Funciones FUNCIONES FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES TABLA DE VALORES EXPRESIÓN ALGEBRAICA DOMINIO Y RECORRIDO GRÁFICA

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1 9 Funciones FUNCIONES EPRESIÓN ALGEBRAICA TABLA DE VALORES GRÁFICA DOMINIO RECORRIDO FUNCIONES DEFINIDAS A TROZOS PROPIEDADES DE LAS FUNCIONES CONTINUIDAD CRECIMIENTO DECRECIMIENTO SIMETRÍA PERIODICIDAD 7

2 Alimento de parásitos Otra vez se producía la misma situación, cada vez que cambiaban el destacamento encargado de vigilar el Centro de Investigación ocurría lo mismo: los nuevos soldados con su brillante uniforme del ejército nazi los insultaban, los humillaban, si se atrevían a protestar, llegaban incluso al castigo físico. Stefan Banach su compañero Piotr agacharon la cabeza, como si los comentarios no fueran con ellos, atravesaron la entrada disponiéndose a comenzar su trabajo. Abrieron las cajas, con meticulosa precisión, empezaron a alimentar a los diminutos parásitos. Al verlo, los guardias se reían a la vez que hacían comentarios claramente ofensivos hacia los dos operarios. Qué es eso, Hans? preguntó un soldado. El otro contestó entre risotadas: Dos cucarachas alimentando a los piojos! Piotr miró a Banach, intentando transmitirle su enfado. Esta es la forma de sentirse superiores que tienen los que, en absoluto, lo son susurró Banach. Por más oscura que sea la noche siempre llega la mañana. La respuesta arrancó una sonrisa a Piotr, que asintió con la cabeza. Stefan Banach fue un matemático polaco que contribuó notablemente al análisis funcional. Propón tú un ejemplo de función describe sus principales características. La función f() = π es lineal. Para cada valor de, f() es la longitud de la circunferencia cuo radio es. Teniendo esto en cuenta, decimos que el dominio de la función es (0, + ), el recorrido es (0, + ), que es siempre creciente.

3 Funciones EJERCICIOS 00 Epresa, de forma algebraica mediante una tabla de valores, la función que asigna a cada número su cubo menos dos veces su cuadrado. Epresión algebraica: = o f() = Tabla de valores: 0 f() Epresa, mediante un enunciado una tabla de valores, la función =. En el aula ha el doble de chicas menos uno que de chicos. 5 f() Averigua si estas gráficas representan a una función. La primera gráfica no es una función, porque a cada valor de la variable le corresponden dos valores de la variable. La segunda gráfica es una función, pues a cada valor de la variable le corresponde un único valor de la variable. 00 Se ha medido la temperatura de una sala durante 6 horas se ha construido una tabla con los resultados. Realiza una gráfica asociada a dicha tabla. Hora 5 6 Temperatura ( C) Se pueden unir los puntos? Temperatura Hora 76

4 SOLUCIONARIO Elabora una tabla de valores que se corresponda con la siguiente gráfica Pon un ejemplo de función en cua gráfica no se puedan unir los puntos. Cualquier función discreta; por ejemplo, el precio de la compra, dependiendo de la cantidad de artículos que adquiramos. 007 A partir de la gráfica de esta función, determina su dominio su recorrido. Dom f= [, ] [0, 6]; Im f= [, ] 008 Halla el dominio el recorrido de esta función. 5 f ( )= El dominio está formado por todos los valores de menos =. Dom f= {} El recorrido está formado por todos los valores de menos =0, 5 pues no ha ningún número, a, tal que 0 =. a Im f= {0} 009 Cuál es el dominio el recorrido de la función que a cada valor de le hace corresponder su raíz cuadrada positiva? El dominio está formado por todos los valores positivos de : +. El recorrido está formado por todos los valores positivos de : +. 77

5 Funciones 00 Representa estas funciones definidas a trozos. si < < a) f() = si si < <+ a) si < < 0 b) f() = si 0 0 si < <+ b) si 5< < c) f() = si 7 si 7< < 0 c) Determina la epresión algebraica que corresponde a la siguiente gráfica. si < < f() = si si < <+ 0 Escribe la epresión de una función definida a trozos represéntala. si < < f() = si si < <+ 78

6 SOLUCIONARIO 9 0 Estudia la continuidad de esta función. Tiene puntos de corte con los ejes? La función es continua en todos los puntos menos en =, =0 =. En =, la función tiene un salto, vale a la izquierda a la derecha. En =0, la función tiene otro salto, vale a la izquierda a la derecha. En =, la función no está definida a la derecha. El único punto de corte con los ejes es (0, ). 0 Representa f() estudia su continuidad. f()= si < si < < 0 si <+ La función es continua en todos los puntos menos en =, donde tiene un salto. 05 Inventa una función que tenga dos puntos de discontinuidad que corte dos veces al eje. si < < f() = si 5 si < <+ 06 Estudia el crecimiento de la función la eistencia de máimos mínimos. La función es decreciente en el intervalo (, 5), es creciente en ( 5, ) es decreciente en (, + ). La función presenta un mínimo en = 5 un máimo en =. 79

7 Funciones 07 Estudia la continuidad, el crecimiento los máimos mínimos de la función. f() = si < < si si < < + La función es continua en todos los puntos menos en = =. La función es constante en el intervalo (, ), es creciente en (, ) es decreciente en (, + ). Presenta un máimo absoluto en =. 08 Dibuja una función que tenga dos máimos dos mínimos. 5 5,5 7 Máimos: ( 5,5; 5) (, 5) Mínimos: ( ;,8) (7;,5),5 09 Estudia la simetría de las siguientes funciones. a) b) a) Esta función es simétrica respecto del origen, pues la parte del semieje negativo se puede obtener girando 80, respecto del origen, la parte correspondiente del semieje positivo. b) Esta función es simétrica respecto del eje de ordenadas porque, si doblamos por el eje, las dos ramas de la función coinciden. 80

