CONTROL ADAPTATIVO NO LINEAL DEL RUMBO DE UN BUQUE MEDIANTE EL EMPLEO DE OBSERVADORES DE ESTADO

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1 CONROL ADAPAIVO NO LINEAL DEL RUMBO DE UN BUQUE MEDIANE EL EMPLEO DE OBSERVADORES DE ESADO Manuel Haro Casado *, Ramón Ferreiro **, F. Velasco *** * Facultad de Ciencias Náuticas. Universidad de Cádiz. Polígono Rio San Pedro s/n. Edificio CASEM 5 Puerto Real. Cádiz (España).fno: Fa: manuel.haro@uca.es ** Escuela Superior de la Marina Civil. Universidad de La Coruña. Paseo de Ronda La Coruña *** Escuela écnica Superior de Náutica. Universidad de Cantabria. Gamazo,.394. Santander Resumen En este artículo se considera el problema del control del rumbo de un buque LNG (Liquefied Natural Gas) dedicado al transporte de gas natural licuado. Los resultados eperimentales obtenidos en la realización del las pruebas de mar del buque construido por Navantía muestran su adecuación al modelo dinámico no lineal propuesto por Norrbin. Basándose en este modelo se considera un control adaptativo no lineal con incertidumbres en los parámetros, probándose que los estimadores y el observador del estado diseñados son robustos en un sentido global. Palabras Clave: Sistemas no lineales, modelado, control adaptativo, backstepping, observadores de estado, estimación de parámetros..inroducción El objetivo de la ingeniería de control consiste en el diseño de una accesible ley de control que proporcione un comportamiento de la planta análogo o muy próimo al comportamiento deseado. El diseño está basado en el modelo matemático de la planta, en el conocimiento de las señales que deben ser seguidas y en su medida. En ocasiones eisten incertidumbres sobre el modelo del proceso, así como una medida parcial del estado. En el proceso estudiado ambas consideraciones están plenamente justificadas. En un buque en navegación, eisten diversas condiciones ambientales que proporcionan incertidumbres sobre sus dinámicas, como son la velocidad y dirección del viento, intensidad de las corrientes y otras menos imprevisibles pero igualmente importantes como son el lugar de la navegación, grado y características de la carga y tipo de barco. El control adaptativo puede conseguir una buena calidad del control en las dos tareas fundamentales involucradas en el control de la navegación, como son el control del rumbo y el seguimiento de una trayectoria fijada de antemano. Por otro lado parece adecuado eliminar la derivación que supone la estimación de la velocidad angular de giro del buque a partir de la medida del rumbo. La solución consiste en la introducción de un observador del estado. Asimismo, la solución al problema de control consistente en una planta con incertidumbres en los parámetros, cuyo estado no se conoce en su totalidad, es la de diseñar un sistema adaptativo basado en la combinación de un controlador variante con el tiempo, un observador de estado y un mecanismo identificador de parámetros. El denominado, principio de separación permite descomponer el problema mencionado en dos subproblemas que pueden resolverse independientemente, como son el del diseño del observador de estado y el del diseño del controlador por realimentación. En los sistemas no lineales este principio, en general, es inaplicable, debido a que los diseños del observador y del controlador están acoplados. En nuestro problema como consecuencia de que el sistema está modelado en la forma realimentada denominada estricta es posible aplicar el principio a pesar de que el sistema sea marcadamente no lineal con las no linealidades de tipo polinómico. El diseño realizado en este trabajo está basado en el procedimiento recursivo del backstepping [6], continuando de esta manera la línea de trabajo del control de sistemas no lineales navales con incertidumbres parámetricas [4,5]. El resto de este artículo ha sido organizado como sigue, en el apartado se hace referencia al modelo dinámico del buque que se ha empleado, mientras en la 3 se describe un procedimiento de identificación basado en procedimientos no convencionales, basados en cierta manera en pruebas de trial and error. En la sección 4 se establecen las ecuaciones de estado, mientras que en la 5 se analiza el procedimiento adaptativo del backstepping, a continuación en la 6 se estudia la estabilidad del sistema, realizándose la simulación en la sección 7. Finalmente en la 8, se realiza un análisis de los resultados señalándose algunas conclusiones importantes.

