0. INTRODUCCIÓN. 9, su inclinación es -1. Diremos por tanto. que la derivada en el punto señalado es también -1.

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1 BLOQUE : ANÁLISIS DE FUNCIONES 0. INTRODUCCIÓN Si vemos una carretera o un camino que asciende rápidamente hacia la parte alta de una montaña, con una pronunciada cuesta, tal vez digamos que es un camino con mucha pendiente. Al hacerlo, estamos refiriéndonos sin saberlo a un concepto fundamental en las matemáticas: la derivada de una función. La derivada es el valor de la pendiente (es decir, la inclinación) de la recta tangente en un punto determinado. Este valor nos permitirá conocer el crecimiento la inclinación de la función que estemos estudiando. Esto es mu útil en multitud de aplicaciones: desde la biología hasta la economía. Veremos que se aplica todos los días para hacer predicciones conocer fácilmente propiedades importantes de las funciones, como su concavidad o conveidad. Como la recta tangente al Roque Bentaga es 9, su inclinación es -. Diremos por tanto que la derivada en el punto señalado es también -.. TASA DE VARIACIÓN Se llama tasa de variación media de una función f() en el intervalo [a,b] a: f(b) f(a) T b a (b,f(b)) Por comodidad, muchas veces se epresa así: T También puede llamarse tasa de crecimiento o velocidad media del cambio de la función f. Geométricamente representa la pendiente de la recta que une los puntos A B. (a,f(a)) /0

2 BLOQUE : ANÁLISIS DE FUNCIONES Llamamos tasa de variación instantánea de una función en un punto = a, al resultado del límite siguiente: T f(b) f(a) b a b a La tasa de variación instantánea, se refiere siempre a un punto pude llamarse también razón de cambio representa la pendiente de la recta tangente de la función en dicho punto. Ejemplo : f() 5 Calcula la tasa de variación media entre 0 unidades. T f() f(0) , 7 Cuál sería la tasa de variación instantánea para =? T h 0 h 9h 0 h h0 0 h 5 h 5 h h0 h h 0 5h h 0 Este tipo de indeterminaciones a las aprendimos a resolver en el tema anterior, bastará con que simplifiquemos la fracción h 9h h h h 0 h0 h 9 h 9 Como puedes intuir, es un proceso mu largo si tenemos que hacerlo con la gran variedad de funciones que ha además bastante tedioso porque para valor de ha que hacerlo. Esto da pie a una función llamada función derivada (se representa f ) que se determina según se eplica en el apartado siguiente. /0

3 BLOQUE : ANÁLISIS DE FUNCIONES. TABLA DE DERIVADAS En general no es fácil determinar la función derivada de una función, si tuviéramos que hacerlo como anteriormente. Pero ha una tabla que resume las derivadas que nos debemos aprender de memoria. Veamos en primer lugar las derivadas básicas: F() F () n a n n a lna log a lna sen cos cos cos tg sec tg cos arcsen arccos arctg Para funciones más complejas, tenemos que añadir otras reglas f() g() ' f'() g'() a f() ' a f'() f() g() ' f'() g() f() g'() f() f'() g() f() g'() ' g() g () f(g()) ' f'(g()) g'() /0

4 BLOQUE : ANÁLISIS DE FUNCIONES. FUNCIONES A TROZOS Y LA DERIVADA En el caso de tener una función a trozos, procederemos por separado a obtener la derivada, teniendo en cuenta que las desigualdades pasan a ser estrictas, es decir, en general no se conserva el signo igual Ejemplo : Obtener la derivada de la función ' ln log () Pero ahora no se pone el signo de igualdad, salvo que la función derivada resultante sea continua ( decimos que la función es derivable). Comprobemos en este caso Es continua la función f()? Al ser una función a trozos, analizaremos la frontera ( = ) log () log () Es decir la función es continua Miremos ahora qué ocurre con la derivada ln ln 0.7 Como la derivada no es continua, decimos que la función no es derivable Ejemplo : Obtener la derivada de la siguiente función analizar si es derivable f() La derivada es f '() /0

5 BLOQUE : ANÁLISIS DE FUNCIONES La función es continua La derivada es continua La función es derivable f'() Dentro de que una función es no derivable podemos distinguir tipos: a) La función no es derivable porque es discontinua b) La función es no derivable porque los límites laterales son diferentes finitos. Este punto de no derivabilidad recibe el nombre de punto anguloso c) La función es no derivable porque al menos uno de los límites laterales vale infinito. Este punto de no derivabilidad se llama punto de tangente vertical Discontinua Punto Anguloso Punto de recta tangente vertical 5/0

6 BLOQUE : ANÁLISIS DE FUNCIONES.- LAS RECTAS TANGENTE Y NORMAL Ya hemos eplicado que la derivada representa a la pendiente de la recta tangente de la función en el punto de tangencia, es por lo que la ecuación de la recta tangente en el punto = a es: f(a) f'(a) ( a) (Está en la forma punto-pendiente, habrá que pasarla a la forma general) Como la recta normal es la recta perpendicular a la recta tangente que pasa por el punto de tangencia, su ecuación será: f(a) ( a) f'(a) 9 Recta Normal Recta Tengente Ejemplo: Determinar las rectas tangente normal a la función en el punto de abscisa. En primer lugar necesitamos las dos coordenadas del punto f() 5 Por lo tanto, el punto de tangencia es (,5) Ahora necesitamos las pendientes, para ello calculamos la derivada ', Entonces la pendiente es '(), para la recta tangente normal. Bastará sustituir los valores en las fórmulas '() para la recta La recta tangente es: 5 ( ) Y la recta normal: 5 ( ) 0 6/0

