica entre paréntesis precedido por un signo negativo; esto significa que dicho signo afecta los términos dentro del paréntesis. Para quitar el paréntesis y el signo negativo, se puede multiplicar cada término del polinomio por 1; es decir, cambiar cada término por su simétrico y posteriormente sumar los términos semejantes. Por ejemplo: 5m 4n (2n 8m) = 5m 4n 2n + 8m. 5. Reduce los siguientes polinomios. Usa la información del recuadro anterior. a) 4b + 6b + x 2 4bx + 5x 2 6x 2 4bx + 10b b) 11x + 5y 1 x 2x + 4y 1 _ 17x y 1 c) 1 2 x2 1 4 x x2 + 16x _ x2 4 + _ 63x d) 4m 4n 1 4 m m m + 5 3m 4n + 5 e) (5ab + 4ab 2 ) (6ab + 6a 2 b 2 + 5ab 2 5) ab ab 2 6a 2 b Reúnete con un compañero. Efectúen las operaciones indicadas. Polinomio 1: 4y 2 5x 2 + 4x 2 2 Polinomio 2: 3y 3 + 6x 2 5x 3 3x Polinomio 3: 4y 3 5y 2 + 3x x a) polinomio 1 + polinomio 2 + polinomio 3 = 7y 3 y 2 5x 3 + _ 15 2 x2 3x + 10 b) polinomio 1 + polinomio 2 = 4y 2 + 3y 3 + 7x 2 5x 3 3x + 2 c) polinomio 1 + ( polinomio 3) = 4y 3 + y 2 _ 3x d) polinomio 3 + ( polinomio 3) = 0 e) ( 1 ) polinomio 1 + ( 1 ) polinomio 3 polinomio 1 = 2 2 2y 3 9 _ 2 y2 + 7 _ 4 x2 + 7 f) Comparen sus respuestas con las de sus compañeros de grupo. Escriban, en sus cuadernos, una conclusión sobre el procedimiento que usaron para responder las operaciones. 7. Validen, en grupo y con ayuda de su profesor, los resultados de las actividades 5 y Analiza, con el grupo y tu profesor, el siguiente planteamiento. Respondan en sus cuadernos. a) Nayeli infirió que 4x 2 + 3y 2 = 7x 2 y 2 Es correcta su respuesta? Anoten una conclusión. 84 Bloque 2 Lección 15 R. T. No, pues solo se puede simplificar una suma de términos semejantes.

14 Lección Escribe la expresión que hace falta en los siguientes ejercicios de tal forma que la igualdad sea cierta. a) 4x 2 + 8x 2 + 4y 2 16 = 12x 2 + 4y 2 16 b) 3ab 2ab + 7ab 4x 2 + 2ab + 6ab = 16ab 4x 2 c) 6y 2 3y x + y 2 = 5y 2 + 4x y 2 d) 8xy 12xy xy 14xy = 16xy + 15 e) 1 xy + 3 xy + 1_ + = xy xy 3_ 4 xy 1_ 4 xy 10. Reduce los términos semejantes de los siguientes polinomios y posteriormente obtén el valor numérico del polinomio. a) 5x 2 + 3x 3 4 (2x 2 x + x 3 ) = para x = 1 b) 3x 2 2x + 1 (2x 2 2) = para x = 2 2x 3 + 3x 2 + x 4 = 4; para x = 1 x 2 2x + 3 = 3; para x = 2 c) 6y 2 4y 3 + 5y 5 ( 4y 2 6y 5 8x 3 ) = para x = 4 11y 5 4y y 2 + 8x 3 = 11y 5 4y y 2 512; para x = Corrobora, con el grupo y con ayuda del profesor, los resultados de las actividades 9 y Trabaja en pareja. Obtengan el área de la siguiente figura y posteriormente presenten sus resultados al grupo. Usa lo visto en la lección. 4 (x + 4) 2 = x 2 + 8x +16 x 13. Lleva a cabo un debate grupal sobre la conveniencia de usar el arreglo vertical para sumar y restar polinomios. Propongan algunos ejemplos y escriban sus conclusiones. TIC Explora Resuelve las operaciones de la sección "Polinomios, sumar y restar". Compara tus respuestas con las de un compañero. Si tienes dudas, revisa las actividades 3 y 8 de esta lección. Explora Elabora, en tu cuaderno, una explicación de los procedimientos que utilizas para sumar y restar polinomios. Comparte tu explicación con un compañero. Para la bi ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 15 en la bitácora de la página 110. Esta figura tiene todos los lados iguales; cada lado mide 4x + 6y. Cuál es su perímetro? 64x +96y Lección 15 Bloque 2 85

