INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO

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1 INSTITUTO TECNOLÓGICO METROPOLITANO FACULTAD DE CIENCIAS DECANATURA DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO DIFERENCIAL CUADERNILLO DE TRABAJO ACADÉMICO EJE TEMÁTICO : FUNCIONES REALES Realizado por Sergio Alberto Alarcón Vasco María Cristina González Mazuelo

2 PRESENTACIÓN El objetivo de este cuadernillo de trabajo es, además de estudiar los conceptos introductorios del cálculo, familiarizar al estudiante con el lenguaje propio de las ciencias. Es así, como la maoría de las situaciones problemas aquí presentados están dentro de este conteto. Esto hace que el eje temático de funciones reales sea fundamental, en el futuro, para un buen desarrollo en cursos posteriores de Ciencias Básicas por parte del estudiante. Por esta razón los conceptos básicos son presentados a partir de situaciones problema, con las cuales se pretende facilitar en el estudiante el aprendizaje de algunos de ellos. COMPETENCIA Identificar utilizar adecuadamente las funciones, sus operaciones propiedades básicas como modelos para resolver situaciones problema en distintos contetos. INDICADORES DE LOGRO En una situación problema específica: Identifica la función a utilizar. Obtiene la epresión gráfica o analítica, a partir de datos conocidos. Resuelve la situación, a partir de la epresión gráfica o analítica. Determina, a partir de una epresión analítica o gráfica, el dominio el rango de los diferentes tipos de funciones. Representa una función trigonométrica de manera gráfica o analítica, identificando su periodo, amplitud frecuencia.

3 RED DE CONCEPTOS PARA LA COMPETENCIA

4 . FUNCIONES SITUACIÓN INTRODUCTORIA El objetivo con esta situación es introducir, a partir de situaciones de la vida diaria, el concepto de función, mostrar su significado dentro del conteto matemático. Situación : Clara comenzó a trabajar en una empresa la primera semana de febrero de este año. El salario base que recibe es de $ mensuales. Sin embargo, acordó con las directivas de la empresa que, dependiendo de cual fuera su desempeño, su salario se incrementaría en $5.000 cada mes, a partir de marzo durante los dos años que dura su contrato.. De acuerdo con esta información, complete la siguiente tabla: Mes Febrero Marzo Abril Mao Junio Julio Agosto Salario Como se puede observar, las dos componentes relacionadas (mes salario) en el cuadro anterior van cambiando, es decir son variables. De esta forma, es posible asignárseles letras que representen a cada una de estas variables. Así, por ejemplo, la variable mes (variable relacionada con el tiempo) se puede representar por la letra t, la variable salario por la letra S. Nótese además, que el salario recibido por Clara depende del mes considerado, esto es, Clara recibe un salario que va variando, dependiendo del mes que transcurra. De esta forma, el salario S depende del tiempo t. Al contrario de lo que ocurre con el salario, los meses siguen transcurriendo independientemente de que Clara reciba o no reciba salario. Es así, como t en el lenguaje matemático se le llama la variable independiente S la variable dependiente, la cual suele escribirse S (t) significando que S depende de t o que S está en función de t o que S es una función de t. Para graficar este tipo de situaciones en el plano cartesiano, la variable independiente suele ubicarse en el eje horizontal, eje de las abscisas o eje ; la variable dependiente en el eje vertical, eje de las ordenadas o eje.. Apoado en la información anterior, ubique en el siguiente plano cartesiano los datos obtenidos para las variables mes (t) salario ( S (t) ), luego una los puntos obtenidos en dicho plano e indique cual es la forma que toma el gráfico resultante. Sugerencia: Para facilitar la asociación de las variables a puntos en el plano cartesiano, asígnele a los meses números enteros, considerando febrero (mes en que se inicia la situación) como 0; marzo, ; así sucesivamente. 4