7 BLOQUE : ANÁLISIS DE FUNCIONES 5.- CRECIMIENTO Y DECRECIMIENTO DE UNA FUNCIÓN Vamos a fijarnos en la siguiente gráfica: La función es creciente en los intervalos,, La función es decreciente en, Si dibujáramos la recta tangente en = -, tendríamos que: la pendiente de dicha recta es positiva (lo mismo va a ocurrir con cualquier punto donde la función sea creciente), sin embargo, si lo hacemos en = 0. Veremos que la recta es decreciente, por lo tanto, la pendiente será negativa ( lo mismo ocurre en cualquier valor donde sea decreciente En resumen, la derivada es positiva en los puntos donde la función es creciente negativa donde es decreciente. Ha unos valores en los que la recta tangente es horizontal, eres capaz de averiguar cuáles? Cuánto valdrá la derivada en dichos valores? Cómo llamaremos a esos puntos? Ejemplo: Determinar los intervalos de monotonía (crecimiento decrecimiento) de la función En primer lugar tendremos que determinar aquellos valores donde la derivada no es ni positiva ni negativa (puntos críticos o puntos singulares) ' 0 0 Esta ecuación tiene soluciones = 0, = -, =. Mediante una tabla de signos determinaremos donde la derivada es positiva donde negativa 7/0

8 BLOQUE : ANÁLISIS DE FUNCIONES - 0 En resumen, la función es creciente en,0, decreciente en, 0, En = = -, la función cambia de decreciente a creciente, son mínimos relativos. En = 0, la función cambia de creciente a decreciente es un máimo relativo Ejemplo: Determinar los intervalos de monotonía (crecimiento decrecimiento) de la función En primer lugar tendremos que determinar aquellos valores donde la derivada no es ni positiva ni negativa (puntos críticos o puntos singulares) ' Ahora bien, los valores = =., también ha que tenerlos en cuenta en nuestra tabla de signos porque NO SON DEL DOMINIO de la función (ni de la derivada) por lo tanto, la función en dichos puntos no es derivable. Es decir, en la tabla ha que poner los valores donde la derivada vale cero además aquellos puntos donde la función no es derivable - 0 En el punto = 0, tenemos entonces un mínimo relativo porque la función cambia de decreciente a creciente. 8/0

9 BLOQUE : ANÁLISIS DE FUNCIONES 6.- CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD Una función f() es cóncava en el punto = a si la recta tangente a la curva en ese punto queda por debajo de la gráfica de la función. Una función f() es convea en el punto = a si la recta tangente a la curva en ese punto queda por encima de la gráfica de la función Si la recta tangente a f() la corta en el punto = a, diremos que a es un punto de infleión. Si nos fijamos en la parte cóncava, la derivada de la función en los puntos a la izquierda del mínimo es negativa, mientras que los que están a la derecha tienen derivada positiva. Si consideramos la derivada como una función, podemos decir que es una función creciente (va de menos a mas) por lo tanto su derivada (la derivada de la derivada) es positiva. En resumen: Las funciones cóncavas se caracterizan por tener segunda derivada positiva. De manera análoga podemos concluir que las funciones conveas tienen la segunda derivada negativa que la característica de los puntos de infleión es que su segunda derivada es cero. Para determinar los intervalos de concavidad conveidad el procedimiento es análogo al de la monotonía, pero a partir de la derivada segunda. 9/0

10 BLOQUE : ANÁLISIS DE FUNCIONES 7.- OPTIMIZACIÓN DE FUNCIONES Muchos problemas de los que se plantean en la ciencia, en la técnica o en la economía consisten en optimizar una función. Obtener el máimo rendimiento con el mínimo consumo, o bien, obtener los máimos beneficios con el mínimo coste. Para audarnos a resolverlos nos puede ser útil es siguiente esquema:.- Escribimos los datos las incógnitas, hacemos un dibujo si es posible.- Escribimos la función que deseamos maimizar o minimizar.- A partir de los datos del problema o relacione conocidas dejamos la función con una sola variable independiente..- Hallamos los máimos o mínimos derivando 5.- comprobamos si es máimo o mínimo (en la derivada segunda o en la tabla de signos) 6.- Interpretamos los resultados obtenidos rechazamos los que no sean posibles. Ejemplo: De todos los rectángulos de perímetro 0 m, calcula las dimensiones del que tiene maor área.- Perímetro = 0 X = longitud Y = Anchura.- La función maimizar es A =.- El perímetro es 0 m 0 A= A() (0 ).- A'() A ''() 0 Se trata de un máimo Longitud 5m, anchura = 5 m A() El rectángulo que obtenemos es un cuadrado, la solución es correcta, porque un cuadrado es un caso particular de un rectángulo. 0/0