Transformaciones. Transformaciones Geométricas en 2D. Introducción. Transformaciones. Introducción. Transformaciones 2D

Transcripción

1 ransformaciones VGLab Lab. de Investigación Desarrollo en Visualización Computación Gráfica Dpto. de Ciencias e Ingeniería de la Computación Universidad Nacional del Sur Introducción La generación de un mundo 3D requiere 3 componentes esenciales: El mundo 3D de los objetos La o las fuentes de luz La cámara o el ojo que observa la escena Al mundo virtual que generemos lo denominaremos escena a los objetos en la misma, actores. Una cámara especifica nuestra posición de vista ciertos parámetros de vista (longitud focal, tamaño de la imagen, etc.). Usaremos transformaciones geométricas para posicionar mover actores cámaras en la escena. ambién usaremos estas transformaciones para modelar objetos. Introducción ransformaciones La traslación, la rotación, el escalado el sesgado son ejemplos de transformaciones geométricas. Estas transformaciones son lineales; también podemos usar transformaciones no lineales. Veremos primero cómo llevar a cabo estas transformaciones luego, a partir de esto, veremos cómo podemos crear escenas a partir de éstas de distintos objetos. Las transformaciones geométricas nos permitirán, entre otras cosas, Crear múltiples copias de objetos en la escena apear puntos de un sistema de coordenadas en otro. Cambiar la forma de los objetos Posicionar objetos en una escena Proectar escenas tridimensionales en la pantalla Crear animaciones ransformaciones Geométricas en 2D raslación Esta operación se usa para mover un objeto o grupo de objetos de manera lineal a una nueva ubicación en el espacio bidimensional. rasladar un objeto una distancia t en una distancia t en se epresa como: t t t t

2 Escalado Es una transformación que permite cambiar el tamaño o la proporción de un objeto o grupo de objetos. Ha escalados proporcionales no proporcionales. Sesgado Un objeto se puede sesgar tanto en sentido horizontal como en sentido vertical. Escalar un objeto en e según en e según se epresa como: e e e e Sesgar un objeto en sentido horizontal se epresa como: a a otación Esta transformación geométrica se usa para mover un objeto o grupo de objetos alrededor de un punto. La matriz de rotación tiene ciertas propiedades cos sin sin cos La norma de cada fila es uno: Las filas son ortogonales : 2 2 sin cos cos sin sin cos otar un objeto un ángulo α en sentido horario se epresa como: cos sin cos sin sin cos sin cos Decimos que las matrices de rotación son ortonormales. La inversa de una matriz ortonormal es su traspuesta. Las transformaciones de traslación rotación se conocen como transformaciones de cuerpo rígido. Estas transformaciones preservan las distancias los ángulos. Si a las transformaciones de similaridad les adicionamos las transformaciones de deslizamiento (shear) escalado no uniforme, tenemos las transformaciones afines. Si a las transformaciones de cuerpo rígido les adicionamos las transformaciones de refleión escalado uniforme, tenemos las transformaciones de similaridad. Éstas preservan los ángulos, las distancias entre puntos cambian en una proporción fija se mantiene una forma similar (triángulos similares, círculos mapean a círculos, ). Éstas preservan las líneas paralelas. 2

3 3 Dado un polígono su normal, se escala éste en ½ según. Cómo debe transformarse la normal para que siga siendo normalalmismo? Cuál es la matriz de transformación que debe usarse? Por qué? Supongamos que P es el punto de la superficie la normal en ese punto es N. Además es la tangente a la superficie en P está dada como Q-P. Entonces en forma vectorial Si transformamos los puntos por una matriz, éstos se convierten en: El nuevo vector tangente es entonces: Si N es la normal en el espacio transformado Si es la transformación que transforma la normal N a N Dado que N N Q Q P P P Q P Q P Q ) ( N N N N N I Qué ocurre cuando queremos realizar una determinada transformación con respecto a un punto cualesquiera? Supongamos que queremos rotar 9 grados con respecto al punto (.5,5) No podemos aplicar las fórmulas que vimos directamente a que definen rotaciones con respecto al origen. Cómo se ubicaría la casita si aplicamos la transformación que vimos? Qué pasos debemos seguir para lograr nuestro objetivo? t t e e Si tenemos las transformaciones : cos sin sin cos podemos escribir cada punto transformado como: p = p + p = E p p = p t t cos sin sin cos Escribimos las transformaciones como: Estamos trabajando en coordenadas homogéneas. Así podemos escribir cada punto como: p = p p = E p p = p e e

