UN PROBLEMA ABIERTO DE DINÁMICA DE CUERPOS VINCULADOS POR CUERDAS Y ROZAMIENTOS BAJO EL ANÁLISIS CLÁSICO Y LA SIMULACIÓN COMPUTACIONAL

Transcripción

1 UN PROBLEMA ABIERTO DE DINÁMICA DE CUERPOS VINCULADOS POR CUERDAS Y ROZAMIENTOS BAJO EL ANÁLISIS CLÁSICO Y LA SIMULACIÓN COMPUTACIONAL Jorge Mamprin Hugo Kofman Faculta e Ingeniería Química - Universia Nacional el Litoral Santiago el Estero 89 Santa Fe Argentina jmamprin@fiqus.unl.eu.ar hkofman@fiqus.unl.eu.ar RESUMEN La resolución e problemas abiertos, en los cuales la variación e parámetros y coniciones se traucen en comportamientos cualitativamente iferentes el sistema físico, es una activia que ayua al esarrollo e la creativia y al aprenizaje significativo. Sin embargo, ciertos problemas se suelen complicar por el requerimiento e una estructuración lógica e las istintas variantes, y e cálculos laboriosos para valiar las preicciones teóricas. En estos casos, la tarea se facilita combinano la resolución analítica con el esarrollo e un algoritmo que permita la simulación el fenómeno en la computaora. Tal es el ejemplo presentao, en el que se propone la utilización el moelo e simulación como herramienta iáctica, que permite, entre otras cosas, iscutir la limitación el moelo físico ieal el rozamiento y el vuelco inámico e los cuerpos. INTRODUCCIÓN: Dese hace tiempo se insiste en la necesia e proponer al alumno la resolución e problemas abiertos, es ecir e aquellos que no se limiten a un eterminao juego e atos numéricos, sino que contemplen ciertos parámetros en función e los cuales puean proucirse situaciones cualitativamente iferentes. La resolución e tales problemas con lápiz y papel, necesaria cualquiera sea el camino que se siga, presenta en muchos casos ciertas ificultaes para valiar los resultaos, lo cual puee requerir la necesia e realizar muchos cálculos que insumen un tiempo excesivo. Aemás, ichos resultaos numéricos no siempre resultan interpretables como para inicar que la resolución ha sio correcta. La elaboración y ejecución e un algoritmo general, que refleje la resolución encontraa en forma analítica nos brina posibiliaes sumamente interesantes en ese aspecto. Con el moelo computacional resulta posible realizar experimentos (simulaciones) bajo istintas coniciones, para valiar o corregir el moelo matemático encontrao. Pero la realización

2 e la simulación puee permitir, aemás, encontrar las limitaciones el moelo físico ieal que se ha utilizao como punto e partia para resolver el problema, cuestión que ifícilmente se puea percibir en la resolución analítica y valiación por meio e simples cálculos matemáticos. Tales son las conclusiones a que hemos arribao luego e resolver un problema e inámica relativa, aparentemente sencillo, pero que sólo en el esarrollo y ejecución el algoritmo nos resultó posible analizar y orenar las iferentes situaciones que se poían proucir. Cómo luego etallaremos, la ejecución el programa nos mostró e manera eviente la escasa aproximación a la realia, el moelo e rozamiento inámico que propone una fuerza inepeniente e la velocia relativa entre las superficies en contacto, el que es ampliamente utilizao en los textos e física e toos los niveles. Se trabajó sobre un problema e inámica relativa, con movimientos e traslación, pero que contempla una rotación en la posibilia el vuelco e un cuerpo. Se trata e una situación similar a la que se plantearía a un cuerpo apoyao sobre una cinta transportaora que se animación, y la posibilia e acceso a tablas e valores. pone en movimiento. El programa fue esarrollao en entorno Winows 95, incluye una animación, la construcción e las gráficas e Desplazamientos, Velociaes y Aceleraciones en función el tiempo, que se ibujan simultáneamente con la Dicho software permite su utilización posterior como herramienta iáctica, para que los alumnos obtengan conclusiones meiante la simulación, variano los istintos parámetros, lo cual puee aplicarse a moo e preicción cualitativa y/o con el objetivo e valiar su propia resolución analítica. EL PROBLEMA: Analizar la evolución el siguiente sistema físico a partir el reposo, para istintas masas e los cuerpos, coeficientes e rozamiento y imensiones el cuerpo Nro.. MODELO FÍSICO IDEALIZADO DEL SISTEMA Vamos a consierar la existencia e rozamiento entre el bloque () y la superficie one se apoya, al igual que entre el mismo y el bloque (). Diferenciamos para caa caso un coeficiente e rozamiento estático y un coeficiente inámico, consierano que la fuerza e rozamiento es proporcional a icho coeficiente y a la fuerza normal e contacto entre las superficies, sieno la fuerza inámica inepeniente e la velocia.

