Tema 9: Aproximación lineal de problemas no lineales

Transcripción

1 Tema 9: Aproimación lineal de problemas no lineales Nota importante: El tema 9 forma parte del programa oficial y su contenido puede ser de mucha utilidad para modelar comportamientos no lineales que aparecen con frecuencia en el mundo industrial. Por ello es muy recomendable que los alumnos estudien su contenido y se inicien en el uso de técnicas de programación entera y restricciones especiales para aproimar comportamientos no lineales. Sin embargo en este tema no habrá que entregar ningún ejercicio. Objetivos del tema: Introducir el concepto de conveidad aplicados a la función objetivo y a las restricciones de un problema de optimización. Introducir el concepto de programación separable. Definir e implementar las restricciones sobre conjuntos ordenados de variables SOS1 y SOS. Aproimar una función no lineal de una variable por una lineal a tramos utilizando SOS y/o variables binarias. Aproimar una función no lineal de dos variables utilizando SOS. 1

2 Programación matemática no lineal Los problemas de programación lineal son muy comunes y cubren un amplio rango de aplicaciones. Sin embargo, en la vida real aparecen frecuentemente problemas que no tienen comportamientos lineales. Cuando alguna de las restricciones, la función objetivo, o ambos, son no lineales, se dice que se trata de un problema de programación no lineal. Los modelos de programación no lineal son más complejos de resolver que sus análogos lineales. Sin embargo muchos de ellos es posible resolverlos mediante aproimaciones lineales. Región convea Se dice que una región del espacio es convea si el segmento que une dos puntos cualesquiera de la región está íntegramente t en la región. región convea región no convea Función convea Se dice que una función es convea si el conjunto de los puntos (, y) donde y f() forma un región convea. f() f() función convea función no convea Modelo de programación matemática conveo Se dice que un modelo de Programación Matemática es conveo si implica la minimización de una función convea sobre una región convea. 3 Minimizar Minimizar sujetoa : 1 4 sujetoa : modelo de programación 14 modelo de programación matemática conveo 14 matemática no conveo 1, 0 1, En el segundo ejemplo la región de factibilidad es convea, aunque la función objetivo no lo es, por lo que el modelo es no conveo. Si el problema es conveo cualquier óptimo que se encuentre es óptimo global. Sin embargo encontrar un óptimo global en un problema noconveo requiere algoritmos mucho más sofisticados.

3 Función separable Una función separable es aquella que puede epresarse como la suma de funciones de una única variables. Estas funciones tienen la ventaja de que los términos no lineales pueden ser aproimados por términos lineales a tramos (piecewise). Utilizando esta técnica se puede escribir un programa lineal entero, e incluso lineal continuo para estas funciones. El término separable puede aparecer en la función objetivo o en las restricciones de un problema de optimización. Algunos ejemplos de funciones separables son: 5 g ( ) g ( ) En cambio, no son separables las siguientes: f ( ) f ( ) f ( ) g1( 1, ) g( ) 1( ) f (, ) f ( ) Consideremos un ejemplo simple con sólo un término no lineal para ser aproimado: f() = 1/. La siguiente figura muestra la curva dividida en tres tramos que son aproimados por líneas rectas. Los puntos donde cambia la pendiente de la función lineal por tramos se conocen como puntos de ruptura. Esta aproimación se puede epresar matemáticamente de varias formas. Veremos el método conocido como formulación λ 8 f ( ) 1/ Sean 1,, 3 y 4 los cuatro puntos de ruptura del eje y sean f( 1 ), f( ), f( 3 ) y f( 4 ) sus correspondientes valores. Cualquier punto entre dos de ruptura es una suma ponderada de los dos puntos de ruptura etremos. Por ejemplo, si los puntos de ruptura son 0, 1, y 4, y los correspondientes valores son 0, 1/, y 8, el valor de =3se puede epresar: =1/ 1/ 4=3. a El correspondiente valor de la función aproimada será: f (3) Sean λ 1, λ, λ 3, λ 4 cuatro pesos tal que su suma valga 1. La aproimación lineal de f() puede escribirse como: a f ( ) 1f( 1) f( ) 3f( 3) 4f( 4) SOS(,,, ) La restricción SOS impone el requisito añadido de que como mucho dos λ i adyacentes sean mayores que 0. 3

4 Ejemplo de modelo con función separable: Minimizar sujetoa : , Solo es necesario convertir la función De la segunda restricción es evidente que no es posible que 1 sea mayor que.5, por tanto, la función: y= 1 1[0,.5] puede aproimarse por: [0,1] y 3 [0, ] Esta epresión es equivalente a: y [,.5] Por tanto el modelo del ejemplo será el siguiente: Minimizar y 41 Dado que la sujeto a : 1 4 función es convea no es necesario 1 5 añadir ninguna 14 restricción más. Si la función fuera no convea sería y necesario añadir una restricción de tipo SOS a las y, 1,, 1,, 3, 4 0 variables λ i 4

