Desarrollo de modelos matemáticos para la evolución de la temperatura en hornos eléctricos mediante balances de materia y energía

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1 Energética Desarrollo de odelos ateáticos para la evolución de la teperatura en hornos eléctricos ediante balances de ateria y energía Recibido para evaluación: 6 de Feb de 5 Aceptación: 8 de Nov de 5 Entrega de versión final: de Dic de 5 H V Martínez C M Sierra F Chejne W F Flórez RESUMEN Este paper reporta odelos teóricos para predecir la evolución de la teperatura en procesos etalúrgicos que ipliquen calentaiento o trataientos téricos de ateriales etálicos en hornos eléctricos Se expone un odelo para el calentaiento de etales en hornos estacionarios (MHE) y en un segundo caso, un odelo dináico para el calentaiento y enfriaiento de barras de acero en hornos contínuos (MHC) El odelo MHE consiste de un sistea algebráico de ecuaciones diferenciales no lineales el cual se soluciona utilizando el étodo nuérico Petzold-Gear ientras que las ecuaciones diferenciales en el odelo MHC se resuelven ediante diferencias finitas Los resultados teóricos a partir de las siulaciones ateáticas uestran una buena concordancia con la física del problea y los odelos propuestos PALABRAS CLAVES: Diseño térico, hornos eléctricos estacionarios y contínuos, siulación nuérica ABSTRACT GINUMA, Universidad Pontificia Bolivariana, Medellín Contacto: UPB: Circ ª 7- B 9, CIDI A A 566, Medellín, Colobia E-ail: haderv@upbeduco Instituto de Energía, Facultad de Mínas, Universidad Nacional de Colobia, A A 568, Medellín, Colobia IET: Instituto de Energía, Universidad Pontificia Bolivariana, Medellín This paper reports theoretical odels to predict the teperature evolution in etallurgical processes that iply heating or etals heat treatents in electrical furnaces A atheatical odel for etal heating in stationary furnaces (MHE) and a dynaic odel for heating and cooling of steel bars in continuous furnaces (MHC) are exposed The MHE consist in an algebraic syste of nonlinear differentials equations which are solved by the Petzold-Gear nuerical ethod, whereas the differentials equations syste in the MHC odel is solved by finite differences The theoretical results fro the atheatical siulations show a good agreeent with the physics of the proble and with the proposed odels EYWORDS: Theral design, stationary and continuous electrical furnaces, nuerical siulation Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98 9