3 Suponemos que el sistema e referencia (4) es inercial, lo cual implica espreciar los efectos e los movimientos terrestres. Para la cuera, consieramos espreciable su masa, inextensible y perfectamente flexible. La polea se supone e masa, momento e inercia y rozamiento el eje espreciables. En el problema no se tiene en cuenta la fuerza e resistencia el aire. ANÁLISIS DEL PROBLEMA En el marco e las consieraciones anteriores, poemos suponer que el sistema se puee comportar e iversas maneras, e acuero a los parámetros que se fijen: I- Equilibrio estático el conjunto el sistema. II- Aceleración igual e los tres bloques (los bloques () y () se mueven aherios entre sí) III- Deslizamiento relativo e los bloques () y () IV- Aceleración e los cuerpos y y vuelco el cuerpo Para resolver el problema nos planteamos el siguiente algoritmo: Gráfico COMIENZO Falso Hay movimiento el sistema? Veraero F F Hay vuelco estático el cuerpo? Hay eslizamiento relativo entre los cuerpos y? V F V Hay vuelco inámico el cuerpo V El sistema está en equilibrio Los cuerpos se mueven sin eslizamiento relativo entre y. El cuerpo no vuelca Los cuerpos se mueven sin eslizamiento relativo entre y. El cuerpo vuelca Los cuerpos se mueven con eslizamiento relativo entre y. El cuerpo no vuelca Los cuerpos se mueven con eslizamiento relativo entre y. El cuerpo vuelca

4 DIAGRAMAS DE CUERPO LIBRE Para aplicar las leyes e la inámica, previamente analizamos las fuerzas actuantes sobre caa uno e los cuerpos: Gráfico Cuerpo R P R F F Cuerpo T T F roz P Cuerpo P En el esquema anterior se esignan por P a las fuerzas Peso, por Fr a las fuerzas e rozamiento, por R a las reacciones e vínculo normales a las superficies e contacto, y por T a las tensiones. En el transcurso el corriente texto utilizaremos la siguiente nomenclatura: a n : aceleración el cuerpo n. µ n : coeficiente e rozamiento inámico el cuerpo n. µ e n : coeficiente e rozamiento estático el cuerpo n. m n : masa el cuerpo n. g: aceleración e la gravea. t: tiempo. v n : velocia el cuerpo. x n : posición el cuerpo Hay que tener en cuenta las parejas e acción - reacción el sistema, lo cual nos inica que: Fr = Fr, T = T = T (Relaciones entre móulos) ()

5 Tenieno en cuenta que los cuerpos () y () no sufren aceleraciones verticales, se cumplirán las siguientes relaciones: R = P R = P + P (Relaciones entre móulos) () Para estuiar las aceleraciones e los cuerpos, ebemos obrar e acuero al plan establecio en el algoritmo e análisis, aplicano en caa caso la seguna Ley e Newton. Utilizaremos en general un sistema e referencia inercial. PREGUNTA HAY MOVIMIENTO DEL SISTEMA? Planteano el equilibrio estático el sistema, se observa que la fuerza que provoca el movimiento el cuerpo es la tensión e la cuera, T = P = m g, y la que lo impie es la fuerza e rozamiento estática entre el cuerpo y la superficie e eslizamiento F r g µ e (m + m ). Para que el sistema tenga movimiento la tensión e la cuera ebe superar a la fuerza e rozamiento estática máxima, es ecir: m > µ e (m + m ) () PREGUNTA HAY DESLIZAMIENTO RELATIVO ENTRE LOS CUERPOS Y? Supóngase que los cuerpos y aceleren unios. El móulo e la aceleración el cuerpo en la irección el eje y es igual a la aceleración e los cuerpos y en la irección el eje x (a = a = a s ). Por hipótesis el moelo las tensiones en las cueras y son iguales (T = T = T). Nótese que toas las componentes e las fuerzas son normales a los ejes Para el sistema cuerpo y se plantea: ΣF x = m a (4) T -g µ (m +m ) = a (m + m ) (5) Para el cuerpo se plantea que ΣF y = m a (6) T - m g = - m a (7) Igualano [5] y [7] y espejano la aceleración el sistema se tiene

