Relación de problemas: Tema 2

Transcripción

1 laión d poblmas: Tma.- Una vailla dlgada AB d masa m y longitud l, stá sujta po una bisaga oloada n l sulo n su xtmo A. Si iniialmnt stá n posiión vtial y ominza a a, uando llga a la posiión hoizontal, justo ants d golpa l sulo, alul: La vloidad angula. La alaión angula. ) Las omponnts hoizontal y vtial d la alaión dl nto d masas. d) Las omponnts d la fuza d aión n l pivot. l IA IG + mh ml + m ml (momnto d inia alddo d un j tansvsal a tavés dl xtmo A) La vailla va al sulo y G a una distania l Apliamos pinipio d onsvaión d la ngía: La E pdida po la vailla s igual a la E pot ganada po la vailla: l l g mg Iω ml ω ω l C mg oigina un momnto n G l mg l mg Iα α ml M Iα g l omún a todos los puntos d la baa. ) En l m l g l g at α α l a n v g l g ω l g at g an g ax an g ay at

2 d) F sob l pivot? X, Y, F m a g m ax m Nx (no hay ota fuz g mg mg m ay m Ny mg Ny + mg mg mg N,.- Dsd lo alto d un plano inlinado s sultan un ilindo y una sfa homogénos, la sfa un sgundo dspués dl ilindo. S supon qu la pédida d ngía po ozaminto s dspiabl. Alanzaá la sfa al ilindo? En aso afimativo, uánto timpo ha odado la sfa hasta alanzalo? adio dl ilindo m masa dl ilindo M masa d la sfa adio d la sfa Pinipio d onsvaión d la Engía: - Cilindo: mgh E + mv, mgh Iω + mv - Esfa: Mgh Iω + Mv, ) mgh m v + mv ) Mgh M ω + Mv 5 v v gh 0 gh 7 I m I M 5 v ω v > v Sí, la alanza.

3 timpo mplado n alanzala? vt 0 + at at v f vf v0 + a a vf a 0 vf v gh ( t ) 7 ( ) a t v t v t v ( t) ( ) 0 ( ) gh t ght t 60t Sol : t 9.5s t 0.65 t Calul l momnto d inia d un ono sólido, homogéno, iula to, d masa m y adio d la bas, alddo d su j d simtía. La figua musta un ilindo lmntal d adio, masa dm y altua dh, uyo momnto d inia s: di dm I 0 dm La masa lmntal s: dm ρdv ρπ dh y la dnsidad: M M M ρ V π H π H Al sustitui n la intgal nos quda: I M dh H 0 Obsv qu l intgando dpnd d dos vaiabls, h y, laionadas nt sí mdiant la xpsión:

4 H h Esta xpsión s obtin d la laión d smjanza nt los tiángulos d lados y H (gand) y y h (pquño). Dspjando h y difniando sulta: Hd dh Si intoduimos sta xpsión n la intgal sulta: M I d 0 I M 0.-En la figua adjunta, l odillo s ilíndio y tin un adio d 5 m y una masa d kg, sindo M kg. Calula la alaión dl sistma y la faión d ngía potnial qu s onvit n inétia d otaión. M Mg T Ma Mg T F ( ) ma Mg Ma M + m a a g 7 M m a + F Iα M Iω mv E m E p Mgh mv + Mv m + M 5.- Un upo A d masa m A dsliza po un plano inlinado un ángulo θ on la hoizontal. Con la ayuda d un hilo inxtnsibl d masa dspiabl, qu pasa po una pola B, ha subi una aga C d masa m C. La pola B s un diso homogéno d masa m B y adio, qu gia alddo dl j fijo O ppndiula a su plano. El ofiint d ozaminto inétio nt l upo A y la supfii sob la qu dsliza s µ. Dtmin: La alaión angula d B.

