1. Por qué es posible que la hipótesis nula sea rechazada cuando, de hecho es verdadera?

Transcripción

1 PRUEBAS DE HIPÓTESIS 1. Por qué es posible que la hipótesis nula sea rechazada cuando, de hecho es verdadera? 2. Para un tamaño de muestra dado, si α se reduce de 0.05 a 0.01, qué le sucederá a β? 3. Por qué es posible que la hipótesis nula no siempre sea rechazada cuando es falsa? 4. Cuál es la relación de α con el error del tipo I? 5. Cuál es la relación de β con el error del tipo II? 6. En el sistema legal norteamericano, un acusado se presume inocente hasta que se demuestre culpable. Considere una hipótesis nula, H 0, de que el acusado es inocente y una hipótesis alternativa, H 1, de que el acusado es culpable. El jurado tiene dos opciones posibles: declarar culpable al acusado (es decir, rechazar la hipótesis nula) o no declararlo culpable (es decir, no rechazar hipótesis nula). Explique el significado de los riesgos de cometer un error tipo I o un error del tipo II de este ejemplo. 7. Suponga que el acusado del problema 6 se supone culpable hasta que se pruebe lo contrario. Cómo diferirían la hipótesis nula y alternativa del problema 6? Cuál sería el significado de los riesgos de cometer un error tipo I o un error del tipo II, en este caso? 9. Suponga que el director de producción de una fábrica de telas necesita determinar si una nueva máquina está produciendo un tipo particular de tela según las especificaciones del fabricante, que indican que la tela debe tener una resistencia de rompimiento de 70 libras y una desviación estándar de 3.5 libras. Con una muestra de 36 piezas se obtuvo una media muestral de 69.7 libras. Existe evidencia de que la máquina no está cumpliendo con las especificaciones del fabricante en términos de la resistencia de rompimiento promedio? (Utilice un nivel de significancia de 0.05.). 10. Un empresario potencial está considerando la adquisición de una lavandería automática. El dueño actual de la lavandería afirma que durante los pasados cinco años el ingreso diario promedio fue de $6750, con una desviación estándar de $750. Se tomó una muestra de 30 días y ésta reveló un ingreso diario promedio de $6250. Hay evidencia de que la afirmación del presente dueño no sea válida? (Utilice un nivel de significancia de 0.01.) 11. Un fabricante de aderezos para ensalada utiliza una maquinaria que introduce el líquido en botellas que se mueven a lo largo de una línea de llenado. La máquina que proporciona el aderezo funciona apropiadamente cuando proporciona ocho onzas. La desviación estándar del proceso es de 0.15 onzas. Se selecciona periódicamente una muestra de 50 botellas, y la línea de llenado es detenida si existe evidencia de que la cantidad promedio de aderezo proporcionada es diferente de ocho onzas. Suponga que la cantidad promedio dada por la máquina en una muestra particular de 50 botellas es de onzas. Existe evidencia de que la cantidad promedio de población sea diferente de ocho onzas? (Utilice un nivel de significancia de 0.05.) 12. Suponga que se sabe que los resultados de una prueba de aptitudes, utilizada para determinar la admisión a una institución que ofrece programas de posgrado, están distribuidos normalmente, con una media de población de 500 y una desviación estándar de 100. Si una muestra de 12 solicitantes que buscan ingresar tiene una media muestral de 537, existe