2 Energética INTRODUCCIÓN Muchos procesos etalúrgicos y de producción de ateriales utilizan hornos eléctricos, éstos pueden ser del tipo discontinuo o contínuo; los del prier tipo incluyen los hornos de caja, hornos elevadores, hornos de base corrediza y hornos de capana; los del segundo tipo incluyen los hornos de banda transportadora, hornos de transportador de cadena, hornos de hogar rotatorio y hornos de hogar de rodillos [] En general, los hornos estándar de resistencias están diseñados para operar a teperaturas en el rango de 55 a ºC y suelen presentar una precisión suficiente para controlar el flujo de calor y su distribución Este flujo de calor es independiente de la naturaleza de los gases que rodean la carga, de odo que la atósfera puede elegirse a voluntad de acuerdo con la naturaleza de la carga y la quíica del proceso térico Dicha libertad suele ser en uchos casos la principal razón para seleccionar el calentaiento generado eléctricaente Otra ventaja se relaciona con la teperatura áxia de operación, la cual está liitada únicaente por la naturaleza del aterial que se procesa, peritiendo así la producción de ciertos ateriales que no pueden obtenerse de otra fora En este paper se reportan dos odelos, el priero aplicable al calentaiento en hornos estacionarios de caja (MHE) El segundo odelo, es un odelo dináico para el calentaiento y enfriaiento de ateriales en hornos contínuos de banda transportadora (MHC) El balance de energía en el prier caso considera una cáara de calentaiento estándar conforada por un recinto con revestiiento refractario y una capa circundante de aislaiento térico, las ecuaciones de balance periten predecir la evolución de las teperaturas en estado transitorio para el aterial y a través de las paredes del horno, de anera que se perita el cabio de diensiones para un diseño térico apropiado Para el caso correspondiente al calentaiento en hornos contínuos, se asue una cáara de entrada, una zona de calentaiento y finalente una zona de enfriaiento El odelo se centra en la predicción de teperaturas en estado transitorio a lo largo de la carga, así es posíble predecir el tiepo y la posición para una teperatura particular, por ejeplo, para la realización de trataientos téricos Análisis térico del proceso de calentaiento en hornos eléctricos estacionarios La fig ilustra el sistea de análisis corrrespondiente a un horno de caja Para un sistea coo el ilustrado es posíble realizar balances de energía para las siguientes asas de control: conductor eléctrico, pared refractaria, pared aislante, carga, gas alrededor del conductor eléctrico y gas sobre la carga La ecuación general de balance de energía es ilustrada en () t [ eρdv] + [ ( e + Pv) ρ( v n) da] Balance por coponentes vc δq δw La ecuación () ilustra el balance de energía para la resistencia eléctrica?fig a) derivada de la ecuación genérica () En dicha ecuación a, b y c son constantes dependientes del factor de fora seleccionado para la radiación En el caso de considerar una pared plana irradiada por un conductor eléctrico, cilíndrico de longitud L, el factor de fora para la radiación entre dos cuerpos se asue en este caso coo ½ [] dt bt ct + ct + ct + bt sc + a Martínez et al () () Por otro lado, en el caso de un horno que precise de un contenedor para la carga (vg crisol refractario), el valor del núero de Biot, Bi (Bi resistencia interna del contenedor a la conducción de calor/ resistencia externa del contenedor a la conducción de calor), perite decidir si es o no posíble despreciar la conducción a través de la pared del contenedor En el caso de Bi suficienteente pequeño, es posible despreciar los gradientes téricos internos y considerar la teperatura superficial del contenedor igual a la teperatura del aterial dentro del iso En tal sentido, una ecuación de balance de energía para la carga (fig b), incluirá solaente una interacción de calor por convección entre la superficie de la carga y el gas circundante así coo un intercabio de calor por radiación proveniente del conductor eléctrico y que es adeás captada por la superficie del refractario y por el contenedor de carga La ecuación general de balance para la carga es ostrada en (), donde d, e, h y k son constantes dt dt et T + et + ht k Una práctica coún es no considerar alacenaiento de energía en la superficie refractaria (fig c) Para tal caso, la ecuación de balance (), puede ser discretizada en el espacio, tal coo se ilustra en (5) T r ( T T ) w( T ) T La evolución en estado transitorio de la teperatura a través de las paredes del horno (refractario-aislante), puede estudiarse al considerar un eleento diferencial coo el ilustrado en la fig d La ecuación de balance de energía para el refractario y/o el aislante (6), discretizada en diferencias finitas solo para el espacio es ilustrada en (7) con F una constante y el núero de puntos considerados dt T T f t FT + FT FT ( + ) ( ) Si en la intercara refractario-aislante no se considera alacenaiento (fig e), la ecuación de balance de energía (8), se plantea entonces coo una igualdad de flujo de calor Esta ecuación discretizada en el espacio se ilustra en (9) Por otro lado, la superficie externa del horno está sujeta a interacciones de calor por convección con los alrededores coo se ilustra en () Esta isa ecuación discretizada solo para el espacio es ilustrada en (), (fig f) T T T aisl T aisl T l ref T9 lt9 lt8 h λ conv aisl () ( T T ) ab T utab ut () () (5) (6) (7) (8) (9) () () Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98