15 Lección 16 Expresiones algebraicas equivalentes Eje: sentido numérico y pensamiento algebraico Tema: problemas multiplicativos Contenido Identificación y búsqueda de expresiones algebraicas equivalentes a partir del empleo de modelos geométricos x Modelos de área En la comunidad donde vive Omar, el gobierno municipal prestará a cada familia una parcela para que cultive alguna hortaliza. El ingeniero encargado del proyecto aun no ha determinado los valores de las medidas, pero ha usado literales para denotarlas. El esquema se muestra en la figura Responde con un compañero. a) En la parcela de la izquierda, qué expresión corresponde al área del cuadrado? b) Anoten la expresión algebraica del área del rectángulo. c) Escriban, como se indica, la expresión algebraica del área de la parcela. x x 2 x 1 Figura 1 i) Como suma de áreas del cuadrado y rectángulo: ii) Como producto de sus lados: (x 2 + 1) x x d) Elaboren, con el grupo, una conclusión relacionada con el procedimiento que siguieron para obtener el área total de la parcela, además de los diferentes procedimientos que usaron. Anótenla en sus cuadernos. 2. Trabaja en pareja. Contesten los siguientes planteamientos en sus cuadernos. El gobierno municipal entregará parcelas que miden 5 m de largo; el ancho se determinará en función de la disponibilidad del terreno. x 2 x 5 2x a) Dibujen, en sus cuadernos, la parcela que le entregarán a la familia de Omar. Anoten las dimensiones de la hortaliza y determinen la expresión algebraica para el perímetro de la hortaliza. 2x + 10 b) Recientemente se ha informado que a las familias que tengan niños se les otorgarán 3 m adicionales al ancho de la parcela. Cuál será la nueva expresión algebraica del perímetro de la parcela de la familia de Omar, suponiendo que haya niños en ella? (x + 3) = 2x +16 c) La mamá de Omar decidió sembrar lechugas en la mitad de la parcela (la línea que divide a la mitad es perpendicular al largo de la parcela). Qué expresión algebraica corresponde al perímetro dedicado al cultivo de lechugas? 2x + 11 d) Los vecinos de Omar les entregaron en préstamo una parcela como la que se muestra a la izquierda. Escriban la expresión algebraica correspondiente. i) Lado del cuadrado: x ii) Lados del rectángulo: 2 y x iii) Área total: (x + 2)x = x2 + 2x x 4x 2 86 Bloque 2 Lección 16 iv) Perímetro total: 2(x + 2) + 2x = 4x + 4 e) Después de la repartición de parcelas, el gobierno municipal se quedó una parcela donde sembrará una nueva variedad de maíz (figura de la izquierda). Anoten la expresión algebraica del perímetro. 2x + 2 (4x 2) = 10x 4 f) Concluyan, de manera grupal, sobre el procedimiento que siguieron para responder los planteamientos anteriores. Escríbanlo en sus cuadernos.

