CAV-CV REV00 ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO VECTORIAL 1

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1 CAV-CV REV00 ACADEMIA DE CIENCIAS BÁSICAS CÁLCULO VECTORIAL

2 DIRECTORIO Mro. Alonso Lujambio Iraábal Secreario de Educación Pública Dr. Rodolfo Tuirán Guiérre Subsecreario de Educación Superior Mra. Saonara Vargas Rodrígue Coordinadora de Universidades Poliécnicas

3 PÁGINA LEGAL Paricipanes Mra. Adela Becerra Cháve Universidad Poliécnica de Queréaro Mro. Baruch Campos Lópe Universidad Poliécnica de Huausco Mro. Ismael Osuna Galán Universidad Poliécnica de Chiapas Primera Edición: 00 DR 00 Coordinación de Universidades Poliécnicas. Número de regisro: Méico, D.F. ISBN

4 ÍNDICE Inroducción... Ficha écnica... Programa de Esudio... 5 Desarrollo prácicas... 6 Insrumenos de evaluación.. 9 Glosario.. 7 Bibliografía... 0

5 INTRODUCCIÓN En ese manual se presena la planeación del curso Cálculo Vecorial. El conenido de ese curso se ha desarrollado considerando que el alumno ha omado al menos un curso básico de cálculo diferencial e inegral uno de álgebra lineal. El cálculo vecorial es la rama de las maemáicas que se ocupa del esudio de los incremenos en las variables, pendienes de curvas, valores máimos mínimos de funciones de varias variables de la deerminación de longiudes, áreas volúmenes. El desarrollo uso del cálculo ha enido efecos mu imporanes en casi odas las áreas de la vida moderna. Es base para casi odos los campos cieníficos, en especial, la física. Prácicamene odos los desarrollos écnicos modernos hacen uso del cálculo. Muchas fórmulas algebraicas se usan ho en día en balísica, calefacción, seguros, análisis diseño de edificios, ec. La disponibilidad de la ecnología, nos hace menos imporane comprender con claridad los concepos que susenas las imágenes sino que aumena su imporancia. Cuando se usan con propiedad las calculadoras graficadores o compuadoras son herramienas poderosas para descubrir dichos concepos. Se hace hincapié en el uso de aplicaciones, proecos uso de sofware especialiado para el análisis de los problemas, sin embargo, se deberá ener cuidado en no descuidar la pare concepual. Una persona con conocimienos sólidos concepuales podrá usarlos aplicarlos en siuaciones pariculares. El éio del cálculo ha sido eendido con el iempo a diversas áreas de las ciencias básicas e ingeniería como las ecuaciones diferenciales, cálculo vecorial, probabilidad esadísica, análisis numérico, cálculo de variaciones, análisis complejo, ec. Su uso es mu eenso, sobre odo en ciencias e ingeniería, donde muchos procesos hacen uso de canidades que varían de forma coninua.

6 FICHA TÉCNICA Nombre: Clave: Jusificación: Objeivo: Conocimienos previos: Cálculo Vecorial CAV-CV Esa asignaura es una herramiena que se fundamena en el cálculo diferencial, inegral álgebra lineal, siendo base para casi odos los campos cieníficos, en especial, la física. El alumno será capa de absraer propiedades de objeos mulidimensionales mediane el cálculo diferencial e inegral de varias variables para aplicarlo a siuaciones de la ingeniería Cálculo diferencial e inegral, Álgebra lineal Capacidades asociadas.- Comprender los concepos básicos de la maemáica universiaria..- Uiliar el lenguaje de la maemáica para epresarse correcamene. 3.- Formular problemas en lenguaje maemáico para faciliar su análisis solución. 4.- Uiliar modelos maemáicos para la descripción de siuaciones reales. 5.- Uiliar las herramienas compuacionales de cálculo numérico simbólico en el planeamieno resolución de problemas. 6.- Aplicar el raonamieno deducivo para la solución de problemas.