4 Al poder escribir cada punto como: p = p p = E p p = p podemos aplicar sucesivas transformaciones a un punto concatenando las matrices de transformación, incluida la traslación. Para responder a la pregunta: Qué transformaciones tenemos que aplicar si queremos rotar un objeto alrededor de un punto cualesquiera? Aplicamos las transformaciones del siguiente modo: p = p p= p p= p p= p p= p Las matrices aparecen en orden reverso al que son aplicadas las transformaciones. Dadas las transformaciones: p= p La matriz de transformación que se aplica a cada punto es: Esto significa que estamos haciendo primero la translación, luego la rotación luego la translación. El orden importa! ecuerden que = AB BA ransformaciones Geométricas en 2D Ejemplo: Se aplican las transformaciones de rotación de 9º refleión sobre. ransformaciones Geométricas en 3D ransformaciones geométricas en 3D En este mundo 3D que generaremos, cada objeto se crea en su sistema de coordenadas local. Por otro lado, su ubicación en el mundo, está dada por su posición en un sistema de coordenadas global: es el sistema de coordenadas del mundo. Vimos que las transformaciones que le aplicamos a los distintos objetos pueden utilizarse tanto para posicionar los objetos como para modelarlos. O o O m Las transformaciones pueden llevarse a cabo sobre los objetos o sobre todo el ambiente 3D. Así tenemos transformaciones locales transformaciones globales. Veremos ahora las distintas transformaciones que pueden aplicarse en 3D. 4

5 La especificación de las transformaciones básicas en 3D son: otación antihoraria alrededor de cada uno de los ejes: raslación Escalado z otación alrededor de un eje arbitrario: Así especificamos la rotación alrededor de un eje arbitrario teniendo en cuenta tres ángulos que se denominan ángulos de Euler. Gimbal Lock: Una rotación de 9º alrededor de uno de los ejes, reduce en uno los grados de libertad; si se rota 9º alrededor de, luego rotar alrededor de será lo mismo que rotar alrededor de z Problemas con los ángulos de Euler: El resultado no es único a que es dependiente del orden en que se realizan las rotaciones. Las rotaciones no pueden sumarse (9º cw + 9º ccw =, no la Identidad) No pueden componerse rotaciones Gimbal lock Dificultoso interpolar ángulos en una animación Qué es una orientación? Posición en el espacio del mundo (2,-,35) Orientación del avión (23,-4,4)-(2,-,35) (3,-4,5) En general, cualquier orientación puede obtenerse efectuando una rotación alrededor del eje z, seguida por una rotación alrededor de por una rotación alrededor de. Esta secuencia no es única. La transformación que ubica al avión en la posición orientación deseada puede obtenerse determinando los senos cosenos necesarios para las matrices de rotación para los ejes, z. epresentación de la orientación Una cuestión importante en computación gráfica, en especial en animación, es lograr la mejor manera de representar la posición la orientación de un objeto en el espacio también interpolar posiciones orientaciones a medida que transcurre el tiempo para producir así movimiento. Un escenario típico es aquél en el que se especifican dos posiciones orientaciones deben interpolarse los estados intermedios para producir así la animación de un determinado objeto. Otro es cuando es necesario aplicar a un objeto sucesivas transformaciones debe tenerse una forma eficiente de concatenar esas transformaciones antes de aplicarlas a todos los vértices del objeto. Veremos distintas posibles representaciones de orientaciones e identificaremos sus fortalezas debilidades. Asumimos que la transformación final aplicada al objeto es el resultado sólo de rotaciones traslaciones, es decir transformaciones de cuerpo rígido. 5

