ÍNDICE RÉGIMEN TRANSITORIO. CIRCUITOS DE SEGUNDO ORDEN O SUPERIOR UNIDAD DIDÁCTICA 4. Capítulo 15. Presentación...15

Transcripción

1 ÍNIE Presenacón...5 UNI IÁTI 4 apílo 5 ÉIEN TNSITOIO. IUITOS E SEUNO OEN O SUPEIO. Inrodccón.... Escrra de la ecacón dferencal esolcón dreca de la ecacón dferencal rcos de segndo orden rcos con lazos capacvos y/o connos de core ndcvos Smlacón de las manobras de cerre o aperra de n nerrpor medane fenes..5 Problemas...65 Solcones de los problemas...69

2 8 IUITOS EÉTIOS II apílo 6 NÁISIS E IUITOS EINTE TNSFO E PE. Inrodccón efncones y propedades fndamenales de la ransformada de aplace Propedades de la ransformada de aplace Teorema del valor ncal Teorema del valor fnal Teorema de la raslacón en el campo compleo Teorema de la raslacón en el empo Teorema de la dervacón complea Teorema de la negracón complea Teorema del cambo de escala nálss de crcos lneales medane la ransformada de aplace Escrra de las ecacones onversón del crco al domno de aplace Transformada nversa de aplace. escomposcón en fraccones smples Polos smples Polos múlples rcos con lazos capacvos y/o connos de core ndcvos anobra de nerrpores...35 Problemas...45 Solcones de los problemas...49 apílo 7 NÁISIS E IUITOS EINTE VIES E ESTO. Inrodccón nálss de crcos propos por nspeccón rcos Formlacón por sperposcón...77

3 ÍNIE 9.. éodo del árbol propo rcos con acoplamenos magnécos rcos con fenes dependenes nálss de crcos mpropos por nspeccón rcos mpropos Formlacón por sperposcón Ecacón de esado en forma normal oncepos de esado y orden de compledad Solcón de la ecacón de esado... Problemas...9 Solcones de los problemas... apílo 8 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS. Inrodccón éodos nmércos de negracón nálss de crcos lneales en régmen ransoro por méodos nmércos Eqvalenes Thévenn y Noron de bobnas y condensadores Eqvalenes Thévenn y Noron de bobnas acopladas rcos con lazos capacvos y/o connos de core ndcvos Inegracón nmérca de las ecacones de esado de crcos lneales...74 Problemas...79 Solcones de los problemas...83 UNI IÁTI 5 apílo 9 UIPOOS. Inrodccón Parámeros de los cadrpolos...34

4 IUITOS EÉTIOS II.. Impedancas a crco abero dmancas en corocrco Parámeros híbrdos arz de cadena y marz de cadena nversa elacones enre parámeros adrpolo enre dpolos ermnales socacones de cadrpolos socacón en cascada socacón sere socacón paralelo socacón sere paralelo socacón paralelo sere plcacones Problemas Solcones de los problemas apílo UIPOOS EEENTES. adrpolos recíprocos adrpolos smércos polo en sere y dpolo en paralelo polo en sere polo en paralelo adrpolos en en y en en nverda adrpolos en y en adrpolos en nverda y en nverda adrpolos en y en T adrpolo en celosía adrpolos en T peneada y en doble T adrpolo en escalera rcos eqvalenes de cadrpolos no recíprocos adrpolos con fenes ndependenes Teorema de arle Problemas...45

5 ÍNIE Solcones de los problemas apílo NÁISIS E IUITOS ESISTIVOS NO INEES. Inrodccón essencas no lneales de dos ermnales rcos con na sola ressenca no lneal de dos ermnales Solcón gráfca Solcón nmérca nálss medane lnealzacón por ramos de la caracerísca aso general de crcos ressvos con ressencas no lneales de dos ermnales Solcón nmérca éodo de la abla éodo nodal modfcado nálss medane lnealzacón por ramos de la caracerísca rcos ressvos con ressencas no lneales mlermnales nálss de crcos con ressencas mlermnales rcos con ranssores bpolares rcos con amplfcadores operaconales...54 Problemas Solcones de los problemas...54 apílo IUITOS NO INEES ON OINS Y ONENSOES. Inrodccón nálss de crcos no lneales con bobnas y condensadores lneales nálss de crcos con bobnas y condensadores no lneales efncones Planeameno de las ecacones ondensadores no lneales obnas no lneales...586

6 IUITOS EÉTIOS II 3.3. Eqvalenes de bobnas y condensadores no lneales nálss de peqeña señal Elemenos de dos ermnales Elemenos de caro ermnales...68 Problemas...67 Solcones de los problemas...69 UNI IÁTI 6 apílo 3 ESONNI. nálss de crcos en el domno de la frecenca Fncones de red onversón de crcos eqvalenes de bobnas y condensadores reales esonanca en n crco sere esonanca en n crco paralelo rco paralelo prácco de dos ramas Problemas Solcones de los problemas apílo 4 OINS OPS EN ÉIEN ESTIONIO SINUSOI. obnas acopladas en régmen esaconaro snsodal Transformador deal Transformador real con núcleo de are Transformador real con núcleo de herro...76 Problemas...75 Solcones de los problemas...73

7 ÍNIE 3 apílo 5 IUITOS INEES ON ONS PEIÓIS NO SINUSOIES. Inrodccón Seres de Forer. rmóncos Valores y facores caraceríscos nálss de crcos lneales esonanca Poencas acva reacva y aparene. Facor de poenca Poencas reacva y de dsorsón eora del facor de poenca con elemenos reacvos rmóncos en ssemas rfáscos eqlbrados...87 Problemas...83 Solcones de los problemas...87 apílo 6 SENSIII. Inrodccón álclo de sensbldades de forma dreca eermnacón de sensbldades en n crco ressvo medane la red adna Sensbldades en crcos ressvos con fenes dependenes Sensbldades respeco de las fenes ndependenes plcacón de la red adna a la deermnacón de los eqvalenes Thévenn y Noron de n dpolo álclo de sensbldades medane el vecor adno Sensbldades en crcos lneales en régmen esaconaro snsodal Problemas Solcones de los problemas...883

8 apílo 8 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS. Inrodccón. éodos nmércos de negracón 3. nálss de crcos lneales en régmen ransoro por méodos nmércos 3. Eqvalenes Thévenn y Noron de bobnas y condensadores 3. Eqvalenes Thévenn y Noron de bobnas acopladas 3.3 rcos con lazos capacvos y/o connos de core ndcvos 4. Inegracón nmérca de las ecacones de esado de crcos lneales Problemas Solcones de los problemas