5 El gráfico obtenido al unir los puntos en el plano cartesiano representa la función S (t) (El salario S devengado por Clara en un tiempo t), por tratarse de una recta, es llamado función lineal. En general, una línea recta tiene asociada una epresión analítica (algebraica), de la forma m b o f ( ) m b, donde m es llamada la pendiente de la recta b el intercepto con el eje de ordenadas. Así, si P (, ) Q (, ) son puntos de la recta, entonces la pendiente m, de la recta, puede hallarse de la forma: m. De acuerdo a la información obtenida en la tabla en el gráfico construido, halle la epresión analítica o modelo matemático que represente la situación. La importancia de un modelo matemático radica en que facilita la profundización en el análisis de la situación, permitiendo, inclusive, hacer predicciones. 4. Siguiendo con la idea anterior, por medio de la epresión analítica que acaba de obtener, analice lo siguiente: - Cuál es el significado en esta situación de la pendiente de la recta? - Cuál será el sueldo de Clara cuando lleve en la empresa meses, bajo las mismas condiciones planteadas inicialmente? 5. Si el dominio de la situación, representada por la función lineal, es 0 t 40, entonces: - Indique cual es el rango. - Dentro del conteto de la situación, que significado tienen el dominio el rango de la función. Discuta con su profesor sobre el concepto del dominio del rango de una función. 5

6 EJERCICIOS DE APLICACIÓN DEL CONCEPTO DE FUNCIÓN Funciones. Dadas las siguientes gráficas determine cuales de ellas son funciones o o o o o o. Dadas las siguientes epresiones determine cuales son funciones: a. 5 b. 7 c. d. 5 9 e. ln 0 f. Sen Cos e g. 5 h. 5 9 i. e 6

7 Dominio rango. Para cada una de las siguientes graficas de funciones determine el dominio el rango f () f () o - - o - - f () f () 4 o -4-4 o o f () /. o - f () 4. Encontrar el dominio de f a. f ( ) 7 b. f ( ) 6 c. f ( ) 4 4 d. f ( ) e. 4 f

8 g. h. 8 4 i j. k l. 5 m. ( 9) 4 5. Encontrar el dominio el rango de f : a. f ( ) b. f ( ) 4 c. f ( ) 4 d. f ( ) 4 Función Lineal 6. En cada numeral, halla la pendiente de la recta que tiene por inclinación los siguientes ángulos: a. 0 b. 0 c. 45 d. 90 e. 0 f En cada numeral, halla la pendiente de la recta que pasa por los puntos: a. P (0,0) Q (,5) b. P (0,5) Q (, 9) c. M (, ) N ( 4, 7) 8. Para cada una de las pendientes dadas halla el ángulo de inclinación: a. m b. m 0 c. m d. m 8

9 e. m f. m 0, Si una rampa se eleva 50 centímetros por cada metros sobre la horizontal, Cuál de los siguientes puntos epresa su pendiente o grado? (Eisten varias respuestas correctas) a. 0,5 b. 4 c. 4 d. 60% 50 e. 00 f. 5% m. 50cm. 0. Diga si la pendiente de la recta dada es positiva, negativa, cero o indefinida: O O O a. b. c. O O O d. e. f. 9

10 . En cada numeral, halla la pendiente de la recta que cumple las siguientes condiciones: a. Es paralela a la recta que tiene como pendiente m 4 b. Es paralela a la recta que tiene como pendiente m c. Es paralela a la recta que pasa por los puntos P ( 4, 5) Q (0,6) d. Es perpendicular a la recta que tiene como pendiente m 4 e. Es perpendicular a la recta que tiene como pendiente m 5 f. Es perpendicular a la recta que tiene como pendiente m 7 g. Es perpendicular a la recta que tiene como pendiente m 9 h. Es perpendicular a la recta que tiene como pendiente m i. Es perpendicular a la recta que pasa por los puntos R (0, ) S (, 4) j. Es perpendicular a la recta que pasa por los puntos T (,5) U (,5) k. Es perpendicular a la recta que pasa por los puntos C ( 4,7) D ( 4,). En cada uno de los siguientes numerales halle la ecuación de la recta que cumple las siguientes condiciones: a. Tiene pendiente m 4 pasa por el punto P (,6) b. Tiene pendiente m pasa por el punto Q (, 4) c. Tiene pendiente m pasa por el origen d. Pasa por el punto R (,0) es paralela al eje e. Pasa por el punto A (0,5) es paralela al eje f. Pasa por el punto N (,8) es paralela a la recta que pasa por los puntos T (, 5) S (,7) g. Pasa por el origen es paralela a la recta que pasa por los puntos A (,5 ) B ( 7, 9) h. Pasa por el punto T (, ) es perpendicular a la recta que pasa por los puntos U (9,) V (9,8) i. Pasa por el punto A (4,9) es perpendicular a la recta cua ecuación es 4. En cada uno de las siguientes ecuaciones de recta, halle: La pendiente, intercepto con el eje, intercepto con el eje gráfico de la recta. a. b. 5 c. 0 d. e. 4 f. 4 0 g. 4 0 h. 0 0