7 Esimación de iempo horas) necesario para ransmiir el aprendiaje al alumno, por Unidad de Aprendiaje: Unidades de aprendiaje Funciones de varias variables Funciones vecoriales Cálculo diferencial de varias variables Aplicaciones del cálculo diferencial de varias variables Inegración múliple Teoremas inegrales HORAS TEORÍA No presencial presencial HORAS PRÁCTICA No presencial presencial Toal de horas por cuarimesre: 90 Toal de horas por semana: 5 Crédios: 5/6 3

8 Básica TÍTULO: CALCULO DE VARIAS VARIABLES CONCEPTOS Y CONTEXTOS AUTOR: STEWART, JAMES AÑO: 00 EDITORIAL O REFERENCIA: CENGAGE LEARNING LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN ISBN O REGISTRO: TÍTULO: CALCULO MULTIVARIABLE AUTOR: ANTON, HOWARD AÑO: 009 EDITORIAL O REFERENCIA: LIMUSA LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN ISBN O REGISTRO: Bibliografía: TÍTULO: CALCULO VECTORIAL AUTOR: MARSDEN, JERROLD AÑO: 009 EDITORIAL O REFERENCIA: ADDISON WESLEY LONGMAN/PEARSON LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN ISBN O REGISTRO: Complemenaria TÍTULO: El Cálculo AUTOR: Leihold AÑO: 006 EDITORIAL O REFERENCIA: Oford LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN 7a edición ISBN O REGISTRO: ISBN TÍTULO: Cálculo Mulivariable AUTOR: J. STEWART AÑO: 004 EDITORIAL O REFERENCIA: Thompson Learning LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN 4a edición IZAN O REGISTRO: ISBN TÍTULO: Análisis Vecorial AUTOR: Murra Spiegel AÑO: 006 EDITORIAL O REFERENCIA: Mc Graw Hill LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN 006 ISBN O REGISTRO: ISBN