2 evidencia de su resultado medio es diferente de la media esperada de todos los aspirantes? (Utilice un nivel de significancia de 0.01.) 13. Refiriéndose al ejercicio 34 correspondiente a los intervalos de confianza (relacionado con la longitud de papel), existe evidencia de que la longitud promedio es 11 pulgadas? (Utilice un nivel de significancia de 0.05.) 14. Refiriéndose al problema 39 correspondiente a los intervalos de confianza, hay evidencia de que la cantidad promedio es diferente de 1.0 galones? (Utilice un nivel de significancia de 0.01.) 15. Refiriéndose al problema 40 correspondiente a los intervalos de confianza, se dice que el proceso de producción está "bajo control" (es decir, funcionando apropiadamente) cuando la vida promedio de la población de las bombillas de luz es de 375 horas. a) Establezca las hipótesis nula y alternativa. b) Utilizando un nivel de significación de 0.05, a qué conclusión debería llegar el gerente de control de calidad con respecto al proceso, si se basa en los resultados de la muestra? 16. Refiriéndose al problema 41 correspondiente a los intervalos de confianza, existe evidencia de que la cantidad promedio en las botellas no es igual a 2.0 litros? (Utilice un nivel de significancia de 0.05.) 17. De acuerdo a la Secretaría de Medio Ambiente y Recursos Naturales (Semarnat), el nivel máximo de contaminantes en agua potable es 15 pci/l (picocuries por litro). Los picocuries son una medida de la radiactividad. a) La evidencia histórica sugiere que el abastecimiento de agua de una ciudad falla en el cumplimiento del estándar establecido por Semannat para la radiactividad. Para probar esto, el abastecimiento de agua será muestreado y los niveles de radioactividad serán registrados regularmente. Identifique a las hipótesis nula (H 0 ) y la hipótesis alternativa (H 1 ) para el valor promedio de la población µ. b) Si se rechaza la hipótesis nula, describa la situación para la cual ésta es la decisión correcta. c) Si la hipótesis nula se rechaza erróneamente, describa, en sus palabras, las consecuencias de salud pública. 18. Considere el ejercicio anterior. Suponga que el agua es regularmente muestreada regularmente por dos semanas (así que n= 14) y los niveles de radioactividad observados tienen una distribución normal donde el valor promedio µ es desconocido y σ, la desviación estándar es de 0.4. El agua es declarada segura el valor promedio es menor Pruebe la hipótesis H 0 :µ=15 vs. H 1 : µ<15. a) Cuál es el nivel de significación de esta prueba? b) Calcule la probabilidad de un error tipo I, si de hecho, µ = c) Calcule la probabilidad de un error tipo II si, de hecho, µ = En relación al ejercicio 17 de arriba, se tiene también que el estándar de Semarnat para el MCL del arsénico en agua potable es 50 porciones por mil millones (ppm).

3 a) Suponga que uno prueba H 0 : µ= 50 del µ contra H 1 : µ 50. Describa en este contexto las consecuencias de un error tipo I y del error tipo II. Cuál tiene las consecuencias más serias? b) Suponga que se prueba H 0 : µ=50 vs. H 1 : µ< 50. Describa en este contexto las consecuencias de un error tipo I y tipo II. Cuál tiene las consecuencias más serias? c) Dado que tomar agua potable con niveles arsénicos que exceden los 50 ppm es un peligro para la salud pública, cuál de las hipótesis descritas en los incisos (a) y (b) recomendaría usar? Puede suponer que ambas pruebas tienen un nivel de significancia α. 20. El estándar federal para el polvo del cadmio en un lugar de trabajo es 200 mg/m 3. Para supervisar los niveles de cadmio un ingeniero ambiental obtuvo muestras del polvo en el aire en intervalos de 10 minutos, de manera tal que en promedio cada hora contaba con 6 muestras. Suponga que el nivel de polvo de cadmio está distribuido normalmente con un promedio el desconocido y que la desviación estándar σ= 15mg/m 3. Suponga que la gerencia considera que la calidad del aire es inaceptable cuando el promedio por hora (denotado por x) es mayor que 200µg/m 3 ; es decir, suspende la producción siempre que x>200. El ingeniero ambiental, por lo tanto, utiliza la región de rechazo dada por C = {x: x>200} para probar la hipótesis H 0 : µ = 200 contra H 1 : µ > 200. Cuál es la consecuencia de un error tipo I en la producción? Cuál es el efecto de un error tipo II sobre la salud de un trabajador? 21. La Semarnat señala que cuando el nivel de plomo (medido en microgramos por litro (µg/l)) alcanza 15 µg/l en por lo menos el diez por ciento de las muestras tomadas, entonces se debe tomar acciones para reducir los niveles de plomo. Sea Q(p) el cuantil p-ésimo de la distribución de la cantidad del plomo X en un abastecimiento de agua municipal (el cual se supone ser continuo). Explique porqué el abastecimiento de agua cumple el estándar de Semarnat cuando Q(0.90) 15 y no cumple el estándar cuando Q(0.90)>15. Ayuda: Denote a la cantidad de plomo en una muestra de agua como X. Muestre que Q(0.90) 15 implica que p(x 15) p(x Q (0.90))= Suponga que se utiliza una muestra de tamaño n= 9 tomada de una de distribución normal con σ= 4, y que la región de rechazo esta dada por C = {x: x<28} para probar el hipótesis H 0 : µ = 30 contra H 1 :µ< 30. a) Cuál es el nivel de significancia de esta prueba? b) Suponga que el valor de corte es cambiado a c = 27.5, así que la región de rechazo es el conjunto C = {x: x<27.5}. Calcule el nivel de significancia de esta prueba. 23. La refinación diaria en una pequeña refinería de Centroamérica registra, en los últimos 50 días, una producción promedio de 971 toneladas de productos petroquímicos y una desviación estándar de 21 toneladas. El gerente de planta quiere probar, con un nivel de significancia de 0.05, la hipótesis de que la producción diaria en su planta tiene una media de 980 toneladas. Qué puede Ud. decir al respecto? 24. Una máquina llenadora de cereal trabaja con sacos de 20 kg. El jefe de producción ha notado que algunos sacos pesan más del llenado estándar de la máquina, por lo que toma una muestra de 100 sacos, de la cual obtiene un peso promedio de kg y una desviación estándar de 1.6 kg. Si éste considera un nivel de significancia de 0.05, está en lo correcto y deberá ajustar la máquina?