11 4. El gráfico que se da a continuación representa el costo C, de un artículo dado. C() Costo de los artículos Números de artículos Resuelve de acuerdo con la información dada en el gráfico las siguientes preguntas: a. Cuál es el costo de artículos? b. Cuál sería el costo de 5 artículos? c. De acuerdo con los datos dados en el gráfico, halla un modelo matemático (fórmula) que represente el costo del número de artículos. d. De acuerdo con el modelo matemático del numeral c., halla: C(4) (el costo de 4 artículos); C(7) (el costo de 7 artículos). e. Cuál sería el costo de 5000 artículos? f. Interprete, en el modelo matemático del numeral c., el significado de la pendiente. 5. El gráfico siguiente representa los ingresos diarios (en miles de pesos), I(n), obtenidos en un cine local, en función del número de asistentes, n. I(n) Ingresos diarios Números de asistentes 60 n

12 De acuerda con la anterior información, responde a las siguientes preguntas: a. Cuál es el valor recaudado si a la función asisten 0 personas? b. Cuántas personas deben asistir a la función para obtener unos ingresos de $5.000? c. Hallar un modelo matemático que represente la situación ( Es decir, eprese los ingresos como una función del número de personas que asisten a la función) Responder las preguntas d. a g. de acuerdo con el modelo matemático hallado en el numeral c d. Si al cine la caben 00 personas, Cuál es el valor recaudado en una función que reportó un cupo completo en sus asistentes? e. Cuántas personas tendrían que asistir a la función para obtener unos ingresos de $8.000? f. Cuál es el valor, por persona, de la entrada a una función? g. De acuerdo con la situación, determinar el dominio el rango. 6. Un fabricante compra una maquinaria por valor de $ Esta se deprecia linealmente, de manera que después de 0 años su valor comercial será $ De acuerdo con esta información responde las siguientes preguntas: a. Epresar el valor de la maquinaria como una función de su antigüedad dibujar la gráfica. b. Calcular el valor de la maquinaria después de 4 años. c. Cuándo se depreciará totalmente esta maquinaria? d. Es constante la forma como se deprecia anualmente la maquinaria? De ser así, Cuánto se deprecia anualmente? 7. Desde el comienzo del año, el precio del pan integral en un supermercado local sube a una tasa constante de $ por mes la unidad. El primero de noviembre, el precio por unidad había llegado a $800. De acuerdo con esta información responde lo siguiente: a. Epresar el precio del pan como función del tiempo b. Determinar el precio del pan al principio del año. 8. La temperatura medida en grados Farenheit es una función lineal de la temperatura medida en grados Celsius. Si se sabe que 0 Celsius son iguales a Farenheit que 00 Celsius son iguales a Farenheit, a. Escribir la ecuación de esta función lineal b. Emplear la función obtenida en el numeral a., para convertir 5 Celsius en grados Farenheit c. Convertir 68 Farenheit en grados Celsius 9 Un tanque contiene 50 litros de agua. A las 8:00 a.m. se abre una llave para llenarlo de tal forma que a la :00 p.m. ha en el tanque.50 litros de agua. Si se considera

13 que la cantidad de agua que entra al tanque es constante que la capacidad del tanque es de.000 litros, a. Representar gráficamente, en el plano cartesiano, la situación b. Cuántos litros de agua entran al tanque cada hora? c. Hallar el modelo matemático que represente la situación A partir del modelo matemático del numeral c., responder lo siguiente: d. A qué horas ha en el tanque.875 litros de agua? e. Cuánta agua habrá en el tanque a las :0 a.m.? f. Cuándo quedará lleno el tanque? 0. Una motocicleta se compró hace 5 años desde entonces se deprecia anualmente en $ hasta valer ho en día $ De acuerdo con esta información: a. Hallar el modelo matemático que representa la situación b. Representar la situación gráficamente, en el plano cartesiano A partir del modelo matemático del numeral b., responder lo siguiente: c. Cuándo se depreciaría totalmente la motocicleta? d. Cuál fue el valor de adquisición de la motocicleta?. Una práctica en un laboratorio de Física Mecánica consistió en colocar un carrito de cuerda sobre una pista recta, ponerlo en marcha con velocidad constante medir luego la posición del carrito, con respecto al inicio de la pista, cada 0 segundos. A continuación se presenta un esquema de la actividad los resultados obtenidos por un grupo de estudiante Dirección del movimiento Inicio de la pista t=0 t=0 t=50 0 cm. 9 cm. 69 cm. 59 cm. t s(t) Donde t es el tiempo (en segundos) s(t) la posición del carrito con respecto al inicio de la pista (en centímetros) De acuerdo con la situación anterior: a. Represente los datos obtenidos en el plano cartesiano