2 . MODELO DEL BUQUE La eliminación de la velocidad de deriva del buque en los modelos de Davidson y Schiff [3], condujo a la obtención del modelo de Nomoto [8]. Posteriormente Norrbin [9] and Bech [], sustituyeron el término lineal de la angular aceleración del buque en los modelos de Nomoto de primer y segundo orden por un término no lineal formado por un polinomio de tercer orden cuyos coeficientes debían ser determinados a través de la realización de la maniobra de la espiral inversa de Bech. En este artículo se ha utilizado el modelo de Norrbin, debido a que representa de una forma adecuada los resultados eperimentales obtenidos durante la realización de las pruebas de mar del buque. En base a las variables cinemáticas definidas en la Figura, las ecuaciones de movimiento del buque son, & = V sinψ + V cosψ (.a) L y& = V cosψ V sinψ (.b) L en donde la aceleración en sentido longitudinal del buque V & L y la velocidad transversal V, son respectivamente, V & = d V e V S (.a) L L ψ + V ψ 3 ψ = f V g V (.b) mientras que la velocidad y aceleración de rotación del buque en el plano horizontal (movimiento de guiñada), vienen dadas por, Figura : Significado de las variables utilizadas. En muchas ocasiones y con el propósito de simplificación se considera que: i) El casco del buque es simétrico. La simetría implica que α =. ii) Se conoce la estabilidad dinámica del buque, lo que conlleva a que se conoce el coeficiente α. Para un rumbo estable α >, mientras que en el caso de inestabilidadα <. El término independiente α se toma frecuentemente como nulo confiando en la acción integral del controlador de rumbo para su posterior eliminación. Los resultados de las pruebas de mar correspondientes a un buque construido por los Astilleros de Navantia en su factoría de Puerto Real (Cádiz) cuyo código de construcción fue el H87 en el año 3 (Figura ) y cuyas principales características se indican en la abla. V ψ = ψ& = r (3.a) ( α ψ& + α ψ& + α ) ψ& + α = k δ τ ψ& + 3 (3.b) donde δ representa el ángulo de timón. La ecuación (3.b) representa una etensión del modelo de Nomoto que ha sido ampliado para incluir los efectos no lineales mediante la inclusión de una función no 3 H r = α r + α r + α r + α. lineal N ( ) 3 Alternativamente el modelo dinámico del buque puede epresarse en la forma, ( a ψ& + a ψ& + a ) ψ + a = K δ & + & (4) ψ 3 siendo ai = αi / τ (i=,..,3); K = k / τ. Esta forma normalizada consigue la eliminación de uno de los parámetros del sistema. Figura : Buque LNG construido por Navantia. abla Eslora promedio 84.4 m Eslora entre perpendiculares 7. m Peso muerto 774 t Desplazamiento 689 t Manga 4.5 m

3 Calado en condiciones de lastre (promedio).3 m Hélices ipo de timón Semi Spade ( unidad) Motor principal Kawasaki UA- 4 Potencia de salida 8 kw Velocidad máima avante en condiciones de máima carga. nudos 3. IDENIFICACIÓN PREVIA Con el propósito de establecer la idoneidad del procedimiento del backstepping en la tarea de identificar los parámetros desconocidos a i (i=,,,3) en (4) y (d,e,s,f,g) en las ecuaciones (.a) y (.b), es preciso conocer los verdaderos valores de los mismos. Con este propósito se desea reducir la diferencia entre los valores eperimentales obtenidos por la realización de una maniobra de cambio de rumbo con un ángulo de timón constante, indicados en la abla y las soluciones de la ecuaciones diferenciales no lineales (3.b) ó (4), mediante una selección adecuada de los parámetros desconocidos. abla : Valores eperimentales en condiciones de lastre y 5 de ángulo de timón. El significado de cada una de las variables está indicado en la