4 25. Un estudiante en la Ciudad de México gasta en promedio diariamente $16.00 (con base en un estudio realizado dos años antes). Por otro lado, el Banco de México indica que tiene un control muy estricto sobre la inflación y los precios. Un economista tiene la hipótesis de que si esto es cierto, el gasto promedio del estudiante ha disminuido. Decide tomar una muestra aleatoria de 35 estudiantes. El promedio de gasto diario en esa muestra fue de $ y una desviación estándar de $1.65. Si la hipótesis se prueba con un nivel de significancia de 0.10, tendrá razón el economista? 26. La Secretaría de Salud (SS) hace pruebas de un medicamento genérico que contiene 100 cm3. La acción de éste es tal que el cuerpo soporta dosis excesivas sin sufrir daño. Una dosis insuficiente no produce el efecto médico deseado. La SS ha adquirido este medicamento durante varios años y sabe que la desviación estándar de la población es de 2 cm3. Control de calidad revisa, aleatoriamente, 50 dosis de un pedido grande, y encuentra que la media de contenido es de cm3. Si la SS establece un nivel de significancia de Las dosis que han sido recibidas en almacén son demasiado pequeñas? 27. El director regional del Sistema de Ahorro para el Retiro (SAR) para el EDOMEX considera que los empleados afiliados en el Estado tienen en promedio un ahorro de $ en sus cuentas de pensiones. Al tomar una muestra de 100 empleados, el director encuentra una media de $ y una desviación estándar muestral de $ Si el nivel de significancia es de 0.05, el director piensa que tal vez el ahorro a la fecha sea mayor. Qué puede Ud. decir al respecto? 28. Una compañía que produce alimento vitaminado para perro, indica que su paquete económico contiene en promedio cinco kilogramos. El supervisor de producción considera que se están entregando paquetes con más producto. Toma una muestra de seis paquetes y encuentra que los pesos son de: 4.6, 6.1, 5.2, 4.8, 5.7 y 5.4 kg. Si prueba su hipótesis con un nivel de significancia de 0.05, el supervisor tiene la razón? 29. El inventario en una embotelladora de refrescos no debe de exceder de 3000 cajas promedio diarias. El encargado del almacén considera que éste se encuentra dentro del parámetro establecido y reporta a la gerencia que se manejan menos cajas al día. La gerencia toma una muestra de ocho días, y encuentra los niveles de inventario siguientes: 2925, 2705, 2835, 3065, 2890, 3010, 2830 y 2610 cajas. Si la gerencia realiza una prueba de hipótesis con un nivel de significancia de 0.05, tendrá razón el encargado del almacén. 30. La Procuraduría Federal del Consumidor (PROFECO), en México, revisa las quejas de algunos consumidores de refrescos. Algunos consumidores dicen que la presentación pequeña contiene en promedio 250 mililitros de producto, mientras que otros afirman que tiene más. El laboratorio de PROFECO toma una muestra de 25 refrescos y encuentra que en promedio contienen 230 mililitros con una desviación estándar de 60 mililitros. Si el nivel de significancia que usa la PROFECO en sus pruebas es de 0.05, a qué conclusión llega el laboratorio? 31. Calcule el valor de p del ejercicio 9 citado arriba e intérprete su significado. 32. Calcule el valor de p del ejercicio 10 citado arriba e intérprete su significado. 33. Calcule el valor de p del ejercicio 11 citado arriba e intérprete su significado. 34. Calcule el valor de p del ejercicio 12 citado arriba e intérprete su significado.