14 b. Halle el modelo matemático que representa la situación A partir del modelo matemático del numeral b., responder lo siguiente: c. A qué distancia, a partir del inicio de la pista, se encuentra el carrito 7 segundos después de haber comenzado el movimiento? d. A los cuántos segundos, después de haber comenzado el movimiento, el carrito se encuentra a 8 centímetros del inicio de la pista? e. Si la pista tiene una longitud de 00 centímetros, cuánto tiempo se tardó el carrito en recorrer toda la pista? f. Qué longitud recorre el carrito cada segundo? g. Cuáles son las unidades de la pendiente? A qué concepto de la Física corresponde? h. Determinar el dominio el rango de la situación. El volumen de gasolina en un carro tanque una vez se abre la válvula dispensadora viene dado por la epresión V ( t) 50t Donde t es el tiempo transcurrido a partir de la apertura de la válvula (en horas) V(t) el volumen de gasolina (en litros). De acuerdo con esta información: a. Representar en el plano cartesiano la información b. Cuánta gasolina sale del tanque cada hora? c. Cuál es el contenido máimo de gasolina en el tanque? d. Cuándo queda vacío el tanque?. En cierta ciudad la tarifa de tais es de $.000 por el primer kilómetro recorrido $500 por cada kilómetro adicional. De acuerdo con esta información, resuelva cada uno de los siguientes numerales: a. Hallar el modelo matemático que represente la tarifa de los tais, T, en función del número de kilómetros recorridos,. b. Cuál es la tarifa que debe pagar una persona si un tai la transporta ½ kilómetro. c. Cuál es la tarifa que debe pagar una persona si un tai la transporta 50 kilómetros. Función Cuadrática 4. En cada uno de los numerales siguientes hallar el vértice del gráfico de la función cuadrática: c. f ( ) 0. a. f ( ) 4 d. f ( ) b. f ( ) 5 4

15 e. f. g. f ( ) 7 f ( ) ( ) f ( ) ( ) h. i. f ( ) ( ) 4 f ( ) ( 5) 5. Para cada una de las funciones cuadráticas indique si el gráfico se abre hacia arriba o hacia abajo e indique, además, si el gráfico es más ancho, más angosto o igual al de la función f ( ). a. b. c. d. f ( ) f ( ) 0.5 f ( ) ( ) f ( ) ( ) e. f. f ( ) ( 5) 5 f ( ) ( ) 4 6. Relacione cada uno de los gráficos que se dan a continuación con alguna de las ecuaciones (la que mejor los describa) que se dan en los numerales desde a. hasta h. 5

16 a. f ( ) e. q( ) ( ) b. g( ) 5 f. r( ) ( ) c. h( ) 4 g. t( ) ( ) d. k( ) 4 h. v( ) ( ) 7. El consumo mundial de petróleo en millones de barriles diarios viene dado por el modelo matemático C( ) Donde es el número de años desde 985 (985 corresponde a cero). De acuerdo con este modelo, a. En que año se alcanzará el consumo máimo? b. Cuál será el consumo máimo? c. Cuál será el consumo en 985? d. Hallar el dominio el rango de la situación 8. Las recientes tasas (en porcentajes) de inflación anuales en Méico vienen dadas por la función I( t) 4t 48t 54 donde t representa el número de años desde 987. De acuerdo con esta información, a. En que año la tasa de inflación será mínima? b. Cuál es la tasa mínima de inflación? c. Cuál es la tasa de inflación en 987? d. Hallar el dominio el rango de la situación 9. Un proectil se lanza hacia arriba, de modo que su distancia (en pies) sobre el suelo t segundos después de que se dispara viene dada por el modelo De acuerdo con este modelo, encontrar s( t) 6t 400t a. La altura máima que alcanza el proectil después de ser lanzado b. El tiempo que tarda en alcanzar la máima altura c. El tiempo que tarda el proectil en caer d. La distancia horizontal que recorre el proectil desde que comienza su recorrido hasta que cae 6