6 a s m = g ( m + m) m + m µ + m Por otra parte, la aceleración máxima que puee tener el cuerpo, limitaa por la fuerza e rozamiento estática es: a max = Fr m e = g µ (9) Si la aceleración el sistema calculaa previamente es menor o igual que la máxima aceleración el cuerpo, la hipótesis planteaa originariamente es vália y el cuerpo no tiene eslizamiento relativo sobre el cuerpo. Si a s > g µ e el cuerpo tiene eslizamiento relativo sobre. Si hay eslizamiento relativo, y el cuerpo está sobre el cuerpo, se plantea para el cuerpo m (g -a ) - m g µ - (m + m ) g µ = m a (0) e one se esprene que: Para el cuerpo se tiene a m = g m ( µ m + µ + m ) m µ m gµ =m a () Por lo que a =g µ () a = a (4) En el caso particular que el cuerpo se haya caío y ya no se encuentre sobre el cuerpo, se tiene que: a m mµ = g m + m (5) a =0 (6) a = a (7) (8) () PREGUNTA HAY VUELCO ESTÁTICO DEL CUERPO? En el caso que no exista eslizamiento relativo entre y la aceleración calculaa en [8] es la aceleración el sistema e igual a toos los cuerpos, Las fuerzas que actúan sobre el cuerpo son:

7 y Fuerza e rozamiento estático Fr e = m a N N : Reacción normal, aplicaa en el punto c (punto e rotación) x P: peso el cuerpo, P = m g c F re Para que el cuerpo vuelque hacia atrás, el momento e toas las fuerzas respecto a su centro e masas ebe ser positivo, es ecir: el momento e la reacción normal N', con respecto al P centro e masas, ebe ser mayor que el momento e la fuerza e rozamiento con respecto al mismo punto (el momento e la fuerza peso es cero), es ecir: m a s altura cuerpo - m g base cuerpo > 0 (8) Trabajano algebraicamente, para que el cuerpo vuelque en forma estática, se ebe cumplir que longitu el cuerpo a s > g (9) altura el cuerpo PREGUNTA 4 HAY VUELCO DINÁMICO DEL CUERPO? Para este caso las fuerzas que ejercen momento con respecto al centro e masas el cuerpo son: Fuerza e rozamiento, Fr = µ m g Reacción normal aplicaa al punto c N'= m g Para que el cuerpo vuelque hacia atrás, el momento e toas las fuerzas respecto a su centro e masas ebe ser mayor que cero, por lo tanto: µ altura el cuerpo m g e one se concluye que - m g longitu el cuerpo longitu el cuerpo µ > () altura el cuerpo >0 (0)

8 DESCRIPCIÓN DEL PROGRAMA El programa ha sio esarrollao íntegramente en Delphi 4.0 para Winows bits, compilao en un solo archivo, sin que haya necesia e instalar librerías aicionales para su ejecución. La pantalla principal posee una serie e botones e comano y sistema e menú que permite un manejo fácil e intuitivo el mismo. Introucios los parámetros e la experiencia, se puee comenzar la simulación. En la pantalla principal e la misma se observan y construyen en tiempo real con la simulación las gráficas e avance, velocia, y aceleración en función el tiempo, las mismas se pueen ampliar seleccionano con el ratón el rectángulo que se esee observar. Aemás cuenta con la posibilia e ver las gráficas a pantalla completa, junto con la posibilia e exportarlas, en formato e mapa e bits e Winows (BMP) o metaarchivo e Winows (WMF) para su posterior tratamiento. Asimismo se puee consultar la tabla e valores e la experiencia, que se puee exportar para analizar con un programa externo.