9 . INTOUIÓN ando el orden de los crcos amena la dfclad para s esdo en régmen ransoro por méodos analícos es mayor. Por ello se han desarrollado méodos nmércos de análss qe esán basados a s vez en méodos nmércos de negracón de ecacones dferencales y qe son adecados para s programacón en n ordenador. a respesa bscada se obene en forma de abla de valores correspondenes a nsanes scesvos con lo qe se perde la expresón analíca de la msma. No obsane es posble de forma cómoda dsponer de s represenacón gráfca con lo qe se ene na nformacón clara de s evolcón en el empo. Es mporane ener en cena qe los méodos nmércos nrodcen errores qe peden acmlarse dando lgar a reslados dferenes de la realdad. Es convenene ener algna dea de la respesa esperada para orenar el proceso de cálclo y además se debe realzar n análss cdadoso de los reslados anes de aceparlos como benos. En ese capílo el esdo se lma a los crcos lneales e nvarables con el empo.. ÉTOOS NUÉIOS E INTEIÓN Incalmene el problema de la negracón nmérca pede planearse como el deermnar la fncón x a parr de n cero nsane conocda la fncón dervada dx x' f [8.] d para odo nsane así como el valor de la fncón en. S se negra respeco del empo en n nervalo comprenddo enre y en ambos lados de la ecacón [8.] se ene

10 34 IUITOS EÉTIOS II x x x' d dx f d [8.] os méodos más sencllos de negracón nmérca conocdos como méodos de Eler se basan en ssr la fncón f en odo el nervalo por s valor en no de los exremos del msmo. sí s se ssye f por f en la ecacón [8.] se ene el méodo de Eler explíco con el reslado x x x' [8.3] qe perme deermnar de forma aproxmada la fncón x en n nsane a parr del valor de dcha fncón y de s dervada en n nsane aneror. e la ecacón [8.3] se dedce la expresón úl x x x' [8.4] x' x' x' - x' x' x' - - a - b x' x' x' - - c Fgra 8. En la fgra 8.a se mesra gráfcamene la aproxmacón realzada de forma qe el área encerrada por la fncón x' el ee de abscsas y las recas paralelas al ee de

11 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 35 ordenadas razadas en los exremos del nervalo de negracón ha sdo ssda por la de n recánglo cya base es dcho nervalo y la alra el valor x'. Ora nerpreacón se ene en la fgra 8.a en la qe se mesra en el nervalo genérco la fncón bscada x. e acerdo con la ecacón [8.3] en el méodo de Eler explíco se ssye la fncón por n ramo reco de pendene gal a la dervada de dcha fncón en el nsane. e esa forma al fnal del nervalo se alcanza el pno ' como aproxmacón del verdadero valor de la fncón en el nsane defndo por la ordenada correspondene al pno. El error comedo vene dado por el segmeno '. x x - + x' - ' x x x - x x - x - + x' " - a - b x ' x x - x - + x'+ x' - / ''' " - c Fgra 8. En el méodo de Eler mplíco se ssye f por s valor al fnal del nervalo de negracón f en la ecacón [8.] con lo qe se ene y de aqí se obene x x x' [8.5]

12 36 IUITOS EÉTIOS II x x x' [8.6] En ese caso como se represena en la fgra 8.b la aproxmacón realzada hace qe el área encerrada por la fncón x' el ee de abscsas y las recas paralelas al ee de ordenadas razadas en los exremos del nervalo de negracón sea ssda por la de n recánglo cya base es dcho nervalo y la alra el valor x'. smsmo en la fgra 8.b se apreca qe en el méodo de Eler mplíco de acerdo con la ecacón [8.5] se ssye la fncón por n ramo reco de pendene gal a la dervada de dcha fncón en el nsane con lo qe al fnal del nervalo se alcanza el pno " en lgar del verdadero valor de la fncón en el nsane. El error comedo ahora vene dado por el segmeno ". Ora posbldad consse en ssr la fncón f en la ecacón [8.] por la reca qe ne los pnos y de dcha fncón en los dos exremos del nervalo como mesra la fgra 8.c. a negral de f es el área del rapeco formado por la reca el ee de abscsas y las recas paralelas al ee de ordenadas razadas en los exremos del nervalo de negracón. En ese méodo conocdo como regla rapezodal de negracón se ene por ano y ambén x' x' x x [8.7] x' x x x' [8.8] En la fgra 8.c se apreca qe de acerdo con la expresón [8.7] en la regla rapezodal se ssye la fncón x por n ramo reco de pendene gal al valor medo de las dervadas de dcha fncón en los exremos del nervalo con lo qe en el nsane se alcanza el pno ''' en lgar del verdadero valor de la fncón. El error comedo en ese caso vene dado por el segmeno '''. En ocasones la ecacón [8.] adopa la forma dx x' f x [8.9] d por lo qe en el méodo de Eler mplíco la ecacón [8.5] se convere en x x f x [8.] con lo qe x esá conenda ambén en el segndo membro de la ecacón [8.].

13 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 37 nálogamene en la regla rapezodal la ecacón [8.7] se convere en f x f x x x [8.] y de nevo x esá conenda en el segndo membro de la ecacón [8.]. Se dce qe ambos méodos son de po mplíco porqe s la fncón fx no es lneal hay qe recrrr a n proceso eravo para deermnar el valor de x. Por el conraro en el méodo de Eler explíco la ecacón [8.3] da lgar a la expresón x x f x [8.] donde el segndo membro es conocdo en el nsane y por ano la ecacón [8.] perme calclar drecamene el valor de x. S la fncón fx es lneal la ecacón [8.9] adopa la forma donde y se spone conocda en odo nsane. dx x' ax y [8.3] d En ese caso la ecacón [8.] del méodo de Eler mplíco se convere en ax y x x [8.4] y la ecacón [8.] correspondene a la regla rapezodal en a x y ax y x x [8.5] con lo qe en ambos casos es fácl despear x en fncón de valores conocdos en el nsane. En los méodos cados no solo es mporane qe el error comedo en cada paso de la negracón nmérca sea peqeño sno ambén qe ese error no se acmle en los pasos scesvos. ando el error se acmla la desvacón enre el valor calclado y el valor verdadero de x va crecendo progresvamene. Se dce enonces qe el méodo no es esable. Para las ecacones dferencales de n crco elécrco de frecencas narales smples s k se demesra qe cando el crco es esable es decr e{s k } < para odo k en los méodos de Eler mplíco y de la regla rapezodal esá asegrada la esabldad