Fig.. V L (nudos) V (nudos) ( rad) ψ r. -4 (rad/s) El procedimiento empleado está basado en las siguientes acciones y algoritmos: Un algoritmo de integración de Euler con un paso de.5 segundos El procedimiento de optimización de Powell [] con un criterio de optimización de la integral del tiempo por el valor absoluto del error (IAE) Un procedimiento de trial and error Los resultados se indican en la abla 3, mientras que en las Figura 3,se muestra la ecelente concordancia del ajuste obtenido con los resultados eperimentales, En la Figura 5, se muestra la variación temporal de la velocidad angular para un ángulo de timón de 5 y una velocidad total de. nudos (.4 m/s). abla 3 Parámetro Valor Unidades a rad/s a 4. - /s a /rad a s/rad K.. -3 /s τ 5 s d /s e m/rad S.87 m/s f -98. m/rad g m.s/rad 3 El objetivo de este artículo es el diseño de un algoritmo de identificación que no dependa, ni siquiera parcialmente, de un procedimiento heurístico como el indicado con anterioridad utilizando únicamente la medida del ángulo de rumbo ψ. Psi(rad) Figura 3:Variación temporal del rumbo del buque. (ο : Puntos eperimentales, línea continua: Ajuste obtenido). r(rad/s) Figura 4: Variación temporal de velocidad angular del buque. 4. ECUACIONES DE ESADO A partir de (3.a) y (3.b), definiendo el vector de estado (t) como [ ] = [ ψ ψ] (t) = (5) &

4 siendo la función no lineal de las características dinámicas, Ángulo timón (grados) ( ψ) = α3 ψ& + α ψ& α H & + (6) Figura 5: Variación temporal del ángulo de timón aplicado. Es posible escribir la dinámica del sistema en la forma, [ k δ Hψ (& ) ψ ] = τ & α & (7.a) & = (7.b) y = (7.c) siendo y la salida. Se supone que el término H ( ψ& ) ψ& + α se puede descomponer en suma de dos términos, el primero contiene los parámetros conocidos de la planta, mientras que el segundo depende de un vector de parámetros desconocidos, que deberán ser determinados mediante el empleo del estimador. En definitiva, ( ψ) ψ& = ϕ + ϕ ( ψ) θ H & & (8) siendo θ el vector de parámetros desconocidos (α i, 4 i=..3; θ R ), mientras que la ganancia k y la constante de tiempo τ, se suponen conocidos. El propósito del sistema de control es la de controlar el ángulo de rumbo, empleándose un observador de estado para determinar la aceleración angular. En este sentido se define el observador ( ˆ, δ, θˆ ) + K ˆ & = ε (9.a) En donde los superíndices (^,) indican los valores estimados y los errores, respectivamente. Así, p.e, para, = ˆ. 5. PROCEDIMIENO ADAPAIVO DEL BACKSEPPING Como consecuencia de que el orden relativo del sistema no lineal es dos el procedimiento del backstepping se deberá desarrollar en dos pasos. En primer lugar es preciso definir la primera variable de error, z ( t) ( t) ( t) = () d En donde d (t) representa en comportamiento deseado de la salida = ψ. Su variación temporal viene dada por z & = ˆ & () + d La idea principal del backstepping es la de elegir a una de las variables de estado como entrada de control. Como consecuencia del empleo del observador del estado, es posible elegirlo como la suma de la siguiente variable de error que se debe definir en el procedimiento del backstepping y una función estabilizadora. De esta forma, ˆ = + β () z Así mediante () y (), z & + z + β d = & (3) Eligiéndose como función estabilizadora, β = & (4) C D + d Siendo C y D dos elementos de las matrices, ambas diagonales positivas, denominadas, matriz de realimentación y de amortiguamiento, respectivamente. Este último ha sido necesario añadirlo como consecuencia de que en (3) el término puede ser considerado como un término de perturbación para la dinámica de z, de forma que su influencia sobre la misma debe ser compensada. Considerando (3) y (4), z & + (5) = (C + D ) + z siendo, ε ( ˆ ˆ, δ, θ) = τ [ k δ Ĥ( ˆ ) α ] ˆ (9.b) En el siguiente paso del backstepping es necesario considerar la dinámica de la segunda variable de error (z ). De las ecuaciones (), (4) y (5), z& = ˆ & + ( C + D ) & && d = ˆ & ( C + D) + ( C + D) ( z + ) && d (6)