16 Lección 16 Un paso adelante 3. Responde las preguntas. Orlando y su hermana juegan con bloques armables. El juego consiste en hacer diferentes formas con tres tipos de piezas; a cada una se le asignó un valor, como se muestra en la tabla. Pieza Largo Ancho Área 2x x 2x 2 2x 2x 4x 2 4x 2x 8x 2 Las figuras que armaron fueron las siguientes. Figura 1 Figura 2 a) Determina el perímetro de la figura 1. b) Halla el área de la figura 1. c) Encuentra el perímetro de la figura 2. Figura 3 54x 114x2 36x d) Determina el área de la figura 2. 76x2 e) Halla el perímetro de la figura 3. 48x f) Encuentra el área de la figura 3. 42x2 g) Comparte tus respuestas con tus compañeros de grupo. Analicen diferencias, compartan sus dudas para resolver posibles dificultades y escriban una conclusión en sus cuadernos. h) Deduzcan el procedimiento para obtener el área de las piezas de la tabla que se encuentra al inicio de la página. Lección 16 Bloque 2 S RET_M2_B2_ indd /11/13 3:44 PM

17 Lección 16 Expresiones algebraicas equivalentes Profundiza Lean la siguiente información y propongan algunos ejemplos al respecto. Para multiplicar dos monomios, se multiplican los coeficientes y las literales. En caso de ser literales iguales, se suman los exponentes. 5x 4y 2 8x 2 y 4 5x x y x y 4 20xy 2 40x 8 y 4 Para multiplicar un monomio por un polinomio, se multiplica el monomio por cada término del polinomio respetando el signo de operación (suma o resta) y posteriormente se aplica el criterio anterior. 5x ( 5y 2 + 3x) = 5x(5y 2 ) + 5x (3x) = 5 5 x y x x = 25xy x 2 4. Trabaja en pareja. Resuelvan el siguiente planteamiento a partir de lo analizado anteriormente. a) Osvaldo trabaja en una fábrica que empaca leche en cajas de cartón. i) La caja de cartón tiene una base cuadrada de 2x de lado; la altura es de 4y. Cuál es la medida de la superficie total de la caja? 8x xy El jefe de Osvaldo le pidió almacenar las cajas de leche sobre una base de madera, tal como se muestra en la siguiente figura esquemática. ii) De acuerdo con la imagen anterior, cuál es la medida de la superficie total de la figura formada por todas las cajas de leche? 672xy x 2 1.5m 1.5m 4x 2 88 Bloque 2 Lección 16 x 5. Reúnete con dos compañeros. Respondan en sus cuadernos. El gobierno municipal entregó a Ofelia una pequeña parcela con las dimensiones indicadas en la figura de la izquierda. Ofelia dejará un pasillo de 1.5 m de ancho alrededor de su parcela para guardar los instrumentos de labranza. a) Cuál es el perímetro del rectángulo interior? 10x 16 b) Cuánto suman los perímetros exterior e interior del pasillo? 10x x 4 = 20x 20 c) Qué área utilizará para cultivar hortalizas? (x 3) (4x 5) = 4x 2 17x + 15 d) Determinen el área que destinó para guardar sus instrumentos. 15x 15

18 Lección En la tabla aparecen varias figuras geométricas y sus magnitudes. Complétala con un compañero. Posteriormente tracen, en sus cuadernos, lo que se indica. Figura Largo Ancho Perímetro Área a a a 4a a 2 a a a b 1 a b 2a + 2b ab a 1 2a + 2 a b b b b 4b b 2 1 b 1 1 b 1 2b + 2 b a) Una figura de área a 2 + 2ab + b 2. b) Una figura de área 2a 2 + 2b 2 + ab. c) Una figura de área 6a + 4b Efectúa, con el grupo y con ayuda del profesor, un debate analizando las ventajas de la representación de expresiones algebraicas mediante figuras geométricas. Escriban sus conclusiones en sus cuadernos. TIC Explora Elabora, en tu cuaderno, una explicación de lo que observas al cambiar los valores del ejercicio. Comenta con un compañero tus procedimientos para hacer operaciones con polinomios. Explora Escribe el polinomio y, en tu cuaderno, explica a qué elementos de la figura corresponde cada término del polinomio. Si tienes dudas, revisa la actividad 4 de esta lección. Para la bi ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 16 en la bitácora de la página cm A un cuadrado de lado x se le quitan cuatro cuadritos de 1.5 cm de lado en sus extremos, y con el papel restante se elabora una caja. Cuál es su volumen? 1.5x 2-9x Lección 16 Bloque 2 89