14 38 IUITOS EÉTIOS II para calqer valor de. Por el conraro para el méodo de Eler explíco solo esá asegrada la esabldad s para odo k se verfca la condcón lo qe mplca la necesdad de lmar el valor de. + s k < [8.6] Todo lo aneror explca la endenca a preferr los méodos mplícos de negracón. El méodo de Eler explíco se lza a veces para obener na esmacón ncal en el méodo eravo qe lleva a la resolcón de las ecacones [8.] y [8.]. Se dce qe el méodo de Eler explíco predce la solcón bscada y el méodo de Eler mplíco o la regla rapezodal corrgen ese valor en el proceso eravo hasa llegar a dcha solcón. 3. NÁISIS E IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO PO ÉTOOS NUÉIOS En lo qe sge se va a sponer qe las ecacones del crco se escrben medane n méodo general de análss como el nodal modfcado. demás los elemenos qe nrodcen el operador en dchas ecacones bobnas condensadores y bobnas acopladas magnécamene se van a raar como elemenos de po qe no admen formlacón de admanca. sí se consge qe el operador aparezca sempre como facor y no como dvsor con lo qe las ecacones de las ramas de esos elemenos son ecacones dferencales de la forma x + x k +... = a x + a x +... [8.7] Por consgene el méodo nodal modfcado apora n conno de ecacones algebracas y n conno de ecacones dferencales como la [8.7]. S se aplca a esas ecacones dferencales algno de los méodos nmércos de negracón esdados se converen ambén en ecacones algebracas con lo qe al fnal en los crcos lneales se ene n ssema de ecacones algebracas lneales qe na vez reselo perme conocer calqer varable del crco en n nsane. P P Q a Fgra 8.3 Q b

15 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 39 Por s nerés en el desarrollo poseror del capílo se va a esdar a connacón de forma ndvdalzada la conversón de las ecacones dferencales de las bobnas condensadores y bobnas acopladas magnécamene en las ecacones algebracas correspondenes. Se van a dedcr las ecacones con el méodo de Eler mplíco y con la regla rapezodal. En la fgra 8.3a se represena na bobna qe consye la rama genérca de n crco sada enre los ndos P y Q del msmo. a ecacón de esa rama es Q P [8.8] y s se aplca la ecacón [8.6] del méodo de Eler mplíco se obene Q P [8.9] eso es Q P [8.] a ecacón [8.] es na ecacón algebraca lneal cyo prmer membro ene la msma forma qe el de la ecacón dferencal [8.8] sn más qe ssr el operador por /. demás hay n érmno nevo en el segndo membro de la ecacón [8.] qe es conocdo ya qe depende de n nsane aneror al consderado. S se aplca a la ecacón dferencal [8.8] la ecacón [8.8] de la regla rapezodal se obene Q P [8.] y como Q P [8.] resla fnalmene Q P Q P [8.3] e nevo se obene na ecacón algebraca lneal cyo prmer membro ene la msma forma qe el de la ecacón dferencal [8.8] con / en lgar del operador.

16 4 IUITOS EÉTIOS II smsmo aparece n segndo membro qe es conocdo ya qe esá formado por érmnos qe dependen del nsane aneror al consderado. En el caso de qe la rama esé formada por n condensador como se mesra en la fgra 8.3b la ecacón de rama es PQ [8.4] y en fncón de ensones de ndo Q P [8.5] S se aplca la ecacón [8.6] del méodo de Eler mplíco a la ecacón dferencal [8.4] se obene PQ PQ [8.6] es decr PQ PQ [8.7] o ben en fncón de ensones de ndo Q P Q P [8.8] omo ocrría con la bobna el prmer membro de las ecacones algebracas [8.7] y [8.8] ene la msma forma qe el prmer membro de las ecacones dferencales [8.4] y [8.5] respecvamene sn más qe ssr el operador por /. En las ecacones algebracas aparece n segndo membro qe es conocdo ya qe esá formado por érmnos qe dependen del nsane aneror al consderado. S se aplca a la ecacón dferencal [8.4] la ecacón [8.8] de la regla rapezodal se obene PQ PQ PQ [8.9] qe se convere en PQ PQ [8.3]

17 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 4 o ben en fncón de ensones de ndo P Q P Q [8.3] e nevo el prmer membro de las ecacones algebracas [8.3] y [8.3] ene la msma forma qe el prmer membro de la ecacón dferencal [8.4] y [8.5] respecvamene sn más qe ssr el operador por /. En las ecacones algebracas se ene n segndo membro qe es conocdo ya qe esá formado por érmnos qe dependen del nsane aneror al consderado. e lo aneror se desprende n procedmeno para los crcos qe enen bobnas y/o condensadores qe perme realzar el análss de los msmos en régmen ransoro por méodos nmércos. Se pede esrcrar en los sgenes pasos:. Se esablecen las ecacones del crco en el domno del empo por el méodo de análss nodal modfcado consderando las bobnas y condensadores como elemenos de po de al forma qe el operador aparezca como facor en las ecacones de esos elemenos.. Se fa n valor para el nervalo de empo enre los nsanes consecvos para los qe se van a deermnar las varables del crco. El valor de dependerá de la rapdez en la evolcón de las varables del crco qe qeda defnda por las frecencas narales de dchas varables. Por eemplo se pede omar como la décma pare del menor valor de las consanes de empo y de los semperodos de las osclacones presenes en las varables del crco. S s k son las frecencas narales de la respesa bscada eso eqvale a < n{/reals k /mags k } on eso qeda asegrado qe se caparán los pasaes con la evolcón más rápda anqe ene el nconvenene de hacer leno el proceso s el nervalo de empo a esdar es grande comparado con. Ora alernava consse en omar n valor varable de qe se adape a la evolcón de las varables de forma qe sea más peqeño cando esa evolcón sea rápda y más grande cando se haga lena. 3. Se converen las ecacones obendas en el paso a ecacones algebracas medane los méodos de Eler mplíco o de la regla rapezodal a base de ssr en el prmer membro el operador por / o / respecvamene y omando como segndo membro de las ecacones los obendos en las ecacones [8.] y [8.8] para el

18 4 IUITOS EÉTIOS II méodo de Eler y en las ecacones [8.3] y [8.3] para el méodo de la regla rapezodal. Es mporane observar qe s se emplea n varable la marz de coefcenes del ssema de ecacones algebracas camba al cambar. Por el conraro s se manene consane la marz de coefcenes no camba y eso hace más rápda la resolcón del ssema de ecacones en nsanes scesvos. 4. Se deermnan las nensdades en las bobnas y las ensones en los condensadores en el nsane = + para el méodo de Eler mplíco y además las ensones en las bobnas y las nensdades en los condensadores para la regla rapezodal. on esos valores se calclan los segndos membros de las ecacones de las bobnas y condensadores. 5. Se pasa al nsane = Se reselve el ssema de ecacones con el segndo membro de las ecacones de bobnas y condensadores calclado con valores del nsane aneror. Se deermnan las varables en esdo y las nensdades en las bobnas y las ensones en los condensadores en el nsane = + + para el méodo de Eler mplíco y además las ensones en las bobnas y las nensdades en los condensadores para la regla rapezodal. 7. Se calclan los segndos membros de las ecacones de las bobnas y condensadores. 8. Se pasa al nsane +. Se velve al paso 6 y se repe el proceso de cálclo hasa alcanzar el fnal del nervalo de empo en el qe se desea realzar el esdo. Eemplo 8. eermnar la nensdad en el crco de la fgra 8.4 a esado ncal cero a parr de = medane la negracón nmérca de las ecacones dferencales por el méodo de Eler mplíco. = H = H = s = V = F = Fgra 8.4