8 SOLUCIONARIO 9 00 Determina algebraicamente si estas funciones presentan algún tipo de simetría. a) f() = 5 + c) h() = e) j() = b) g() = d) i() = 5 f) h() = a) f() = 5 + f( ) = ( ) 5 = 5 = ( 5 + ) = f() 5 Como f( ) = f(), es una función impar simétrica respecto del origen de coordenadas. + b) g() = c) g( ) = ( ) ( ) = Como g( ) g() g( ) g(), la función no es simétrica. h( )= h( ) = = = h( ) 5 ( 5 ) 5 Como h( ) = h(), es una función impar simétrica respecto del origen de coordenadas. d) i() = 5 i( ) = 5 = i() Como i( ) = i(), la función es par simétrica respecto del eje de ordenadas. e) j() = j( ) = ( ) = Como j( ) j() j( ) j(), la función no es simétrica. + ( ) + f) g() = g( ) = = g() ( ) = + Como g( ) = g(), la función es par simétrica respecto del eje de ordenadas. 0 Puede ser una función simétrica respecto del eje, a la vez, respecto del origen? Si la función es par, f() = f( ). si la función es impar, f() = f( ). Por tanto, si la función es par e impar, f() = f( ) = f(). La única opción es f() = 0, que corresponde a la función constante 0. 0 Determina si la función es periódica calcula su período. La función es periódica, de período. 8

9 Funciones 0 Dibuja una función de período otra función de período. Con período : Con período : 0 Dibuja la gráfica de la función que mide el ángulo formado por las manecillas del reloj. Es una función periódica? h h Es una función periódica, con período de,09 h. ACTIVIDADES 05 Para cada una de las funciones, calcula la imagen de,,,,. a) f() = 5 c) f() = b) f() = d) f() = + a) f () = 9; f ( ) = 9; f () = ; f ( ) = ; f () = ; f ( ) = b) f () = 6; f ( ) = 0; f () = 5; f ( ) = ; f () = ; f ( ) = c) f () = ; f ( ) = 5; f () = 5; f ( ) = ; f () = ; f ( ) = d) f () = ; f ( ) = ; f () = 8; f ( ) = 8; f () = 0; f ( ) = 0 06 Razona cuáles de las siguientes relaciones corresponden a funciones. a) El tamaño de una pared la cantidad de pintura necesaria para pintarla. b) Cada mes del año su número de días. a) Es una función. Son variables numéricas para cada tamaño de pared se necesita una única cantidad de pintura. b) No es una función. La variable independiente,, que corresponde a cada mes del año, no es una variable numérica; además, al mes de febrero le podrían corresponder dos valores, 8 o 9 días. 8

10 SOLUCIONARIO 9 07 Justifica si las gráficas corresponden a una función. a) c) b) No es una función, porque a un valor de le corresponden dos valores de. Es una función, pues a cada valor de le corresponde un único valor de. d) No es una función, porque a = le corresponde más de un valor de. Es una función, porque a cada valor de le corresponde un único valor de. 08 HAZLO ASÍ QUÉ ES CÓMO SE CALCULA LA TASA DE VARIACIÓN MEDIA DE UNA FUNCIÓN? Halla la tasa de variación media de la función f () =, en el intervalo [, ]. La tasa de variación media de una función en un intervalo [a, b] mide el aumento o la disminución de dicha función en [a, b]. PRIMERO. Se halla la variación de la variación de la función. Variación de : = Variación de f (): f () f () = 6 = SEGUNDO. Se calcula el cociente que resulta al dividir la variación de f () entre la variación de. f ( b) f ( a) f ( ) f ( ) 6 = = = 6 b a Este cociente es la tasa de variación media de f () en el intervalo [, ]. 09 Halla la tasa de variación media de las siguientes funciones, en el intervalo [, ]. a) f() = b) f() = f ( ) f ( ) 9 a) = = La tasa de variación media es. f ( ) f ( ) ( ) b) = = La tasa de variación media es. 8

11 Funciones 00 Completa la tabla de valores correspondiente a la función f() =. 0 f() Dada la función f() = +, haz una tabla con seis valores dibuja su gráfica. 0 f() Elabora una tabla de valores para estas funciones. 7 a) f() = b) f() = + + a) b) 0 f() = 0, 5 = 0, = 0, 5 = 0, f() =, 75 0 =, 75 = 5 0 Realiza una tabla de valores encuentra la epresión algebraica correspondiente a estas funciones. a) f() = 0 f() 0 b) f() = 0 f() a b c c) f() = 0 f() 0 0 Representa la función que relaciona el área de un triángulo rectángulo isósceles la longitud del cateto. a) Cuál es la variable dependiente? b) la variable independiente? = a) La variable independiente es la longitud del cateto. b) La variable dependiente es el área del triángulo. 8

12 SOLUCIONARIO 9 05 Dada la función que asocia a cada número entero su cuarta parte más cinco unidades: a) Halla su epresión algebraica. b) Calcula los valores de la función para = =0. c) Eiste valor de la función en =? a) = + 5 b) f () = 5,5; f (0) = 5 c) No, a que la función solo está definida para los números enteros. 06 Señala si la relación que asocia a cada número su raíz cuadrada positiva es una función. a) Cuál el valor de la variable dependiente para los valores 0,, de? b) Qué ocurre con los valores negativos de la variable independiente? c) Halla el dominio el recorrido de la función. Es una función, a que cada número solo tiene una única raíz positiva. a) f (0) = 0; f () = ; f () =+ ; f () =+ b) Cuando la variable es negativa, la función no está definida. c) Dominio: +, recorrido: Esta tabla muestra la conversión de la velocidad medida en kilómetros por hora a millas por hora. Velocidad (km/h) 6,, 8, 6, 80,5 Velocidad (millas/h) a) Represéntala gráficamente. b) Escribe la epresión algebraica que relaciona la velocidad en kilómetros por hora en millas por hora. a) b) =, 6 85

13 Funciones 08 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA EL DOMINIO EL RECORRIDO DE UNA FUNCIÓN A PARTIR DE SU REPRESENTACIÓN GRÁFICA? Calcula el dominio el recorrido de esta función.. DOMINIO PRIMERO. Observando el eje, se establece el primer el último valor de para el que está definida la función. En este caso, el primer valor es = el último valor es =8. SEGUNDO. Observando la gráfica de la función, se determinan los tramos los puntos en los que no está definida la función. La función no está definida en el intervalo [, ] en el punto =6. TERCERO. Se epresa el dominio con los datos obtenidos Dom f=[, 8] [, ] {6}. RECORRIDO PRIMERO. Observando la gráfica se establece en qué valores de la función alcanza el valor máimo el valor mínimo. El valor mínimo está en =0 el valor máimo está en =5. SEGUNDO. El recorrido de la función será el intervalo formado por esos valores. lm f=[0, 5] 09 Calcula el dominio el recorrido de estas funciones. a) Dom f= (, 0] [, 5] [6, + ) Im f= { } [0, + ) b) Dom f= lm f= [, + ) 86