19 Lección 17 Fórmulas de cubos, prismas y pirámides Eje: forma, espacio y medida Tema: medida Contenido Justificación de las fórmulas para calcular el volumen de cubos, prismas y pirámides rectos Los cubos El papá de Emilio es ingeniero. Un día Emilio escucho a su papá decirle a un contratista de obra que alculara cuántas unidades cúbicas se necesitaban rellenar con concreto para terminar los pilares de un puente. 1. Contesta las preguntas. Emilio sacó sus cubos y consideró que cada uno era una unidad cúbica. Armó las siguientes figuras. Figura 1 Figura 2 Figura 3 a) Cuántas unidades cúbicas tiene la figura 1? 6 b) Cuántas unidades cúbicas hay en la base de la figura 2? 4 c) Cuántas unidades cúbicas tiene de alto la figura 2? 3 d) Cuántas unidades cúbicas tiene la figura 2? 12 e) Cuántas unidades cúbicas tiene la base de la figura 3? 9 f) Cuántas unidades cúbicas forman la altura de la figura 3? 3 g) Cuántas unidades cúbicas tiene la figura 3? 27 h) Si cada cubo que forma la figura 3 tiene un volumen de 1 cm 3, cuál es el volumen total de la figura? 27 cm 3 i) Verifica, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas de la actividad 1. Comenten el significado de volumen de un cuerpo y escriban una conclusión. R. T. El volumen de un cuerpo es la medida del espacio que ocupa. Lee, en grupo, la siguiente información. Expresen sus dudas y resuélvanlas con ayuda de su profesor. El volumen de un cuerpo es la cantidad de espacio que ocupa. Cuando se habla de medir el volumen se entiende que se hace una comparación del espacio que ocupa el cuerpo respecto a un espacio conocido, es decir, se calcula el número de unidades cúbicas que caben en su interior. 90 Bloque 2 Lección 17

20 Lección 17 Un paso adelante 2. Contesta con un compañero. a) Observen el siguiente prisma. 2 cm 5 cm b) Qué forma tiene la base? 4 cm Rectangular. Si se rellena el prisma con cubos de 1 cm de arista, se obtiene lo siguiente. Recuerda: Oriéntate Observen la imagen de la derecha y contesten. altura profundidad longitud c) Cuántos cubos tiene de longitud? d) Cuántos cubos hay de profundidad? 4 5 e) Cuántos cubos forman la altura? 2 f) Cuántos cubos tiene el prisma en total? 40 g) El número de cubos equivale al volumen del prisma? Sí. Justifiquen su respuesta. h) Comenten la respuesta anterior con el grupo y redacten, en sus cuadernos, una conclusión. 3. Discute, con el grupo y con ayuda del profesor, la siguiente afirmación. Un prisma recto es aquel cuyas caras laterales son rectangulares. El volumen de todo prisma recto se calcula multiplicando el área de su base por la altura. V = A B h Oriéntate Un prisma recto es un sólido con dos bases paralelas del mismo tamaño y forma; puede ser cualquier polígono. a) La afirmación anterior es verdadera sin importar la forma de la base? Justifiquen la respuesta en sus cuadernos. Sí. b) Propongan varios casos en los que usen la información del recuadro anterior. Con la ayuda del profesor, escriban una conclusión en sus cuadernos. Lección 17 Bloque 2 91

