AUTOR: Br. LUIS C. INFANTE C.I PROFESOR: FRANCISCO RIVERO

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Alberto Suárez Bustamante
hace 7 años
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1 AUTOR: Br. LUIS C. INFANTE C.I PROFESOR: FRANCISCO RIVERO

2 Algunos ejemplos

3 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Paso 1: Marcamos primero con el lápiz dos puntos A y B en el papel.

4 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos.

5 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos.

6 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos.

7 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Paso 2: Ahora trazamos la recta que une los dos puntos y todas las circunferencias que determinan esos dos puntos. Con nuestra construcción aparecieron cuatro nuevos puntos: C, D, E y F.

8 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro E y que pasa por A.

9 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro E y que pasa por A.

10 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Paso 3: Ahora trazamos la circunferencia con centro E y que pasa por A. Ahora aparecieron los puntos G, H e I.

11 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Paso 4: Finalmente unimos los puntos B, C, G, E, H y D:

12 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Paso 4: Finalmente unimos los puntos B, C, G, E, H y D: Hemos dibujado un hexágono regular.

13 Algunos ejemplos 1.- Dos polígonos regulares Otro posible paso 4: O bien unimos los puntos B, G, y H. Hemos dibujado un triangulo equilátero.

14 Algunos ejemplos 2.- Bisectriz de un ángulo Paso 1: Marcamos primero con el lápiz tres puntos A, B y C y dibujamos el ángulo BAC que forman en el papel.

15 Algunos ejemplos 2.- Bisectriz de un ángulo Paso 2: Ahora trazamos la circunferencia con centro en A y que pasa por alguno de ellos (en este caso B). Obtenemos as el punto E.

16 Algunos ejemplos 2.- Bisectriz de un ángulo Paso 3: Trazamos la circunferencia con centro en B y que pasa por A. Juan Sabia

17 Algunos ejemplos 2.- Bisectriz de un ángulo Paso 3: Trazamos la circunferencia con centro en B y que pasa por A. Juan Sabia

18 Algunos ejemplos 2.- Bisectriz de un ángulo Paso 4: Trazamos también la circunferencia con centro en E y que pasa por A.

19 Algunos ejemplos 2.- Bisectriz de un ángulo Paso 4: Trazamos también la circunferencia con centro en E y que pasa por A. Al punto de corte lo llamamos F.

20 Algunos ejemplos 2.- Bisectriz de un ángulo Paso 5: Finalmente, trazamos la semirrecta AF. Esta semirrecta parte al ángulo BACen dos ángulos iguales BAF y FAC (y se llama la bisectriz de BAC).

21 Reglas básicas Tenemos entonces una regla sin marcas, un compas, un lápiz y una hoja de papel. Las reglas básicas son: Marcamos dos puntos en la hoja para empezar. Podemos trazar la recta que une a dos puntos marcados. Podemos trazar la circunferencia con centro en un punto marcado y radio la distancia entre dos puntos marcados. Todos los puntos que se obtengan del corte de dos rectas, dos circunferencias o una recta y una circunferencia que pudimos dibujar, pasan a ser puntos marcados y los podemos usar para seguir dibujando.

22 Ejemplo

23 Ejemplo

24 Ejemplo

25 Ejemplo

26 Ejemplo

27 Ejemplo

28 Ejemplo J resulta construible siguiendo las reglas establecidas.

29 Reglas básicas - Definiciones Cualquier construcción que podamos realizar a partir de estas reglas básicas se dirá construible con regla y compas y los puntos que resulten en cada paso de estas construcciones se llamaran puntos construibles. Por ejemplo, con las construcciones anteriores hemos visto: Que los polígonos regulares de 3, 6, 12, 24,... (en general, los de 3 2 n con n 1) lados son construibles con regla y compás. Que los polígonos regulares de 4, 8, 16, 32,... (en general, los de 2 n con n 2 ) lados son construibles con regla y compás. Que si nos dan tres puntos construibles, se puede bisecar el ángulo que determinan usando regla y compás.

30 Preguntas posible La primera pregunta que surge es: Podremos dibujar lo que se nos ocurra usando estas reglas? Y si no, Cuáles construcciones podremos hacer y cuales no?

31 Preguntas posible La primera pregunta que surge es: Podremos dibujar lo que se nos ocurra usando estas reglas? Y si no, Cuáles construcciones podremos hacer y cuales no? Algunas de estas preguntas fueron formuladas ya por los matemáticos de la Grecia clásica hace mas de 2000 años. Los griegos pensaban que la recta y la circunferencia eran curvas perfectas, y las construcciones que solo se basaran en ellas también serán perfectas.

32 Preguntas posible La primera pregunta que surge es: Podremos dibujar lo que se nos ocurra usando estas reglas? Y si no, Cuáles construcciones podremos hacer y cuales no? Algunas de estas preguntas fueron formuladas ya por los matemáticos de la Grecia clásica hace mas de 2000 años. Los griegos pensaban que la recta y la circunferencia eran curvas perfectas, y las construcciones que solo se basaran en ellas también serán perfectas. Esencialmente, los griegos dejaron abiertos tres problemas sobre construcciones con regla y compás que fueron completamente resueltos recién en el siglo XIX.

33 Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el ángulo que forman usando las reglas establecidas. Un problema que trataron de responder los griegos es si hay alguna forma de, dados tres puntos, dividir el ángulo que forman en tres partes iguales utilizando solo regla y compas.

34 Problemas griegos: 1. Trisección del ángulo Ya vimos que, dados tres puntos, se puede bisecar el ángulo que forman usando las reglas establecidas. Un problema que trataron de responder los griegos es si hay alguna forma de, dados tres puntos, dividir el ángulo que forman en tres partes iguales utilizando solo regla y compas. Este se conoce como el problema de la trisección del ángulo.

35 Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo En el año 429 a. C. una peste asolaba a Atenas. El Oráculo de Apolo fue consultado y la respuesta fue que, para detener la enfermedad, deban elaborar un nuevo altar en forma de cubo cuyo volumen duplicara el del altar cúbico ya existente. Lo intentaron pero no pudieron. La peste desapareció pero el problema matemático no. En términos de geometría plana, podemos plantear el problema de la siguiente manera:

36 Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo:

37 Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo: Sera posible armar otra plantilla a partir de esta usando regla y compas de forma tal que el nuevo cubo obtenido tenga exactamente el doble del volumen del original?

38 Problemas griegos: 2. Duplicación del cubo Dada la siguiente plantilla para armar un cubo: Sera posible armar otra plantilla a partir de esta usando regla y compas de forma tal que el nuevo cubo obtenido tenga exactamente el doble del volumen del original? Este se conoce como el problema de la duplicación del cubo.

39 Problemas griegos: 3. Cuadratura del círculo Como para los griegos, el círculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado será perfecto si tuviese su misma superficie. Sera posible construir, usando regla y compás, un cuadrado a partir de un círculo con exactamente la misma superficie?

Problemas griegos: 3. Cuadratura del círculo Como para los griegos, el círculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado será perfecto si tuviese su misma superficie.

40 Problemas griegos: 3. Cuadratura del círculo Como para los griegos, el círculo era una figura perfecta, consideraban que un cuadrado será perfecto si tuviese su misma superficie. Sera posible construir, usando regla y compás, un cuadrado a partir de un círculo con exactamente la misma superficie? Este se conoce como el problema de la cuadratura del círculo.

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