14 SOLUCIONARIO 9 c) Dom f = lm f = [, ] d) Dom (f ) = {0} lm (f ) = {0} e) Dom f = [, ] [, 5) [6, 8] lm f = [0, ] {5} 00 Determina el dominio el recorrido de las funciones. a) f() = + c) f() = 5 b) f () = d) f () = a) Dom f = ; Im f = b) Dom f = {}; lm f = {0} c) Dom f = ; lm f = + d) Dom f = [, + ); lm f = + 0 Halla el dominio el recorrido de las siguientes funciones. a) f() = b) g() = + c) h() = a) Dom f = ; Im f = b) Dom g; lm g = [, + ) c) Dom h = {5}; lm h = {0} 5 87

15 Funciones 0 Calcula el dominio de las siguientes funciones definidas a trozos. si si 0 a) f() = b) f() = si < si 0< si > si > a) Dom f = (, ) b) Dom f = 0 Representa la función obtén el dominio el recorrido. si f() = si < si > Dom f = Im f = (, 0] 0 Representa esta función sobre unos ejes de coordenadas, halla su dominio recorrido. + si > 0 f() = si = 0 + si < 0 Dom f = Im f = [, + ) 05 Calcula la epresión algebraica de la función, halla su dominio recorrido. + si < 0 f () = si 0 < 6 si < < + Dom f = Im f = 6 06 La función que asigna a cada número su valor absoluto, f() =, se puede epresar como una función definida a trozos de la forma: < < f() = si 0 si 0 <+ Representa gráficamente esta función. 88

16 SOLUCIONARIO 9 07 Escribe, en forma de función definida a trozos, representa estas funciones. a) f() = b) g() = + c) h() = d) i() = a) si f( )= + < 0 < < si 0 <+ b) si g( )= + < 0 < < + si + 0 <+ c) si h( )= < 0 < < 0 si 0 0 <+ d) si i ( )= < 0 0 <+ si 0 < < 0 08 Determina una función definida a trozos cua gráfica pase por (, ), (, ) (, ). Cuántas funciones pasan por los tres puntos? Eisten infinitas funciones que pasan por los tres puntos. Por ejemplo: f( )= si < < 0 si 0 <+ 89

17 Funciones 09 Estudia la continuidad de esta función. La función es continua en todos los puntos ecepto en = en el intervalo (, ). En =, la función tiene un salto, vale a la izquierda a la derecha. En el intervalo (, ), la función no está definida, estos puntos no pertenecen al dominio. 050 Representa la función: f() = si si > a) Estudia su continuidad. b) Dónde crece decrece la función? c) Escribe sus máimos mínimos relativos. a) La función es continua en. b) La función crece en el intervalo (, + ) decrece en el intervalo (, ). c) La función tiene un mínimo relativo en =. 05 Estudia representa estas funciones. si < a) f() = b) f() = si > si < si = + si > a) Dom f= (, ) (, + ) Im f= (, ) La función es continua en todo su dominio. 90

18 SOLUCIONARIO 9 b) Dom f= (, ) {} (, + ) La función es continua en (, ) (, + ). Im f= (, + ) 05 Completa las gráficas para que las funciones sean simétricas respecto del eje. a) b) 05 Completa las gráficas para que estas funciones sean impares. a) b) 05 La gráfica pertenece a una función periódica, de período T=. Completa la gráfica a ambos lados justifica cómo lo haces. 6 9 Lo hacemos mediante una traslación. 9

19 Funciones 055 Estudia las siguientes funciones. a) c) b) d) a) Dominio: Dom f= (, ) Recorrido: Im f= ( ;,5] Cortes con los ejes de coordenadas: corta al eje en los puntos = ; =,5; =; =,5; al eje, en =,8. Continuidad: la función es continua en todos los puntos, menos en el intervalo (, ), donde no está definida. b) Dominio: Dom f= Recorrido: Im f= Cortes con los ejes de coordenadas: corta al eje en = 5 en (0, 0). Continuidad: la función es continua en todos los puntos. Es creciente en (, ) (0, + ) es decreciente en (, 0). Tiene un máimo relativo en = un mínimo relativo en =0. No presenta ningún tipo de simetría no es periódica. c) Dominio: Dom f= Recorrido: Im f= (, + ) Cortes con los ejes de coordenadas: corta al eje al eje en el punto (0, 0). Continuidad: la función es continua en todos los puntos, menos en =6. Es decreciente en (, ), es creciente en (, 6) es constante en (6, + ). Tiene un mínimo relativo en =. No presenta ningún tipo de simetría no es periódica. 9

20 SOLUCIONARIO 9 d) Dominio: Dom f= {,5} Recorrido: Im f= Cortes con los ejes de coordenadas: corta al eje al eje en el punto (0, 0). Continuidad: la función es continua en todos los puntos, menos en =,5; donde no está definida. Es creciente en (, 0) es decreciente en (0;,5) (,5; + ). Tiene un máimo relativo en =0. No presenta ningún tipo de simetría no es periódica. 056 En un centro comercial, al comprar kg de naranjas solo pagas kg. Si el kilo de naranjas cuesta 0,70, representa la función que relaciona el peso de naranjas () su precio (). Es una función definida a trozos? Por qué? N. o de kilos Precio 0,70,0,0,0,80,80,50,50,80,0,0 0, No es una función definida a trozos, porque la epresión algebraica de la función, para cualquier valor de, es: f ( ) = 0, Para ir a su centro escolar, Concha realiza cada día este traecto tarda el mismo tiempo aproimadamente: sale de casa sube una cuesta para llegar a la parada del autobús; se traslada en él se baja en la tercera parada, donde la espera una amiga, para ir desde allí andando juntas. Dibuja una gráfica que se ajuste a esta situación. Indica los tramos crecientes constantes, siendo el tiempo en minutos, e la distancia recorrida. Distancia Tiempo En los tres tramos, la función es creciente. 9

21 Funciones 058 Un electrocardiograma presenta la variación de actividad coronaria, marcando los movimientos del corazón. Es una función periódica? La función es periódica cuando el ritmo cardíaco es constante, en la gráfica vemos que no lo es. 059 Queremos hacer un viaje al etranjero preguntamos en dos agencias. VIAJESÁGUILA 00 + /km Viajes Princesa /km a) Representa las funciones que relacionan los kilómetros recorridos el precio. b) Con qué agencia interesa contratar el viaje? a) = = b) Viajes Águila: =00 + Viajes Princesa: = = =,67 Para viajes con traecto inferior a,67 km, nos interesa contratar Viajes Princesa. como queremos viajar al etranjero, será mejor contratar Viajes Águila. 9