5 La restricción SOS suele aparecer con frecuencia en problemas reales y por ello suele venir implementadas en los paquetes comerciales junto a la restricción SOS1. Restricción SOS1 Impuesta a un conjunto de variables continuas obliga a que sólo una pueda adoptar un valor no nulo. Restricción SOS Impuesta a un conjunto de variables continuas ordenadas obliga a que sólo dos variables pueden tener valor no nulo y además deben ser consecutivas. La restricción SOS queda definida especificando un conjunto de variable t 1,t,,t n y es equivalente a las siguientes tres restricciones: t1, t,..., tn 0 t1t... tn 1 Sólo dos variables adyacentes, t y pueden ser distintas i de cero. i ti 1 Como ya hemos comentado, la restricción SOS se utiliza para aproimar términos no lineales con funciones lineales por tramos (piecewise) en programación separable convea y no convea. Se trata de modelar la función continua lineal por tramos y f( ) especificada por sus n puntos ( como se 1, y1), (, y),...,( n, yn) muestra en la figura. La descripción estándar utilizando la restricción SOS es la siguiente: y t 11 t... n tn ( n, yn) ( 3, y3) y yt 11 yt... yt n n (, y ) SOS t1, t,..., tn ( 1, y1) Donde las variables t1, t,..., t n de SOS juegan el papel de parámetros de interpolación. ió 5

6 Modelado de la función lineal por tramos (picewise) Las funciones lineales a tramos epresadas con SOS se pueden utilizar para modelar no solo objetivos no lineales, sino también restricciones de igualdad y desigualdad no lineales. Por tanto, problemas de programación no lineal pueden reformularse como problemas de programación entera mita. Si no se dispone de la restricción SOS implementada en el Simple, la aproimación lineal por tramos (picewise) se puede modelar utilizando variables binarias. z i 0,1, z z... z 1 s 1 n1 i i 1,,...,, n-1:0 s z z ( ) s z ( ) s... 3 z ( ) s i i i1 i i... z ( ) s i n1 n1 n n1 n1 y yz ( y y) s yz ( y y) s... 3 yz ( y y) s i i i1 i i... y z ( y y ) s n1 n1 n n1 n1 i int n = 9; float X[1..n] = [1,,3,4,5,6,7,8,9]; float Y[1..n] = [,.5,3,4,5,6,7,8,9]; dvar int z[1..n-1] in 0..1; dvar float s[1..n-1]; dvar float ; dvar float y; subject to sum(i in 1..n-1)z[i] == 1; forall(i in 1..n-1) s[i] <= z[i]; == sum(i in 1..n-1)(X[i]*z[i] (X[i1]-X[i])*s[i]); y == sum(i in 1..n-1)(Y[i]*z[i] (Y[i1]-Y[i])*s[i]); 6

7 Modelado de la restricción SOS con variables binarias La restricción SOS se puede implementar con la ayuda de variables binarias en caso de no disponer de ella directamente en el paquete optimización o en lenguaje de modelado. int n = 9; dvar int z[1..n-1] in 0..1; zi0,1, si dvar float s[1..n-1]; z1z... zn 1 1 dvar float t[1..n]; i 1,,..., n-1: 0 si zi t 1 subject to t1 z1s1 sum(i in 1..n-1)z[i] == 1; t z s s1 forall(i in 1..n-1)... s[i] <= z[i]; ti zi si si 1... t[1] == z[1]-s[1]; forall(i in..n-1) tn 1 zn 1sn1sn t z[i]-s[i]s[i-1]; n sn t[i] == 1 t[n] == s[n-1]; 7

8 Funciones lineales a tramos en OPL Aunque CPLEX dispone de las restricciones SOS1 y SOS implementadas directamente en sus algoritmos de optimización lineal entera mita mita, el lenguaje de modelado OPL no las utiliza directamente sino a través de una construcción sintáctica específica para las funciones piecewise. Para ver esta sintais consideremos un problema de transporte en el que el coste del transporte entre dos localidades origen y destino depende del tamaño del transporte transporte[origen][destino] de acuerdo con la siguiente gráfica: coste transporte[origen][destino] tamaño Esta gráfica define una función que tiene pendientes 10, 0 y 40, con putos de ruptura 100 y 00,yconvalor 0 en el punto 0. En OPL esta función se epresa de la siguiente forma: Piecewise10 -> 100;0 ->00;40(0,0) transporte[origen][destino] Esta función es equivalente a la siguiente epresión: 10*transporte[origen][destino] cuando transporte[origen,destino] <= *1000*(trasnporte[origen][destino]-100) cuando 100 <= transporte[origen][destino] <= 00 10*1000*0040*(ship[origen][destino]-00) ) caso contrario. 8