3 Finalente, la ayoría de odelos no consideran la asa de gas que rodea el conductor eléctrico así coo la que se encuentra sobre la carga Sin ebargo, es prudente pensar que gran parte del calor disipado es ganado por éstas asas de gas debido a efectos de convección entre éstas y las superficies cercanas del conductor eléctrico, la carga y la pared refractaria, principalente cuando se trata de hornos con atósfera controlada (fig h y b) Las ecuaciones de balance de energía para el gas que rodea el conductor eléctrico y la carga, sin considerar el transporte convectivo interno de energía en el gas debido a la velocidad, se ilustran en () y () respectivaente Modelo nuérico MHE () () El odelo de calentaiento para hornos eléctricos estacionarios MHE, consiste entonces de un sistea algebraico diferencial no lineal de prier orden del tipo G(t, y, y ) [] En el caso particular que se ilustra en (), se han considerado puntos a través de la pared refractaria y puntos a través del espesor de aislante, las tablas y relacionan las variables y unidades correspondientes que son utilizadas Resistor Carga dt G( ) Y Y + r xy r xy w xy + w xy Superficie refractaria G( ) Y ' FY + FY) + FY 8 Pared refractaria ( puntos) G( 9) Y T9 + lt8 lt9 Intercara refractario-aislante G( ) Y ' GY + GY + GY Pared aislante ( puntos) G( ) Y Y utab + ut Pared exterior G( ) Y ' qy sy ty + ky Gas sobre el conductor eléctrico G( ) Y ' vy + vy Gas sobre la carga qt + st T + tt k dt v T T G() Y ' + by + cy cy cy by a ' dy + ey ey hy + k G() Y Y Martínez et al () Análisis térico en hornos eléctricos continuos Energética En general durante el procesaiento de ateriales etálicos en hornos contínuos del tipo banda transportadora se llevan a cabo el calentaiento de la pieza; posteriorente el sosteniiento y en una etapa final el enfriaiento de la carga, el cual puede ser por ejeplo ediante aire forzado según las condiciones finales y el trataiento térico que se desee dar al aterial Calentaiento Para odelar el calentaiento, puede hacerse uso de un eleento diferencial coo el ilustrado en la fig, en el cual la carga consiste de una barra de aterial que entra al horno por un extreo a velocidad constante Las ecuaciones que definen los balances de ateria y energía para dicho eleento diferencial se uestran respectivaente en (5) y (6) Las variables utilizadas se relacionan en la tabla (5) Si se asuen coo constantes la densidad del aterial, la velocidad proedio de la carga dentro del horno, las diensiones de la isa, la conductividad térica del aterial, las capacidades calóricas y la teperatura del horno, la ecuación (6), se puede reescribir coo se ilustra en (7) Al calcular el núero de Peclet ( P e ( ρ* C * V * d ) ( λ) ), para un caso particular en el cual la carga sea una barra de acero, se obtiene un núero bastante grande Por ejeplo, para el caso de V /s y ab65; Pe, lo cual indica que en (7) tiene ás peso el térino convectivo, asociado con la velocidad de la barra, que el térino conductivo Por lo tanto, el térino p T T T + T + (8) t Enfriaiento Para el enfriaiento el balance de ateria y energía parte tabién de un odelo diferencial (fig ) En este caso, las ecuaciones que definen los balances de ateria y energía son las isas ecuaciones (5) y(6), pero el intercabio decalor de la cargacon los alrededores se da por convección: ( Q ) De odo que con las cv hcab(t To ) isas consideraciones hechas para el calentaiento, la ecuación que define el enfriaiento de la barra se puede ilustrar coo se uestra en (9) Modelo nuérico MHC, con: (9) Las ecuaciones (8) y (9) pueden resolverse ediante diferencias finitas expandiendo en series de Taylor [] Si las teperaturas para el calentaiento y el enfriaiento se evalúan en el tiepo n+ (étodo iplícito), el odelo para el procesaiento de ateriales en hornos contínuos MHC, puede resuirse coo se ilustra en () y () Las condiciones de frontera para el calentaiento se resuen en: (T (t) T o ) x, (T (x) T o ) t En el caso e s T T + 5 (T - To ) + t 5 (a + b)h c Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98