19 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 43 as ecacones del crco de la fgra 8.4 correspondenes al méodo de análss nodal modfcado son las sgenes Ecacones nodales: Ndo : + + = [8.3] Ndo : + = [8.33] Ndo : + + = [8.34] Ecacones de rama: + + = [8.35] + + = [8.36] + = [8.37] = s [8.38] S se escrbe de forma marcal el ssema de ecacones [8.3] a [8.38] resla s [8.39] S se parclarzan las ecacones [8.] y [8.8] consecenca de aplcar el méodo de Eler mplíco a las ecacones de la bobna y del condensador respecvamene a las ecacones [8.35] a [8.37] reslan las ecacones algebracas [8.4] [8.4] [8.4]

20 44 IUITOS EÉTIOS II con lo qe el ssema de ecacones algebraco dferencales [8.39] se convere en el ssema de ecacones algebracas sgene / / / / / / s [8.43] as marces de coefcenes de los ssemas de ecacones [8.39] y [8.43] son formalmene análogas sn más qe ssr el operador por /. Para analzar el crco se va a omar = s. Para el segndo membro del ssema de ecacones se ene + = + = y + = + = ya qe el crco se spone a esado ncal cero. Por ora pare s + = V e + =. S se ssyen esos valores no con los parámeros del crco en la ecacón [8.43] resla el ssema qe ene como solcón: = V; = 3585 V; = V; = 48 ; = 9889 ; = 5 ; = 47 a nensdad bscada es para ese nsane = 3585 connacón se deermnan los érmnos del segndo membro del ssema qe van a ser necesaros en el nsane poseror = + /. = 9645 V /. = V /. = 5

21 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 45 on los reslados anerores se pasa al nsane = + = s. Se acalza el segndo membro del ssema de ecacones [8.43] qe qeda y qe ene como solcón = V; = 739 V; = 375 V; = 945 ; = 956 ; = 6 ; = 9 a nensdad bscada es para ese nsane = 739 El msmo proceso de cálclo se repe para nsanes scesvos: 3 s 4 s ec con los reslados sgenes: 3 = = = 9847 ec. Eemplo 8. eper el eemplo 8. con el méodo de negracón de la regla rapezodal. l parclarzar las ecacones [8.3] y [8.3] consecenca de aplcar el méodo de la regla rapezodal a las ecacones de la bobna y del condensador respecvamene a las ecacones [8.35] a [8.37] reslan las ecacones algebracas - [8.44] - [8.45] [8.46] qe ssdas en el ssema de ecacones [8.39] dan lgar a la expresón marcal sgene

22 46 IUITOS EÉTIOS II / / / / / / s [8.47] Para ncar el proceso de cálclo hay qe deermnar las ensones e nensdades en las bobnas y en el condensador para = +. as nensdades en las bobnas e y la ensón en el condensador son nlas para = + al esar el crco en esado ncal cero. on ese méodo de negracón es necesaro además deermnar las ensones en las bobnas + + y + + y la nensdad en el condensador + en ese nsane. Para ello se ssyen en el crco de la fgra 8.4 las bobnas por fenes de nensdad nlas crcos aberos y el condensador por na fene de ensón nla corocrco con lo qe resla el crco de la fgra 8.5 en el qe se obene Fgra = s + = V + = + = V s = V = = + = V + = + =

23 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 47 + = + + = V + = + + = V S se ssyen esos valores no con + = + = + = en los segndos membros de las ecacones [8.44] a [8.46] resla V / V / / Se pasa al nsane = + +. S en la ecacón marcal [8.47] se ssyen valores nmércos en los érmnos de la marz de coefcenes y en el vecor de érmnos ndependenes se ene a solcón de ese ssema de ecacones es = V; = 3466 V; = 57 V; = 493 ; = 997 ; = 49 ; = 4885 de donde resla = 3466 connacón se acalzan los segndos membros de las ecacones [8.44] a [8.46] V / 368 9

24 48 IUITOS EÉTIOS II V / / 838 y se pasa al nevo nsane = + para el qe se ene el ssema de ecacones cya solcón es = V; = 784 V; = 57 V; = 9647 ; = 983 ; = 94 ; = 9477 con lo qe se obene = 784 El msmo proceso de cálclo se repe para nsanes scesvos 3 s 4 s ec con los reslados sgenes: 3 = 6 4 = 56 5 = 956 ec. Fgra 8.6 a [s] [] b [s] []

25 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 49 En la fgra 8.6a se represena gráfcamene la fncón obenda por ese méodo. on línea de razo dsconno más fno se dba la solcón exaca obenda analícamene con línea de razo conno la qe corresponde a la aplcacón de la regla rapezodal y con línea de razo y pno la obenda por el méodo de Eler en el eemplo 8.. En la fgra 8.6b se ha dbado n dealle de las gráfcas anerores en el qe se pone de manfeso la meor aproxmacón obenda con la regla rapezodal frene al méodo de Eler. Para na parea bobnas acopladas magnécamene como las represenadas en las fgras 8.7a y 8.7b con referencas de ensón e nensdad concdenes en cada na de ellas se enen las ecacones [8.48] P Q k k [8.49] S k k k donde el sgno + corresponde al caso represenado en la fgra 8.7a y el sgno al de la fgra 8.7b. P k P k PQ S PQ S Q a S Q b S Fgra 8.7 S se aplca la ecacón [8.6] del méodo de Eler mplíco a las ecacones [8.48] y [8.49] de las bobnas acopladas se obene eso es k k P Q k [8.5] k k S k k [8.5] P Q k k k k [8.5]

26 5 IUITOS EÉTIOS II k k k k k k S [8.53] S se aplca la ecacón [8.8] del méodo de la regla rapezodal a las ecacones [8.48] y [8.49] de las bobnas acopladas se obene Q P k k k k k [8.54] k k S k k k k k [8.55] qe qedan en la forma k k Q P k k k k [8.56] k k k S k k k k k k [8.57] y s se enen en cena las ecacones [8.48] y [8.49] de las bobnas acopladas resla k k Q P Q P k k [8.58] k k k S S k k k [8.59] e nevo en las ecacones [8.5] y [8.53] del méodo de Eler y las [8.58] y [8.59] de la regla rapezodal se manene la forma del prmer membro de las ecacones dferencales de las bobnas acopladas con la sscón del operador por / o / respecvamene. En el segndo membro como en la bobna y el condensador odos los

