UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA FACULTAD DE CONTADURÍA PÚBLICA PROGRAMA DE ÁLGEBRA LINEAL

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1 UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA FACULTAD DE CONTADURÍA PÚBLICA PROGRAMA DE ÁLGEBRA LINEAL Justificación LA COMUNICACIÓN EN MATEMÁTICAS. Cuando un estudiante se enfrenta a un curso de matemáticas, uno de los elementos esenciales a lo largo del proceso enseñanza aprendizaje es, sin duda, el lenguaje, tanto cotidiano como matemático. Estos dos lenguajes, su comprensión con significado y su relación, son el objetivo del proceso de formación académica, puesto que el mundo real en el cual se desempañará el profesional de la Contaduría Pública, es la fuente de todas las situaciones que le exigirán una interpretación y una solución; mientras que los conceptos matemáticos serán los que le permitan una representación de ese mundo real y una o varias propuestas de solución. En este orden de ideas, el curso de álgebra lineal y teoría de juegos, brinda a los estudiantes las herramientas necesarias para modelar por medio de matrices, situaciones comunes en problemas económicos, contables y administrativos. El fin no es solamente poder modelar estas situaciones, sino que con ayuda de estas representaciones se puedan optimizar procesos para tomar las mejores decisiones para el sistema económico, la empresa o para poder hacer análisis de pensamiento estratégico. Desde luego es necesario reconocer que los elementos conceptuales que brinda el estudio del álgebra lineal en lo referente a espacios vectoriales y transformaciones lineales, son de esencial uso en desarrollos posteriores para entender teoremas de matemáticas financieras avanzadas en el estudio de derivados financieros. Pero el objetivo de este curso se limita solamente al uso en representaciones para toma de decisiones en problemas de programación lineal y teoría de juegos Las matrices son simplemente arreglos numéricos y el álgebra matricial que permite operar con las matrices tienen siempre una aplicación potencial si la información numérica que se acomoda de forma significativa en bloques rectangulares, representa aspectos reales. Los sistemas de ecuaciones lineales que pueden surgir de problemas de distribución de recursos o de planeación empresarial pueden solucionarse por métodos matriciales de forma mucho más rápida y sencilla. El uso de tecnologías permite encontrar rápidamente soluciones. Aunque la frase programación lineal pareciera implicar un código computacional, en realidad la palabra programación proviene del uso que se le dio en la terminología militar durante la segunda guerra mundial. El entrenamiento, el abastecimiento y los planes de despliegue de las unidades militares fueron llamados programas. Cada uno de estos programas era una solución a un problema de asignación de recursos. Este es el problema central de la economía y el problema específico de la empresa. El uso de programas computacionales y de programación de los mismos facilitan la solución de estos problemas. Pero el planteamiento, el logro de la modelación es lo que en realidad permite el uso de estos métodos y es en este frente en el que trabajamos para lograr los objetivos del curso. La modelación matemática ya no es algo nuevo en esta instancia y todo lo que se ha logrado con los cursos anteriores sienta las bases necesarias para que los problemas a solucionar sean cada vez más reales y complejos y den solución a una mayor cantidad de situaciones típicas de los problemas que enfrentará el contador público. Los elementos conceptuales adquiridos en cursos anteriores nunca estarán desligados de este curso por el contrario serán soportes de lo que se quiere. Los estudiantes se enfrentan ahora a un ambiente en el que las decisiones que se toman no solamente están determinadas por situaciones inherentes al problema empresarial. Contable o económico que se ha optimizado, sino que las decisiones de otros agentes pueden implicar diferencias en las ganancias que se perciban. Ahora los estudiantes deben ser conscientes de la situación que se genera en los mercados competitivos. La toma de decisiones va más allá del problema interno, trasciende a la interacción con el mercado y a la situación coyuntural. Por eso el pensamiento estratégico en la toma de decisiones complementa esta