5 35. Calcule el valor de p del ejercicio 13 citado arriba e intérprete su significado. 36. Calcule el valor de p del ejercicio 14 citado arriba e intérprete su significado. 37. Calcule el valor de p del ejercicio 15 citado arriba e intérprete su significado. 38. Calcule el valor de p del ejercicio 16 citado arriba e intérprete su significado. 39. Compare las conclusiones a las que llegó en los ejercicios 39 de intervalos de confianza y 14 citado arriba. Son éstas las mismas? Por qué? 40. Compare las conclusiones a las que llegó en los ejercicios 40 de intervalos de confianza y 15 citado arriba. Son éstas las mismas? Por qué? 41. Compare en los ejercicios 41 de intervalos de confianza y 16 citado arriba. Son éstas las mismas? Por qué? 42. Las puntuaciones en una prueba que mide la variable creatividad siguen, en la población general de adolescentes, una distribución normal con media En un centro escolar que ha implantado un programa de estimulación de la creatividad una muestra de 30 alumnos ha proporcionado las siguientes puntuaciones: A un nivel de confianza del 95% Puede afirmarse que el programa es efectivo? Realice la prueba considerando la distribución t de student. 43. La rectoría de una universidad pública quiere determinar la calidad del servicio de su cafetería central para compararla con los niveles de calidad de otras universidades públicas. Según la última clasificación de la asociación de universidades públicas, una calificación promedio superior de siete indica una calidad superior en los servicios de una cafetería universitaria. La universidad toma una muestra de 12 estudiantes que califican ese servicio, las cuales son: 7, 9, 9, 8, 7, 8, 6, 7, 7, 9, 8 y 8. Se supone que las calificaciones de calidad en el servicio de la cafetería para la población universitaria de esta universidad se pueden aproximar con una distribución de probabilidad normal. Se podría afirmar que esta cafetería ofrece un servicio superior, si el nivel de significancia deseado para la prueba es de El proceso de producción en ICI pinturas llena botes de pintura de 19 litros (según etiqueta). La gerencia de ventas pide a producción que por favor verifique el proceso de llenado, ya que varios clientes han manifestado descontento porque sus botes al parecer no contienen la cantidad indicada en la etiqueta. El departamento de control de calidad selecciona periódicamente muestras de ocho botes de la línea de producción para realizar pruebas de llenado. La última muestra presenta los valores siguientes: 19.02, 19.22, 18.82, 18.92, 19.22, 19.32, y Si el nivel de significancia seleccionado por calidad es de 0.05, qué deberá indicar producción a ventas? RESULTADOS CON COMPUTADORA 45. A partir del listado de computadora que se muestra a continuación, interprete el intervalo de confianza y la prueba de hipótesis para la variable precio.

6 precio mean = mean(precio) t = Ho: mean = 7000 degrees of freedom = 73 Ha: mean < 7000 Ha: mean!= 7000 Ha: mean > 7000 Pr(T < t) = Pr( T > t ) = Pr(T > t) = A partir del listado de computadora que se muestra a continuación, interprete el intervalo de confianza para la variable mpg. Variable Obs Mean Std. Err. [99% Conf. Interval] mpg A partir del listado de computadora que se muestra a continuación, interprete el intervalo de confianza y la prueba de hipótesis para la variable peso. peso mean = mean(peso ) t = Ho: mean = 2500 degrees of freedom = 73 Ha: mean < 2500 Ha: mean!= 2500 Ha: mean > 2500 Pr(T < t) = Pr( T > t ) = Pr(T > t) = A partir del listado de computadora que se muestra a continuación, interprete el intervalo de confianza y la prueba de hipótesis para la variable mpg. One-sample t test mpg mean = mean(mpg) t = Ho: mean = 25 degrees of freedom = 73 Ha: mean < 25 Ha: mean!= 25 Ha: mean > 25 Pr(T < t) = Pr( T > t ) = Pr(T > t) = Con referencia al ejercicio 44 antes citado, se obtuvo mediante el uso de la computadora el siguiente intervalo de confianza. Interprete sus resultados. ci llenado, level(99) Variable Obs Mean Std. Err. [99% Conf. Interval] llenado Con referencia al ejercicio 44 antes citado, se obtuvo mediante el uso de la computadora el siguiente resultado de la prueba de hipótesis. Interprete sus resultados.

7 llenado mean = mean(llenado) t = Ho: mean = 19 degrees of freedom = 7 Ha: mean < 19 Ha: mean!= 19 Ha: mean > 19 Pr(T < t) = Pr( T > t ) = Pr(T > t) =