21 Lección 17 Fórmulas de cubos, prismas y pirámides Profundiza 4. Lee la situación y contesta las preguntas en tu cuaderno. Julieta estaba estudiando el tema de cuerpos geométricos y analizó la siguiente imagen. 8 cm 8 cm 12 cm 12 cm 12 cm 12 cm a) Observa ambos cuerpos geométricos y escribe las características comunes que encuentres. Ambos cuerpos tienen bases cuadradas de lado (12 cm) e igual altura (8 cm). b) Los cuerpos geométricos tienen el mismo volumen? Explica. No, el volumen de la pirámide es menor. c) Compara, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas de los incisos anteriores a) y b). Escriban una conclusión. 5. Reúnete con dos compañeros. Desarrollen la siguiente actividad a partir de lo analizado anteriormente; respondan en sus cuadernos. a) Reproduzcan los siguientes trazos en cartulina y ármenlos, pero no peguen una de las bases a las caras. Observarán la relación entre los volúmenes de ambas figuras. 12 cm 12 cm 10 cm 8 cm 12 cm 12 cm b) Si cambian la longitud de la altura de las caras de la pirámide, cambiará su altura? Sí. c) Llenen de arena o azúcar la pirámide y viertan el contenido en el prisma. Repitan este procedimiento cuantas veces se requiera para llenarlo. 92 Bloque 2 Lección 17 d) Cuántas veces cabe el contenido de una pirámide en un prisma con la misma base y altura? Tres veces.

22 Lección 17 e) Ratifiquen, en grupo y con ayuda del profesor, las respuestas anteriores. Escriban en sus cuadernos una conclusión respecto a la relación entre los volúmenes de ambas figuras. 6. Analiza la siguiente afirmación. El volumen de toda pirámide se calcula con el cociente del producto del área de su base por la altura entre tres. V = _ A h B 3 a) Qué relación hay entre la actividad efectuada y la afirmación anterior? R. T. El volumen de la pirámide es un tercio del volumen del prisma correspondiente equivale a decir que el prisma tienen el triple de volumen. b) Comenta grupalmente tu respuesta. Escriban una conclusión en sus cuadernos. 7. Responde con base en las figuras; analízalas y usa lo trabajado en la lección. 8.6 m 50 m x 10 m a) Cuál es el volumen del prisma hexagonal? 10 m 8.6 m m 3 b) Si la pirámide tuviera la misma altura que el prisma, cuál sería su volumen? c) Qué altura debe tener la pirámide para que su volumen sea igual al volumen del prisma? 150 m d) Debate, con el grupo y con ayuda del profesor, la respuesta anterior. Concluyan al respecto. TIC Explora Por si tienes dudas o consideras que necesitas explorar más las características de los cuerpos geométricos. Explora Resuelve los ejercicios y, si tienes dudas, revisa las actividades 1 y 2 de esta lección. Para la bi ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 17 en la bitácora de la página 111. Las Torres de Satélite son un conjunto escultórico de cinco prismas triangulares. Calcula el volumen aproximado de un prisma triangular de 30 m de altura y cuya base es un triángulo equilátero de 10 m de lado m 3 Lección 17 Bloque 2 93

23 Lección 18 Volumen de cubos, prismas y pirámides I Eje: forma, espacio y medida Tema: medida Contenido Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides. La alberca: cálculo de volumen Hay diferentes tipos de albercas, pero para una competencia se necesitan ciertas condiciones y una de ellas son sus medidas. Una alberca olímpica mide 50 m de largo, 21 m de ancho y 2 m de profundidad. 1. Responde con un compañero. a) Qué volumen tiene una alberca olímpica? m 3 b) Si se duplican las medidas de la alberca, qué cantidad de agua le cabría? m 3 c) La cantidad de agua también se duplicó? Expliquen en sus cuadernos. No, aumentó ocho veces. 2. La siguiente tabla muestra medidas de varias cisternas cúbicas. Complétenla y respondan en sus cuadernos. Medida de arista 1 m 2 m 4 m 8 m Volumen 1 m 3 8 m 3 64 m m 3 a) Cómo cambia el volumen en función del cambio de longitud de la arista? Expliquen en sus cuadernos. R.T. Si la arista se multiplica por n, el volumen se multiplica por n 3. b) Comparen, en grupo y con ayuda del profesor, su respuesta del inciso anterior. Anoten una conclusión al respecto. 3. Trabaja con un compañero. Supongan que una alberca tiene la forma mostrada en la figura. El área de la base es de 43 m 2 y el volumen, de 86 m 3. Contesten las preguntas y escriban sus procedimientos en sus cuadernos. Área de la base 43 m 2 a) Qué altura tiene la alberca? 2 m b) Qué volumen de agua contendría si esta llegara a una altura de 1.5 m? 64.5 m 3 c) Si el área de la base aumenta al doble, el volumen de la alberca también aumenta al doble? Expliquen; hagan los cálculos necesarios en sus cuadernos. Sí. d) Corroboren, en grupo y con ayuda de su profesor, los resultados anteriores. Escriban en sus cuadernos una conclusión sobre el cálculo de volumen. 94 Bloque 2 Lección 18