4 Energética e u e Q cdx + Q rd s u s Q cdx+ x ( u) + t x Martínez et al Q Donde : s u e u cdx+ x Q Con : T λab rd s σ e ρvab + x T + λab x y e ue x ( a + b) Fξ ( TH T ) u CT (6) T T + + T T t Donde +,, y ( a + b) σξf ρvabc son constantes definidas coo : λ ρvc V H T (7) del enfriaiento, la teperatura inicial se asue igual a la teperatura calculada en el extreo final de la barra (xl) durante el calentaiento: T (t) T (xl) y en segundo lugar, la teperatura del extreo inicial que coienza a enfriarse, se asue igual a la teperatura del extreo final que fue calentado para todo valor del t: (T (xo) T (xl) ) t T n i T n + i + t x n+, con f ( ) + f x Ti + n+ ( T ) + t definida coo: () Τ n+ i RESULTADOS Y DISCUSIÓN f i n+ n+ () La solución del odelo MHE (), requiere de algoritos para sisteas algebráicos de ecuaciones diferenciales no lineales de prier orden del tipo G(t, y, y ) El étodo de Petzold-Gear es útil en éste caso [5] La estabilidad de dicho étodo puede n + n + ( T ) ( T ) i Τ i Κ + Κ5Τ ο + Τ x t Κ + Κ5 + x t i n i T i confirarse al antener constantes todas las variables y realizar el cálculo de las teperaturas en el tiepo variando el paso en el prograa de siulación En tal sentido, en la fig 5 se ilustran los valores de varias teperaturas teóricas al cabo de 76in para una variación en el paso de tiepo desde 5 hasta Coo se observa, se halla en general una consistencia en los valores de las teperaturas, el porcentaje áxio de desviación encontrado respecto del valor proedio de una teperatura es del ±,9% Con el odelo MHE es posible estudiar la evolución transitoria de las teperaturas en función del cabio de potencia y de la cantidad de carga en hornos eléctricos estacionarios En las fig 6 y 7 se uestran los valores experientales de teperatura para una carga de g obtenidos respectivaente para hornos de W y 8W Las diensiones y valores relevantes para las siulaciones son listadas en la tabla La fig 8 por otro lado, ilustra la evolución de las teperaturas de las asas de gas que se hallan rodeando el eleento conductor y sobre la superficie de la carga Según estos resultados, estas asas ganan gran parte del calor disipado por el conductor, de odo que es posible arguentar que gran parte del proceso de calentaiento de la carga en hornos de atósfera controlada se deba precisaente a la transferencia de calor por convección que se origina entre ésta y el gas que se utilice coo atósfera en el horno En cuanto al odelo MHC, es posible una solución ediante diferencias finitas [6] para una carga consistente de una barra rectangular dividida en (i) bloques Los valores de las diferentes variables utilizadas para la siulación se listan en la tabla 5 En las figs 9 y se ilustran los resultados teóricos obtenidos para el Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98

5 calentaiento, sosteniiento y enfriaiento de una barra cuadrada de acero cuando se varía respectivaente la sección transversal de la carga y su velocidad dentro del horno En la fig 9 se ha epleado una velocidad lineal constante de 8c/in, ientras que en la fig se ha antenido constante la sección transversal de la barra en 65c Se observa respectivaente que: i) para un tiepo igual, la teperatura de sosteniiento que se consigue es enor cuando la sección transversal de la carga va en auento y ii) el efecto de la velocidad de la carga se evidencia principalente durante el calentaiento y el enfriaiento En el caso correspondiente al calentaiento, a bajas velocidades el auento de teperatura es ás rápido, lo cual puede deducirse de la pendiente ás pronunciada a velocidades de 6c/in en contraste con una velocidad dos veces superior de c/in En el caso del enfriaiento, con velocidades ayores se consiguen efectos ás oderados de disinución de teperatura En general, dependiendo del tipo de trataiento térico que se requiera dar al aterial es probable que la velocidad de la carga no deba ser constante durante las etapas de calentaiento, sosteniiento y enfriaiento, ya que altas velocidades generan bajas tasas de calentaiento y enfriaiento, adicionalente el inicio del sosteniiento se consigue en distancias ás cortas tal coo se deduce del círculo que denota el retardo térico en la fig 5 CONCLUSIONES Martínez et al Energética procesos de calentaiento o trataientos téricos para diferentes tipos de ateriales * Según los resultados obtenidos a partir del odelo MHC, gran parte del proceso de calentaiento de la carga en hornos de atósfera controlada se debe a la transferencia de calor por convección que se origina entre ésta y el gas que se utilice coo atósfera en el horno REFERENCIAS RUNG T B Coputational odelling of therophysical processes in the light etals industry, En: Rev Gén Ther, Vol 6, (997), p BIRD, R B STEWART, W and LIGHTFOOT, E N Transport Phenoena, John Wiley and Sons, New York, 96 POPOV, V and POWER, H, The DRM-MD Integral Equation Method for the Nuerical Solution of Convection-Diffusion Equation, Boundary Eleent Research in Europe, Coputational Mechanics Publications, Southapton, 999, p 67-8 NIEVES A, F DOMÍNGUEZ, Métodos nuéricos aplicados a la ingeniería, México: Editorial CESCSA, * Se han desarrollado dos odelos nuéricos para el calentaiento de ateriales en hornos eléctricos estacionarios (MHE) y continuos (MHC) El odelo MHE consiste de un conjunto de ecuaciones diferenciales no lineales de prier orden cuya solución es accesible ediante algoritos nuéricos coo el de Petzold-Gear Por otro lado, el odelo MHC se ha resuelto ediante diferencias finitas Dichos odelos periten optiizar la selección de equipos en 5 PRESS W H, TEUOLSY S A, VETTERLING W T, FLANNERY B P, Nuerical Recipes in Fortran 9, The Art of Parallel Scientific Coputing, Second Edition, Volue of Fortran Nuerical Recipes, Cabridge University Press 6 HILDEBRAND F B Introduction to nuerical analysis, New York: Dover Publications, 987 Figura Esquea para el análisis térico de un horno estacionario de caja Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98