22 SOLUCIONARIO En un parque de atracciones ha una noria de m de diámetro. a) Representa la altura que alcanza un niño que monta en la noria, en cada momento, durante vueltas. b) Realiza un boceto de la función, estudiando su periodicidad. Cuál es su período? a) m Altura 0 / / 5/ 7/ Vueltas b) La función es creciente hasta alcanzar la altura de m (media vuelta), después, es decreciente hasta estar a nivel del suelo (otra media vuelta). El período de la función es una vuelta. 06 En el Gran Premio de Hungría de Automovilismo, el piloto Fernando Alonso obtuvo su primera victoria en Fórmula, en un circuito de.8 m de longitud. a) Representa aproimadamente la evolución de la velocidad del coche durante vueltas. Es una función periódica? b) Dibuja la gráfica que corresponda a la vuelta en la que el piloto se detiene a repostar. a) Gráfica correspondiente a vueltas: b) Gráfica correspondiente a la vuelta en la que se detiene a repostar: Velocidad Velocidad 6 m. a vuelta. a vuelta. a vuelta. a vuelta Espacio Velocidad de repostaje Espacio Velocidad normal 95

23 Funciones 06 Representa la función = +. 5 f () = + si < 0 si 0 si < 06 + < A partir de = si representa estas funciones. si a) = + + b) = + a) f () = si < si si < b) si < f () = si si < 06 Si f(f()) = para cualquier valor de, demuestra que eiste un número entero n tal que f(n) = 5n.008. Cuánto vale n? Sabemos que f (f ()) = para cualquier valor de. Vamos a demostrar que eiste un valor tal que f (f ()) = =5.008 = = 50 f (f (50)) = 50 f (f (50)) = 50 f (f (f (50))) = f (50) 5f (50).008 = f (50). 008 f (50) = = 50 Por tanto, se ha demostrado que eiste un valor n=50 tal que f (n) = n f (f (n)) = f (n) como f (f (n)) = 5n.008 para cualquier n. Para el valor n=5 tenemos que f (f (5)) =

24 SOLUCIONARIO Una función f() es creciente, su dominio es [ 6, ] su recorrido es [, 6]. a) Cuánto valen f( 6) f()? b) Tiene máimos o mínimos relativos? a) f ( 6) = ; f () = 6 b) No tiene máimos ni mínimos relativos por ser una función creciente. EN LA VIDA COTIDIANA 066 Un grupo de alumnos va a publicar una revista escolar. Los profesores de los departamentos de Lengua Literatura de Matemáticas van a ser los coordinadores. Tenemos papel para realizar los dos primeros números de la revista. A partir del tercer número, tendremos que comprar el papel de cada revista a 0,0. Los profesores de Matemáticas les proponen simular lo que ocurriría si decidieran vender la revista. Para ello deben preguntar al resto de alumnos profesores del centro escolar cuánto dinero estarían dispuestos a pagar. Precio ( ) N. o de personas 97

25 Funciones Con la información recogida por los alumnos, a qué precio deberían vender la revista para poder comprar el papel necesario para imprimirla? Ha = 0 alumnos, si queremos dar una revista a cada uno harán falta 0 revistas, cuo coste en papel asciende a: 0 0,0 = 6. Si vendieran la revista a, la pagarían 8 personas, de modo que obtendrían 8, que es una cantidad insuficiente para comprar el papel de la próima tirada. Si vendieran la revista a 0,50, la pagarían = 65 personas, de modo que obtendrían,50, que es una cantidad insuficiente para comprar el papel de la próima tirada. si vendieran la revista a 0,5, la pagarían = 60 personas, de modo que obtendrían 0, que es una cantidad insuficiente para comprar el papel de la próima tirada. La solución es que cada persona pague lo que considera justo, de manera que la cantidad recaudada ascenderá a: , ,5 = 65, Como respuesta a las críticas realizadas por los medios de comunicación en relación con los atascos de cada fin de semana, la Dirección General de Tráfico va a elaborar un informe sobre el volumen de tráfico en las principales carreteras. 98

26 SOLUCIONARIO 9 Los resultados se han publicado en forma de gráfica. En ella se muestra la media de vehículos que circulaban en la carretera durante los domingos los lunes del último mes. Te has fijado en la diferencia que ha de tráfico según los días? N.º de vehículos Domingos Lunes En qué momento se han producido más retenciones? A qué horas se presentan menos problemas de tráfico? Aúdalos a resolver la situación, di quién tiene razón. El maor número de atascos se produce en la tarde de los domingos, a las 8:00 h. Los menores problemas de tráfico se producen en la madrugada. Por tanto, los medios de comunicación tienen razón en que se producen atascos en ciertos momentos del día. Para evitar estos atascos se debería recomendar a los conductores evitar esos tramos horarios: el domingo, entre las 6:00 h las 0:00 h, el lunes, en torno a las 8:00 h las 9:00 h. 99

27 0 Funcionespolinómicas racionales FUNCIONES POLINÓMICAS DE PRIMER GRADO: RECTAS DE SEGUNDO GRADO: PARÁBOLAS =m+n =a + b+c FUNCIONES DE PROPORCIONALIDAD INVERSA = k FUNCIONES RACIONALES: HIPÉRBOLAS = k a = k b a + 00

28 Funesto presagio Moscú amaneció plomizo, tan negro que más parecía la continuación de la noche que el nuevo día. Esa misma sensación tuvo Christian Goldbach cuando, como cada mañana, se dirigió al palacio donde el joven zar Pedro II lo esperaba para recibir su formación. Tras un corto traecto, su carruaje se detuvo ante el puesto de la guardia real. La entrada está prohibida hasta nueva orden. So el tutor del zar! dijo Goldbach asomándose a la ventanilla del carruaje. El jefe de la guardia ni siquiera se inmutó con voz impersonal, casi metálica, le dijo de manera tajante: Su trabajo en palacio ha terminado. Por qué? No está contento el zar con mi trabajo? Pretendéis decirme que no habéis oído los cañones, ni las campanas de las iglesias Ni habéis visto a los correos ir venir como locos, ni oís los lamentos de toda Rusia espetó el soldado con furia contenida. Cada frase restalló como una bofetada en la cara de Goldbach, que fue perdiendo ánimo hasta sentirse mareado. Profundamente afectado, se hundió en el asiento del carruaje ordenó al cochero que tomara el camino de regreso. Goldbach trabajó en el campo de los números primos. Construe una tabla que relacione cada número natural con el número de divisores primos que tiene. Razona si es o no una función. Construimos una tabla para los diez primeros números naturales: N. o natural N. o de divisores primos 0 Sí es una función, porque a cada número natural le corresponde un único número de divisores primos.