24 Lección 18 Un paso adelante 4. Resuelve con un compañero. Usen lo visto anteriormente. a) Un albañil cobra por metro cúbico de construcción $ Si edificó una columna en forma de prisma rectangular con medidas de 60 cm de largo, 40 cm de ancho y 1.80 m de alto, cuánto deberá cobrar por la columna? $ b) Redacten el procedimiento que siguieron para encontrar la respuesta anterior. R. T. Calculé el volumen del prisma en metros cúbicos y multipliqué el resultado por el precio por metro cúbico. c) En una granja desean construir almacenes para guardar sus granos. Los planos propuestos por un arquitecto son los siguientes. 10 m 10 m 4 m 3 m 8 m 6 m i) Si hacen dos pirámides, tendrán la misma capacidad que con un prisma? No. Justifiquen su respuesta. 3 d) Observa la figura. Qué volumen tiene el cubo? cm Y la pirámide? cm3 3 i) Si se duplica cada medida, el volumen también aumentará al doble? No. 50 cm Expliquen su respuesta. R. T. El volumen aumentaría ocho veces (2 3 ). 50 cm 50 cm ii) Si la altura se reduce a 25 cm, el volumen se reducirá a la mitad? Sí. Justifiquen su respuesta. R. T. Como el área de la base no cambia y la altura se reduce a la mitad, el volumen se reduce a la mitad. iii) Si la altura se aumenta a 100 cm, el volumen aumentará al doble? Sí. Justifiquen su respuesta. R. T. Como el área de la base no se modifica y la altura se duplica, el volumen se duplica. 5. Cambien de compañero de trabajo y comparen sus respuestas; lleguen a una conclusión en cada planteamiento. Lección 18 Bloque 2 95

25 Lección 18 Volumen de cubos, prismas y pirámides I Profundiza 6. Reúnete en equipo. Lean los planteamientos y respondan en sus cuadernos. a) Un ortoedro tiene de volumen cm 3. Las dimensiones de su base son 12 cm y 6 cm. Cuál es el área de su base? Cuál es la altura del ortoedro? 72 cm 2 ; 15 cm b) Considerando las figuras de abajo, cuántas cajas pequeñas se pueden guardar en la grande? m 3 m 2 m 30 cm 20 cm 10 cm i) Describan, en sus cuadernos, el procedimiento que desarrollaron para encontrar la respuesta. R. T. Cada medida de la caja grande es 10 veces mayor que la correspondiente en la pequeña; lo que significa que su volumen es 103 veces mayor, es decir veces mayor. c) Una empresa empaca productos frágiles. Las cajas deben permanecer como se indica en la figura de la izquierda, es decir, no se pueden voltear. Cuál es el volumen de la caja? cm 3 50 cm 40 cm 30 cm i) Cuántas cajas se pueden acomodar en la base de en un contenedor con dimensiones de 3.20 m de largo y 3.90 m de ancho? 104 cajas. ii) Si el contenedor mide 1.60 m de altura, Cuál es el número máximo de cajas que pueden acomodarse dentro de él? 312 cajas. d) El área total de un cubo es de 294 cm 2. Cuál es el área de cada cara? Cuánto mide de arista? Cuál es el volumen? 49 cm 2 ; 7 cm; 343 cm 3 e) Cuál es el volumen de una pirámide cuadrangular de 12 cm de apotema y 28 cm de altura? 5376 cm 3 f) Una pirámide hexagonal mide 18 m de altura y tiene un volumen de m 3. i) Si la base mide 5 cm de lado, cuánto mide su apotema? 4.33 cm ii) Si el lado de la base, la apotema y la altura midieran el doble, cuál sería el volumen? cm 3 g) Calculen el volumen del siguiente cuerpo geométrico. 310 cm 3 10 cm 4 cm 3 cm 96 Bloque 2 Lección cm 3.5 cm 2 cm 2.5 cm