5 Como consecuencia de que la variación del estado (t) es observada mediante (9.a), es posible escribir (6) como z& τ [ k δ Ĥ( ˆ ) ˆ αˆ ] + K ( C + D) + ( C + D) ( z + ) && d = (7) Si se elige el control (δ) como, C [ τ δ = + D ( C + D ) + ( C + D ) + z k ] + Ĥ( ˆ ) ˆ αˆ && d + (8.a) Si se hubiese partido de la epresión equivalente (4) el resultado sería, C [ δ = ( C + D ) + ( C + D ) + D + z K ] + Ĥ( ˆ ) αˆ && d + (8.b) Mediante la elección (8.a) la dinámica de la segunda variable de error z viene dada por, ( C + D ) + Ω z& (9.a) = z ( + D ) + K Ω = (9.b) C En forma matricial (5) y (9.a), z& = (C + D + E) + W () Siendo C=diag [C C ]; D=diag [D D ]; z=[z z ] ; W=[ Ω]. Para que las ecuaciones de estado (5) y (9.a) sean implementables, es preciso determinar la variación temporal del error cometido por el observador. A partir de la substracción de (7.a) y (9.a), después de multiplicar ambos miembros por τ, se obtiene, ( ) α τ ε( ˆ,δ,θˆ ) τ K τ & = k τ H () Substituyendo en la anterior la ecuación (9.b), después de sumar y restar la misma cantidad H ˆ, no es difícil obtener ( ) ( ) + H( ˆ ) ˆ τ K Θ τ & = H (.a) [ H( ) + α ] Ĥ( ˆ ) [ ˆ ] Θ = + (.b) αˆ La función Θ está relacionada con el vector de parámetros desconocidos θ. Aplicando la epresión (8) y una similar para los valores estimados del estado, se obtiene: [ θˆ ] = ϕ ( ˆ ) θ [ ϕ ( ˆ ) +ϕ ( ˆ ) θ] ϕ ( ˆ ) +ϕ ( ˆ ) Θ = 6.ESABILIDAD DEL SISEMA (3) Es necesario comprobar que la ley de control así como las leyes de actualización de parámetros diseñadas con anterioridad consiguen el objetivo de la estabilidad del sistema en lazo cerrado y como consecuencia los objetivos de regulación y seguimiento de las trayectorias. Con este objetivo se introduce la siguiente función de Liapunov, ( ) [ z z τ, θ = + + θ Γ θ] V z, (4) siendo Γ una matriz diagonal y adimensional de ganancias. La derivada de V es, ( & ) = & + τ &, θ z z + θ Γ θ & V z, (5) Sustituyendo z& dada por () y τ & obtenida de (.a), después de sumar y restar H( ) y considerar que z E =, resulta, (, θ) = z ( C + D) V& z, + z [ ( ) ] H ˆ τ K θ θ Γ & + ϕ + θ W (6) Para que la estabilidad sea robusta frente a los errores en el vector de parámetros y en la medida del estado cometidos durante la estimación, se hace que los dos últimos sumandos del segundo miembro de (6) se hagan nulos mediante la siguiente ley de estimación, Con (7) ahora, V& ( z, ) = z ( C + D) [ H( ˆ ) + τ K ] θ ˆ & = Γ ϕ (7) + z W (8) Se desea que la función V sea semidefinida negativa. Eaminado el último termino de (8), se precisa que se cumplan las condiciones a) y b): a) H( ) τ K ˆ +. Esta condición implica que, ( α + τ K ) α 3 ˆ + α ˆ + (9)

6 o equivalentemente que el parámetro ajustable K cumpla la siguiente condición, α α α 4 3 K (3) 4 α3 τ C + D z W [ ] b) ( ) z Esta condición se cumple después de considerar que z ( C + D) + z W = [ (C + D ( C + D ) z ( C + D + K ) [ ] ) z Sumando y restando las cantidades / 4 ( C + D) y ( C + D + K ) / 4 ( C + ), se obtiene que D [ z ( C + D) z W ] = ( A + B) 4 ( C + D ) 4 ( C + D ) C + D + K + Siendo A y B dos binomios siempre positivos. Como consecuencia de a) y b), se cumple que ( z,, θ) V& (3) Como V & es semidefinida negativa mediante la aplicación