29 Funciones polinómicas racionales EJERCICIOS 00 Decide si las siguientes funciones son polinómicas o no. a) = + c) = 5 b) = + d) = 5 + Son funciones polinómicas las de los apartados a) c). 00 Representa gráficamente las funciones polinómicas del ejercicio anterior. 5 =5 = + 00 Razona de qué tipo es la función representada, determina su epresión algebraica su pendiente. Es una función afín, de ecuación = +. Su pendiente es. 00 Decide de qué tipo son estas funciones polinómicas represéntalas. a) f () = 0,7 + b) f () = c) f () = a) Afín b) Lineal = = 0,7 + 0

30 SOLUCIONARIO 0 c) Constante = 005 Representa, en unos mismos ejes, estas funciones eplica sus diferencias. a) = b) = c) = + c) b) a) Son rectas paralelas, con la misma pendiente. Se diferencian en su ordenada en el origen. 006 Asocia cada recta con su epresión algebraica. a) = + c) = b) = d) = a) b) c) No se corresponde con ninguna de las rectas dibujadas en el gráfico. d) La recta tiene por ecuación = tampoco tiene correspondencia con ninguna de las ecuaciones. 0

31 Funciones polinómicas racionales e) f) Todas las parábolas son similares, tienen como base =, se consiguen trasladando la parábola inicial, ecepto =, que se obtiene por simetría. 08 Eplica cómo son los coeficientes de la función cua gráfica es esta parábola. Ha alguno que sea cero? Qué pasaría si cambiamos de signo a todos? La gráfica tiene un mínimo en el vértice, luego a>0. El eje de ordenadas coincide con el eje de simetría, por lo que b=0. El vértice está desplazado hacia arriba respecto de la parábola = a, luego c>0. Si cambiamos todos los coeficientes de signo obtendríamos la parábola. 09 Representa la función = ,5, ,,5 08

32 SOLUCIONARIO 0 00 Dadas las funciones: = = = a) Represéntalas en los mismos ejes. b) Qué gráfica está más lejos del origen? a) b) La gráfica que está más lejos del origen es =. 0 Dadas las funciones: = = = a) Represéntalas en los mismos ejes. b) Cuál de ellas se aleja más del origen? a) b) La gráfica que está más lejos del origen es =. 0 El producto de e es. Realiza una tabla de valores representa la función correspondiente. = = ,,5 6 6,5, 09

33 Funciones polinómicas racionales 0 Representa la función , ,5 = escribe sus características. El dominio lo forman todos los números reales menos 0: {0}. La función no es continua en = 0. La gráfica no corta a los ejes de coordenadas. Tiene una asíntota vertical en = 0. Tiene una asíntota horizontal en = 0. La función es simétrica respecto del origen de coordenadas. La función es decreciente la gráfica está situada en los cuadrantes... 0 El área de un triángulo es m. Escribe la epresión de la función que relaciona su base con su altura, represéntala. La epresión en función de la base () la altura () es: = = ,,5 6 6,5, 0

34 SOLUCIONARIO 0 05 k Responde a estas preguntas para la función =, con k > 0. a) Cuál es su dominio? b) Es creciente o decreciente? c) Si pasa por el punto (, ), puede pasar por el punto (, )? a) El dominio es todos los números reales menos 0: {0}. b) La función es creciente. c) No puede pasar por (, ), por simetría pasará por (, ). 06 Representa las siguientes funciones. a) b) = = c) a) Como el numerador tiene signo negativo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son las rectas = 0 e = 0. = + / / b) Como el numerador tiene signo negativo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son las rectas = e = 0. / 0 / c) Como el numerador tiene signo negativo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son las rectas = e = 0. / 0 /

35 Funciones polinómicas racionales 07 A partir de la gráfica de la función Dibujamos =, la trasladamos para conseguir = + la invertimos respecto del eje para conseguir =. + = =, representa la gráfica de: + = + = Conocida la gráfica de la función algebraica tiene la gráfica verde? La gráfica de color verde es una traslación de =, dos unidades a la derecha. Los ejes de la gráfica de color verde son las rectas = e = 0, por lo que su epresión algebraica será de la forma k =, con k 0. Además, la gráfica pasa por el punto (, ), luego k =. La ecuación de la hipérbola es =. Representa las siguientes funciones. =, representada en rojo, qué epresión a) b) = = + a) La hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son las rectas = e = 0. / 5 /

36 SOLUCIONARIO 0 b) Como el numerador tiene signo positivo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son las rectas = e =. 5/ 5 7/ 00 Representa gráficamente estas funciones. a) = + b) = + a) Como el numerador tiene signo positivo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son las rectas = 0 e =. 5/ 7/ b) Como el numerador tiene signo negativo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son las rectas = e =. 7/ 5 5/ 0 Conocida la hipérbola =, representada en color rojo, cuál es la epresión algebraica de la hipérbola de color verde? La gráfica de color verde es una traslación de = dos unidades hacia la derecha una unidad hacia arriba. Los ejes de la gráfica de color verde son las rectas = e =, k por lo que su epresión algebraica será de la forma = +, con k 0. Además, la gráfica pasa por el punto (, 0), luego k=. La ecuación de la hipérbola es = +.

37 Funciones polinómicas racionales ACTIVIDADES 0 Estudia representa las siguientes funciones polinómicas de primer grado. a) = b) = c) = d) = + a) Su pendiente es, luego es creciente. 0 0 b) Su pendiente es, es decreciente. 0 0 c) Esta recta se obtiene trasladando tres unidades hacia abajo la gráfica de la recta =. Es creciente su pendiente es. d) Esta recta se obtiene trasladando tres unidades hacia arriba la gráfica de la recta =. Es decreciente su pendiente es. 0 Pon un ejemplo de función lineal, otro de función afín otro de función constante. Enumera sus semejanzas diferencias. Función lineal: = Función constante: = Función afín: = + Todas las funciones son rectas, la función constante no depende de, la función lineal pasa por el origen de coordenadas la función afín no pasa por el origen de coordenadas; estas dos últimas tienen pendiente distinta de cero.iii

38 SOLUCIONARIO 0 0 Representa estas funciones. a) f() = + b) g() = c) h() = d) i ( ) = + 5 a) 0 c) f() = + 0 h() = 0 b) 0 d) g() = i() = Representa en los mismos ejes de coordenadas estas funciones. Eplica sus diferencias. a) = b) = c) = d) = Todas son funciones lineales que se diferencian en el valor de su pendiente. b) a) c) d) 5