17 0. Un niño lanza una pelota hacia arriba desde el borde de una terraza. La altura (en metros), H, alcanzada por la pelota con respecto al nivel de la calle, t segundos después de haberla lanzado, viene dada por la epresión H( t) 5t 5t 5 De acuerdo con lo anterior a. Encontrar la altura de la terraza b. Después de cuántos segundos la pelota vuelve a pasar por el borde de la terraza? c. Cuál es la altura máima alcanzada por la pelota el tiempo que tarda en alcanzarla? d. Después de cuántos segundos la pelota choca contra el suelo? e. Representar en el plano cartesiano la situación f. Determinar el dominio el rango de la situación. Durante el festival de cine de Cartagena la asistencia, en un día cualquiera, a las funciones, en cierto teatro, estuvo representada por el modelo A ( t) t 40t 00 donde A(t) representa el número de personas asistentes al teatro t el tiempo transcurrido (en horas), a partir de las 0:00 a.m., hora en que se abrió el teatro. De acuerdo con esta información, responder: a. Cuántas personas habían en el teatro a las 0:00 a.m.? b. Cuál fue la asistencia máima al teatro durante ese día? c. A qué horas se presentó la asistencia máima? d. Si las funciones terminaban a media noche, cuánta gente había en el teatro a esa hora? e. A qué horas habían 00 personas en el teatro?. La sección transversal del techo de un auditorio tiene la forma de una parábola, tal como se muestra a continuación: 7

18 De acuerdo con lo anterior: a. Epresar la altura, H, del techo con respecto al suelo como una función del ancho,, del auditorio. b. A qué altura con respecto al suelo quedarán ubicadas unas luces cua distancia horizontal desde los muros al auditorio es de metros? c. A qué distancia horizontal, medida desde los muros, se tienen que colocar unos parlantes de sonido para que su altura con respecto al suelo sea de 4 metros?. Un puente que cruza un río de 0 metros de ancho tiene la forma de una parábola con una altura máima de 6 metros con respecto al río. De acuerdo con esto, a. Hallar una epresión para la altura del puente, con respecto al río, en función del ancho del río. b. Representar la situación en el plano cartesiano c. A qué altura sobre el río se encuentra una persona ubicada sobre el puente a una distancia horizontal de 7 metros a partir de la orilla del río? d. A qué distancia horizontal desde las orillas está una persona ubicada sobre el puente a una altura de 4.5 metros sobre el río? 4. Para un viaje a un centro turístico, una compañía de fletes de autobuses cobra $ por persona, más $.000 por persona por cada lugar que no se venda en el autobús. Si el autobús tiene 4 asientos representa el número de lugares no vendidos, obtener lo siguiente: a. Una función que defina el ingreso total, R, del viaje, en función del número de lugares no vendidos,. b. El gráfico de la función del numeral a. c. El número de asientos no vendidos que producen el ingreso máimo. d. El ingreso máimo. Función por tramos En los ejercicios 5 al 8 evaluar la función definida por tramos en los valores indicados: 5. f ( ) 5 si si Evaluar: f (0), f (5), f ( ), f () f ( ) 7 si si 8

19 0 Evaluar: f ( 5), f (5), f (), f ) ( 7. g ( ) Si Si Si Evaluar: g ( 5), g (), g ( ), g ), g ( ) ( 4 8. si si 0 0 Evaluar: 4 9. Relacione cada una de las funciones que se dan en los numerales desde A. hasta F. con alguno de los gráficos (el que mejor las describa) que se dan en los numerales desde a. hasta f. - a c d 9

20 e f A. si 0 f ( ) si 0 si B. f( ) si si C. ( ) si f ( ) si 6 7 si D. f( ) si 0 si 0 E. f( ) 4 si si F. f( ) si si 40. Un teléfono celular cuesta 9 dólares al mes. El plan inclue 400 minutos gratis cada minuto adicional de uso cuesta 0 centavos de dólar. El costo mensual es una función de la cantidad de minutos empleados, se epresa como C ( ) 9 si ( 400) si 400 0

21 Determinar: a. El coso de 50 minutos b. El costo de 400 minutos c. El costo de 000 minutos 4. Una distribuidora de música ofrece a sus clientes un gran surtido de música en DVDs. Si compran no más de 6 DVDs, se venden a $5.000 cada uno. Si compran más de 6 DVDs, cada DVD adicional se vende a $.000. De acuerdo con lo anterior a. Encontrar un modelo matemático que represente el costo C de DVDs b. Cuál es el costo de 5 DVDs? c. Cuál es el costo de 5 DVDs? Función trigonométrica 4. Dadas las funciones que se presentan a continuación: a. Determine la amplitud, el período la frecuencia. b. Con la información anterior realice la grafica de la función en el plano cartesiano. c. A partir de la grafica determine el rango de la función. f ( t) Sen4t f ( t) Cos5t f ( t) Sent f ( t) 4 Cos6t f ( t) 5 Cost f ( t) 7Sent f ( t) 4 Sen8t f ( t) 9 5Cost f ( t) 7 Sen9t f ( t) 5 Cos0t 4. La posición de una cuerda que vibra con respecto al tiempo está representada por: f (t) 4 - / t