26 Lección Expongan sus resultados de la actividad anterior ante sus compañeros. Con ayuda de su profesor, analicen las dificultades. 8. Reúnete con dos compañeros. Completen la tabla y respondan. R. T. Prisma Largo Ancho Alto Volumen Cuadrangular m 3 Rectangular cm 3 a) Intercambien respuestas con otros equipos. b) Todos los equipos obtuvieron las mismas respuestas? R. T. No necesariamente. c) Discutan grupalmente el porqué de la respuesta anterior. Con ayuda de su profesor escriban una conclusión al respecto, considerando el número de datos mínimos que se requieren para obtener siempre el mismo resultado. R. T. Dos longitudes y el volumen final en caso del prisma rectangular, o un lado de la base y el volumen para el prisma cuadrangular. 9. Resuelve los siguientes planteamientos. a) Qué cantidad de agua cabe en una alberca de 20 m de largo, 5 m de ancho y 3 m de profundidad? 300 m 3 i) Si se desea modificar la profundidad de la alberca para que contenga 230 m 3 de agua, cuánto debe medir? 2.3 m ii) Si se desea modificar el ancho para contener 168 m 3 de agua, cuánto debe medir? 2.8 m iii) Si se desea modificar el largo para tener un volumen de m 3, cuánto debe medir? ~ m 10. En grupo, y con ayuda de su profesor, debate acerca del uso y la utilidad del cálculo de volúmenes en la vida cotidiana. Redacten una conclusión en sus cuadernos. TIC Explora Observa las animaciones. Contesta las preguntas y explica, en tu cuaderno, cómo calcular el volumen de un prisma recto. Comenta tu respuesta con un compañero. Explora Contesta las preguntas. Manipula el recurso y explica, en tu cuaderno, cómo calcular el volumen de una pirámide. Compara tus respuestas y tu explicación con las de un compañero. Para la bi ácora Resuelve las actividades correspondientes a la lección 18 en la bitácora de la página 111. Lección 18 Bloque 2 97