9 ANÁLISIS DE LAS SIMULACIONES Y POSIBILIDADES DIDÁCTICAS De la observación e simulaciones con iferentes parámetros se pueen obtener interesantes conclusiones respecto al papel e la fuerza e rozamiento y al equilibrio relativo e los cuerpos. Cuano no existe rozamiento entre los cuerpos () y (), el primero e ellos puee acelerar, y el seguno permanece estacionario hasta que cae por el bore izquiero el primero. En cambio, si existiera fuerza e rozamiento entre ambos cuerpos, se prouciría aceleración el cuerpo superior (). Esto emuestra que el rozamiento entre los cuerpos es en este caso una fuerza aceleraora, lo cual es importante e establecer en un ejemplo concreto, ao que en la mayor parte e los casos estuiaos, la fuerza e rozamiento aparece frenano o retarano el movimiento, lo cual suele llevar al alumno a generalizaciones incorrectas. Otro aspecto que se puee analizar sobre la fuerza e rozamiento inámica, es el referio al moelo utilizao, según el cual, la misma es inepeniente e la velocia relativa entre los cuerpos en contacto. De acuero a este moelo, cuano se prouce eslizamiento relativo entre los cuerpos () y (), la aceleración el cuerpo superior es inepeniente e la el inferior. Observano la simulación, para valores muy pequeños y muy granes e los cuerpos vinculaos por la cuera, se observa que el cuerpo superior () tiene siempre la misma aceleración, lo cual choca en cierto moo con el sentio común. Este hecho, que no surge con tanta eviente e la observación e las ecuaciones, se manifiesta nítiamente en la animación, y está mostrano la limitación el moelo ieal e rozamiento inámico que se ha utilizao. Moelos más acercaos a la realia contemplan un aumento e la fuerza con la velocia relativa y proucirían variaciones en la aceleración el cuerpo superior, tal como se poría esperar intuitivamente. Respecto al equilibrio inámico, que en este caso sería equilibrio e traslación y e rotación el cuerpo () respecto al cuerpo (), en este caso se planteó en relación con un sistema e referencia inercial, pero poría realizarse también respecto a un sistema e referencia no inercial, por ejemplo respecto al cuerpo () que tiene aceleración. Aparece entonces una fuerza e inercia hacia atrás y se pueen plantear las clásicas coniciones e equilibrio e un sólio, lo que llevaría a los mismos resultaos. En la simulación, se pueen estuiar en forma cualitativa y cuantitativa las coniciones e equilibrio, variano los parámetros el sistema, y en particular las imensiones relativas el cuerpo superior. Resulta llamativo observar el eslizamiento relativo sin vuelco e ese cuerpo, aún cuano es muy alto y con base muy angosta, cuano el coeficiente e rozamiento con el cuerpo inferior es muy pequeño. Posibiliaes que brina la simulación y que resultan muy ifíciles e conseguir en experiencias e laboratorio. Las posibiliaes e aplicación el programa ya elaborao a la enseñanza, son múltiples. Dese un trabajo cualitativo hasta uno cualitativo, ese la posibilia e usar uno hasta tres cuerpos, e consierar o no fuerzas e rozamiento, y e variar las imensiones el cuerpo superior. La propuesta general que se realiza para este tipo e simulaciones es la e plantear al alumno istintas situaciones problemáticas, que se eben analizar y resolver con ayua e

10 la simulación. Dichos problemas se eberán aaptar al nivel e enseñanza esarrollao y a los objetivos que se establezcan, y es conveniente que los alumnos trabajen en grupos, e manera colaborativa, con ayua el ocente. Se porían mencionar algunos ejemplos e preguntas o consignas que se porían plantear: - Cómo se poría hacer para que el cuerpo () aquiera la aceleración e la gravea? - Obtenga una situación e equilibrio estático el sistema en situación límite: que ante un pequeño impulso o un ligero aumento e la masa el cuerpo () se acelere. - Obtenga una situación e movimiento con los cuerpos () y () aherios entre sí. Llegue a una situación límite e este equilibrio inámico, e manera que ante un ligero aumento e la masa el cuerpo () se prouzca un eslizamiento relativo e los cuerpos () y (). - Obtenga una situación límite como la el caso anterior, pero que ante un pequeño aumento e la masa e () se prouzca el vuelco el cuerpo (). - Cómo haría para que los cuerpos () y () aceleren y que el cuerpo () permanezca inmóvil mientras en cuerpo () está ebajo el mismo?. - Hay algún cuerpo cuyo movimiento puee ser retarao por el rozamiento, y alguno que puee ser acelerao por el mismo?. Demuestre sus afirmaciones con las simulaciones corresponientes. - Si entre los cuerpos () y () no hay rozamiento, y si lo hay entre el () y la superficie one apoya: epenerá e la masa el cuerpo () la aceleración e los cuerpos () y ()?. Estas tareas, que han sio enunciaas e manera no exhaustiva, eben vincularse a un análisis teórico, en el que se analicen las gráficas e posición, velocia y aceleración y los sistemas e fuerzas que conicionan la evolución el sistema. Es posible peir también las soluciones e los problemas en forma cuantitativa, para ser comparaas con la solución que a la simulación. BIBLIOGRAFIA BEDFORD, A. y FOWLER, W 996 Estática mecánica para ingeniería (Aison Wesley Estaos Unios) BEER, F., RUSSEL JHONSTON, E. 990 Mecánica vectorial para ingenieros. Dinámica (Mc Graw Hill) Mc KELVEY, J. y GROTCH, H. 99 Física para ciencias e ingeniería, Vol (HARLA México) RESNICK, R., HALLIDAY D. y KRANE, K. 996 Física, Vol (CECSA México)