39 Funciones polinómicas racionales 06 Representa estas funciones en los mismos ejes de coordenadas. Qué diferencias ha? a) = c) = b) = d) = 5 Todas son funciones lineales que se diferencian en el valor de su pendiente. c) d) a) b) 07 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULA LA ECUACIÓN DE UNA FUNCIÓN AFÍN A PARTIR DE SU GRÁFICA? A qué función corresponde esta gráfica? PRIMERO. Se halla la pendiente. Para ello, se calcula la variación de las variables e entre dos puntos de la recta: m= = SEGUNDO. Se determina la ordenada en el origen. El punto de corte de la función con el eje es (0, ). TERCERO. Se escribe la epresión algebraica de la función con los datos obtenidos. =m+n = 08 Relaciona cada epresión algebraica con su gráfica. a) = b) c) d) = = + = Las rectas son paralelas dos a dos, luego tienen pendientes iguales dos a dos. Las rectas son crecientes, es decir, tienen pendiente positiva sus epresiones algebraicas serán a) c). Para distinguir una gráfica de otra calculamos su punto de corte con el eje. Deducimos que la gráfica corresponde a a) la gráfica a c). Con un razonamiento análogo deducimos que la gráfica corresponde a d) la gráfica corresponde a b). 6

40 SOLUCIONARIO 0 09 Calcula las epresiones algebraicas de las funciones representadas por estas rectas. a) = b) = c) = + d) =+8 d) b) a) c) 00 Cuál de las rectas tiene por ecuación =? a) c) b) d) La recta que tiene por ecuación = es la del apartado b), a que es decreciente pasa por el punto (0, ). 0 Esta gráfica corresponde a una función de proporcionalidad directa. Dibuja los ejes si la abscisa del punto A es. A 6 A a) Cuál es la ordenada del punto A? b) la epresión algebraica de la función? a) La ordenada del punto A es 6. b) = 7

41 SOLUCIONARIO Discute cómo serán los coeficientes de la epresión algebraica que corresponde a cada una de estas parábolas o rectas. a) Es una recta = m + n. Pasa por el origen de coordenadas, luego la función es lineal n = 0. La función es creciente m > 0. La pendiente es, porque al aumentar una unidad en el eje, se aumentan tres unidades en el eje m =. La ecuación es =. b) Es una parábola = a + b+ c. Tiene un mínimo relativo en el vértice a > 0. Es igual de cerrada que = a =. El eje de simetría es el eje de ordenadas b = 0. El vértice es el punto de coordenadas V(0, ) c =. La ecuación de la parábola es por tanto = +.

42 Funciones polinómicas racionales 056 HAZLO ASÍ CÓMO SE CALCULAN LOS PUNTOS DE INTERSECCIÓN ENTRE UNA RECTA UNA PARÁBOLA? Calcula los puntos de intersección de la recta = + la parábola = +. PRIMERO. Se plantea un sistema de ecuaciones. = + + = + = + SEGUNDO. Se resuelve el sistema. += + = 0 = = = TERCERO. Se sustituen estos valores en las ecuaciones se obtienen los puntos de corte. = = + = A(, ) = = B(, ) Los puntos de corte de la parábola la recta son (, ) (, ).

43 Funciones polinómicas racionales 059 Halla la ecuación de una recta que corte a la parábola = + en cada punto. a) (0, ) b) (, ) c) (, ) Además de este punto, se cortan en algún otro punto? Calcúlalo. Las rectas que pasan por un punto P(a, b) son de la forma b=m( a), con m, dando distintos valores a m, obtenemos diferentes rectas que pasan por ese punto. a) Las rectas que cortan a la parábola = + en el punto (0, ) son de la forma = m( 0) = m+, ( = +). La recta = m+ corta a la parábola en dos puntos: (0, ) ( m, m + ). Para m = (, ). b) Las rectas que cortan a la parábola = + en el punto (, ) son = m( ) =m+( m), (=). La recta =m+( m) corta a la parábola en dos puntos: (, ) ( m, m m+). Para m= (, ). c) Las rectas que cortan a la parábola = + en el punto (, ) son + = m( ) =m (m+), (= ). La recta =m (m+) corta a la parábola en dos puntos: (, ) ( m, m m ). Para m= (, 7). 060 La siguiente tabla corresponde a una función de proporcionalidad inversa. 5 a) Completa la tabla. b) Escribe la epresión algebraica de la función. c) Representa la función. a) b) c) = 6

44 SOLUCIONARIO 0 06 La relación entre dos números positivos viene establecida por la tabla. 0,0 0, 0, 0, a) Cuál es su epresión algebraica? b) Represéntala gráficamente. c) Da valores a próimos a cero. Qué ocurre con los valores de? a) = 6 = 6 b) c) Cuando toma valores cercanos a cero, toma valores mu elevados. 06 Representa las funciones = 6 e = 6, escribe sus diferencias. = 6 = 6 Son funciones simétricas respecto del eje horizontal. A cada valor de le corresponden valores opuestos para. = 6 = 6 es decreciente su representación está en los cuadrantes... es creciente su representación está en los cuadrantes... 7

45 Funciones polinómicas racionales 06 Estudia representa las siguientes funciones de proporcionalidad inversa. a) = b) = a) Dominio: todos los números reales menos 0: {0}. Recorrido: todos los números reales menos el 0: {0}. Continuidad: la gráfica es continua en todos los puntos ecepto en = 0. Crecimiento decrecimiento: la función es decreciente. No tiene máimos ni mínimos relativos. Presenta una simetría respecto del origen de coordenadas. b) 6 6 Dominio: todos los números reales menos 0: {0}. Recorrido: todos los números reales menos 0: {0}. Continuidad: la gráfica es continua en todos los puntos ecepto en = 0. Crecimiento decrecimiento: la función es creciente. No tiene máimos ni mínimos relativos. Presenta una simetría respecto del origen de coordenadas. 06 Dada la función = 5 : a) Para qué valores es creciente la función? b) Tiene máimo o mínimo? c) Haz una tabla de valores donde tome valores de a 0 de a 0 cercanos a 0. A qué valores se acerca la función? a) Es creciente en toda la recta real, menos en 0, donde no está definida. b) No tiene máimos ni mínimos, por ser siempre creciente. c) 0, 0,0 0,00 0,000 0,000 0,00 0,0 0, Cuando toma valores negativos próimos a 0 valores positivos mu grandes, se acerca a infinito. Cuando toma valores positivos próimos a 0 valores negativos mu grandes, se acerca a menos infinito. 8