del teorema de LaSalle-Yoshizawa [7]; Yoshizawa, [], en coordenadas (z,z ) el punto de equilibrio (,) es asintóticamente estable en una forma global y que por lo tanto, las estimaciones de los parámetros α i ( t),i = L3, están acotadas. Además, z tiende hacia cero asintóticamente, de forma que ( t) d ( t) cuando t. Asimismo la estabilidad asintótica de z, junto con la de z, la acotación de la derivada segunda de la trayectoria deseada y d y considerando los dos primeros términos de (5), los errores del observador tienden a un valor nulo a medida que el tiempo aumenta. i) La aplicación del algoritmo de identificación basado en la implementación de las ecuaciones () y en las leyes de actualización (7) con un adecuado programa de simulación. Los valores iniciales de los parámetros que debían ser estimados α ˆ i ( i = L3) fueron el 5% de los obtenidos mediante la realización de la maniobra señalada con anterioridad e incluida en las pruebas de mar del buque (abla 3), según el esquema representado en la Figura 6. ii) La aplicación de algún criterio de optimización que permita reducir los estados z i en el al estado nulo. El procedimiento empleado está basado en el algoritmo de optimización de Powell [] y el método de integración de paso s. Las ganancias obtenidas se indican en la abla 4. abla 4: Valores de las ganancias utilizadas en el proceso de estimación y observación. Ganancias (u.p) C.59 C.93 D D. γ γ γ γ SIMULACIÓN DEL SISEMA El objetivo del sistema adaptativo de control es el seguimiento de una trayectoria senoidal cuya amplitud es de. rad y cuya frecuencia es de.3 rad/s= Hz mientras se realiza la estimación de los parámetros desconocidos a i, (i=,..,3), y se realiza la observación de r = ψ&. Se suponen conocidos la ganancia k y la constante de tiempo τ, según el modelo (3.b) ó equivalentemente K según el modelo (4). Los objetivos han sido resueltos mediante, Figura 6: Esquema del diagrama de control empleado. Los valores numéricos de los coeficientes α i i =..3 del polinomio H N (r), son diferentes a los ( )

7 obtenidos a partir de la maniobra incluida en las pruebas de mar del buque, lo que confirma que estos coeficientes dependen de las maniobras que debe seguir el buque para conseguir los dos objetivos de control ( maniobra de cambio de rumbo de 9 ó seguimiento de la trayectoria senoidal). Con objeto de reducir el esfuerzo computacional es posible calcular de una forma alternativa el coeficiente α (supuesto conocidos los α i i=,,3). El procedimiento parte de la determinación del valor estacionario en la variación temporal del ángulo de guiñada r mostrado en la Figura 4. Bajo esta condición y a partir de la ecuación (3.b) se obtiene, 3 ( α r + α r + α r) α = K δ 3 (3) donde r =.9. - rad/s, δ = 5 =.745 rad y los valores de α i (i=,,3), son los obtenidos con anterioridad e indicados en la abla 3. Las Figuras 7 y 8 muestran la rápida convergencia de las variables de error z y z, para los valores de j = L3, mostrados las ganancias C i,d i, (i=,), ( ) γ j con anterioridad en la abla según se aprecia en la Figuras 7 y 8, los valores temporales de las variables de error son no nulas hasta aproimadamente 6.7 s de haber comenzado el control como consecuencia de los errores en las estimaciones iniciales del estado y de los valores de los parámetros, cuyas estimaciones iniciales fueron el 5% de sus valores estimados a partir de las pruebas del mar del buque. Bajo estas condiciones a partir de ese instante la salida real coincide con la salida deseada. (Figura 9). En la Figura, aparece la variación del ángulo de timón. Como se aprecia en la