9 Funciones lineales a tramos en OPL: generalización La epresión anterior se puede generalizar de la siguiente forma: piecewise(i in 1..n) pendiente[i] -> ruptura[i]; pendiente[n1]; transporte[origen][destino]; Epresión general equivalente a la siguientes epresiones simples: pendiente[1]*transporte[origen][destino] cuando transporte[origen][destino] <= breakpoint[1] k 1 pendiente[1]*ruptura[1] pendiente[i]*(ruptura[i]-ruptura[i-1]) i pendiente[k]*(transporte[origen][destino]-ruptura[k-1]) cuando ruptura[k-1] < transporte[origen][destino] <= ruptura[k] (1 < k <= n ) n pendiente[1]*ruptura[1] pendiente[i]*(ruptura[i]-ruptura[i-1]) i11 pendiente[n1]*(transporte[origen][destino]-ruptura[n]) caso contrario Ejemplo: int n=; float objectivoparaigual0 = 300; float ruptura[1..n] = [100,00]; float pendiente[1..n1] = [1,,-3]; dvar int ; maimize piecewise(i in 1..n) pendiente[i] -> ruptura[i]; pendiente[n1](objectivoparaigual0) ; subject to true; 9

10 Funciones lineales a tramos en OPL Por motivos de complejidad computacional es importante entender cuando una función objetivo lineal a tramos se traduce a un programa lineal y cuando es necesario utilizar un programa entero mito. Las siguientes figuras describen las formas de las funciones que producen programas lineales puros: funciones lineales a tramos conveas en problemas de minimización y funciones lineales a tramos no conveas (cóncavas )en problemas de maimización. minimización Para las restricciones operan consideraciones análogas. maimización Una función lineal a tramos convea puede aparecer en el lado izquierdo de una desigualdad menor o igual que, y sobre el lado derecho de una desigualdad mayor o igual que. Una función lineal a tramos cóncava puede aparecer en el lado derecho de una desigualdad menor o igual que o sobre el lado izquierdo de una desigualdad mayor o igual que. En cualquier otro casoel programalineal a tramoses transformadoen un programa lineal entero mito. 10

11 Función lineal de dos o más variables La restricción SOS también se puede utilizar para aproimar una función no lineal de variables, por ejemplo z = g(, y). Para ello se define una malla de valores (, y) no necesariamente equidistantes t y asociamos pesos no negativos λ ij con cada punto de la malla. Si los valores de (, y) en cada punto de la malla los designamos por (Xs, Yk), yesg(xs, Yk) el valor de la función z = g(, y) en dicho punto, podemos aproimarla por medio de las siguientes restricciones: A lo más 4 λ sk vecinas pueden ser distintas de cero Xs sk y s s k k z g( X, Y ) s k s k sk Y k 1 sk s k sk s sk SOS(,,,...) k 1 3 SOS(,,,...) k s sk 1 3 y SOS( 1,, 3,...) l l SOS vertical sk sk1 SOS(,,,...) l s1k l s1k SOS diagonal SOS( 1,, 3,...) Restringe los λ sk distintas de cero a 3 vecinos, evitando el problema de la falta de unicidad que surge si sólo imponemos las SOS anteriores SOS (,,,...) t s s, ts 1 3 SOS horizontal 11

12 Restricciones para una malla de 7 6 = X1 l16 X l6 X3 l36 X4 l46 X5 l56 X6 l66 X7 l76 X1l15 Xl5 X3l35 X4l45 X5l55 X6l65 X7l75 X1l14 Xl4 X3l34 X4l44 X5l54 X6l64 X7l74 X1l13 Xl3 X3l33 X4l43 X5l53 X6l63 X7l73 X1l1 Xl X3l3 X4l4 X5l5 X6l6 X7l7 X l X l X l X l X l X l X l y = Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Yl Y l1 Yl Yl3 Yl4 Yl5 Yl6 Yl7 Y l Y l Y l Y l Y l Y l Y l z = g( X 1, Y6) λ16 g( X, Y6) λ6 g( X 3, Y6) λ36 g( X 4, Y6) λ46 g( X 5, Y6) λ56 g( X 6, Y6) λ66 g( X 7, Y6) λ76 g( X 1, Y5) λ15 g( X, Y5) λ5 g( X 3, Y5) λ35 g( X 4, Y5) λ45 g( X 5, Y5) λ55 g( X 6, Y5) λ65 g( X 7, Y5) λ75 g( X 1, Y4) λ1 4 g( X, Y4) λ 4 g( X 3, Y4) λ3 4 g( X 4, Y4) λ44 g( X 5, Y4) λ5 4 g( X 6, Y4) λ6 4 g( X 7, Y4) λ7 4 g( X 1, Y3) λ13 g( X, Y3) λ3 g( X 3, Y3) λ33 g( X 4, Y3) λ43 g( X 5, Y3) λ53 g( X 6, Y3) λ63 g( X 7, Y3) λ73 g( X 1, Y ) λ1 g( X, Y ) λ g( X 3, Y ) λ3 g( X 4, Y ) λ4 g( X 5, Y ) λ5 g( X 6, Y ) λ6 g( X 7, Y ) λ7 g( X, Y ) λ g( X, Y ) λ g( X, Y ) λ g( X, Y ) λ g( X, Y ) λ g( X, Y ) λ g( X, Y ) λ SOS V1 V V3 V4 V5 y SOS h h h l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l Y6 Y5 Y4 Y3 Y Y1 l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l h3 X1 X X3 X4 X5 X6 X7 l13 l3 l33 l43 l53 l63 l73 h h 1 l1 l l3 l 4 l 5 l 6 l 7 l l l l l l l ξ ξ ξ ξ ξ ξ ξ SOS SOS(,,,,,, ) SOS(,,,,, ) l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l l = 1 l l l l l l l 1