2 búsqueda del óptimo que se mantiene a lo largo de toda la formación. Encontrar la mejor solución o la mejor decisión a situaciones modeladas es ahora más que nunca el objetivo central del curso. LA RESOLUCIÓN DE PROBLEMAS COMO METODOLOGÍA DE APROPIACIÓN DE LA REALIDAD. Una de las conductas más inteligentes de las personas es la capacidad de dar solución a situaciones que generan dificultad; esta conducta contiene una utilidad práctica destacada, pues la vida misma obliga a resolver problemas continuamente, es por ello que el proceso enseñanza aprendizaje debe estar orientado no a depositar contenidos en los estudiantes, sino a desarrollar sus capacidades para que puedan enfrentarse al mundo, a su dinámica. En el caso particular de la enseñanza de la matemática, el desarrollo de técnicas de cómputo (en sus diferentes niveles de dificultad) evidencia de primera mano la capacidad de una persona de usar la matemática, pero no necesariamente la asimilación de los conocimientos (conceptos e interpretación de resultados). Como respuesta a ello, la propuesta de una metodología con el enfoque de resolución de problemas busca dejar de lado la enseñanza de la matemática vista con el único propósito de que los estudiantes respondan acertadamente a ejercicios con diferentes grados de dificultad, ofreciendo como respuesta un resultado numérico (o a veces gráfico). Con el enfoque de resolución de problemas se pretende que el futuro profesional de Contaduría Pública proponga posibles soluciones a situaciones propias de su entorno a través del uso de conceptos matemáticos, lo cual exige la disposición de dichos conceptos para el alcance de un fin identificable e identificado por quien se enfrenta a la necesidad de ofrecer una respuesta propositiva ante la dificultad presentada. SABER Y SABERLO DEMOSTRAR. A toda persona que alcanza determinado nivel de conocimiento, le resulta imperioso en algún momento de su vida sustentar los saberes que ha ido construyendo. De aquí que se haga indispensable que en el contexto de clase se otorguen momentos especiales y periódicos que le permitan al Administrador de Empresas en formación, fortalecer sus conocimientos a partir de la argumentación de los mismos y de las propuestas de solución que presenta a los problemas teóricos relacionados con su futuro desempeño profesional. Saber y saberlo demostrar es argumentar, esto es, ofrecer un conjunto de razones o de pruebas en apoyo a una conclusión, lo cual a su vez implica afianzar un conocimiento específico de una disciplina, al mismo tiempo que construir un conocimiento acerca de las estrategias que pueden usarse para socializar ese conocimiento disciplinar específico, es decir, para socializar el saber (o lo que se sabe) y defender los puntos de vista acerca de cómo se entiende (interpreta), representa (matematiza) y soluciona (competencia propositiva) un problema determinado. En otras palabras, no sólo se solidifican los saberes matemáticos sino que también se potencia la producción de formas discursivas. En definitiva, la creación de estos momentos de argumentación no sólo fortalece los conocimientos propios de las matemáticas, sino que le exige al estudiante la aprehensión de conceptos propios de los diferentes saberes que requiere para afrontar la solución de un problema. Propósitos formativos (*) Objetivo General Reconocer la metodología de resolución de problemas reales a través del uso de conceptos matemáticos, como un modo de desempeño profesional que permite identificar entre diferentes estrategias de solución a las situaciones presentadas, aquella que otorga la solución óptima además de modelar por medio del uso de matrices y del álgebra matricial, problemas de optimización que se solucionan con métodos tradicionales de soluciones de sistemas de ecuaciones y por medio de mejores respuestas con los métodos de programación lineal gráfica y simplex. Modelar problemas de toma de decisiones en dónde la mejor decisión está ligada a la elección de agentes externos que deciden de forma racional egocéntrica y maximizadora. Al mismo tiempo que estudiar los problemas de decisiones en cooperación con ambientes de jugadores que compiten en negociaciones donde es necesario encontrar la base de negociación. Al finalizar la asignatura el estudiante estará en capacidad de:

3 Establecer vectores representativos y operar con ellos identificando los resultados obtenidos. Establecer matrices representativas y operar con ellas identificando los resultados obtenidos. Representar con el uso de matrices, sistemas de ecuaciones que permitan modelar y dar solución a problemas de económicos y de empresa. Distinguir relaciones entre variables que pueden representarse con modelos lineales de aquellas que no. Argumentar las ventajas y desventajas que ofrecen las diferentes alternativas de solución a un problema planteado. Modelar situaciones de toma de decisiones en contextos que involucran el azar y la competencia. Modelar situaciones que contemplan como solución las alianzas, fusiones, toma de decisiones bajo posibles ambientes de negociación, conociendo el verdadero poder de esta. Escoger entre las diferentes estrategias de solución a un problema planteado aquella que lo resuelva de forma óptima. Unidades temáticas 1. Qué conceptos en la empresa se representan con vectores? Los vectores como herramienta de representación y cálculo Operaciones con vectores ilustración gráfica Operaciones con vectores forma analítica. 2. Matrices, representación de situaciones económicas, de producción, distribución y consumo Operaciones con matrices y problemas de empresa Sistemas de ecuaciones y representaciones matriciales. 3. Problemas que se resuelven con sistemas de ecuaciones: 3.1. El método de la inversa de una matriz El método de reducción de Gauss-Jordan Problemas que se resuelven planteando sistemas lineales. 4. Optimización en sistemas lineales Programación lineal el método gráfico Optimización en sistemas lineales. El método simplex. Problemas que se resuelven planteando sistemas lineales en múltiples variables. Problemas de maximización Optimización en sistemas lineales. La dualidad. Problemas que se resuelven planteando sistemas lineales en múltiples variables. Problemas de minimización Aplicaciones reales en problemas específicos de empresa. 5. El valor esperado como criterio de decisión. Generalidades de la teoría de juegos El valor esperado como criterio de toma de decisiones Definición de un juego. El lenguaje para representarlo Clasificaciones y representaciones. Los problemas de información, simultaneidad y secuencialidad en representaciones. 6. Pensamiento estratégico, toma de decisiones óptimas en situaciones que involucran el azar o un comportamiento de un agente o un ente exógeno a los modelos Decisiones en situaciones de un jugador y contra la naturaleza. Posturas ante el riesgo Métodos de solución para juegos no cooperativos. Dominancia, inducción hacia atrás, Posturas ante

4 el riesgo, criterios maxmin y maxmax Criterio de la mejor respuesta y equilibrios de Nash en estrategias puras. Los equilibrios en estrategias mixtas Los equilibrios múltiples y los no creíbles, el análisis en subjuegos Los juegos cooperativos. La unidad de análisis y las funciones características. El poder de negociación y el valor de Shapley. *) Las Competencias que este curso desarrollará en el estudiante, es decir, los desempeños esperados o lo que el estudiante estará en capacidad de hacer después de cursar la materia, aplicando los temas vistos. *) Como mínimo el 30% del total de horas de la asignatura deberá corresponder al desarrollo y aplicación de la materia en el NTF. PROGRAMACIÓN POR SESIONES UNIVERSIDAD EXTERNADO DE COLOMBIA CONTADURÍA PÚBLICA Programa de Álgebra Lineal - PRIMER SEMESTRE DE 2014 CLA SE FECHA Semana 1: 28 al 31 de Julio Semana 2: 4 al 8 de Agosto Semana 3: 11 al 15 de Agosto 9 Taller TEMA Introducción al curso. Reglas de juego. Vectores en R^2 y en R^3. Definición geométrica, definición algebraica, magnitud y dirección. Vectores en Rn. Vector unitario, operaciones, producto vector escalar, producto escalar, suma, propiedades. Matrices, definición, clases. Operaciones: Producto de un escalar por una matriz, suma, producto de dos matrices. Propiedades Operaciones: Potencias de matrices, transpuesta de una matriz, matriz identidad, inversa de una matriz. Propiedades Operaciones entre filas,matrices semejantes. matriz inversa. Ejercicios Determinante de una matriz. Calculo de un determinante, propiedades 10 Menores de una matriz. Cofactores de una matriz. 11 Semana 4: 18 al 22 de Cálculo de la matriz inversa por el método de cofactores. 12 Agosto Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial. Solución: Métodos de Gauss - Jordan. 13 Semana 5: Sistemas de ecuaciones lineales. Forma matricial. 25 al 29 de Solución: Métodos de Gauss - Jordan. 14 Agosto Tipos de solución en sistemas de ecuaciones