misma, en los instantes iniciales el timón se encuentra en saturación (35 ) durante 5 s, la saturación negativa (-35 ), se mantiene durante 9.7 s, mientras que la siguiente positiva es de 3.5 s. En condiciones ideales y una vez pasado el transitorio inicial, ambos períodos deberían ser iguales. Sin embargo bajo situaciones reales con una cierta asimetría en el casco concluyen en una pequeña diferencia. La dinámica del timón se ha supuesto similar a la correspondiente a un sistema de primer orden con una constante de tiempo de.9 s. El período de su variación es de 9.9 s coincide con la señal de referencia con un retardo de s Z (rad) X yd (Psi) Figura 7: Variación del estado z Figura 9:Comparación entre los segumientos de la trayectoria. Linea continua: salida real, linea discontinua, salida deseada Z (rad/s) Ángulo timón (grados) Figura 8: Variación del estado z. 8. CONCLUSIONES Partiendo de unas condiciones iniciales = ψ& =.5rad/ y ( ) = ψ( ) = rad y ( ) ( ) s Figura :Variación del control en la consecución del objetivo de seguimiento. En las Figuras -4 se indican las variaciones temporales de los parámetros que definen la dinámica

8 no lineal del buque. El procedimiento del backstepping aplicado a un sistema no lineal es capaz de conseguir el seguimiento de una trayectoria de referencia utilizando un observador de orden reducido y un estimador según un esquema indirecto de adaptación por modelo de referencia. 7-3 a estimado a3 estimado Figura : Variación temporal de la estimación en el coeficiente a 3. Su valor estimado final es aestimado Figura : Variación temporal de la estimación en el coeficiente a. Su valor estimado final es a estimado Figura 3: Variación temporal del valor estimado de a. Su valor final fue.4. Merece la pena señalar que los valores de los parámetros indicados en la abla 3, no coinciden con los obtenidos en el problema de seguimiento analizado (Figs.-4), como consecuencia de que dependen de la maniobra que debe realizar el buque para lograr el objetivo de control Figura 4: Variación temporal del valor estimado de a. Su valor final fue AGRADECIMIENOS Este trabajo ha sido parcialmente financiado por el Proyecto MEC DPI Referencias [] Bech, M. J., y Wagner Smith, L., (969) "Analogue Simulation of Ship Manouvres based on fullscale sea trials or free sailing model tests, echnical Report Hy-4., Hydro- and Aerodynamics Laboratory, Lynby, Denmark. [] Darnell, P.A.., y Margolis, P.E., (99) "C: A Software Engineering Approach," Springer- Verlag. [3] Davidson, K.S.M., y Schiff, L.I., (946) "urning and Course Keeping Qualities," ransactions of SNAME, Vol.54. [4] Haro, M.,Ferreiro, F., (5) Identification of the nonlinear slip model parameters based on the turning test trial and the backstepping procedure, Ocean Engineering, [5] Haro, M., Ferreiro, R., Velasco, F., (4) A new recursive procedure of nonlinear model ship based on the turning test and the Norrbin equation. Journal of Maritime Research. 4. [6] Krestić M., Kanellakopoulos I., Kokotović. P.,(995).Nonlinear and adaptive control design, Wiley, New York (USA). [7] LaSalle,J.P.,(968) "Stability theory for ordinary differential equations, J.Diff.Eqs.Vol. 4, pp [8] Nomoto, K.G, agachi, K., y Honda,.,(957) "On the steering quality of ships, International Shipbuilding Progress, Vol. 4. [9] Norrbin N.H.,(97) "heory and Observations on the Use of a Mathematical Model for Ship Maneuvering in Deep and Confined Waters, Proceedings of the 8 th Symposium on Naval Hydrodynamics, Pasadena, CA. []Yoshizawa,.,(966) "Stability theory by Liapunvo s Second Method,he Mathematical Society of Japan.