13 Ejemplo de aproimación lineal de variables con una malla de 7 6 Vamos aplicar el método a la siguiente función de dos variables: z = g(, y) = 5 -( - 10) -( y - 10) La malla la definiremos para los siguientes valores de X e Y: X = [7, 8, 9, 10, 11, 1, 13] Y = [7, 8, 9, 10, 11, 1] Calculamos el valor de Z en cada punto de la malla: Z=

14 Código OPL para el ejemplo anterior (sin la restricción SOS diagonal) int N =...; int Ny =...; range s = 1..N; range k = 1..Ny; float X[s] =...; float Y[k] =...; float g[k,s] =...; //SOS para e[i] range err =..Ny-1; range er1 = 1..Ny-1; //SOS para n[j] range nrr =..N-1; range nr1 = 1..N-1; //SOS para e[i] dvar int ed[er1] in 0..1; //SOS para n[j] dvar int nd[nr1] in 0..1; dvar float ld[k,s]; dvar float ; dvar float y; dvar float z; dvar float e[k]; dvar float n[s]; minimize y-4*-*y; subject to // Begin Restriccion SOS para e[i] e[1]-ed[1] <=0; forall(i in err) e[i] - ed[i-1]-ed[i] <= 0; e[ny] - ed[ny-1] <= 0; sum(i in er1)ed[i] == 1; // End Variables SOS l[i] // Begin Restriccion SOS para n[j] n[1]-nd[1] <=0; forall(j in nrr) n[j] - nd[j-1]-nd[j] <= 0; n[n] - nd[n-1] <= 0; sum(j in nr1)nd[j] == 1; // End Variables SOS l[i] //Aproimacion lineal == sum(i in k, j in s)x[j]*ld[i,j]; y == sum(i in k, j in s)y[i]*ld[i,j]; z == sum(i in k, j in s)g[i,j]*ld[i,j]; sum(i in k, j in s)ld[i,j] == 1; forall(i in k) e[i] == sum(j in s)ld[i,j]; forall(j in s) n[j] == sum(i in k)ld[i,j]; ==7.5; y==7.5; //z== N = 7; Ny = 6; X = [7, 8, 9, 10, 11, 1, 13]; Y = [7, 8, 9, 10, 11, 1]; g = [ [ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]]; 14

15 Resultados del ejemplo y = 7.5; = 7.5; e = [ ]; ed = [ ]; n = [ ]; nd = [ ]; ld = [[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]]; z = ; == 7.5; y == 7.5; //z == 3.464;libre y = 10; == 7.5; = 10; e = [ e e-16]; ed = [ ]; n = [5.1e e e e ]; nd = [ ]; ld = [[ ] z = 5; [ ] [0-1.8e e e ] [5.1e e ] [ ] [ e ]]; y == 7.5; //z == 3.464;libre g(7.5, 7.5) = Valor real de la función g(10, 10) = Valor real de la función. Coincide con el aproimado por ser un punto de la malla y = 7; = 7.5; e = [ ]; ed = [ ]; n = [ ]; nd = [ ]; ld = [[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]]; z = ; == 7.5; y == 7; //z == 3.464;libre y = ; = 7.5; e = [ ]; ed = [ ]; n = [ ]; nd = [ ]; ld = [[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] z = ; [ ]]; == 7.5; //y == 7.5;libre z == 3.464; En este caso hemos fijado el valor de y el valor de z y el programa calcula el valor de y g(7.5, 7) = 3.15 Valor real de la función g(7.5, y) =