9 PROGRAMA DE ESTUDIO DATOS GENERALES NOMBRE DE LA ASIGNATURA: CLAVE DE LA ASIGNATURA: Cálculo Vecorial CAV-CV OBJETIVO DE LA ASIGNATURA: El alumno será capa de absraer propiedades de objeos mulidimensionales mediane el cálculo diferencial e inegral de varias variables para aplicarlo a siuaciones de la ingeniería. TOTAL HRS. DEL CUATRIMESTRE: 90 Horas FECHA DE EMISIÓN: de mao 00 UNIVERSIDADES PARTICIPANTES: Universidades Poliécnicas de: Huausco, Chiapas Queréaro CONTENIDOS PARA LA FORMACIÓN ESTRATEGIA DE APRENDIZAJE TÉCNICAS SUGERIDAS ESPACIO EDUCATIVO TOTAL DE HORAS UNIDADES DE APRENDIZAJE RESULTADOS DE APRENDIZAJE EVIDENCIAS PARA LA ENSEÑANZA PROFESOR) PARA EL APRENDIZAJ E ALUMNO) AULA LABORA TORIO OTRO MATERIALES REQUERIDOS EQUIPOS REQUERIDOS TEÓRICA NO Prese Prese ncial ncial PRÁCTICA NO Prese Prese ncial ncial TÉCNICA INSTRUMENTO OBSERVACIÓN EC: Solución de un cuesionario de Al complear la unidad funciones de varias FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES de aprendiaje, el variables. alumno será capa de: ED: Realiación de una * Idenificar las prácica de gráficas Eposición principales superficies funciones de varias discusión podrá esboar su variables guiada gráfica. EP: Resolver un *Inerprear fenómenos problemario con físicos mediane el ejercicios que involucren Taller de ejercicios, prácicas mediane la acción resolución de siuaciones problemáica s X X N/A Maerial impreso sofware cañón. Compuadora, Pinarron, plumones Cuesionario de funciones de varias variables Guía de observación para Documenal prácica de campo Lisa de coejo para problemario análisis de superficies el análisis gráfico de superficies FUNCIONES VECTORIALES EC: Solución de un Al complear la unidad cuesionario de de aprendiaje, el funciones vecoriales. alumno será capa de: ED: Realiación de una * Idenificar las prácica de funciones principales curvas en el Eposición vecoriales espacio podrá discusión esboar su raecoria guiada EP: Resolver un problemario con *Inerprear fenómenos ejercicios que involucren físicos mediane el el análisis gráfico de análisis curvas curvas. raecorias Taller de ejercicios, pracicas mediane la acción resolución de siuaciones problemáica s X X N/A Maerial impreso sofware cañón. Compuadora, Pinarron, plumones Cuesionario de funciones vecoriales. Documenal Guía de observación para de campo prácica Lisa de coejo para problemario EC: Solución de un cuesionario sobre derivadas parciales, CALCULO DIFERENCIAL DE VARIAS VARIABLES diferenciales oales, Al complear la Unidad gradienes, divergencia, de Aprendiaje, el roacional derivada alumno será capa de: direccional. *Calcular derivadas EP: Resolver un Eposición parciales, diferenciales problemario con oales, gradienes, ejercicios de derivadas divergencia, roacional parciales, derivadas derivadas oales, gradienes, direccionales. divergencia, roacional Pracicas mediane la acción. X X N/A Maerial impreso sofware Cañón. Compuadora, Pinarron, plumones 6 6 Documenal Cuesionario de derivadas parciales, diferenciales oales, gradienes, divergencia, roacional derivada direccional. Lisa de coejo para problemario derivada direccional de funciones de varias variables vecoriales Al complear la Unidad de Aprendiaje, el ED: Realiación de una alumno será capa de: prácica sobre problemas aplicados que involucren APLICACIONES DEL CALCULO *Resolver problemas derivada parcial, Discusión DIFERENCIAL DE VARIAS de aplicación en curvas diferencial oal, guiada VARIABLES superficies usando gradienes, divergencia, los elemenos del roacional derivada Resolución de siuaciones problemáica s X X N/A Maerial impreso sofware Cañón. Compuadora, Pinarron, plumones 6 6 Campo Guía de observación para prácica de derivadas cálculo diferencial de direccional. varias variables, Al complear la Unidad INTEGRACIÓN MÚLTIPLE de Aprendiaje, el EP: Resolver un alumno será capa de: problemario con ejercicios de áreas o Eposición * Cálcular inegrales volúmenes de dobles o riples superficies aplicarlo en áreas o Taller de ejercicios, pracicas mediane la acción X X N/A Maerial impreso sofware cañón. compuadora, Pinarron, plumones 7 8 Documenal Lisa de coejo para problemario volúmenes Al complear la Unidad de Aprendiaje, el alumno será capa de: EC: Solución de un TEOREMAS INTEGRALES cuesionario de los * Calcular inegrales eoremas de Green, de línea. Gauss Sokes Eposición * Usar aplicar el EP: Resolver un eorema de Green, problemario con Gauss Sokes ejercicios de inegrales usándolo para el de línea. cálculo de inegrales dobles o de línea según convenga Taller de ejercicios, prácicas mediane la acción X X N/A Maerial impreso sofware cañón. compuadora, Pinarron, plumones 8 8 Documenal Cuesionario de eoremas inegrales. Lisa de coejo para problemario 5

10 GUÍA PRÁCTICA DE GRAFICACIÓN DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES Nombre de la asignaura: Nombre de la Unidad de Aprendiaje Nombre de la prácica, ejercicio o acividad de aprendiaje: Cálculo Vecorial Funciones de varias variables Pracica de gráficas de funciones de varias variables Número : Duración horas) :. HRS Resulado de aprendiaje: Idenificar las principales superficies podrá esboar su gráfica. Jusificación En esa prácica el alumno usa herramienas compuacionales para la gráfica de funciones de varias variables comprueba resulados eóricos.. Usando un sofware grafica las siguienes funciones e idenifica la superficie obenida. f, ) f, ) 6 f, ) 4 f, ) 4 f, ) cos ) f, ). Calcula la ecuación de la superficie que se indica mediane el uso de un sofware verifica la función. Esfera de radio 5 con cenro en el puno,3,-). La superficie obenida al girar la parábola 4 alrededor del plano. Evidencias a desarrollar ED: Realiación de una prácica de gráficas funciones de varias variables 8 6

