Parte I: Propagación de ondas

Transcripción

1 desarrollo de experencas ddáctcas 5 Anmando la Físca Parte I: Propagacón de ondas Oleg V. Nagornov, Roberto E. Calgars, Georgna B. Rodrígez y Marta G. Calgars Calqer profesor qe trate de enseñar físca en crsos ntrodctoros, probablemente choqe con el obstáclo del pobre manejo matemátco qe poseen los estdantes, especalmente cando los prmeros pasos en la físca y el análss matemátco se dan en forma smltánea. Actalmente, con herramentas comptaconales tales como Maple o Mathematca, cas calqer problema pede resolverse sn la necesdad de resgosas smplfcacones del problema real. Estamos convencdos qe na adecada formacón básca de ftros ngeneros debe nvolcrar tanto a almnos como a profesores en el so rtnaro de herramentas adecadas para el proceso de enseñanza-aprendzaje. x Objetvos Como es ben sabdo, resolver n problema de propagacón de ondas consste en la resolcón de na ecacón dferencal ( la ecacón de ondas!!) con las correspondentes condcones ncales y/o de frontera relatvas al problema. En algnos casos no es posble encontrar la solcón exacta de na ecacón dferencal. Es por eso qe deben tlzarse métodos nmércos para obtener na solcón aproxmada. El objetvo de este trabajo es obtener na solcón de la ecacón de ondas medante dferencas fntas, y grafcar la msma en dstntos momentos para obtener na anmacón de la propagacón de la onda, según las condcones ncales establecdas, de modo qe los estdantes pedan observar la evolcón de la onda en el tempo. Las anmacones con softwares smbólcos o centífcos Una anmacón es n conjnto de gráfcos qe se reprodcen secencalmente para dar sensacón de movmento. Con Maple se peden lograr los scesvos cadros qe conforman na anmacón, y basta con n comando común, ben tlzado, para generar la anmacón. Como hcmos en el prmer número de la Revsta (Calgars, Rodrígez, Calgars, 000), mostraremos en forma estátca algnos cadros de na anmacón, y explcaremos el códgo necesaro para generar los scesvos cadros qe la conforman. Cando el lector nteresado ejecte el códgo propesto, podrá ver la pantalla en accón. La físca del problema El problema consste en determnar la propagacón de n plso transversal a lo largo de na cerda de longtd L a través del tempo. Esta propagacón está dada por la ecacón de ondas: = a t, x 0 < t T fnal, 0 < x < L. Donde a es la velocdad del sondo, L es la longtd de la barra, ( x, t) el desplazamento de la ondat, el tempo. Consderamos el eje en la dreccón de la Revsta Argentna de Enseñanza de la Ingenería - Año Nº 3 - Jlo de 00 39

2 desarrollo de experencas ddáctcas cerda, hacendo concdr el orgen con el extremo zqerdo de la msma. Las condcones ncales son, y las condcones de frontera (de prmera clase) son (0, t) = t exp( B t), ( L, t) 0. 0 = El análss nmérco qe encerra el problema Para resolver nestro problema de frontera medante dferencas fntas:. Dscretzamos el domno, elgendo na cadrícla o red de pntos sobre la regón en cestón. Las dmensones de la red están restrngdas por las condcones de convergenca y establdad de la solcón. Nestra cadrícla tendrá para la varable x n paso y para la varable t n paso?(n y M natrales). Obtenemos así el conjnto. Asocamos el par a cada pnto ( h, jτ ), y llamamos j = ( h, jτ ). 3. Aproxmamos las dervadas parcales de la ecacón dferencal (sobre la cadrícla) medante los cocentes ncrementales (dferencas fntas) qe sgen (ver, por ejemplo, Enns y McGre, 997). ( h, jτ ) x ( h, jτ ) t j j j + + j h τ j + j+ De esta manera las dervadas de la fncón en el pnto (, j) qedan relaconadas con la fncón calclada en ss vecnos (, j), ( +, j), (, j ) y (, j + ) según el sgente esqema: La ecacón dferencal en dervadas parcales se transforma entonces en n sstema de ecacones lneales, donde cada na de ellas toma la forma t (, j+) (-, j) (, j) (+, j) (, j-) x 40 Revsta Argentna de Enseñanza de la Ingenería - Año Nº 3 - Jlo de 00

3 desarrollo de experencas ddáctcas τ + h + j j j+ j j j + = a Este sstema de ecacones tene por ncógntas los valores de la solcón aproxmada en los pntos de la red. j+ Para trabajar este sstema, despejamos en fncón de las demás. De esta manera, conocendo la fncón en nstantes de tempo consectvos ( j y j), podemos determnarla en el sgente nstante : j+ = σ j j j j ( + ) + ( σ ), 0 N, 0 j M + con a τ σ = h 4. Resolvemos este sstema. Para ello, debemos determnar los valores en los dos prmeros nstantes de tempo, tlzando las condcones ncales. La condcón ( x,0) = 0 nos permte determnar los valores para j = 0 en los pntos nternos ( N ). Reemplazando por reslta: j + 0 = 0, =,..., N (*) La segnda condcón ncal t ( x,0) = 0 nos permte encontrar valores en el próxmo nstante ( j =). Para ello, aplcando la fórmla de Taylor ( x, t) t 3 = ( x,0) + t t ( x,0) + tt ( x,0) + O( t ) en los pntos de la forma ( h, τ ), obtenemos: τ 3 ( h, τ ) = ( h,0) + τ t ( h,0) + tt ( h,0) + O( τ ) Los dos prmeros térmnos de la expresón anteror son cero, debdo a las condcones ncales. Utlzando la ecacón dferencal, reemplazamos por en el térmno restante, resltando: o sea: ( h, τ ) = 0 0 τ + h 0 + Revsta Argentna de Enseñanza de la Ingenería - Año Nº 3 - Jlo de 00 4