27 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 5 érmnos son conocdos ya qe dependen del nsane aneror al consderado. El proceso de cálclo ndcado para n crco con bobnas y condensadores se exende a los crcos con bobnas acopladas. 3. Eqvalenes Thévenn y Noron de bobnas y condensadores as ecacones [8.] y [8.7] qe reslan al aplcar el méodo de Eler mplíco a las ecacones de las ramas consdas por la bobna y el condensador de n crco se peden poner con la noacón ndcada en las fgras 8.8a y 8.8b en la forma [8.6] [8.6] U - I - ' a ' b ' c ' d I - U - ' e Fgra 8.8 ' f y s se hace U [8.6]

28 5 IUITOS EÉTIOS II I [8.63] y [8.64] [8.65] las ecacones [8.6] y [8.6] se converen en U [8.66] I [8.67] a ecacón [8.66] es la del dpolo represenado en la fgra 8.8c por lo qe ése es eqvalene a la bobna de la fgra 8.8a en el nsane. Se dce qe el dpolo es el eqvalene Thévenn de la bobna en el nsane para el análss del crco en régmen ransoro por el méodo de Eler mplíco con n paso de negracón. nálogamene la ecacón [8.67] es la del dpolo represenado en la fgra 8.8d por lo qe ése es eqvalene al condensador de la fgra 8.8b en el nsane. Se dce qe el dpolo es el eqvalene Noron del condensador en el nsane para el análss del crco en régmen ransoro por el méodo de Eler mplíco con n paso de negracón. S en la ecacón [8.6] se despea la nensdad en fncón de la ensón se ene I [8.68] y s en la ecacón [8.6] se despea la ensón en fncón de la nensdad resla U [8.69] donde se ha hecho [8.7] I [8.7]

29 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 53 [8.7] U [8.73] a ecacón [8.68] es la del dpolo mosrado en la fgra 8.8e qe se conoce como eqvalene Noron de la bobna. a ecacón [8.69] es la del dpolo mosrado en la fgra 8.8f qe se conoce como eqvalene Thévenn del condensador. Se pede comprobar fáclmene qe a s vez los dpolos de las fgras 8.8c y e son eqvalenes enre sí y qe lo msmo scede enre los dpolos de las fgras 8.8d y f. smsmo las ecacones [8.3] y [8.3] qe reslan al aplcar el méodo de la regla rapezodal a las ecacones de las ramas consdas por la bobna y el condensador de n crco se peden poner con la noacón ndcada en las fgras 8.8a y 8.8b en la forma [8.74] [8.75] con lo qe se llega a las msmas ecacones [8.66] y [8.67] y a los msmos dpolos de las fgras 8.8c y 8.8d para el eqvalene Thévenn de la bobna y el eqvalene Noron del condensador respecvamene anqe ahora se ene U I [8.76] [8.77] [8.78] [8.79] smsmo con la regla rapezodal se obenen las msmas ecacones [8.68] y [8.69] y los msmos dpolos de las fgras 8.8e y 8.8f para el eqvalene Noron de la bobna y el eqvalene Thévenn del condensador respecvamene anqe ahora se ene [8.8] I [8.8]

30 54 IUITOS EÉTIOS II Eemplo 8.3 [8.8] U [8.83] epresenar el crco de la fgra 8.4 en el nsane medane los eqvalenes Thévenn de las bobnas y el eqvalene Noron del condensador. U - U - = s = V = I - Fgra 8.9 En la fgra 8.9 se represena el crco para el nsane. as fenes I U y U conenen la hsora pasada de los elemenos almacenadores de energía. ado qe lo qe se ha hecho es aplcar la regla de sscón las ecacones del crco con los eqvalenes Thévenn o Noron de bobnas y condensadores son las msmas qe las obendas al aplcar drecamene el méodo de negracón nmérca a las ecacones dferencales de esas ramas. Por ora pare la sscón de las bobnas y condensadores por ss eqvalenes Thévenn y Noron perme para calqer méodo de análss n planeameno cómodo de las ecacones del crco sn escrbr prevamene las ecacones dferencales de las ramas correspondenes a las bobnas y condensadores. No obsane por la facldad de planeameno de las ecacones nodales se emplean habalmene los eqvalenes Noron de las bobnas y condensadores para el análss nmérco de crcos en régmen ransoro. demás se han desarrollado modelos po Noron para oros componenes de los crcos y de los ssemas de energía elécrca: bobnas acopladas magnécamene líneas elécrcas ec.

31 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 55 Eemplo 8.4 nalzar el crco de la fgra 8.4 drecamene medane la sscón de las bobnas y del condensador por ss eqvalenes Noron correspondenes a la regla rapezodal. I - I - = s = V = I - Fgra 8. En la fgra 8. se mesra en el nsane el crco en esdo en el qe se han ssdo las bobnas y el condensador por ss eqvalenes Noron. S se aplca el méodo de análss nodal modfcado al crco de la fgra 8. se obene el ssema de ecacones sgene I I I I I s [8.84] qe en s forma es ndependene del méodo de negracón lzado. S se emplea la regla rapezodal con n paso de negracón = s se ene 4 5 S 5 S S

32 56 IUITOS EÉTIOS II El crco se encenra a esado ncal cero por lo qe + = + = + = V y de acerdo con los reslados obendos en el eemplo 8. + = V + = V + =. on esos valores se deermnan las fenes de nensdad de los eqvalenes Noron para = + I I I connacón se pasa al nsane = + + = s y se planea para ese nsane el ssema de ecacones [8.84] qe con valores nmércos es el sgene a solcón de ese ssema de ecacones es = V = 3466 V = 57 V = y la nensdad bscada en el nsane acal ene como valor = = 3466 on esos reslados se calcla la ensón y la nensdad en las bobnas y en el condensador en = s V 9949 V 57V I 493 I 997 I 49 y con ellos se deermnan las fenes de nensdad de los eqvalenes Noron I I I

33 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 57 Se pasa al nsane = + = s y se planea para ese nsane el ssema de ecacones sgene qe ene como solcón = V = 784 V = 57 V = a nensdad bscada es para = s = = 784 Se repe ese proceso de cálclo para scesvos nsanes separados por = s y se encenran los sgenes valores para : 3 = 6 ; 4 = 56 ; 5 = 956 ec. Esos reslados concden con los obendos en el eemplo Eqvalenes Thévenn y Noron de bobnas acopladas on la noacón empleada en la fgra 8. las ecacones [8.5] y [8.53] qe reslan de aplcar el méodo de Eler mplíco a las ecacones de na parea de bobnas acopladas qedan en la forma ' a ' ' b ' Fgra 8. [8.85] [8.86]