5 15 Solución de sistemas de ecuaciones lineales por el método de la inversa. 16 Semana 6: Taller 17 1 al 5 de Primer parcial 20% 18 Septiembre corrección y trabajo de aplicación al NTF 19 Semana 7: 20 8 al 12 de 21 Septiembre Cadenas de Markov, ejercicios. PRIMER CORTE 30% 22 Programación Lineal. Sistemas de inecuaciones lineales. Semana 8: Planteamiento de modelos de programación lineal al 19 de Solución por el método gráfico Septiembre 24 Taller SEMANA DE RECESO 22 al 27 de Septiembre 25 Semana 9: El método simplex. Ejercicios de Sept. al El método simplex. Ejercicios 27 3 de Octubre El método simplex. Ejercicios 28 Taller NTF 29 Semana 10: Taller NTF 6 al 10 de Teoría de juegos, introducción. Representaciones, 30 Octubre clasificación. Problemas de información, acciones y estrategias. 31 Semana 11: Segundo parcial 20% al 17 de Entrega notas y corrección Parcial 33 Octubre Taller Juegos de un jugador, juegos contra la naturaleza. 34 Posturas ante el riesgo. Inversores. Valores maxmin y maxmax. T de Von Newman. 35 Semana 12: Taller 20 al 24 de Estrategias dominadas, dominancia, equilibrio de un Octubre juego, primer acercamiento. El método de eliminación 36 iterativa de estrategias estrictamente dominadas. El método de inducción hacia atrás y la perfecta información. 37 Semana 13: Taller 27 al 31 de Criterio de la mejor respuesta y equilibrios de Nash en 38 Octubre estrategias puras. 39 Taller La incertidumbre en la elección de estrategias el equilibrio 40 Semana 14: de Nash en estrategias mixtas al 7 de Taller 42 Noviembre Como eliminar equilibrios múltiples, los problemas de información y el análisis en subjuegos. 43 Taller 44 Semana 15: 10 al 14 de Los juegos cooperativos 45 Noviembre Caracterización y unidades de análisis. Funciones características

6 46 Semana 16: Poder de juego, El valor de shapley. Taller al 21 de 48 Noviembre 49 Semana 17: 24 al 28 de Noviembre Examen Final 20% 8% quices 30% NTF Bibliografía (**) Arya, Jagdich C. y Lardner, Robin W. (2002). Matemáticas aplicadas a la Administración y a la Economía. Pearson Prentice Hall Tan, S.T. (2002). Matemáticas para Administración y Economía. Thomson learning. Segunda edición. Grossman, Stanley I. Álgebra lineal. Editorial Mc Graw Hill. Sexta edicion. Haeussler, Ernest F. / Paul, Richard S. / Wood, Richard J. Matemáticas para Administración y Economía. Ed. Pearson / Prentice Hall. Decimosegunda edición. Sabogal, Carlos / Ardila, Esperanza. Álgebra y programación lineal. Universidad Externado de Colombia. Moreno Osorio, Luis G. Teoría de la decisión. Bogotá, Universidad Nacional de Colombia, BAYE, MICHAEL R. Economía de empresa y estrategia empresarial, 5.ª ed., España, McGraw Hill, DIXIT, AVINASH K.; BARRY J. NALEBUFF. Pensar estratégicamente: un arma decisiva en los negocios, la política y la vida diaria, Barcelona, España, Antoni Bosch, FERNÁNDEZ RUIZ, JORGE. Teoría de juegos: su aplicación en economía, 1ª. ed., México D.F., El Colegio de México, GARDNER, ROY. Juegos para empresarios y economistas, 1.ª ed., Barcelona, Antoni Bosch, GIBBONS, ROBERT. Un primer curso de teoría de juegos, Barcelona, Antoni Bosch, MONSALVE, SERGIO; JULIÁN ARÉVALO. Un curso de teoría de juegos clásica, 1.ª ed., Bogotá D.C., Universidad Externado de Colombia, 2005.

7 Naranjo Martínez, Carlos Andrés. Lecciones de matemáticas para abogados 2.0, 2ª ed., Bogotá D.C., Universidad Externado de Colombia, Perfil del docente Fecha de entrega: Número: Fecha VoBo Centro: Fecha de actualización: Bogotá D.C.