46 SOLUCIONARIO Completa la gráfica correspondiente a una hipérbola. Como la gráfica de la hipérbola es simétrica respecto del origen de coordenadas, la otra rama pasa por los puntos (, ) (, ). 066 Realiza la gráfica de las hipérbolas. a) = b) = + Cuáles son los ejes de cada una? a) Como el numerador es positivo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son = e = 0. 5 b) Como el numerador es positivo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son = e = Dibuja la gráfica de las hipérbolas. a) = b) Cuáles son los ejes de cada una? = a) Como el numerador es positivo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son las rectas = e =

47 Funciones polinómicas racionales b) Como el numerador es negativo, la hipérbola ocupa los cuadrantes... Los ejes son las rectas = e = Representa las hipérbolas. a) = c) + = + + b) = + d) = + + a) Los ejes son las rectas = e = 0. 0 b) Los ejes son las rectas = 0 e =. 5 c) Los ejes son las rectas = e =

48 SOLUCIONARIO 0 d) Los ejes son las rectas = e = Conocida la hipérbola =, representada en color azul, escribe la epresión algebraica de las hipérbolas de color rojo verde. Roja: = Verde: = Relaciona cada gráfica con su epresión algebraica. a) = c) = + + b) d) = = + + La gráfica ocupa los cuadrantes.., por lo que el numerador será positivo. Los ejes son = e =, luego su epresión es a). La gráfica ocupa los cuadrantes.., luego el numerador es positivo. Los ejes son = e =, su epresión es c). La gráfica ocupa los cuadrantes.., luego el numerador es negativo. Los ejes son = e = 0, su epresión algebraica será b). La gráfica ocupa los cuadrantes.., el numerador es negativo. Los ejes son = 0 e =, su epresión algebraica es d).

49 Funciones polinómicas racionales 07 Representa las siguientes hipérbolas. a) = c) + = + b) = d) = a) La función es decreciente. Los ejes son las rectas = e =. 0 5 b) La función es decreciente. Los ejes son las rectas = e = c) La función es creciente. Los ejes son las rectas = e = d) La función es creciente. Los ejes son las rectas = e =

50 SOLUCIONARIO 0 07 Dibuja una hipérbola que corte a los dos ejes de coordenadas, escribe su epresión algebraica. Respuesta abierta. = + 07 HAZLO ASÍ a CÓMO SE REPRESENTAN LAS FUNCIONES DEL TIPO =? b Representa la función =. PRIMERO. Se dividen los polinomios. + k SEGUNDO. Se presenta la función racional del tipo = + b que resulta. a La función = + es una hipérbola semejante a la hipérbola =, cuos ejes son: = Eje vertical = Eje horizontal La representación de la hipérbola es la siguiente. = = +

51 Funciones polinómicas racionales 07 Representa las siguientes funciones. 6 + a) = c) = b) = d) = a) Hacemos la división: = 6. = 5 5 La función = es una hipérbola 5 semejante a =. Los nuevos ejes. de esta hipérbola son: = 5 e =. + 7 b) Hacemos la división: =. + = + + La función = + es una hipérbola + semejante a =. Los nuevos ejes. de esta hipérbola son: = e =. c) Hacemos la división: = +. + = + + La función = + es una hipérbola + semejante a =. Los nuevos ejes. de esta hipérbola son: = e =. 5 d) Hacemos la división: = =. 7 7 La función = es una hipérbola 7 semejante a =. Los nuevos ejes. de esta hipérbola son: = 7 e =.

52 SOLUCIONARIO A nivel del mar, el agua hierve a 00 C, pero cada incremento de 00 m en la altitud supone una décima de grado menos para hervir. a) Calcula el punto de ebullición en las cimas del Aneto (.0 m) del Everest (8.8 m). b) Indica la epresión algebraica de la función Temperatura de ebullición del agua Altitud.. 0 a) TAneto= 00 0, = 96, 596 C TEverest= 00 0, = 9, 56 C 00 b) Temperatura: Altura: = 00 0, = El coste fijo de la factura mensual de electricidad es de 0. Además, cada kilowatio cuesta 0,0. Haz una tabla que relacione el gasto mensual, en kwh, el importe, en. Escribe la función represéntala. kwh Gasto: Gasto 0 0, 0, 0,6 0,8 =0 + 0,0 Gasto kwh: kwh 077 La relación entre la longitud recorrida la altura alcanzada al subir un puerto de montaña se determina por la señal de tráfico que informa de la pendiente. Si en un puerto de montaña la pendiente es del 8 %, epresa la relación entre la longitud recorrida la altura alcanzada de forma algebraica, representa la función. Altura: Longitud: =0,08 Altura Longitud 5

53 Funciones polinómicas racionales 078 Los tais de una ciudad cobran por bajada de bandera 0,80 por cada kilómetro recorrido. a) Haz una tabla que eprese el precio del viaje en función de los kilómetros recorridos. b) Escribe la función que relaciona ambas magnitudes represéntala. a) b) = + 0,8 0,8,6 7,, ,8 7 6,6 8 7, 9 8, Distancia Precio 079 Eisten varias escalas numéricas para medir la temperatura. Escribe una epresión algebraica que transforme: a) Grados Celsius a grados Kelvin. b) Grados Celsius a grados Farenheit. Escalas Celsius Farenheit Kelvin P fusión Agua P ebullición ,5 7,5 Representa ambas funciones determina la temperatura a la que coinciden ambas escalas. a) = b) =7, = + 00 = 7, = 7, = 0,975 C = 57, b) a) Las escalas Kelvin Farenheit coinciden en 57,575 F = 57,575 K. 00 6

54 SOLUCIONARIO La gráfica refleja la temperatura del aire, en C, en función de los kilómetros de altitud. 5 a) Escribe la epresión algebraica de la función Altitud Temperatura. b) Cuál es su ordenada en el origen? Qué significado tiene? c) Qué temperatura habrá a 9 km de altitud? a) La función es = 6+. b) La ordenada en el origen es, esto significa que, a nivel de mar, la temperatura es de C. c) A 9 km de altura habrá: 6 9 = C. 08 En un momento del día, la sombra de un palo de m de altura es de 0, m. a) Haz una tabla donde se refleje la longitud de la sombra de varios objetos, en función de su altura, para ese instante. b) Escribe la función represéntala. a) 0 0,5,5,5,5, ,5 0, 0,5 0,6 0,75 0,9,05,,5,5 b) =0, Sombra Altura 7