34 58 IUITOS EÉTIOS II S los érmnos qe dependen de en las ecacones [8.85] y [8.86] se desgnan como U y U respecvamene ya qe enen dmensones de ensón y además se hace [8.87] U [8.88] U [8.89] r [8.9] las ecacones [8.85] y [8.86] qedan en la forma [8.9] r U [8.9] r U [8.93] as ecacones algebracas [8.9] y [8.93] corresponden al cadrpolo ressvo de la fgra 8. qe por exensón con lo ndcado en el caso de la bobna y del condensador se pede desgnar como el eqvalene Thévenn de la parea de bobnas acopladas magnécamene. + r + r U - U - ' ' Fgra 8. S se pare de las ecacones [8.58] y [8.59] qe corresponden a la aplcacón de la regla rapezodal a la ecacones de las bobnas acopladas se llega de nevo a las

35 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 59 ecacones [8.9] y [8.93] y por consgene al msmo crco de la fgra 8. con los parámeros sgenes U [8.94] U [8.95] [8.96] r [8.97] [8.98] Para deermnar el eqvalene Noron de las bobnas acopladas se peden despear las nensdades de las bobnas de las ecacones [8.9] y [8.93] o ben se peden obener drecamene de las ecacones dferencales de las bobnas. En ese úlmo caso se escrben las ecacones [8.48] y [8.49] con la noacón empleada en la fgra 8. en la forma [8.99] y al despear las dervadas de las nensdades se obene [8.] eso es [8.] [8.] connacón se aplca a las ecacones [8.] y [8.] la regla de negracón elegda por eemplo el méodo de Eler mplíco y se obene

36 6 IUITOS EÉTIOS II [8.3] [8.4] o ben I g [8.5] I g [8.6] donde [8.7] [8.8] g [8.9] I [8.] I [8.] S se aplca la regla rapezodal a las ecacones [8.] y [8.] se obenen de nevo las ecacones [8.5] y [8.6] con [8.] [8.3] g [8.4] g I [8.5] g I [8.6]

37 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 6 as ecacones [8.5] y [8.6] corresponden al cadrpolo de la fgra 8.3 qe pede consderarse el eqvalene Noron de la parea de bobnas acopladas magnécamene. + g I - I - + g ' Eemplo 8.5 Fgra 8.3 ' En el crco de la fgra 8.4a qe se encenra en régmen permanene se cerra el nerrpor S en el nsane =. Hallar las nensdades en las bobnas para > a ncremenos de empo = 5 s medane la sscón de las bobnas acopladas por ss eqvalenes Noron correspondenes a la regla rapezodal de negracón. s = S = H s U s = V = H = 4 H = U s a b Fgra 8.4 Para = el crco se encenra en régmen permanene por lo qe = =. Para > se ssyen la bobnas por fenes de nensdad con lo qe se obene el crco de la fgra 8.4b en el qe se ene + = + = + = [ + + ] = V + = U s s + + = V En la fgra 8.5 se represena el crco con las bobnas acopladas ssdas por ss eqvalenes Noron donde para = 5 s se ene S

38 6 IUITOS EÉTIOS II S g S g I g I Fgra 8.5 S se aplca el méodo de análss por ndos al crco de la fgra 8.5 se obene s + = s U s g I = = I + g g [ ] I donde se ha endo en cena qe: = y =. S se pasan al prmer membro los smandos qe dependen de ensones de ndo se llega a la ecacón marcal sgene s s s I I I U g g g [8.7] connacón se pasa a = 5 s. l ssr valores en la ecacón marcal [8.7] se obene I - s s U s I - -g -g

39 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS cya solcón es 5 = 977 V 5 = = 938 V 5 = 489 V. V y por ano as nensdades en las bobnas se obenen del crco de la fgra = I g 5 = = = = I g 5 = = = 795 y con los reslados anerores se acalzan las fenes de nensdad I e I I 5 = g 5 = 484 I 5 = g 5 = 8 connacón se pasa a = s. a ecacón marcal [8.7] se convere en cya solcón es = 9464 V = = V = V. V y por ano as nensdades en las bobnas reslan = = 447 El proceso se repe para nsanes scesvos con los reslados sgenes 5 = 88 V = V 5 = 75 V...; 5 = 33 V = 449 V 5 = 7384 V...; 5 = = 7 5 = = 86 = =

40 64 IUITOS EÉTIOS II 3.3 rcos con lazos capacvos y/o connos de core ndcvos omo ya se ha ndcado anerormene la presenca de lazos capacvos o de connos de core ndcvos en n crco pede dar lgar a dsconndades en las ensones de los condensadores o en las nensdades de las bobnas al pasar de = a = +. ado qe los méodos nmércos de negracón para los cálclos en el nsane lzan valores de ensones e nensdades correspondenes a hay qe emplear en prncpo las condcones ncales en = + para deermnar las varables del crco en = + +. Para calclar las nensdades en las bobnas y las ensones en los condensadores para = + a parr de los valores correspondenes a = se sge el procedmeno ndcado en el capílo 4 aparado 5. del volmen I. Eso es sfcene para aplcar el méodo de Eler mplíco pero la regla rapezodal exge conocer además las ensones en las bobnas y las nensdades en los condensadores para = +. s s a Fgra 8.6 b Para calclar las ensones en las bobnas qe forman pare de n conno de core ndcvo en n nsane dado conocdas las nensdades en las bobnas para ese nsane se pede aplcar la segnda ley de Krchhoff a los lazos báscos del crco en los qe se encenren dchas bobnas. S el conno de core ndcvo ene l ramas y se elge na de ellas como rama de n árbol del crco las demás serán eslabones por lo qe habrá l ecacones crclares correspondenes a los lazos báscos defndos por esos eslabones con l ncógnas ensones en las bobnas o en las fenes de nensdad del conno de core ndcvo. Para complear el ssema de ecacones se pede emplear como ecacón complemenara la qe corresponde a la dervada respeco del empo de la ecacón del conno de core ndcvo. Por eemplo para el crco de la fgra 8.6a se ene s [8.8] y al dervar la ecacón [8.8] respeco del empo se obene