6 Energética Martínez et al (a) (b) (c) (d) (e) (f) (g) Figura Masas de control consideradas durante el análisis de un horno de caja: (a) Resistor, (b) Gas sobre la carga, (c) Superficie de refractario, (d) Pared refractaria, (e) Intercara refractario-aislante, (f) Superficie del aislaiento, (g) Gas que rodea el conductor eléctrico Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98

7 Martínez et al Energética Figura Esquea para el análisis térico durante el calentaiento en hornos contínuos Figura Esquea para el análisis térico durante el enfriaiento en hornos contínuos Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98 5

8 Energética Martínez et al 8,, Teperatura ( C) 8, 8, 98, 88, Resistor Superficie interior refractario Gas sobre la carga Carga Gas que rodea el resistor Superficie exterior de aislaiento,5,,5,,5 Teperatura superficial del aislaiento ( C) 78,,,5,,5,,5, Paso (s), Figura 5 Teperaturas al cabo de 76in vs el paso de tiepo para el odelo MHE 8W Teperatura ( C) 8 6 5W W Resistor Valores Experientales Cantidad de carga: g 8W Carga W 5W Tiepo (in) Figura 6 Evolución de las teperaturas del conductor y de la carga cuando se varía la potencia del horno en el odelo MHE 6 Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98

9 Martínez et al Energética Teperatura ( C) Carga Resistor Valores experientales Potencia del horno: 8W 5g 5g g g g g Tiepo (in) Figura 7 Evolución de las teperaturas del conductor y de la carga cuando se varía la asa a calentar en el odelo MHE Teperatura ( C) Gas sobre la carga Gas aldededor del resistor Resistor Carga Potencia de horno: W Cantidad de carga: 5 g Tiepo (in) Figura 8 Evolución teórica de las teperaturas de los gases en hornos con atósfera controlada Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98 7

10 Energética Martínez et al Teperatura ( C) 5 58 c 65 c 76 c 7 c a b c 6 8 Distancia dentro del horno () Figura 9 Ejeplo de la evolución de la teperatura de la carga en hornos contínuos para diferentes diensiones: (a) zona de calentaiento, (b) zona de sosteniiento y (c) zona de enfriaiento Teperatura ( C) 5 6c/in c/in 8c/in c/in a b c 6 8 Distancia dentro del horno () Figura Ejeplo de evolución de la teperatura de la carga en hornos contínuos para diferentes velocidades: (a) zona de calentaiento, (b) zona de sosteniiento y (c) zona de enfriaiento 8 Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98