4 desarrollo de experencas ddáctcas Tenendo en centa (*) llegamos a la conclsón qe = 0. En Maple V... Manos a la obra! En esta seccón presentamos el códgo de Maple V (Release 5) necesaro para ver la solcón del problema planteado. Como prmer paso, defnmos las constantes qe tlzaremos e ncalzamos las varables: > t:=0: a:=0.: L:=50: C_est:= : > N:=50: M:=50: h:=l/n: k:=0: > U0:=0: B:=/0: ta:= C_est*h/a: sgma:=c_est^: El tempo total consderado para la smlacón será: > T_fnal:=M*ta: Utlzando las condcones ncales ( x,0) = 0, t ( x,0) = 0 obtenemos los datos en los pntos de la cadrícla correspondentes a los dos prmeros nstantes de tempo. > for from to N- do _jmenos[]:=0: _j[]:=0: El programa calclará los valores de la pertrbacón en los sgentes nstantes de tempo, hasta llegar al tempo fnal estplado al prncpo > whle t<t_fnal do Las condcones de frontera nos llevan a: _j[0]:=u0*(t)^*exp(-b*t): _j[n]:=0: Los valores j + j j, +, j+, para los pntos nterores, se obtenen a partr de y j : for from to N- do _jmas[]:=*(-sgma)*_j[]+sgma*(_j[+]+_j[- ]) - _jmenos[]: Para la frontera: _jmas[0]:=u0*(t)^*exp(-b*t): _jmas[n]:=0: Incrementamos t: t:=t+ta: k:=k+: 4 Revsta Argentna de Enseñanza de la Ingenería - Año Nº 3 - Jlo de 00

5 desarrollo de experencas ddáctcas Actalzamos los datos para el próxmo lazo, redesgnando adecadamente los sbíndces. for from to N- do _jmenos[]:= _j[]: _j[]:= _jmas[]: Para cada nstante obtenemos la crva correspondente: onda.k:= plot({[[m,_jmas[m]] $m = 0..N]}, X=0..N, color = red): y fnalmente cerramos el lazo ncado con el whle: Hasta aqí no obtvmos nngna salda. Sólo defnmos y almacenamos en memora lo qe deseamos mostrar en cada cadro. La fncón seq se tlza para constrr scesones. Por ejemplo, para generar la scesón f(), f(),..., f(n), se debe escrbr: seq(f(), =..n). La opcón nseqence = tre del comando dsplay hace qe los gráfcos se aplen. > dsplay([seq(onda., =..k)], nseqence = tre); Sólo mostramos aqí algnos de los gráfcos qe obtendrá el lector s ejecta todos los comandos anterores. Para anmar la secenca en Maple V, se debe selecconar el únco gráfco qe se ve en la pantalla, qe es el prmer cadro de la anmacón. Al hacerlo, aparece na barra de herramentas con los botones para manejar la presentacón. Para ncarla, se debe plsar el segndo botón. Revsta Argentna de Enseñanza de la Ingenería - Año Nº 3 - Jlo de 00 43

6 desarrollo de experencas ddáctcas Barra de herramentas de anmacón de Maple V Conclsones Los colegas qe han tendo qe enseñar el problema de la propagacón de na onda y s reflexón en n extremo conocen las dfcltades qe se les presentan a los almnos para poder ver el cambo de fase en la reflexón. En este trabajo tlzamos las capacdades de anmacón de los modernos programas de comptacón smbólca para mostrar claramente el proceso ndcado. Ello permte al estdante vsalzarlo fáclmente. La anmacón presentada nos permte observar el fenómeno físco de la reflexón de na onda con cambo de fase en el extremo fjo. El códgo pede modfcarse fáclmente para ver la reflexón de la onda desde el extremo lbre, en cyo caso la condcón de frontera sería, y la onda despés de la reflexón desde el extremo lbre tendría la msma fase qe la onda ncdente. Mchos fenómenos físcos se nterpretan mejor véndolos ocrrr. Esta metodología se pede aplcar para hacerlos ocrrr vrtalmente. En na próxma entrega mostraremos lo qe se pede lograr con la ecacón del calor en dos dmensones. Referencas Bblográfcas CALIGARIS, Roberto; RODRIGUEZ, Georgna y CALIGARIS, Marta (998). Lnear Transformatons for Begnners. Mathematca n Edcaton and Research 7 () 9-33 CALIGARIS, Roberto; RODRIGUEZ, Georgna y CALIGARIS, Marta (000). Anmando la Matemátca. Revsta Argentna de Enseñanza de la Ingenería, [] 7-6 ENNS, R.H.; McGre, G.C. (997). Nonlnear Physcs wth Maple for Scentsts and Engneers. Brkhäser MONAGAN, M.B.; GEDDES, K.O.; HEAL, K.M.; LABAHN, G.; VORKOETTER, S.M. (996). Maple V Release 5 Programmng Gde. Sprnger. 44 Revsta Argentna de Enseñanza de la Ingenería - Año Nº 3 - Jlo de 00