41 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 65 ds d d ds [8.9] d d d d a ecacón [8.9] es válda para calqer nsane. Parclarzada para = + apora la ecacón necesara para ener l ecacones con l ncógnas en el conno de core ndcvo y así poder calclar las ensones en las bobnas en = +. Para calclar las nensdades en los condensadores qe forman pare de n lazo capacvo en n nsane dado conocdas las ensones en los condensadores para ese msmo nsane se pede aplcar la prmera ley de Krchhoff a los connos de core báscos del crco en los qe se encenren dchos condensadores. S el lazo capacvo ene c ramas y se elge na de ellas como eslabón del crco las demás serán ramas de n árbol del crco por lo qe habrá c ecacones nodales correspondenes a los connos de core báscos defndos por esas ramas del árbol con c ncógnas nensdades en los condensadores o en las fenes de ensón del lazo capacvo. Para complear el ssema de ecacones se pede emplear la dervada respeco del empo de la ecacón del lazo capacvo. Por eemplo para el crco de la fgra 8.6b se ene s [8.] y al dervar la ecacón [8.] respeco del empo resla d d ds d ds [8.] d d d a ecacón [8.] es válda para calqer nsane. Parclarzada para = + apora la ecacón necesara para ener c ecacones con c ncógnas en el lazo capacvo y así poder calclar las nensdades en los condensadores en = +. Eemplo 8.6 En el crco de la fgra 8.7a = 7869 = = V. Hallar las ensones y las nensdades en las bobnas y en el condensador para = +. = H = 5 H s = U = = F a Fgra 8.7 b

42 66 IUITOS EÉTIOS II Para > se cmple en las bobnas y de manera parclar para = + [8.] [8.3] Por ora pare las dos bobnas forman n conno de core ndcvo qe se represena desacado en la fgra 8.7b en el qe se cmple d d [8.4] d d [8.5] ya qe enre = y = + se ene en el conno de core ndcvo de acerdo con la fgra 8.7b. as ecacones [8.3] a [8.5] forman n ssema de 3 ecacones con 3 ncógnas: + + y. Una vez reselo se obene como solcón: + = + = 546 = 63 Wb. Para deermnar las ensones en las bobnas se aplca la segnda ley de Krchhoff al crco V s 4754 [8.6] Esa ecacón se complea con la qe resla al dervar respeco del empo en la ecacón [8.] del conno de core ndcvo eso es d d d d

43 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 67 y para = + [8.7] e las ecacones [8.6] y [8.7] se obene nmedaamene: + = 6369 V + = 3585 V. En lo qe se refere al condensador se ene + = = V + = + = 546. on el méodo de Eler mplíco el reslado obendo en = + para odas las varables del crco excepo las ensones en las bobnas y las nensdades en los condensadores es ndependene de qe se omen las condcones ncales en = o en = +. En = el reslado obendo para odas las varables del crco es ndependene de qe se omen las condcones ncales en = o en = +. Para sfcar lo aneror se va a sponer por eemplo el crco de la fgra 8.6a en el nsane = + + y se va a ssr cada bobna por s eqvalene Thévenn con lo qe se obene el crco mosrado en la fgra 8.8. s Fgra 8.8 connacón se ene en cena qe en el conno de core ndcvo se verfca en el nervalo + d [8.8]

44 68 IUITOS EÉTIOS II d [8.9] donde = = es el mplso de ensón en el conno de core ndcvo orgnado por el cambo brsco de las nensdades de las bobnas en dcho nervalo. as ecacones [8.8] y [8.9] permen ssr la fene de ensón del eqvalene Thévenn de cada bobna por dos fenes en sere como se mesra en la fgra 8.9a. Una de las fenes de valor / aparece en las ramas de las dos bobnas y además se ha añaddo na fene de ese msmo valor en sere con la fene de nensdad lo cal no afeca al reso del crco. Qedan así fenes de ensón del msmo valor y con la msma referenca de polardad en odas las ramas del conno de core ndcvo qe se peden elmnar al como se mesra en la fgra 8.9b sn qe el reso del crco se vea afecado por s elmnacón. Para comprobarlo basa magnar qe se realza el análss por lazos báscos del crco habendo omado na de las ramas del conno de core ndcvo como rama de n árbol de dcho crco. as demás ramas del conno de core ndcvo son eslabones y en cada lazo básco defndo por cada no de dchos eslabones esarán presenes el eslabón correspondene y la rama del conno de core ndcvo qe perenece al árbol. En la ecacón crclar del lazo básco defndo por cada eslabón del conno de core ndcvo se compensan las dos fenes de valor / qe perenecen al msmo lazo básco con lo qe se pede prescndr de ellas sn qe cambe el valor de las nensdades de crclacón de lazo sn qe por ano cambe el comporameno del reso del crco. Qenes noan la presenca o no de esas fenes de ensón son las ensones en las bobnas y en las fenes de nensdad del conno de core ndcvo. s s a Fgra 8.9 b

45 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 69 Prescndr de las fenes de ensón de valor / condce a lzar los eqvalenes Thévenn de las bobnas con los valores correspondenes a = como mesra la fgra 8.9b. a eqvalenca de los crcos de las fgras 8.8 y 8.9b confrma qe excepo para las ensones en las bobnas los reslados obendos en = + + para las demás varables del crco son ndependenes de qe se omen las condcones ncales en = o en = +. e manera dal s se consdera el crco de la fgra 8.6b en el nsane = + + y se ssye cada condensador por s eqvalene Noron se obene el crco de la fgra 8.. s Fgra 8. connacón se ene en cena qe en el lazo capacvo en el nervalo + se verfca d q [8.3] d q [8.3] donde = = es el mplso de nensdad del lazo capacvo orgnado por el cambo brsco de las ensones en los condensadores en dcho nervalo. as ecacones [8.3] y [8.3] permen ssr la fene de nensdad del eqvalene Noron de cada condensador por dos fenes en paralelo como se mesra en la fgra 8.a. Una de las fenes de valor q/ aparece en las ramas de los dos

46 7 IUITOS EÉTIOS II condensadores y además se ha añaddo na fene de ese msmo valor en paralelo con la fene de ensón lo cal no afeca al reso del crco. Qedan así fenes de nensdad del msmo valor y con la msma referenca de polardad respeco de n deermnado sendo de crclacón en odas las ramas del lazo capacvo qe se peden elmnar ya qe como se mesra en la fgra 8.b dchas fenes qedan asladas del reso del crco por las conexones no crcla correne sn qe ése se vea afecado por s elmnacón. Qenes noan la presenca o no de esas fenes de nensdad son las nensdades en los condensadores y en las fenes de ensón del lazo capacvo. Prescndr de las fenes de nensdad de valor q/ condce a lzar los eqvalenes Noron de los condensadores con los valores correspondenes a = como mesra la fgra 8.b. a eqvalenca de los crcos de las fgras 8. y 8.b confrma qe excepo para las nensdades en los condensadores los reslados obendos en = + + para las demás varables del crco son ndependenes de qe se omen las condcones ncales en = o en = +. q/ q/ q/ s s a b Fgra 8. e lo aneror se desprende qe s se emplea el méodo de Eler mplíco para = los valores de las fenes de los eqvalenes Thévenn de las bobnas de n conno de core ndcvo y los valores de las fenes de los eqvalenes Noron de los condensadores de n lazo capacvo son ndependenes de qe se hayan omado las