11 GUÍA PRÁCTICA DE GRAFICACIÓN DE FUNCIONES VECTORIALES Nombre de la asignaura: Nombre de la Unidad de Aprendiaje Nombre de la prácica, ejercicio o acividad de aprendiaje: Cálculo Vecorial Funciones vecoriales Prácica de funciones vecoriales Número : Duración horas) :. HRS Resulado de aprendiaje: Jusificación Idenificar las principales curvas en el espacio podrá esboar su raecoria En esa prácica el alumno usa herramienas compuacionales para la gráfica de curvas funciones vecoriales comprueba resulados eóricos. Usando un sofware grafica las siguienes funciones vecoriales. f ),,) h ),, 3 ) g ) ) i ) j ) k g ) sen,cos, ) h ) cos) i sen ) k. Calcula la ecuación en forma vecorial de la superficie que se indica mediane el uso de un sofware verifica la función. La parábola que se forma de la inersección enre La reca que pasa por los punos,,-) -, 0, ) el plano. El plano que pasa por el puno el origen que enga vecor normal,, ). Evidencias a desarrollar ED: Realiación de una prácica de funciones vecoriales. 7

12 GUÌA PRÁCTICA DE PROBLEMAS APLICADOS AL CÁLCULO DE VARIAS VARIABLES Nombre de la asignaura: Nombre de la Unidad de Aprendiaje Nombre de la prácica, ejercicio o acividad de aprendiaje: Cálculo Vecorial Aplicaciones del cálculo diferencial de varias variables Prácica de prácica sobre problemas aplicados que involucren derivada parcial, diferencial oal, gradienes, divergencia, roacional derivada direccional. Número : Duración horas) :.5 Resulado de aprendiaje: Jusificación Resolverá problemas de aplicación en curvas superficies usando los elemenos del cálculo diferencial de varias variables. En esa prácica el alumno usa herramienas compuacionales para resolver problemas de aplicación.. Usando un sofware grafica, calcula resuelve las ecuaciones pedidas para conesar las siguienes pregunas. a) Se dispara un proecil desde un cañón que iene un ángulo de elevación de es de 00 m/s. Calcule el vecor de salida de la bala. Curva paramérica de la raecoria de la bala. b) Un jugador de baskeball debe efecuar un iro. La alura de la canasa es de 3.5 ms. el jugador esá a una disancia de 4ms. Deermine el ángulo con que debe ser enviado el balón para llegar a la canasa si la velocidad inicial es 7m/s. Suponga que la alura inicial en que el jugador lana el balón es de m. c) Sabiendo que la le de gas ideal esablece la relación PV = kt. Obenga la asa con que varía la emperaura de un gas con un volumen de 5 ls con una presión de am k = 0.8 si el volumen se incremena a 0. l/min la presión disminue a 0. am/min. d) La ecuación de la superficie de una monaña es en el puno correspondiene a -0, 5, 850) m, ) Si un alpinisa se encuenra Cuál es la dirección de máima inclinación? En qué dirección recorre el alpinisa una curva de nivel? Evidencia a desarrollar ED: Realiación de una prácica sobre problemas aplicados que involucren derivada parcial, diferencial oal, gradienes, divergencia, roacional derivada direccional. 8