5 La ngía dl sistma al abo d s d iniias l moviminto, si iniialmnt A y C staban a una altua h sob la bas dl plano inlinado. Datos: m A 0 kg; m B m C kg; 0.5 m; θ 0º; µ C 0.; h 0 m. ma 0Kg m m Kg 0.5m θ 0º, µ 0., h 0m C α? F µ m g osθ C A B C T m g m a m α C C C C ( ) T T T T I α A C A C B m gsnθ T µ m g osθ m a m α A A C A A A T m α + m g C C C T m gsnθ µ m g osθ m α A A C A A ( magsnθ µ CmAg osθ maα ) ( mcα + mcg ) mb α α m + m + m m gsnθ µ m g osθ m g B A C A C A C ( θ µ θ ) mag sn C os mcg ( sn0º 0.os0º ) 9.8 α mb + ma + mc α.87 ad / s sis ( ) ( Cinéti + U ( spotnial) ω 0 ω ( s) α V ( s) ω ( ) E s K s o s α K mv m ω m α m α KC mv C mcα KB IBω mb α mb α A A A A A 5

6 C habá subido una distania at α α A habá bajado una distania α snθ iniial UC UA ( magh mcgh) ( mcgα ) ( magα snθ ) ( m m ) g h gα ( m m snθ ) U U A C C A ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( sn ) E s m + m + m α + m + m gh + m m snθ gα sist A B C A C C A º ( ) E s 0.J sist 6.- En la figua adjunta la masa d ada una d las bolas d ao A y B s d 500 g. Estas bolas stán situadas a 5 m dl j vtial uando gian alddo d él on una vloidad angula d ad/s. S obliga ahoa al olla C a dsplazas haia abajo hasta qu las bolas s nuntn a una distania d 5 m dl j. Qué tabajo s ha alizado n st dsplazaminto? Dspéis la vaiaión d ngía potnial gavitatoia W? m m 500g m d 5m ω ad s A B I md d 5m ω? I md W E Iω Iω M j I md d 0 L Iω t I ω I ω ω ω ω ω j I md d 0.5 ad s ω 6 ω ad s 0.05 W ( mdω md ω ) md ( ω d ω ) 0.5( ) W.J 6

7 7.-Un ilindo homogéno odando hoizontalmnt alanza la bas d un plano inlinado d 0º, y ominza a subilo on una vloidad d m/s. Qué longitud oá odando sin dsliza sob l plano, hasta paas? Con qué vloidad volvá a la bas dl plano si dsind ahoa dslizando sin oda, dspiando l ozaminto? v mv + Iω mgh v + v gl sin 0º l, m g l.m v gl sin 0 m s - v m / s 8.- Un diso stá giando libmnt a 800 pm alddo d un j vtial qu pasa po su nto. Un sgundo diso montado n l mismo j nima dl pimo stá iniialmnt n poso. El momnto d inia dl º diso s dobl qu l dl º. S dja a l º diso sob l º y finalmnt los dos disos gian juntos. Calula: La nuva vloidad angula. Dmosta qu s pid ngía inétia duant l hoqu d los disos y qué pontaj s pid. ω 800pm 60πad s ω 0 ω? I I I I Apliamos l pinipio d onsvaión dl momnto angula: L L i f Iω + 0 Iω + Iω Iω Iω ω ω 0π ad s ω 0 π ad / s 7

8 Ants E Iω I 600π 800π I ( J ) Dspués E I π + I π π I ( J ) E E E 00π I J E <0 S pid ngía inétia ( ) E E f i 600π I E % f Ei Ef Ei 800π I S pid un 67% 9.- El xtmo A d la baa AB d la figua dsansa sob una supfii hoizontal sin ozaminto, mintas qu l xtmo B stá atiulado. S j una fuza hoizontal P d 60 N sob l xtmo A. El pso d la baa s 0 N. Cuáls son las omponnts hoizontal y vtial d la fuza jida po la baa sob l gozn B? P 60N P 0N b F F x y?? M 0 P.5 + F F 0 A b y x F 0 P F 0 F P 60N x x x F Fx 0 N F P 0 y y b Fx.5Pb Fy Fy 75 N( abajo) Las fuzas ( x, y ) 60 N( izq) F F aluladas son las jidas po B sob la baa, las jidas po la baa sob B son: * F F 60 N( dh x F F 75 N( aib * y x y 0.- Un bloqu tangula homogéno d 0.5 m d alto y 0.5 m d anho dsansa sob una tabla AB, omo musta la figua. El ofiint d ozaminto státio nt l bloqu y la tabla s 0.. Si s lva lntamnt l xtmo B d la tabla, omnzaá l bloqu a dsliza haia abajo ants d vola? Calúls l ángulo paa l qu ominza a dsliza o vola. Cuál sía la spusta si l ofiint d ozaminto státio fua 0.6? ) y si fua 0.5? 8