47 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 7 condcones ncales en = o en = + ya qe dependen de las nensdades en las bobnas y las ensones en los condensadores para = y por consgene ambén lo es s conrbcón a las ecacones del crco así como los reslados obendos para calqer varable de ése. smsmo se dedce qe para obener aproxmadamene las condcones ncales en = + a parr de las correspondenes a = se peden segr los sgenes pasos:. on las condcones ncales correspondenes a = y con n valor arbraro de se deermnan las varables del crco en = + por eemplo las ensones e nensdades en bobnas y condensadores.. on n ncremeno opeso al del paso aneror se calclan de forma aproxmada debdo a los errores del méodo de negracón las varables del crco en = +. connacón con las ensones en los condensadores y las nensdades en las bobnas deermnados en el paso aneror se calclan las varables en = + ' con n valor de ' adecado a las caraceríscas del crco. Ese procedmeno pede servr para lzar el méodo de la regla rapezodal conocdas las condcones ncales en = lzando prevamene el méodo de Eler mplíco para deermnar las condcones ncales en = +. Eemplo 8.7 En el crco de la fgra 8.7 hallar la ensón y la nensdad en las bobnas y en el condensador medane la negracón nmérca de las ecacones del crco con el méodo de Eler mplíco: a Para = y para = con = s omando valores ncales en = + b Para = y para = con = s omando valores ncales en = c Para = con = s omando valores ncales en =. connacón con los valores calclados en = con = s con lo qe se velve a =. Fnalmene con los valores calclados en = con = s. a S se aplca el méodo nodal modfcado se obenen las ecacones sgenes Ecacones nodales: Ndo : + = s Ndo : + = Ndo : + =

48 7 IUITOS EÉTIOS II Ecacones de rama: + + = + + = = y de forma marcal s [8.3] l aplcar el méodo de Eler mplíco la ecacón [8.3] se convere en s [8.33] S se oman condcones ncales en = + y se ssyen los valores obendos en el eemplo 8.6 en la ecacón [8.33] con = s resla cya solcón es: = 9469 V = 358 V = 6546 mv = = = 539. as ensones en las bobnas son = 63 V = 3555 V. Para = el ssema de ecacones es

49 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS cya solcón es: = 9468 V = 3578 V = 5346 mv = = = 537. as ensones en las bobnas son = 635 V = 355 V. b S se oman condcones ncales en = y se ssyen los valores ndcados como daos en el eemplo 8.6 en la ecacón [8.33] con = s resla cya solcón es: = 9469 V = 6546 V = 6546 mv = = = 539. as ensones en las bobnas son = 5599 V = 6546 V. Se observa qe las nensdades en las bobnas y la ensón en el condensador enen el msmo valor qe en el aparado a donde se han calclado a parr de condcones ncales en = +. Sn embargo las ensones en las bobnas son dferenes con reslados nacepables cando las condcones ncales se han omado en =. Para = la solcón es: = 9468 V = 3578 V = 5346 mv = = = 537. as ensones en las bobnas son = 635 V = 355 V. omo pede comprobarse los reslados en = para calqer varable son ndependenes de omar las condcones ncales en = o +. c parr de las condcones ncales en = con = s se obene como reslado del ssema de ecacones [8.33] = = = 553 = 66 mv. as ensones en las bobnas son = 667 V = 66 V.

50 74 IUITOS EÉTIOS II connacón se oma = s y con el ssema de ecacones [8.33] se obene = = = 546 = V. as ensones en las bobnas son = 6369 V = 3585 V. Todos esos valores son aproxmadamene los obendos en el eemplo 8.6 para = +. S a connacón se oman como valores ncales y se repen los cálclos con n = s se obenen de nevo aproxmadamene los reslados del aparado a. 4. INTEIÓN NUÉI E S EUIONES E ESTO E IUITOS INEES as ecacones de esado de n crco lneal e nvarable con el empo enen la forma x x ' w s [8.34] Para na varable de esado genérca x se ene x = a x + a x a x b w s +... [8.35] qe concde con la forma ndcada en la ecacón [8.7] donde ahora x x x 3 ec. son las varables de esado del crco y w sk los valores de las fenes ndependenes. S se aplca el méodo de Eler mplíco a la ecacón [8.35] se ene x a x a x a x b w x s... [8.36] con lo qe la ecacón [8.34] se convere en x x w s [8.37] donde [] es la marz dagonal ndad. a ecacón [8.37] perme deermnar de forma aproxmada las varables de esado de n crco en n nsane conocdas las fenes ndependenes en ese nsane y las varables de esado en n nsane aneror. smsmo s se aplca la regla rapezodal a la ecacón [8.35] resla x a x a x... a x... bws... x a x a x... a x... b w... [8.38] s

51 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS 75 y la ecacón [8.34] se convere en x x w w s s [8.39] qe perme ambén deermnar las varables de esado en n nsane conocdas las fenes ndependenes en ese nsane y las varables de esado en n nsane aneror. Eemplo 8.8 Escrbr las ecacones de esado del crco represenado en la fgra 8.4 eemplo 8. qe se encenra a esado ncal cero y deermnar la nensdad a nervalos de s medane negracón nmérca de las msmas con la regla rapezodal. = H = H b ' = ' s = V a = = F Fgra 8. En la fgra 8. se represena el crco del eemplo 8. en el qe se ha selecconado n posble árbol propo marcado con razo más greso. Se obenen las ecacones sgenes azo básco a: azo básco b: s [8.4] s [8.4] on. core : ' [8.4] Por ora pare las ecacones de las ramas ressvas son ' [8.43] ' ' [8.44]

52 76 IUITOS EÉTIOS II de donde ' [8.45] ' [8.46] espeadas las varables e ' de las ecacones [8.45] y [8.46] [8.47] ' [8.48] y ssdas en las [8.4] a [8.4] reslan las ecacones de esado s s [8.49] S se aplca a la ecacón [8.49] la expresón general dada por la ecacón [8.39] correspondene al méodo de negracón de la regla rapezodal resla el ssema de ecacones s s s s [8.5] donde al ssr valores y ener en cena qe el esado ncal es cero resla

53 IUITOS INEES EN ÉIEN TNSITOIO. ÉTOOS NUÉIOS [8.5] S se reselve el ssema de ecacones [8.5] se obene como solcón = 493 ; = 997 ; = 57 V y al ssr valores en la ecacón [8.47] y poserormene en la [8.43] se ene = S se repe el proceso de cálclo para nsanes scesvos se obenen para los msmos reslados qe en el eemplo 8..

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