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14 CUESTIONARIO GUIA PARA LA EVALUACIÓN DIAGNOSTICA NOMBRE DEL ALUMNO: FECHA: MATERIA: NOMBRE DEL MAESTRO: Resuelve los siguienes ejercicios. Calcula las derivadas de las siguienes funciones f ) e 3 cos h ) e 3 cos g ) ln h ) an e. Calcula las siguienes inegrales ln d 0 sen d 3 7d 3 4 d 3. Grafique la función, indicando punos de core con los ejes, punos críicos de infleión. f ) CALIFICACIÓN: 0

15 NOMBRE DEL ALUMNO: FECHA: MATERIA: NOMBRE DEL MAESTRO:. Eplique la definición de una función de varias variables.. Defina la gráfica de una función de varias variables. 3. Qué es una curva de nivel de una función de varias variables? 4. Cómo saber si la gráfica de una función es en un plano o es en el espacio? 5. Diga una inerpreación a curvas equipoenciales. 6. Encuenre grafique el dominio de las siguienes funciones e f ), ln ), g 7. Realice un esboo de la gráficas de las siguienes funciones f 8 ), Calcule grafique curvas de nivel en para cada variable de las siguienes funciones ), f Encuenre la inersección de la superficie con el plano 9. CALIFICACIÓN: CUESTIONARIO DE FUNCIONES DE VARIAS VARIABLES

16 NOMBRE DEL ALUMNO: FECHA: MATERIA: NOMBRE DEL MAESTRO:. Qué es una función vecorial cuál es la diferencia de una función real?. Cómo se uilian las propiedades reales en el esudio de funciones vecoriales? 3. Cómo se obienen las ecuaciones caresianas de una curva en el espacio a parir de la ecuación vecorial? 4. De cuánas formas se puede represenar una función vecorial? 5. Por qué son necesarias las funciones vecoriales para describir curvas? 6. Realice las siguienes operaciones. k j i u 4 k j i v 3 k i w 3 w u w v u ) w u w v u 4 3 w v u u v u w ) 7. Grafique las siguienes curvas. j i r ) j i r ) ) 3 / k j sen i r cos ) ) k j i r ) 8. Encuenre las ecuaciones de la curva que es inersección de las siguienes superficies. 4 ) 4 ) 0 CALIFICACIÓN: CUESTIONARIO DE FUNCIONES VECTORIALES

17 CUESTIONARIO DE DERIVADAS PARCIALES, DIFERENCIALES TOTALES, GRADIENTE, DIVERGENCIA, ROTACIONAL Y DERIVADA DIRECCIONAL NOMBRE DEL ALUMNO: FECHA: MATERIA: NOMBRE DEL MAESTRO:. Enuncie la regla de la cadena para funciones vecoriales.. Proporcione una inerpreación geomérica de las derivadas parciales. 3. Cómo se aplica el gradiene para enconrar el vecor normal a una superficie en un puno? 4. Cómo se aplica el gradiene para calcular la dirección del valor máimo de la derivada direccional? Suponga que f : es un campo escalar que F : es un campo vecorial. Indique cuales de las siguienes epresiones iene significado si es un campo escalar o vecorial. 6. Calcule las derivadas parciales,,,, de f, ) 3ln e 7. Sean u e cos,, u. Calcule f, ) usando regla de la cadena. 8. Si f, ) deermine el gradiene de la función en el puno P =4,3) calcule la derivada 6 9 direccional de la función en el puno P al puno Q=5,6). 9. Para la función f, ) 3 cos ) calcule la diferencial oal. CALIFICACIÓN: 3