9 h 0.5m a 0.5m µ 0. θ 0 θ lntamnt dsliza ants d vola? Paa qu dsli N mg osθ d θ > θ d, sindo Fmáx µ N mg snθd tgθ d µ θ atg µ atg 0..8º d (paa θ > θd l bloqu dslizaá, θd s l ángulo límit d las ondiions státias) Paa qu vulqu M 0 Nx mg osθ mgsnθ 0.5 θ > θ v, sindo C v v ( Nx 0 ya qu justo n l momnto n qu mpiza a vola l únio punto d ontato s C y la nomal s dsplaza hasta C x 0 ) mg osθ mgsnθ osθ 0.5 snθ tgθv θ v atg º v v v v θ > θ dslizaá ants d vola v d Si µ 0.6 θ atg0.6 d θ atg0.5 v ( θ 6.56º ) ( θ 0.96º ) v < volaá ants d ) Si µ 0.5 θd θv atg0.5 igual pobabilidad.-calula l momnto d inia d la lámina plana d la figua spto a los js mostados n la figua y al ppndiula a ambos qu pasa po la intsión. La lámina tin una dnsidad supfiial d 50 g/m. 9

10 m 0 m 6 m Figua maiza: I0 M σ ( π ) D un oifiio spto a su diámto: σ ( π ) σπ ( + σ ( π ) ) ( 8 ) Ix Iy I0 I I,9 kg m d d I I z I x 7.8 kgm.-un vntilado tin ts aspas iguals n foma d sto iula d 0 m d adio y 0º d ángulo n l véti. S suponn d sión onstant y stán unidas po l véti al j d otaión. La masa d ada una s d 50 g. Calula su momnto d inia n tono al j d otaión (nomal al plano d las aspas). Si l vntilado tin una ngía inétia d 5 J, halla su momnto angula. ) Si al dsonta l moto s dtin n 5 s, alula l pa d fuzas d ozaminto. I 0 M 0,05 0, 6, 5 0 kg m 60 8 ) E 5 L Iω I EI 5 0,5 0 kg m s I 8 L τ t 5, Nm - 0

11 .-Un automóvil toma una uva d 0 m d adio a la vloidad d 90 km/hoa. Calula l pa giosópio al qu ha d sta somtida ada una d sus udas, si su adio s 5 m y su momnto d inia s I kgm. ( 90 /,6) v v v v L Iω I ; τ LΩ I I 8, Nm 0 0, 5 L 8. Nm.-Un at stá fomado po un ilindo maizo (m kg, m, l5 m) y dos disos (m 0,5 kg, 5 m) unidos onéntiamnt a las bass dl ilindo. El at uda po un plano inlinado 0º. Halla: Los momntos d inia pinipals dl at. Su alaión angula si no dsliza. ) El ofiint d fiión státia µ mínimo paa qu no dsli. Iz m + m 0,5 0,0 + 0,5 0, kg m Dspiando ahoa l adio dl j; Ix Iy m + m m l l 8,5 0 kg m + mg sinϕ F ma g mg sin ma a g sin a ϕ ϕ F Iα m ) mg F mg sinϕ ma m( g sin ϕ g / ) 6 mg / 6 F µ FN µ mg os ϕ ; µ,min mg osϕ F mg F N 5.-Un at stá fomado po dos udas unidas po su nto mdiant un j d masa dspiabl. Cada uda stá fomada po una llanta d M kg, 0 m y spso dspiabl y uato baas adials muy dlgadas d m 50 g ada una. Halla: El momnto d inia dl at alddo d su j. La ondiión d odadua sin dslizaminto al situalo n un plano inlinado d ángulo φ.

12 0,08 I M + m M + m kg m I 0.08/ kgm ( Σm) g sinϕ F ( ) Σm a I ( m) a g sin ( m) Σ ϕ + Σ a F Iα I I 0,08/ Haindo I k ( Σ m), k, ( Σm) 0, ( Σm) g sinϕ g sinϕ a g 0,g k ( Σm) + k + ( Σm) + I k ( Σm) g sinϕ k F ( ) sin ( ) a Σm g ϕ µ os Σm g ϕ + k + k k ( Σm) g sinϕ k k µ + tanϕ tanϕ ( Σ m) g osϕ + k 5 6.-El bloqu d 8 kg d la figua stá sujto a una baa vtial mdiant dos udas d.5 m d longitud. Cuando l sistma gia alddo dl j d la baa, las udas stán tnsas, sgún india la figua. Cuántas vultas po minuto ha d da l.5 m sistma paa qu la tnsión n la uda supio sa d 50 N? Cuál s ntons la tnsión d la uda infio?. m 8 Kg, α asin asin 0,8,5 ( T T ) ( T + T ) Vtial: sin α mg T T mg / 0,8 Hoizontal: osα mω mω, 5osα T + T, 5mω T mg g m 0,8 π 8 0,8 + ω ; ω 8 vultas/min.5 m