11 Martínez et al Energética Tabla Listado general de variables en el odelo MHE a b c d e λaisl g C ρ aisl g G x aisl λref l λaisl h conv () x u λaisl hconv( ) A q C gas( ) gas f F x r v Aεσ A λ h ref conv() C A gas( ) gas Aε ref σ w Aε refσ h C at at k d+h λref f Cref ρ ref hconv( ) A t C gas( ) gas k q+s+t s h conv ( ) C A gas( ) gas Tabla Sibología utilizada en el odelo MHE Síbolo Nobre Eleento Unidad C Resistor C at Capacidad calórica Carga C ref Refractario J/g C aisl Aislante C gas Gas at Carga a calentar gas() Masa Gas que rodea el conductor g gas() Gas sobre la superficie de la carga ρ Material del conductor ρ ref Densidad Refractario g/ ρ aisl Aislante D Diáetro del conductor eléctrico L Longitud del conductor eléctrico x Eleento diferencial de longitud A Externa del contenedor de carga A Conductor Superficie A Refractario expuesta al conductor A Carga en contacto con el gas P Potencia del conductor eléctrico W h conv() Coeficiente de convección Gas en contacto con el conductor y sobre la superficie de la carga W/ h conv() Gas circundante sobre la pared aislante λ ref Refractario Conductividad térica λ aisl Aislante W/ ε Resistor Eisividad ε ref Superficie del refractario ~ σ Constante de Steffan Boltzan W/ Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98 9

12 Energética Martínez et al Tabla Sibología utilizada en el odelo MHC Síbolo ρ λ Nobre Unidad a, b Diensiones de la carga L Longitud del horno hc Coeficiente de transferencia de calor por convección W/ º Conductividad térica W/º T H Teperatura del horno º T O Teperatura abiente ξ Eisividad de la carga ~ V C F u t Velocidad de la carga Capacidad calórica del aterial que constituye la carga /s J/g Densidad de la carga g/ Factor de fora ~ Masa g Energía interna J/g Tiepo s Q Flujo de calor W Subíndices e s H º cd rd cv Entrada Salida Horno Abiente Conducción Radiación Convección 5 Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98

13 Martínez et al Energética Tabla Valores utilizados en el algorito de solución del odelo MHE Variable Valor Unidad Altura horno 5 Diáetro contenedor Altura contenedor 7 Coeficiente de convección con el gas circundante sobre la pared aislante (h conv() ) Coeficiente de convección del gas en contacto con el conductor y sobre la superficie de la carga (h conv() ) Densidad del aislaiento ( aisl) Densidad del aterial del conductor ( ) 785 Densidad del refractario ( ref) 5 ρ ρ ρ W/ g/ Capacidad calórica del refractario (Cref) 96 Capacidad calórica del aislaiento (Caisl) 7 J/g Capacidad calórica del aterial del conductor (C) 7 Eisividad del conductor ( ) 8 Eisividad del refractario ( ref) 8 Conductividad del refractario ( ref) Conductividad del aislaiento ( aisl) ε ε λ λ - W/ Medel lí n, Diciebre d e 5, IS SN -98 5

14 ρλ Energética Martínez et al Tabla 5 Valores utilizados en el algorito de solución del odelo MHC Variable Valor Unidad Teperatura del horno (T ) H Teperatura abiente (T ) 985 o Coeficiente de transferencia de calor por convección (h ) W/ c Eisividad de la superficie de la carga 9 - Factor de fora, entre la barra cuadrada (recinto cúbico), (F) y el horno, - Densidad del aterial que constituye la carga ( ) 78 g/ Capacidad calórica de la carga (C) 5 J/g Conductivida térica de la carga ( ) 5 W/ ANEXO Obtención de la ecuación (): Para la resistencia eléctrica, a partir del balance de energía (): se tiene que: ( e+ Pv) ρ ( v n) da sc (i) dt eρdv C t vc δw P con la asa del conductor eléctrico y P su potencia (ii) (iii) La transferencia de calor desde el conductor (q), es de la fora: ( ) ( ) q q + q + q refractario contenedor rad conv rad (iv) Con un factor de fora de ½, para una pared plana irradiada por un cilindro recto, la ecuación general de balance desde (i)-(iv) en (), es: π ρ dt DC P π Dh T T conv π D εσ T T T ( ) ( )( ) Usando los valores reportados en la tabla, la ecuación (v), puede escribirse coo: dt bt ct + ct + ct + bt + a (v) () 5 Medellín, Diciebre de 5, ISSN -98