18 CUESTIONARIO DE TEOREMAS INTEGRALES Universidad poliécnica de NOMBRE DEL ALUMNO: FECHA: MATERIA: NOMBRE DEL MAESTRO:. Indique la imporancia de los eoremas inegrales.. Indique una inerpreación del eorema de Gauss. 3. Qué es una inegral de superficie? 4. Qué significa que una inegral sea independiene de su raecoria? 5. Cómo puede emplearse la inegral de superficie para calcular la masa de una superficie? 6. Comprobar que se verifica el eorema de Green cuando C es el conorno de la región anular R, siuada enre 3 los círculos ; 4 el campo es F ) i j. 7.Uiliar el eorema de Sokes para calcular la inegral ) d ) d ) d C donde C es la curva de inersección del cilindro 4; con el plano Aplicando el eorema de Green calcular la inegral C ) d ) d siendo C la inersección del plano ; con los planos coordenado. 9. Use el eorema de Gauss para evaluar el flujo de F j hacia afuera de la unión de la porción de ; para 0 9 del disco ; en =9. Compruebe el resulado evaluando direcamene la inegral de superficie. 0. Use el eorema de Gauss para evaluar F n ds donde F i k S es la superficie formada por 0,, n es la normal hacia afuera de S. CALIFICACIÓN: S 4

19 LISTA DE COTEJO PARA PROBLEMARIO UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN NOMBRE DEL ALUMNO: PRODUCTO: UNIDAD : EP, UNIDAD :EP,, UNIDAD 3: EP, UNIDAD 5: EP, UNIDAD 6: EP ASIGNATURA: CÁLCULO VECTORIAL NOMBRE DEL DOCENTE: FIRMA DEL ALUMNO: FECHA: PERIODO CUATRIMESTRAL: FIRMA DEL DOCENTE: INSTRUCCIONES Revisar las acividades que se solician marque en los aparados SI cuando la evidencia se cumple; en caso conrario marque NO. En la columna OBSERVACIONES indicaciones que puedan audar al alumno a saber cuáles son las condiciones no cumplidas, si fuese necesario. Valor del reacivo Presenación: Caracerísica a cumplir Reacivo) CUMPLE SI NO OBSERVACIONES 0% 40% El rabajo enregado cumple con los requisios de: buena presenación, orden limpiea porada. Nombre de la escuela o logoipo, Carrera, Asignaura, Nombre del Docene, Nombre s) de alumno s), Grupo, Lugar Fecha de enrega). Resolución del problema Seleccionar los daos apropiados para resolver el problema Conocer hechos propiedades maemáicas Seleccionar evaluar esraegias adecuadas para resolver el problema Simboliar en érminos maemáicos Manipular de forma esandariada cálculos, epresiones simbólicas fórmulas Epresión del resulado 30% 0% Represenar el conenido maemáico en forma verbal /o gráfico Epresar correcamene los resulados obenidos al resolver problemas Responsabilidad: Enregó el repore en la fecha hora señalada 00% CALIFICACIÓN: 5

20 GUIA DE OBSERVACIÓN PARA PRACTICAS UNIVERSIDAD POLITÉCNICA DE DATOS GENERALES DEL PROCESO DE EVALUACIÓN NOMBRE DEL ALUMNO: PRODUCTO: UNIDAD : ED, UNIDAD : ED, UNIDAD 4: ED ASIGNATURA: CÁLCULO VECTORIAL NOMBRE DEL DOCENTE: FIRMA DEL ALUMNO: FECHA: PERIODO CUATRIMESTRAL: FIRMA DEL DOCENTE: INSTRUCCIONES Revisar las acividades que se solician marque en los aparados SI cuando la evidencia se cumple; en caso conrario marque NO. En la columna OBSERVACIONES indicaciones que puedan audar al alumno a saber cuáles son las condiciones no cumplidas, si fuese necesario. Valor del reacivo Caracerísica a cumplir Reacivo) CUMPLE SI NO OBSERVACIONES Presenación: 0% La prácica enregada cumple con los requisios de: Buena presenación, orden limpiea Resolución del problema 50% Seleccionar los daos apropiados para resolver el problema Conocer hechos propiedades maemáicas Seleccionar evaluar esraegias adecuadas para resolver el problema Manipular de forma esandariada cálculos, epresiones simbólicas fórmulas Aplica las insrucciones compuaciones suficienes necesarias para mosrar la solución del problema planeado. Epresión del resulado 30% Represenar el conenido maemáico en forma verbal /o gráfico Epresar correcamene los resulados obenidos al resolver problemas 00% CALIFICACIÓN: 6