13 T,5mω T,5 8 5, N 7.-Un diso d masa M 6 kg y adio 0 m tin n su pifia una plaquita d masa dspiabl, Sob lla inid una plota d masa m 0,5 kg, lanzada a una vloidad d m/s, n diión tangnt a la pifia dl diso. Dspiando los ozamintos, alula la vloidad angula adquiida po l diso uando l hoqu s: Elástio, Plástio. Li Lf mv i mvf + Iω Iω vf vi E m i Ef mvi mvf + Iω Iω I Iω Iω I i i ω i i ω v v + v + v + m m m m m I vi vi vi 8 ω +, ω ad/s m I M m m mv i 0,5 0 mv i ( I + m ) ω ω ad/s M + m,5 0, Dtmin a qué altua h d la supfii d la msa db golpas hoizontalmnt on l tao a la bola d billa paa qu ud sin dsliza, onsidando dspiabl l ozaminto státio. Atúa una F impulsoa / F m a m F ( h ) m α 5 Cumpliéndos la ondiión d odadua: am vm ω ó am α α F m am 7 a ( h ) h m F ( h ) m 5 5 5

14 9.- Una vailla d longitud L m y masa M00 g pud ota alddo dl pivot A. Una bala d masa m0 g on una vloidad v00 m/s golpa la vailla a una distania a80 m d A. Hall la vloidad angula d la vailla si la bala: s inusta n lla; a.) bota lástiamnt. Hall la ngía inétia d la vailla y la vaiaión d ngía inétia dl sistma n los dos asos antios. ) Po qué n gnal (s di paa valos ualsquia d L y no s onstant la antidad d moviminto dl sistma? d) Dtmin la laión nt a y L paa la ual pman onstant la antidad d moviminto dl sistma. L m 00m M 00g m 0g v 00m s 0 m s a 80m a.) ω? L p t LiA LfA L mva i ( ) L I + I ω f b v ( ) mva mva Ib + Iv ω ω ω ma + ML ω 7.5ad s a.) ω? L mva i L mva + I ω f v EC t mv mv + Ivω ω mva mva + Ivω v + v ma I v I v ω v v m Ivω Ivω ( v + v )( v v ) ( v v ) v v ωa v v ωa ma m Ivω Iv vma v+ v v + v ωa v ωa v ω + a ω ω ma ma I + ma v

15 ω 5.0 ad s b.) ECV Ivω Egios ECV.8 J ECsist ( Ib + Iv ) ω mv ma + ML ω mv ECsist 6.99J b.) 8 ECV Ivω Egios ECV. J ECsist 0 ML ω + m( v ω mv 800Egios 0.008J ) Poqu F xt 0 ( fuzas d aión n l pivot A) P t Po M xta 0 (po sta jidas n A) LA t d.) L mva Pi Pf mv mω a + Mω ma + ML ω mv ma + ML ma + ML ma + ML ma + MLa a L d.) L L Ivω L Iv L Pi Pf mv mv + Mω m( v + v ) Mω m Mω M ma a L ML M a L a 66.6m a 5

16 0.-Un tablo d masa M s apoya sob l sulo hoizontal a tavés d odillos ilíndios homogénos, iguals y paallos d adio y masa m ada uno. Si s mola l onjunto apliando una fuza hoizontal F, nonta las xpsions d la alaión linal dl tablo y la angula d los ilindos, suponindo qu no hay dslizaminto. Halla l ofiint d ozaminto státio mínimo paa qu no haya dslizaminto, si F 00 N, M 50 kg y m 0 kg. F F F ) Taslaión tabla: F F Ma a ) Taslaión odillo: F F ma ' m a ' a ) otaión odillo: ( F F ) Iα I F F + + m ma Sumando +: F ma F F Sustituyndo n : F ma Ma a, α M + m M + m Fuzas d ozaminto: F F F ma m 8 8 M + m ( M / m) ma F F F ma ma ma M m ( ) El po aso s l d F, ya qu sta fuza tin módulo tipl qu F, mintas la fuza nomal s mno n l apoyo qu n l. µ F F F F g,77 0 min FN Mg / ( Mg / ) ( ( M / m) ) M + ( M m) 6