6 Si tenemos dos matrices de transformaciones que representan los estados inicial final de un detrminado objeto, podría pensarse que una interpolacion entre los estado equivale a una interpolación de las matrices. Supongamos que queremos interpolar de una rotación de +9 alrededor del eje a una de -9 alrededor del mismo eje. Las matrices para ambos estados son respectivamente: epresentación de la orientación mediante ángulo fijo Una representación de ángulo fijo se refiere a los ángulos usados para rotar alrededor de ejes fijos. Se entiende que eiste un orden fijo para las tres rotaciones, tales como - - z. Esto significa que la orientación está dada por un conjunto de 3 parámetros ordenados que representan 3 rotaciones ordenadas alrededor de ejes fijos: primero alrededor de, luego alrededor de finalmente alrededor de z. Lo importante es que la orientación de un objeto está dada por 3 ángulos, por ejemplo, (, 45, 9) lo que es equivalente a z(9) (45) (). La matriz interpolada que representa la orientación a mitad de camino entre ambos estados es: Esto, evidentemente no tiene sentido epresentación de la orientación mediante ángulo fijo Se considera un objeto orientado de acuerdo a (, 9, ). Eaminemos el efecto que un pequeño cambio en los valores del primero tercer parámetro, tiene sobre la orientación del objeto. epresentación de la orientación mediante ángulo fijo La causa de este problema puede hacer que la interpolación entre dos posiciones orientaciones clave sea problemática. Considerar las orientaciones (, 9, ) (9, 45, 9). La segunda orientación es una rotación de 45-grados alrededor del eje con respecto a la primera posición. La interpolación directa de las representaciones de las orientaciones produce (45, 67.5, 45) como la orientación a mitad de camino, que es mu distinta de (9, 22.5, 9) que es la orientación deseada (pq es la orientación que está intuitivamente a mitad de camino entre las dos orientaciones. epresentación de la orientación mediante ángulos de Euler En una representación de ángulos de Euler los ejes de rotación son los ejes del sistema de coordenadas local del objeto, que rotan con el mismo (a diferencia de los ejes del sistema de coordenadas global). Un ejemplo típico de uso de los ángulos de Euler es el de roll, pitch aw de una cámara. Como en la representación fija, esta representación puede usar varios ordenamientos de los 3 ejes de rotación como esquema de representación. Cualquier sistema de ángulos de Euler que se use es equivalente al sistema de ángulos fijos, en orden reverso. Por ello, esta representación tiene las mismas ventajas desventajas (i.e. gimbal lock) que las de la representación de ángulo fijo. epresentación de la orientación mediante ejes ángulos El teorema de rotación de Euler establece que para dos orientaciones dadas de un objeto, una puede alcanzarse a partir de la otra por una simple rotación alrededor de un eje arbitrario. Sist. de coord. global Sist. de coord. local del objeto 6

7 epresentación de la orientación mediante ejes ángulos La interpolación de representaciones de ejes ángulos entre (A, ) (A 2, 2 ) por k para obtener (A k, k ) se realiza mediante la rotación otate(a,b,c) que rota c alrededor de a en b grados. epresentación de la orientación mediante cuaterniones La representación anterior tiene problemas en lograr interpolaciones de las orientaciones intermedias cuando un objeto o unión tiene tres grados de libertad rotacional. Una mejor herramienta para representar orientaciones la constituen los cuaterniones. Un cuaternión es un vector 4D que se trata de una manera especial. Cualquier cambio puro de orientación que permite cambiar de un sistema de coordenadas a otro puede representarse por una rotación de algún determinado ángulo alrededor de un determinado eje. Un cuaternión permite codificar esta rotación ángulo/eje de rotación Ángulo = Eje de rotación unitario El cuaternión unitario (de longitud ) es: u, u, u 2,sin u i u j u k q cos 2 z z Del mundo 3D a la pantalla iramos la escena ransformación de odelado Esta transformación transforma los objetos en el espacio del objeto; permite generar distintas instancias de un objeto dado. Escalar, rotar. Espacio del objeto 7

8 ransformación del undo Esta transformación orienta los objetos dentro del espacio del mundo. ransformación de Vista Esta transformación mapea puntos del espacio del mundo en el espacio del ojo. rasladar, rotar. otar, trasladar Espacio del objeto Espacio del mundo Espacio del mundo Espacio del ojo ransformación de Proección Esta transformación mapea el frustum de vista al espacio de clipping. Espacios Objeto undo Ojo Clipping ransf. perspectiva, escalar, trasladar otar otar Escalar rasladar rasladar rasladar Perspectiva odelado Ubicación Especificación Clipping en el undo de la cámara Espacio del ojo Espacio de clipping Escalar otar Espacios CO CO C COjo COjo Objeto undo Ojo Clipping.odel..undo.Vista Iluminación.Perspectiva CClip Pantalla 3D (CND) División Perspectiva (/w) otar otar Escalar rasladar rasladar rasladar Perspectiva odelado Ubicación Especificación Clipping en el undo de la cámara Escalar otar Operaciones aster Proc.fragmento, eturado, Ilum fragmento,. Viewport asterización 8

9 Bibliografía CO CO C COjo COjo.odel..undo.Vista Iluminación.Perspectiva Procesamiento Geométrico (de vértices) CClip Pantalla 3D (CND) División Perspectiva (/w). Viewport AC SIGGAPH Proceedings Agoston,. Computer graphics & geometric modeling / athematics, Springer- Verlag London Ltd., 25. Angel, E., Shreiner, D. Interactive Computer Graphics: A top-down approach with shader-based OpenGL, Addison Wesle, 2, 6th. Ed. Fole, J., van Dam, A., Feiner, S. Hughes, J., Computer Graphics. Principles and Practice, Addison Wesle, 992, 2 nd Edition. Hearn, D., Baker,.P., Computer Graphics, C Version, Prentice Hall Inc., 23, 3rd Edition. Hill, F. Jr, Kelle, S., Computer Graphics Using OpenGL, Prentice Hall., 26, 3rd Ed. Operaciones aster Proc.fragmento, eturado, Ilum fragmento, asterización 9