21 GLOSARIO Símbolo denominado nabla o del, usada para designar al operador gradiene. R 3. El conjuno de odas las ernas ordenadas,,) de números reales Campo conservaivo. Si f es un campo escalar F es un campo vecorial al que F= f enonces F es llamado campo vecorial conservaivo. Campo vecorial. Es una función que asocia a un vecor F,,) a cada puno,,) de una región. Curva. Conjuno de punos ), ), )) descrios por funciones con parámero. Curvas de nivel. Un campo escalar caraceriado por sus líneas de conorno a lo largo de las cuales el valor de función es consane Dominio. Es un conjuno donde se encuenra definida la función, sobre el cual una función oma los valores de las) variables) independienes). Derivada direccional. Esa es la asa de cambio de una función en la dirección de un vecor Divergencia. La divergencia de un campo vecorial F escrio div F es el produco puno del operador F. Escalar. Elemeno adimensional, número real o complejo. Función. Dados dos conjunos Ha llamado dominio B llamado conradominio, una función es una regla, fórmula o procedimieno que asigna a cada elemeno del conjuno A uno sólo un elemeno de B. Linealidad local. Esa es la idea de que, a escalas mu pequeñas es decir, a nivel local) cualquier ora función suave se parece a una reca. 7

22 Muliplicadores de Lagrange. Méodo de solución de en un problema de opimiación con resricciones de varias variables. Opimiación. Es el proceso de búsqueda ) Cuando una función iene valores máimos o mínimos, ) cuáles son esos valores mínimos máimos. Puno de silla. Ese es un puno críico, P, en una función, f, de modo que ha punos de Q Q cerca con f Q)> f P) F Q) <f P). Regla de la mano derecha. Eso se refiere a la definición de la dirección de un produco cruado posiivo, señalando con el dedo índice a lo largo de un vecor su dedo medio derecho hacia B luego eender su dedo pulgar se asegurará de que el pulgar apuna en la dirección del vecor A B Roacional. El roacional de un campo vecorial F se define como el produco cru enre el operador F. Superficie orienada. Una superficie en la que la dirección de flujo posiivo por lo ano de flujo) ha sido elegida, lo que equivale a especificar el vecor normal a la superficie. Vecor. Un vecor es una n-ada ordenada,,, n) donde cada enrada i es un número real. 8

23 BIBLIOGRAFÍA Básica TÍTULO: CALCULO DE VARIAS VARIABLES CONCEPTOS Y CONTEXTOS AUTOR: STEWART, JAMES AÑO: 00 EDITORIAL O REFERENCIA: CENGAGE LEARNING LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN ISBN O REGISTRO: TÍTULO: CALCULO MULTIVARIABLE AUTOR: ANTON, HOWARD AÑO: 009 EDITORIAL O REFERENCIA: LIMUSA LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN ISBN O REGISTRO: TÍTULO: CALCULO VECTORIAL AUTOR: MARSDEN, JERROLD AÑO: 009 EDITORIAL O REFERENCIA: ADDISON WESLEY LONGMAN/PEARSON LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN ISBN O REGISTRO: Complemenaria TÍTULO: El Cálculo AUTOR: Leihold AÑO: 006 EDITORIAL O REFERENCIA: Oford LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN 7a edición ISBN O REGISTRO: ISBN TÍTULO: Cálculo Mulivariable AUTOR: J. STEWART AÑO: 004 EDITORIAL O REFERENCIA: Thompson Learning LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN 4a edición IZAN O REGISTRO: ISBN TÍTULO: Análisis Vecorial AUTOR: Murra Spiegel AÑO: 006 EDITORIAL O REFERENCIA: Mc Graw Hill LUGAR Y AÑO DE LA EDICIÓN 006 ISBN O REGISTRO: ISBN