55 Funciones polinómicas racionales 08 Queremos construir un depósito prismático de base rectangular, metros de altura cua capacidad sea 500 litros. a) Haz una tabla con los diferentes valores de las dimensiones que puede tener. b) Escribe la función correspondiente represéntala. a) Base Altura 5 5,5,5 b) = Realmente la representación corresponde a la parte del. er cuadrante, a que la longitud de la base del rectángulo nunca puede ser negativa. 08 Los alumnos de. o ESO quieren ir de viaje de estudios. Para obtener fondos compran 60 cajas de polvorones que han de vender entre todos los alumnos. a) Haz una tabla que relacione el número de alumnos que van a viajar con el número de cajas que ha de vender cada uno. b) Escribe su epresión algebraica representa la función. c) Comprueba que el producto del número de alumnos el de cajas es constante. Cuál es ese valor? a) N. de alumnos Cajas b) = Realmente la representación corresponde a la parte del. er cuadrante, a que el número de alumnos nunca puede ser negativo. c) El producto siempre vale 60. 8

56 SOLUCIONARIO 0 08 Carlos se va de vacaciones quiere alquilar una caravana. Por ello, acude a dos empresas de alquiler de caravanas que le ofrecen diferentes posibilidades. A B /día 0 + /día a) Si Carlos va a viajar 8 días con la caravana, en qué empresa le resulta más barato hacerlo? b) si va a viajar 5 días? c) Escribe las funciones Precio Tiempo represéntalas en los mismos ejes. Dónde se cortan? Qué representa el punto de corte? a) Precio en la compañía A: = 0 Precio en la compañía B: = 6 Le resulta más barato hacerlo en la compañía B. b) Precio en la compañía A: = 00 Precio en la compañía B: = 0 Le resulta más barato hacerlo en la compañía A. c) Función de la compañía A: = Función de la compañía B: =0 + Precio 0 = = 0 + Días Las funciones se cortan en el punto (0, 50), esto significa que el precio de las dos compañías coincide para un alquiler de 0 días, sería de 50. 9

57 Funciones polinómicas racionales 085 Haz la gráfica de f () que cumpla que: Es continua en todo, salvo en = en =. Es creciente en < 0 es decreciente en > 0. Tiende a cuando tiende a +. Tiende a cuando tiende a. Tiene dos asíntotas verticales, una en = otra en =. Pasa por el origen por el punto (, ). 086 A partir de la gráfica de f () = 6 + razona cuántas soluciones tienen estas ecuaciones. a) 6 + = 0 b) 6 + = c) 6 + = Las soluciones de las ecuaciones coinciden con los cortes de las funciones con el eje, la representación de cada función se consigue trasladando la gráfica de la función. a) La gráfica de = 6 9 se realiza desplazando diez unidades hacia abajo la gráfica de = 6+. La ecuación solo tiene una raíz está en el intervalo (, ). 0

58 SOLUCIONARIO 0 b) La gráfica de = 6 se realiza desplazando dos unidades hacia abajo la gráfica de = 6 + La ecuación tiene tres soluciones, en los intervalos (, ), (, 0) (, ) c) La gráfica de = 6 + se realiza desplazando tres unidades hacia arriba la gráfica de = 6 +. La ecuación tiene tres soluciones, una solución doble en = otra en =. 087 Para qué valores del parámetro a tiene soluciones la ecuación 6+ = a? para qué valores tiene o más soluciones? Tiene tres soluciones para todos los valores comprendidos entre el máimo relativo ( = 5) el mínimo relativo ( = ). Nunca puede tener más de tres soluciones por ser una ecuaciones de grado. Tiene tres soluciones para cualquier valor a del intervalo (, 5) De una función polinómica sabemos que: f (0) = f () = f ( ) = 8 a) Cuántas funciones polinómicas de grado cumplen estas condiciones? b) cuántas de grado superior a? a) Una ecuación de grado es de la forma = A + B + C, por lo que sustituendo resulta el sistema de tres ecuaciones con tres incógnitas, que tiene una sola solución. f ( 0) = C = f ( ) = A + B + C = A =, B =, C = f ( ) = 8 A B + C = 8 + = 0 b) Para ecuaciones de grado maor que se obtienen sistemas con tres ecuaciones, al menos, con cuatro incógnitas, por lo que habrá infinitas soluciones.

59 Funciones polinómicas racionales EN LA VIDA COTIDIANA 089 Los alumnos de.º ESO están organizando su viaje de fin de curso acuden a distintas agencias de viajes para tener varios presupuestos de las ciudades que podrían visitar. En una de las agencias les sugieren viajar a Francia durante días. Tienen una oferta que a habían visto en el escaparate, la directora de la agencia les ofrece una promoción especial, dependiendo del número de alumnos que contraten el viaje. El precio por alumno será de 00 euros, pero si el grupo rebasa los 0 estudiantes, rebajaremos 0 euros por cada alumno que supere ese número. Cuando vuelven al centro escolar para contárselo al resto de alumnos, todos tienen claro que les conviene ser el maor número de alumnos posible. Entonces, si nos apuntamos, cada uno pagaremos 80 euros. Eso es, cuantos más alumnos nos apuntemos mejor.

60 SOLUCIONARIO 0 Qué número de alumnos le interesa a la agencia que contrate el viaje? Número de alumnos: Precio de cada alumno: Gasto a partir de alumnos: = (70 0) A la agencia le interesa que se realice el maor gasto posible, que se corresponde con el vértice de la función. El vértice está en el eje que pasa por el punto medio de los dos puntos de corte con el eje. El eje es: = 70 0 > ( ) si 00 si ( 70 0) = 0 7 = = 6 = = A la agencia le interesa que vaan 6 alumnos. 090 Un estanque ha sido contaminado con un residuo orgánico, el equipo de biólogos encargado de estudiar la gravedad de la situación va a realizar un estudio en el que se analice el impacto ambiental que puede tener.

61 Funciones polinómicas racionales Para sacar conclusiones, el equipo va a medir el nivel de concentración de oígeno en el estanque. Vamos a establecer la relación entre la concentración de oígeno en el agua el tiempo. La relación entre las dos magnitudes que van a estudiar viene dada por la función: f( t)= t t + t + donde t representa el tiempo en semanas t 0. f (t),, 0,8 0,6 0, 0, 5 t a) Si una semana aparecieron bastantes peces muertos, cuál crees que fue? b) Según va transcurriendo el tiempo, hacia qué valor tiende la concentración? a) La semana en que aparecen más peces muertos es cuando la concentración de oígeno es menor, eso ocurre en las dos primeras semanas, especialmente de la mitad de la primera semana a la mitad de la segunda.