27 Lección 19 Volumen de cubos, prismas y pirámides II Eje: forma, espacio y medida Tema: medida Contenido Estimación y cálculo del volumen de cubos, prismas y pirámides rectos o de cualquier término implicado en las fórmulas. Análisis de las relaciones de variación entre diferentes medidas de prismas y pirámides Las comparaciones 1. Reúnete con un compañero. Respondan los siguientes planteamientos y sin usar calculadora ni hacer operaciones en papel, escriban, en su cuaderno, las respuestas lo más aproximado que puedan. a) Si el volumen de un cubo de 10 cm de arista es cm 3, cuál es el volumen de un cubo cuyas aristas miden 12 cm? cm 3 10 cm 12 cm b) Estimen el volumen de un prisma hexagonal que tiene 240 cm 2 de base y 10 cm de altura. 8 cm R. T cm 3, pues al multiplicar por 10 se agrega un cero 10 cm a la cantidad original. 10 cm c) Estimen el volumen de una pirámide hexagonal que tiene 801 cm 2 de base y 6 cm de altura. R.T cm 3, pues multiplicar por seis y dividir entre tres equivale a multiplicar por 2. d) Estimen el volumen de un cuerpo formado por 24 cubos de 5 cm de arista cada uno. e) Compartan sus respuestas con el grupo. Comprueben sus resultados utilizando calculadora. Con apoyo del profesor resuelvan sus dudas y redacten una conclusión sobre la estimación de resultados. 2. Lee y responde. Un granjero quiere construir un granero para almacenar sorgo. Las figuras son esquemas de las posibles construcciones. El quiere saber cuál tiene más volumen para almacenar más sorgo. Contesta las preguntas en tu cuaderno. 2.4 m 15 m 15 m 4.8 m 4 m 2 m a) Sin hacer operaciones, qué cuerpo geométrico tiene mayor volumen? Explica tu respuesta. R. T. La pirámide; como la apotema y el lado miden el doble, el área de su base es cuatro veces mayor que la del prisma. b) Calcula el volumen del prisma y de la pirámide. Qué construcción debe elegir el granjero? Prisma: 72 m 3 y pirámide: 96 m 3 ; pirámide. c) Compara tus respuestas con las del grupo. Concluyan respecto a la siguiente pregunta: qué proporción existe entre el volumen del prisma y el de la pirámide? Tres a uno. 98 Bloque 2 Lección 19

28 Lección Contesta con un compañero. a) Se desea construir una pirámide rectangular y un prisma rectangular con la misma altura y el mismo volumen. i) A qué proporción deben estar las bases? La base de la pirámide debe ser tres veces mayor. ii) Den un ejemplo de las medidas que pueden tener el prisma y la pirámide. Hagan los cálculos en sus cuadernos para justificar su respuesta. R. T. Área de la base de la pirámide: 12 cm 2 ; área de la base del prisma: 4 cm 2 ; altura de ambos: 10 cm 2. b) Cuánto deberá medir la altura de una pirámide triangular para que tenga el mismo volumen que el de un prisma triangular con 20 m de altura y 120 cm 2 de área de la base? (Las bases de ambos cuerpos geométricos son iguales.) Un paso adelante 60 m Lee, en grupo, la siguiente información. Expongan sus dudas y resuélvanlas con ayuda de su profesor. El volumen de una pirámide es la tercera parte del volumen de un prisma con misma base y altura. 4. Resuelve los siguientes planteamientos. Usa la información anterior. a) Se desean almacenar 27 m 3 de agua. i) Si el contenedor es un cubo, cuánto debe medir de arista? 3 m ii) Si el contenedor es un prisma rectangular, qué medidas tiene? R. T. profundidad: 1 m; longitud: 9 m; altura: 3 m. iii) Si el contenedor es una pirámide rectangular, cuáles pueden ser sus medidas? R. T. base rectangular: 3 m 9 m; altura: 3 m. b) Se tiene un espacio de 10 m de largo por 6 m de ancho y se desea construir un cuerpo geométrico sobre él con un altura de 3 m. De qué forma debe ser para que ocupe todo el espacio y tenga el mayor volumen posible? Prisma rectangular. 8 cm c) Carlos compró una pirámide como la que se muestra. i) Qué volumen tiene la pirámide? 96 cm 3 ii) Carlos quiere comprar una caja de regalo (en forma de prisma) para transportar la pirámide pero desea que quede justa para evitar que se mueva y rompa. Qué dimensiones debe tener 6 cm 6 cm la caja? Profundidad: 6 cm; longitud: 6 cm; altura: 8 cm. iii) Cuál es el volumen de la caja de regalo? 288 cm 3 iv) Si la pirámide tuviera una altura de 6 cm, de qué forma debería ser la caja de regalo? Forma de cubo. Cuál sería su volumen? 216 cm 3 d) Comparte y compara, en grupo y con ayuda del profesor, tus respuestas. Ratifiquen sus procedimientos y corrijan lo que sea necesario. Lección 19 Bloque 2 99