22 a. Cuál es la amplitud de vibración de la cuerda? b. Cuál el período? c. Cuál su frecuencia? d. Halle el modelo matemático que represente la posición de la cuerda con respecto al tiempo. e. Determine f ( ), ( ), ( 7 6 f f 6) a partir de la gráfica del modelo matemático. f. Determine el rango de la situación. 44. En un cultivo de mangos el número de mangos cosechados tiende a variar periódicamente de a cuerdo con el siguiente modelo matemático. N( t) Sent Donde N(t) representa el número de mangos cosechados t es el número de años a partir del 005. a. Construir a partir de la epresión analítica su gráfica que represente la situación en el plano cartesiano b. Cuál es el maor número de mangos cosechados en el cultivo? c. Cuándo se alcanzó por primera vez? d. Cuántas cosechas ha cada año? e. Cuál será el número de mangos cosechados a finales de octubre del 007? f. Cuál es el número de mangos cosechados a finales de marzo del 007? 45. Un ingeniero diseña un canal de drenaje con una sección transversal trapezoidal, tal como se muestra en el siguiente esquema: L h L a. Deducir una epresión para el área transversal del canal en función del ángulo, esto es: para f ( ) b. Determine el dominio de la situación, esto es: los valores que puede tomar c. Cuál es el área transversal del canal si = 45 L = 40 cm? d. Si L = 50 cm Cuál debe ser para que el área transversal sea de 500 cm?

23 Función logaritmo natural eponencial natural 46. Graficar sin tabular las funciones que se presentan a continuación: a. 5 ln b. ln c. ln d. ln e. 4 ln( ) f. ln( ) g. 4 ln( ) h. i. j. k. l. m. n. e e 4 e e 5 e 45 e e Supóngase que el número de bacterias de cierto cultivo t horas a partir de este momento será: N( t) 00 e 0,468t Cuándo habrán bacterias? 48. La relación de Ehremberg dada por: ln W ln,4, 84h Es una fórmula empírica que relaciona la estatura h (en metros) con el peso promedio (en Kg) para niños entre 5 años de edad. a. Eprese W como una función de h b. Calcule el peso promedio de un niño de años que mide,50 m. c. Cuál debería ser la altura de un niño de 8 años que pesa 0 Kg? 49. La velocidad de un paracaidista en el tiempo t está representada por: V ( t) 80(, e 0 t ) Donde t está dada en segundos V en pies / s a. Determinar la velocidad inicial del paracaidista. b. Determinar la velocidad del paracaidista después de transcurridos 5 0 segundos. c. Cuándo la velocidad del paracaidista es de 6,4 pies/s?

24 Bibliografía DOWLING, Edward T., Cálculo para administración, economía ciencias sociales. Primera edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 99. HOFFMAN, Laurence D. BRADLEY, Gerard L. Cálculo para administración, economía ciencias sociales. Seta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 998. LEITHOLD, Louis. El Cálculo con geometría analítica. 7 a Universit, 00. edición. Méico: Oford PURCELL, Edwin J. DALE, Varberg. Cálculo con geometría analítica. Seta edición. Méico: Prentice Hall Hispanoaméricana, 99. STEIN, Sherman K. BARCELLOS, Anthon. Cálculo geometría analítica. Quinta edición. Bogotá: Mc. Graw Hill, 994. STEWART, James. Cálculo: Conceptos contetos. Tercera edición. Bogotá: Thompson editores, 999. STEWART, James. Cálculo diferencial e integral. Segunda edición. Bogotá: Thompson editores, 007. SWOKOWSKI, Earl W. Cálculo con geometría analítica. da editorial Iberoamérica, 989. edición. Méico: Grupo WARNER Stefan, CASTENOBLE Steven R. Cálculo Aplicado. da Thomsom Learning, 00. edición. Méico: ZILL G., Dennis. Cálculo con geometría analítica. Méico: Grupo editorial Iberoamérica,